Nachweis für
Biegung
gemäß DIN 1045-1:2001-07
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 2.2
Seite: 163
Zuletzt aktualisiert: 09.12.2002
Bearbeiter: Ralf Avak, Günther Allgöwer
Nachweis für Biegung gemäß DIN 1045-1:2001-07, Kap. 10.2
Eingangswerte der Berechnung:
C30/37
Festigkeitsklasse Beton:
Festlegung der Trockenrohdichte
bei Anwendung von Leichtbeton
(wird hier nicht verwendet)
ρ := 0
kg
3
m
Definitionen
bf
d = h-d1
zs
zs1
h
Schwerpunkt
Betonquerschnitt
z1
S
ys
z2
hf
beff
beff,1
b1
d1
As1
beff,2
bw
b2
Plattenbalkenquerschnitt?
(andernfalls Rechteckquerschnitt mit bf = bw )
b
c
d
e
f
g
Stegbreite
b w := 40⋅ cm
Tatsächlich vorhandene Plattenbreite
(für Rechteckquerschnitt wird bf = bw gesetzt)
b f := 5⋅ m
b f := wenn( Plattenbalken = 1 , b f , b w)
bf = 5 m
b 1 := 2.30⋅ m
Tatsächlich vorhandene Gurtbreiten
b 2 := 2.30⋅ m
Gesamte Querschnittshöhe
h := 70⋅ cm
Plattendicke
h f := 20⋅ cm
Randabstand As1 unten
d 1 := 6⋅ cm
Wirksame Stützweite zur Berechnung von beff
l0 := 0.85⋅ 8⋅ m
Bemessungsschnittgrößen
(diese wirken im Schwerpunkt des Betonquerschnitts)
Die Längskraft kann Druck (-) oder Zug (+) sein
NEd := 0⋅ kN
Das Biegemoment ist immer positiv einzugeben
M Ed := 442.1⋅ kN⋅ m
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Berechnungen:
Mitwirkende Plattenbreite
b eff.1 := 0.2⋅ b 1 + 0.1⋅ l0
b eff.1 :=
0.2⋅ l0 if b eff.1 > 0.2⋅ l0
b eff.1 :=
b eff.1 otherwise
b 1 if b eff.1 > b 1
b eff.1 = 1.14 m
b eff.1 otherwise
b eff.2 := b eff.1
b eff := b eff.1 + b eff.2 + b w
b eff := wenn( b eff > b f , b f , b eff )
b eff = 268 cm
Schwerpunktberechnung
Fläche Betonquerschnitt
A c := ( b eff − b w) ⋅ h f + b w⋅ h
Statisches Moment bezogen
auf oberen Bauteilrand
Syo := ( b eff − b w) ⋅
Randabstand des Schwerpunkts
vom oberen Bauteilrand
z2 :=
hf
2
2
+ b w⋅
2
A c = 7360 cm
h
2
2
Syo
3
Syo = 143600 cm
z2 = 19.511 cm
Ac
Trägheitsmoment Betonquerschnitt um die Schwerachse
3
3
2
⋅ ( b eff − b w) ⋅ h f + b w⋅ h  − A c⋅ z2
4
Iys = 0.0238 m
Abstand As1 vom Schwerpunkt
zs1 := h − z2 − d 1
zs1 = 44.489 cm
Statische Höhe
d := h − d 1
d = 64 cm
Iys :=
1
3
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Bemessungstafel aus
Schneider: Bautabellen für Ingenieure, 14. Auflage 2001, Tafel 4, Seite 5.128
ω :=
Tafel 1
hf / d = 0,05
µEds
ω1-Werte für be f f /bw
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
≥ 10
5
3
2
1
0,0000
0,0101
0,0203
0,0306
0,0409
0,0514
0,0629
0,0767
0,0000
0,0101
0,0203
0,0306
0,0409
0,0514
0,0624
0,0742
0,0871
0,1014
0,0000
0,0101
0,0203
0,0306
0,0410
0,0514
0,0622
0,0735
0,0852
0,0976
0,1107
0,1246
0,1396
0,0000
0,0101
0,0203
0,0306
0,0410
0,0514
0,0621
0,0731
0,0844
0,0961
0,1082
0,1206
0,1336
0,1470
0,1611
0,1757
0,1912
0,2196
0,2384
0,0000
0,0101
0,0203
0,0306
0,0410
0,0515
0,0621
0,0728
0,0836
0,0946
0,1057
0,1170
0,1285
0,1401
0,1518
0,1638
0,1759
0,1882
0,2007
0,2134
0,2263
0,2395
0,2529
0,2665
0,2804
0,2946
0,3091
0,3239
0,3391
0,3545
0,3706
0,3870
0,4038
0,4212
0,4391
0,4577
0,4768
0,4969
oberhalb dieser Linie gilt:
ξ = x/d ≤ 0,45
In die Schwerpunktlage von As1
versetztes Biegemoment
M Eds := M Ed − NEd⋅ zs1
Bezogenes Biegemoment
µ Eds :=
M Eds
M Eds = 442.1 kN⋅ m
µ Eds = 0.02369
2
b eff ⋅ d ⋅ fcd
Aufgerundetes bezogenes Biegemoment zur Ermittlung der Tafelzeile
(
)
µ Eds.r := rund µ Eds + 0.005 , 2
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µ Eds.r = 0.03
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Ermittlung des mechanischen Bewehrungsgrades ω1 durch Interpolation in der Tafel
Tafelnummer
T :=
zs ←
Tafelzeile
hf
Z :=
d
zs ←
Tafelspalte
µ Eds.r
S :=
0.01
zs ←
b eff
bw
2 if zs > 0.10
zs if zs < 37
3 if zs > 1
3 if zs > 0.15
37 otherwise
2 if zs > 2
4 if zs > 0.20
1 if zs > 3
5 if zs > 0.30
0 if zs > 5
1 otherwise
4 otherwise
Tafeleingangswerte
hf
d
= 0.312
µ Eds = 0.024
b eff
bw
= 6.7
→ Interpolation zwischen Tafel
T+ 1=6
→ Interpolation zwischen µ Eds.r = 0.03
→ Spalte =
und
T=5
( Z − 1) ⋅ 0.01 = 0.02
S+ 1=1
Interpolierter mechanischer Bewehrungsgrad aus Tafel
(
und
)
ω1a := ωZ+ 38⋅ T , S − µ Eds.r − µ Eds ⋅
T+ 1=6
ωZ+ 38⋅ T , S − ωZ+ 38⋅ T−1 , S
0.01
Interpolierter mechanischer Bewehrungsgrad aus Tafel
ω1a = 0.0241
T=5
T := T − 1
(
)
ω1b := ωZ+ 38⋅ T , S − µ Eds.r − µ Eds ⋅
ωZ+ 38⋅ T , S − ωZ+ 38⋅ T−1 , S
0.01
ω1b = 0.0241
Bemessungsergebnis als ungünstigster Tafelwert bzw. Hinweis zu Druckbewehrung
ω1 :=
(
) (
)
"Druckbewehrung erforderlich" if ω1a = 0 + ω1b = 0 + µ Eds > 0.29
ω1a if ω1a > ω1b
ω1b otherwise
Mechanischer Bewehrungsgrad
ω1 = 0.0241
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Erforderlicher Bewehrungsquerschnitt
A s1 :=
ω1⋅ b eff ⋅ d ⋅ fcd + NEd
fyd
2
A s1 = 16.2 cm
Minimale Längsbewehrung As1 ≥ Mcr / (z II · fyk ) mit Mcr = (fctm - NEd/Ac ) · Iys / z 1
Abschätzung des Hebelarms der inneren Kräfte im gerissenen Zustand II
zII := 0.9⋅ d
zII = 57.6 cm
Rissmoment
M cr :=  fctm −
2
A s1 = 16.2 cm
?
≥
M cr
zII⋅ fyk
Maximale Längsbewehrung
2
A s1 = 16.2 cm
?
≤

NEd 

Ac
Iys
⋅ h − z
2

M cr = 136.7 kN⋅ m
2
= 4.7 cm
As1 ≤ 8% · Ac
2
8%⋅ A c = 588.8 cm
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