Scheibe - Berechnung nach der Finite-ElementMethode
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 146
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Scheibe - Berechnung nach der Finite-Element-Methode
ORIGIN := 1
q
ly
y
x
lx
Abmessungen:
Materialkennwerte:
Linienlast:
Stützweite:
lx := 14
Dicke:
t := 0.5
Höhe:
Elastizitätsmodul :
7
E := 3 ⋅ 10
Querdehnzahl:
ν := 0.2
ly := 14
q := −1000
_____________________________________________________________________
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Seite 1
Dateiname:
TV_1_15_Scheibe_1.mcd
Scheibe - Berechnung nach der Finite-ElementMethode
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 146
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Finite-Element-Diskretisierung:
Anzahl der Elemente in x-Richtung:
nx := 8
(geradzahlig)
Anzahl der Elemente in y-Richtung:
ny := 8
(geradzahlig)
Anzahl der Elemente:
nel := nx ⋅ ny
Anzahl der Knotenpunkte:
nkn := nx + 1 ⋅ ny + 1
(
nel = 64
)(
)
nkn = 81
FE-Netzgenerierung
Freiheitsgrade je Knotenpunkt:
Nkn ( i , j) :=
nfk := 2
j + 1 if i = 2
 ly
 j   if i = 1
 ⋅ trunc 

n
 y
 nx + 1  
 lx  
 j   ⋅ n + 1   if i = 0
 ⋅  j −  trunc 
  ( x ) 
 nx  
 ( nx + 1)  

Knotenpunktskoordinaten:
x-Koordinate:
y-Koordiante:
Nummer:
(
)
Knoten := matrix 3 , nkn , Nkn
 0 1.75 3.5 5.25 7 8.75 10.5 12.25 14 0 1.75 3.5 5.25 7 8.75 10.5 12.25 14 0 1.75 3.5 5.25 7 8.75 10.5 12.25 14 0 1.75 3.5 5.25
Knoten =  0
0
0
0
0
0
0
0
0 1.75 1.75 1.75 1.75 1.75 1.75 1.75 1.75 1.75 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5
3.5 3.5 5.25 5.25 5.25 5.25
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27 28
29
30
31

© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Seite 2
Dateiname:
TV_1_15_Scheibe_1.mcd
Scheibe - Berechnung nach der Finite-ElementMethode
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 146
(
)
Top := matrix nel , 4 , Nel
Elementtopologie:
1

T  2
Top =
 11

 10
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
2
3
4
5
6
7
8
10 11 12 13 14 15 16 17 19 20 21 22 23 24 25 26 28 29 30 31 32 33 34 35 37 38 39 40 41 42 43 44 46 47 48 49 50 51
3
4
5
6
7
8
9
11 12 13 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 25 26 27 29 30 31 32 33 34 35 36 38 39 40 41 42 43 44 45 47 48 49 50 51 52
12 13 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 25 26 27 29 30 31 32 33 34 35 36 38 39 40 41 42 43 44 45 47 48 49 50 51 52 53 54 56 57 58 59 60 61
11 12 13 14 15 16 17 19 20 21 22 23 24 25 26 28 29 30 31 32 33 34 35 37 38 39 40 41 42 43 44 46 47 48 49 50 51 52 53 55 56 57 58 59 60
Elementeigenschaften
Materialnummer
Elastizitäts- Plattenmodul
dicke
Querdehnzahl
material := ( 1 E t ν )
Zuordnung der Elementeigenschaften zu den Elementen:
Materialnummern aller Elemente
Nei ( i , j) := 1
(
)
matnr := matrix nel , 1 , Nei
T
matnr = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
iel := 1 .. nel
Em ( iel) := material
matnr , 2
iel
t ( iel) := material
matnr , 3
iel
mue ( iel) := material
matnr , 4
iel
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Seite 3
Dateiname:
TV_1_15_Scheibe_1.mcd
Scheibe - Berechnung nach der Finite-ElementMethode
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 146
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Festhaltungen:
Knoten Flag-x Flag-y

Fest := 
1
Flag-Werte:
1 - festgehaltener Freiheitsgrad
0 - frei
1 1

 nx + 1 0 1 
Knotenummern müssen in aufsteigender Reihenfolge
sein!!!
1 1 1 
Fest = 

9 0 1 
fak_max := 0.05
Nx_el ( i , j) :=
 i + 1 + 1

 6 
i_el ← trunc 
(
Ny_el ( i , j) :=
)
(
if i_el ≠ nel + 1
12
−10
if
 trunc  i + 1  = i + 1 




6 

 6 
12
−10
if
(
 trunc  i + 1  = i + 1 




6 

 6 
Knoten
if i = ( i_el − 1) ⋅ 6 + 4
1 , Top
i_el , 1
Knoten
if i = ( i_el − 1) ⋅ 6 + 4
2 , Top
i_el , 1
Knoten
otherwise
1 , Top
i_el , i−( i_el−1) ⋅ 6+ 1
Knoten
otherwise
2 , Top
i_el , i−( i_el−1) ⋅ 6+ 1
12
return −10
if [ ( Em ( i_el) = 0) + ( t ( i_el) = 0) ]
12
return −10
if [ ( Em ( i_el) = 0) + ( t ( i_el) = 0) ]
x el := matrix 6 ⋅ nel , 1 , Nx_el
xnm := KnotenT
)
if i_el ≠ nel + 1
12
−10
otherwise
(
 i + 1 + 1

 6 
i_el ← trunc 
)
〈 〉
)1
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
12
−10
otherwise
(
y el := matrix 6 ⋅ nel , 1 , Ny_el
(
ynm := KnotenT
)
〈 〉
)2
Seite 4
Dateiname:
TV_1_15_Scheibe_1.mcd
Scheibe - Berechnung nach der Finite-ElementMethode
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 146
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
 x max x min   max ( xnm) min ( xnm) 

 :=
 y max y min   max ( ynm) min ( ynm) 
max_tot := max
((
x max
y max
x min
y min
))
x max := x max + fak_max ⋅ max_tot
y max := y max + fak_max ⋅ max_tot
x min := x min − fak_max ⋅ max_tot
y min := y min − fak_max ⋅ max_tot
Schleife über Knoten:
ik := 1 , 2 .. nkn
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Schleife über Elemente:
ie := 1 , 2 .. 6 ⋅ nel
Seite 5
Dateiname:
TV_1_15_Scheibe_1.mcd
Scheibe - Berechnung nach der Finite-ElementMethode
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 146
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Elementnetz
10
5
0
0
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
5
10
Seite 6
Dateiname:
TV_1_15_Scheibe_1.mcd
Scheibe - Berechnung nach der Finite-ElementMethode
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 146
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Verformte Geometrie
15
10
5
0
0
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
5
10
15
Seite 7
Dateiname:
TV_1_15_Scheibe_1.mcd
Scheibe - Berechnung nach der Finite-ElementMethode
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 146
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Spannungen
Spannungen in x-Richtung in einem vertikalen Schnitt
nx
2
= 4 -tes Element in jeder Reihe bei x= x s = 7
15
10
y_
5
2000
0
2000
4000
6000
sig_x_Mitte
Spannung am oberen Rand:
σx_oben = −409.41
Spannung am unteren Rand:
σx_unten = 4110.81
Maximale Spannung:
max ( sig_x_Mitte) = 4110.81
Minimale Spannung:
min ( sig_x_Mitte) = −972.82
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Seite 8
Dateiname:
TV_1_15_Scheibe_1.mcd
Scheibe - Berechnung nach der Finite-ElementMethode
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 146
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Emittlung der Nullstelle des Spannungsverlaufs und der Resultierenden
Zug- und Druckkräfte:
sigx ( y ) := linterp ( y_ , sig_x_Mitte , y )
(
y 0 := wurzel sigx ( y ) , y , 0 , ly
)
Nullstelle der Spannungen bei
y 0 = 3.4
Resultierende Druckkraft:
l
⌠y

Dres :=
sigx ( y ) dy
⌡y
0
Dres = −6758.0
Resultierende Zugkraft:
y
⌠ 0
Zres := 
sigx ( y ) dy
⌡
0
Zres = 6657.4
Numerischer Fehler:
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Dres
Zres
− 1 = 0.02
Seite 9
Dateiname:
TV_1_15_Scheibe_1.mcd
Scheibe - Berechnung nach der Finite-ElementMethode
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 146
5.25
7
8.75 10.5 12.25
5.25 5.25 5.25 5.25
31
32
33
34
14
0
1.75 3.5 5.25
7
8.75 10.5 12.25 14
5.25
5.25
7
7
7
7
7
7
7
7
7
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
0
1.75
3.5
5.25
7
8.75 10.5 12.25
8.75 8.75 8.75 8.75 8.75 8.75 8.75
46
47
48
49
Seite 10
50
51
52
8.75
53
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
14
0
1.75
3.5
5.25
7
8.75 10.5 12.25
8.75 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5
54
55
56
57
58
59
60
61
10.5
62
14
0
1.75
10.5 12.25 12.25
63
64
Dateiname:
TV_1_15_Scheibe_1.mcd
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 146
Scheibe - Berechnung nach der Finite-ElementMethode
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
52 53 55 56 57 58 59 60 61 62 64 65 66 67 68 69 70 71 

53 54 56 57 58 59 60 61 62 63 65 66 67 68 69 70 71 72 
62 63 65 66 67 68 69 70 71 72 74 75 76 77 78 79 80 81 

61 62 64 65 66 67 68 69 70 71 73 74 75 76 77 78 79 80 
1)
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Seite 11
Dateiname:
TV_1_15_Scheibe_1.mcd
Scheibe - Berechnung nach der Finite-ElementMethode
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 146
1.75
3.5
5.25
7
8.75
10.5
12.25
14
0
12.25 12.25 12.25 12.25 12.25 12.25 12.25 12.25 14
65
66
67
68
69
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
70
71
72
73
1.75 3.5 5.25
7
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
8.75 10.5 12.25 14 

14
14
14
14
14
14
14
14 
74
75
76
77
78
79
80
81 

Seite 12
Dateiname:
TV_1_15_Scheibe_1.mcd