Elastisch gebetteter Balken
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 140
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Elastisch gebetteter Balken
Einseitig unendlich lang: Einzellast bei x=a
kN ≡ 1000 ⋅ N
MN ≡ 1000 ⋅ kN
Systemkennwerte:
Balkenbreite
b := 0.5⋅ m
Balkenhöhe
h := 0.4⋅ m
Elastizitätsmodul
7 kN
E := 3 ⋅ 10
2
m
Bettungsmodul
k s := 25 ⋅
MN
m
3
F := 100 ⋅ kN
Belastung
Abstand:
a := 2m
Berechnung der Schnittgößen und der Durchbiegung
I :=
3
b⋅h
12
Elastische Länge:
4
−3 4
I = 2.67 × 10 m
L :=
1
λ
λ :=
ks ⋅ b
4⋅E ⋅I
λ = 0.44 m
-1
L = 2.25 m
Unbekannte nach Kraftgrößenverfahren:
− λ⋅a
− λ ⋅ a 
X := F ⋅  ( cos ( λ ⋅ a) − sin ( λ ⋅ a) ) ⋅ e
+ 2 ⋅ cos ( λ ⋅ a) ⋅ e

Y :=
−F
λ
X = 45.77 kN
− λ⋅a
− λ ⋅ a 
⋅  ( cos ( λ ⋅ a) − sin ( λ ⋅ a) ) ⋅ e
+ cos ( λ ⋅ a) ⋅ e

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Y = −44.71 kN ⋅ m
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TV_1_13_Elba_eu_Fa.mcd
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Lösung für x > 0 :
2
Y ⋅λ
− λ⋅x
− λ⋅x
⋅e
⋅ ( cos ( λ ⋅ x ) + sin ( λ ⋅ x ) ) +
⋅e
⋅ sin ( λ ⋅ x ) ...
2 ⋅ ks ⋅ b
ks ⋅ b
F ⋅λ
− λ ⋅ x −a
⋅e
+
⋅ ( cos ( λ ⋅ x − a ) + sin ( λ ⋅ x − a ) )
2 ⋅ ks ⋅ b
X⋅ λ
Durchbiegung:
w ( x ) :=
Biegemoment:
M ( x ) := 
 X ⋅ e− λ ⋅ x ⋅ ( cos ( λ ⋅ x ) − sin ( λ ⋅ x ) ) + Y ⋅ e− λ ⋅ x ⋅ cos ( λ ⋅ x ) ...

2
4⋅λ

+
F
4⋅λ
− λ ⋅ ( x −a )
⋅e
⋅ [ cos ( λ ⋅ x − a ) − sin [ λ ⋅ ( x − a ) ] ]
 X − λ ⋅ x ⋅ cos ( λ ⋅ x ) − Y ⋅ λ ⋅ e− λ ⋅ x ⋅ ( cos ( λ ⋅ x ) + sin ( λ ⋅ x ) )  ...
V ( x ) :=  − ⋅ e

2
 2

−F − λ ⋅ ( x −a )
+
⋅e
⋅ cos ( λ ⋅ x − a ) ⋅ sign ( x − a)
2
Querkraft:
σb ( x ) := −k s ⋅ w ( x )
Bodenpressung:
Verläufe der Schnittgrößen, Durchbiegungen und Bodenpressungen
x := 0 ,
0.01
λ
..
5
λ
Durchbiegung [cm]
0
− w( x)
cm
2
4
6
8
10
12
0.1
0.2
0.3
x
Biegemoment [kNm]
20
0
− M ( x)
kN ⋅ m
2
4
6
8
10
12
20
40
60
x
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Querkraft [kN]
50
0
V ( x)
2
4
6
8
10
12
kN
50
100
x
Bodenpressung [kN/m²]
50
σb ( x ) ⋅ m
kN
2
0
2
4
6
8
10
12
50
100
x
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