FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 120
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
ORIGIN := 1
Länge in x-Richtung:
lx := 13
Anzahl der Elemente in x-Richtung:
nx := 4
Länge in y-Richtung:
ly := 10
Anzahl der Elemente in y-Richtung:
ny := 4
Anzahl der Elemente:
nel := nx ⋅ ny
nel = 16
Anzahl der Knotenpunkte:
nkn := nx + 1 ⋅ ny + 1
(
)(
)
nkn = 25
FE-Netzgenerierung
Freiheitsgrade je Knotenpunkt:
Nkn ( i , j) :=
nfk := 2
j + 1 if i = 2
 ly
 j
 ⋅ trunc 
n
y

 nx +
  if i = 1

1 
 lx  
 j   ⋅ n + 1   if i = 0
 ⋅  j −  trunc 
  ( x ) 
 nx  
 ( nx + 1)  

Knotenpunktskoordinaten:
x-Koordinate:
y-Koordiante:
Nummer:
(
)
Knoten := matrix 3 , nkn , Nkn
0 3.25 6.5 9.75 13 0 3.25 6.5 9.75 13 0 3.25 6.5 9.75 13 0 3.25 6.5 9.75 13 0 3.25 6.5 9.75 13 


Knoten =  0
0
0
0
0 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 5
5
5
5
5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 10 10 10 10 10 
1 2

3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 

© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Seite 1
Dateiname:
TV_1_03_FEM_Scheibe.mcd
FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 120
Nel ( i , j) :=
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
 i  + i + 1 if j = 0

 ( nx ) 

 i 

trunc  n  + i + 2 if j = 1
(
)

 x

i




trunc  n  + i + 3 + nx if j = 2

 ( x)

i




trunc  n  + i + 2 + nx if j = 3

 ( x)

trunc 
0 otherwise
(
1

T 2
Top =
7

6
)
Top := matrix nel , 4 , Nel
Elementtopologie:
11 12 13 14 16 17 18 19 
2 3
4
6
7
8
9
3 4
5
7
8
9
10 12 13 14 15 17 18 19 20 

8 9 10 12 13 14 15 17 18 19 20 22 23 24 25 
7 8
9

11 12 13 14 16 17 18 19 21 22 23 24 
Elementeigenschaften
Elastizitätsmodul :
7
E := 3 ⋅ 10
Dicke der Wandscheibe:
t := 0.5
Materialnummer
Elastizitäts- Plattenmodul
dicke
Querdehnzahl:
ν := 0
Querdehnzahl
material := ( 1 E t ν )
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Seite 2
Dateiname:
TV_1_03_FEM_Scheibe.mcd
FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 120
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Zuordnung der Elementeigenschaften zu den Elementen:
Materialnummern aller Elemente
(
Nei ( i , j) := 1
)
matnr := matrix nel , 1 , Nei
T
matnr = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )
iel := 1 .. nel
Em ( iel) := material
matnr , 2
iel
t ( iel) := material
matnr , 3
iel
mue ( iel) := material
matnr , 4
iel
Festhaltungen:
Knoten Flag-x Flag-y

Fest := 
1
1 1

 nx + 1 0 1 
1 1 1 
Fest = 

5 0 1 
Plot des Elementnetzes
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Flag-Werte:
1 - festgehaltener Freiheitsgrad
0 - frei
Knotenummern müssen in aufsteigender Reihenfolge
sein!!!
fak_max := 0.05
Seite 3
Dateiname:
TV_1_03_FEM_Scheibe.mcd
FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 120
Nx_el ( i , j) :=
 i + 1 + 1

 6 
i_el ← trunc 
(
Ny_el ( i , j) :=
)
12
−10
if
 trunc  i + 1  = i + 1 




6 

 6 
12
−10
if
 trunc  i + 1  = i + 1 




6 

 6 
Knoten
if i = ( i_el − 1) ⋅ 6 + 4
1 , Top
i_el , 1
Knoten
if i = ( i_el − 1) ⋅ 6 + 4
2 , Top
i_el , 1
Knoten
otherwise
1 , Top
i_el , i−( i_el−1) ⋅ 6+ 1
Knoten
otherwise
2 , Top
i_el , i−( i_el−1) ⋅ 6+ 1
12
return −10
if [ ( Em ( i_el) = 0) + ( t ( i_el) = 0) ]
12
return −10
if [ ( Em ( i_el) = 0) + ( t ( i_el) = 0) ]
(
x el := matrix 6 ⋅ nel , 1 , Nx_el
(
)
if i_el ≠ nel + 1
12
−10
otherwise
xnm := KnotenT
 i + 1 + 1

 6 
i_el ← trunc 
(
if i_el ≠ nel + 1
)
〈 〉
)1
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
12
−10
otherwise
(
y el := matrix 6 ⋅ nel , 1 , Ny_el
(
ynm := KnotenT
)
〈 〉
)2
 x max x min   max ( xnm) min ( xnm) 

 :=
 y max y min   max ( ynm) min ( ynm) 
max_tot := max
((
x max
y max
x min
y min
))
x max := x max + fak_max ⋅ max_tot
y max := y max + fak_max ⋅ max_tot
x min := x min − fak_max ⋅ max_tot
y min := y min − fak_max ⋅ max_tot
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Seite 4
Dateiname:
TV_1_03_FEM_Scheibe.mcd
FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 120
ik := 1 , 2 .. nkn
Schleife über Knoten:
Schleife über Elemente:
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
ie := 1 , 2 .. 6 ⋅ nel
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
Punktkoordinaten:
T
xnm = ( 0 3.25 6.5 9.75 13 0 3.25 6.5 9.75 13 0 3.25 6.5 9.75 13 0 3.25 6.5 9.75 13 0 3.25 6.5 9.75 13 )
T
ynm = ( 0 0 0 0 0 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 5 5 5 5 5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 10 10 10 10 10 )
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Seite 5
Dateiname:
TV_1_03_FEM_Scheibe.mcd
FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 120
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Knotenlasten
w := −1000
Linienlast am oberen Rand:
Nlast ( i , j) :=
(nx + 1) ⋅ (ny) + i + 1
if j = 0
0 if j = 1
w ⋅ lx
2 ⋅ nx
w ⋅ lx
nx
 ( j = 2) ⋅ ( i = 0) + ( j = 2) ⋅ ( i = nx ) 
if
otherwise
(
Lasten := matrix nx + 1 , 3 , Nlast
LastenT:
- Knotennr
- Fx
- Fy


)




3
3
3
3
3
 −1.625 × 10 −3.25 × 10 −3.25 × 10 −3.25 × 10 −1.625 × 10 
T
Lasten = 
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
21
22
23
24
25
0
0
0
0
0
Seite 6
Dateiname:
TV_1_03_FEM_Scheibe.mcd
FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 120
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Elementsteifigkeitsmatrizen
Elementsteifigkeitsmatrix des QUAD4-Scheibenelements (Finites Rechteckelement)
b
k 11 ( a , b , µ ) := 4 ⋅
a
+ 2 ⋅ ( 1 − µ) ⋅
a
b
k 55 ( a , b , µ ) := k 11 ( a , b , µ )
a
k 22 ( a , b , µ ) := 4 ⋅
b
k 77 ( a , b , µ ) := k 11 ( a , b , µ )
+ 2 ⋅ ( 1 − µ) ⋅
b
a
k 66 ( a , b , µ ) := k 22 ( a , b , µ )
k 12 ( a , b , µ ) :=
3
2
k 47 ( a , b , µ ) := k 12 ( a , b , µ )
k 38 ( a , b , µ ) := k 12 ( a , b , µ )
b
a
+ ( 1 − µ) ⋅
k 44 ( a , b , µ ) := k 22 ( a , b , µ )
k 88 ( a , b , µ ) := k 22 ( a , b , µ )
⋅ ( 1 + µ)
k 13 ( a , b , µ ) := −4 ⋅
k 33 ( a , b , µ ) := k 11 ( a , b , µ )
k 56 ( a , b , µ ) := k 12 ( a , b , µ )
a
b
k 57 ( a , b , µ ) := k 13 ( a , b , µ )
3
k 14 ( a , b , µ ) := − ⋅ ( 1 − 3 ⋅ µ )
2
k 27 ( a , b , µ ) := k 14 ( a , b , µ )
k 58 ( a , b , µ ) := k 14 ( a , b , µ )
k 36 ( a , b , µ ) := k 14 ( a , b , µ )
k 15 ( a , b , µ ) := −2 ⋅
k 16 ( a , b , µ ) :=
−3
2
b
a
− ( 1 − µ) ⋅
( 1 + µ)
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
a
b
k 37 ( a , b , µ ) := k 15 ( a , b , µ )
k 25 ( a , b , µ ) := k 16 ( a , b , µ )
Seite 7
Dateiname:
TV_1_03_FEM_Scheibe.mcd
FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 120
k 78 ( a , b , µ ) := k 16 ( a , b , µ )
k 17 ( a , b , µ ) := 2 ⋅
k 18 ( a , b , µ ) :=
3
b
a
k 34 ( a , b , µ ) := k 16 ( a , b , µ )
− 2 ⋅ ( 1 − µ) ⋅
a
k 35 ( a , b , µ ) := k 17 ( a , b , µ )
b
⋅ ( 1 − 3 ⋅ µ)
k 23 ( a , b , µ ) := k 18 ( a , b , µ )
k 67 ( a , b , µ ) := k 18 ( a , b , µ )
k 45 ( a , b , µ ) := k 18 ( a , b , µ )
2
k 24 ( a , b , µ ) := 2 ⋅
a
b
k 26 ( a , b , µ ) := −2 ⋅
k 28 ( a , b , µ ) := −4 ⋅
− 2 ⋅ ( 1 − µ) ⋅
a
b
a
b
− ( 1 − µ) ⋅
+ ( 1 − µ) ⋅
b
k 68 ( a , b , µ ) := k 24 ( a , b , µ )
a
b
k 48 ( a , b , µ ) := k 26 ( a , b , µ )
a
b
k 46 ( a , b , µ ) := k 28 ( a , b , µ )
a
k 66 ( a , b , µ ) := k 22 ( a , b , µ )
Kquad ( a , b , t , E , µ ) :=
NNull ( i , j) := 0
(
)
matrix 8 , 8 , NNull
if [ ( t = 0) + ( E = 0) ]
 k 11 ( a , b , µ )
 k 12 ( a , b , µ )

 k 13 ( a , b , µ )
 k ( a , b , µ)
E ⋅t
 14
⋅
2  k 15 ( a , b , µ )
12 ⋅ 1 − µ

 k 16 ( a , b , µ )

 k 17 ( a , b , µ )
 k 18 ( a , b , µ )

(
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
)



k 38 ( a , b , µ ) 

k 48 ( a , b , µ )
 otherwise
k 58 ( a , b , µ ) 

k 68 ( a , b , µ ) 

k 78 ( a , b , µ )

k 88 ( a , b , µ ) 
k 12 ( a , b , µ ) k 13 ( a , b , µ ) k 14 ( a , b , µ ) k 15 ( a , b , µ ) k 16 ( a , b , µ ) k 17 ( a , b , µ ) k 18 ( a , b , µ )
k 22 ( a , b , µ ) k 23 ( a , b , µ ) k 24 ( a , b , µ ) k 25 ( a , b , µ ) k 26 ( a , b , µ ) k 27 ( a , b , µ ) k 28 ( a , b , µ )
k 23 ( a , b , µ ) k 33 ( a , b , µ ) k 34 ( a , b , µ ) k 35 ( a , b , µ ) k 36 ( a , b , µ ) k 37 ( a , b , µ )
k 24 ( a , b , µ ) k 34 ( a , b , µ ) k 44 ( a , b , µ ) k 45 ( a , b , µ ) k 46 ( a , b , µ ) k 47 ( a , b , µ )
k 25 ( a , b , µ ) k 35 ( a , b , µ ) k 45 ( a , b , µ ) k 55 ( a , b , µ ) k 56 ( a , b , µ ) k 57 ( a , b , µ )
k 26 ( a , b , µ ) k 36 ( a , b , µ ) k 46 ( a , b , µ ) k 56 ( a , b , µ ) k 66 ( a , b , µ ) k 67 ( a , b , µ )
k 27 ( a , b , µ ) k 37 ( a , b , µ ) k 47 ( a , b , µ ) k 57 ( a , b , µ ) k 67 ( a , b , µ ) k 77 ( a , b , µ )
k 28 ( a , b , µ ) k 38 ( a , b , µ ) k 48 ( a , b , µ ) k 58 ( a , b , µ ) k 68 ( a , b , µ ) k 78 ( a , b , µ )
Seite 8
Dateiname:
TV_1_03_FEM_Scheibe.mcd
FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 120
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
a ( iel) := Knoten
− Knoten
1 , Top
1 , Top
iel , 3
iel , 1
b ( iel) := Knoten
− Knoten
2 , Top
2 , Top
iel , 3
iel , 1
Kel ( iel) := Kquad ( a ( iel) , b ( iel) , t ( iel) , Em ( iel) , mue ( iel) )
Systemsteifigkeitsmatrix und -lastvektor
Addition der Elementsteifigkeitsmatrizen zur Systemsteifigkeitsmatrix
Ksys :=
(
)
K ← matrix nfk ⋅ nkn , nfk ⋅ nkn , NNull
for iee ∈ 1 .. nel
for izei ∈ 1 .. 4
frz ← Top
⋅ nfk − 1
iee , izei
for ispa ∈ 1 .. 4
frs ← Top
⋅ nfk − 1
iee , ispa
K
K
K
K
frz , frs
←K
frz + 1 , frs
frz , frs + 1
frz , frs
←K
←K
frz + 1 , frs + 1
+ Kel ( iee) izei ⋅ 2−1 , ispa ⋅ 2−1
frz + 1 , frs
+ Kel ( iee) izei ⋅ 2 , ispa ⋅ 2−1
frz , frs + 1
+ Kel ( iee) izei ⋅ 2−1 , ispa ⋅ 2
←K
frz + 1 , frs + 1
+ Kel ( iee) izei ⋅ 2 , ispa ⋅ 2
K
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Seite 9
Dateiname:
TV_1_03_FEM_Scheibe.mcd
FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 120
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Freiheitsgrade auf der Diagonalen, die = 0 sind werden mit Feder 10^20 besetzt
Ksys_1 :=
(
nzk ← zeilen Ksys
(
)
(
)
zeilen Ksys = 50
)
K ← matrix nzk , nzk , NNull
for izk ∈ 1 .. nzk
K
izk , izk
20
← 10
if Ksys
=0
izk , izk
K
Addition der Lasten zum Systemlastvektor
Lastsys :=
(
)
L ← matrix nfk ⋅ nkn , 1 , NNull
for ila ∈ 1 .. zeilen ( Lasten)
frg ← Lasten
⋅2 − 1
ila , 1
L ← L + Lasten
frg
frg
ila , 2
L
←L
+ Lasten
frg+ 1
frg+ 1
ila , 3
L
Loesche_Zeile ( Vek , zei) :=
nz ← zeilen ( Vek )
ns ← spalten ( Vek )
Vneu ← submatrix ( Vek , 2 , nz , 1 , ns ) if zei = 1
if ( zei > 1) ⋅ ( zei < nz )
F1 ← submatrix [ Vek , 1 , ( zei − 1) , 1 , ns ]
F2 ← submatrix [ Vek , ( zei + 1) , nz , 1 , ns ]
Vneu ← stapeln ( F1 , F2)
Vneu ← submatrix ( Vek , 1 , nz − 1 , 1 , ns ) if zei = nz
Vneu
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Seite 10
Dateiname:
TV_1_03_FEM_Scheibe.mcd
FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 120
Loesche_Spalte( Vek , spa) :=
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
nz ← zeilen ( Vek )
ns ← spalten ( Vek )
Vneu ← submatrix ( Vek , 1 , nz , 2 , ns ) if spa = 1
if ( spa > 1) ⋅ ( spa < ns )
F1 ← submatrix [ Vek , 1 , nz , 1 , ( spa − 1) ]
F2 ← submatrix [ Vek , 1 , nz , ( spa + 1) , ns ]
Vneu ← erweitern ( F1 , F2)
Vneu ← submatrix [ Vek , 1 , nz , 1 , ( ns − 1) ] if spa = ns
Vneu
Einfüge_Zeile ( Vek , zei) :=
nz ← zeilen ( Vek )
ns ← spalten ( Vek )
(
)
FZ ← matrix 1 , ns , NNull
Vneu ← stapeln ( FZ , Vek ) if zei = 1
if ( zei > 1) ⋅ ( zei < nz + 1)
F1 ← submatrix ( Vek , 1 , zei − 1 , 1 , ns )
F2 ← submatrix [ Vek , ( zei) , nz , 1 , ns ]
FU ← stapeln ( F1 , FZ)
Vneu ← stapeln ( FU , F2)
Vneu ← stapeln ( Vek , FZ) if zei = nz + 1
Vneu
Berücksichtigung der Lagerbedingungen
1 1 1 

5 0 1 
Fest = 
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Seite 11
Dateiname:
TV_1_03_FEM_Scheibe.mcd
FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 120
Ksys_f :=
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
nz ← zeilen ( Fest)
Ksys ← Ksys
for ife ∈ 1 .. nz
ifes ← nz − ife + 1
(
(
frg_x ← wenn Fest
)
⋅ 2 − 1 , 0
, Fest
ifes , 2
ifes , 1


frg_y ← wenn Fest
, Fest
⋅ 2 , 0
ifes , 3
ifes , 1


(
)
Ksys ← Loesche_Zeile ( Ksys , frg_x )
Ksys ← Loesche_Zeile Ksys , frg_y
)
if frg_y ≠ 0
if frg_x ≠ 0
for ife ∈ 1 .. nz
ifes ← nz − ife + 1
( ifes , 1⋅2 − 1) , 0
frg_y ← wenn Fest
⋅2 , 0
, Fest
ifes , 3 (
ifes , 1 ) 

frg_x ← wenn Fest

ifes , 2
, Fest
(
)
Ksys ← Loesche_Spalte( Ksys , frg_x )
Ksys ← Loesche_Spalte Ksys , frg_y
if frg_y ≠ 0
if frg_x ≠ 0
Ksys
(
)
(
zeilen Ksys = 50
Lastsys_f :=
(
)
zeilen Ksys_f = 47
)
spalten Ksys = 50
(
)
spalten Ksys_f = 47
nz ← zeilen ( Fest)
Lastsys ← Lastsys
for ife ∈ 1 .. nz
ifes ← nz − ife + 1
frg_x ← wenn Fest
(
(
)
, Fest
⋅ 2 − 1 , 0
ifes , 2
ifes , 1


frg_y ← wenn Fest
, Fest
⋅ 2 , 0
ifes , 3
ifes , 1


)
(
)
Lastsys ← Loesche_Zeile ( Lastsys , frg_x )
Lastsys ← Loesche_Zeile Lastsys , frg_y
if frg_y ≠ 0
if frg_x ≠ 0
Lastsys
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Seite 12
Dateiname:
TV_1_03_FEM_Scheibe.mcd
FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 120
(
)
zeilen Lastsys = 50
(
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
)
zeilen Lastsys_f = 47
usys_f := Ksys_f
Lösung des Gleichungssystems
−1
⋅ Lastsys_f
Addition der festgehaltenen Freiheitsgrade:
usys :=
nz ← zeilen ( Fest)
usys_f ← usys_f
for ife ∈ 1 .. nz
ifes ← ife
frg_x ← wenn Fest
(
(
)
, Fest
⋅ 2 − 1 , 0
ifes , 2
ifes , 1


frg_y ← wenn Fest
, Fest
⋅ 2 , 0
ifes , 3
ifes , 1


(
)
usys_f ← Einfüge_Zeile ( usys_f , frg_y )
usys_f ← Einfüge_Zeile usys_f , frg_x
)
if frg_x ≠ 0
if frg_y ≠ 0
usys_f
Verschiebungen:
Maximale Verschibungskomponente:
−3
max usys = 1.475 × 10
Verschiebung eines Knotens:
Knoten_Nummer := 2
(
)
Verschiebung in x-Richtung:
−4
usys
= 2.695 × 10
Knoten_Nummer ⋅ 2−1
Verschiebung in y-Richtung:
−3
= −1.571 × 10
usys
Knoten_Nummer ⋅ 2
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Seite 13
Dateiname:
TV_1_03_FEM_Scheibe.mcd
FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 120
→
 δumax   max  u 

 :=
→
 δvmax   max  v 
 uik   usys ik ⋅ 2−1 
:=
 vik   usys


 
ik ⋅ 2 
δr :=
ik
scale :=
δ max := max δr
((
max x max y max
))
δ max
⋅ deformedsize
 unm   xnm + uik ⋅ scale 
ik  
ik


:=
 vnm   ynm + vik ⋅ scale 
ik  
ik


((
umin := min ( ( umin
umax := max umax x max
max_tot := max
Nux_el ( i , j) :=
((
x min




( )
(uik)2 + (vik)2
))
umax
deformedsize := 0.1
scale = 653.118
 umax umin   max ( unm) min ( unm) 

 :=
 vmax vmin   max ( vnm) min ( vnm) 
((
vmin := min ( ( vmin
vmax := max vmax y max
))
vmax
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
umin
vmin
y min
))
))
))
 i + 1 + 1

 6 
i_el ← trunc 
(
)
if i_el ≠ nel + 1
12
−10
if
 trunc  i + 1  = i + 1 




6 

 6 
unmTop
i_el , 1
unmTop
if i = ( i_el − 1) ⋅ 6 + 4
i_el , i−( i_el−1) ⋅ 6+ 1
otherwise
12
return −10
if [ ( Em ( i_el) = 0) + ( t ( i_el) = 0) ]
12
−10
otherwise
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Seite 14
Dateiname:
TV_1_03_FEM_Scheibe.mcd
FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 120
Nuy_el ( i , j) :=
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
 i + 1
+1
 6 
i_el ← trunc 
(
)
if i_el ≠ nel + 1
12
−10
if
 trunc  i + 1  = i + 1 




6 

 6 
vnmTop
i_el , 1
vnmTop
if i = ( i_el − 1) ⋅ 6 + 4
i_el , i−( i_el−1) ⋅ 6+ 1
otherwise
12
return −10
if [ ( Em ( i_el) = 0) + ( t ( i_el) = 0) ]
12
−10
otherwise
umax := umax + fak_max ⋅ max_tot
umin := umin − fak_max ⋅ max_tot
vmax := vmax + fak_max ⋅ max_tot
vmin := vmin − fak_max ⋅ max_tot
(
)
xfel := matrix 6 ⋅ nel , 1 , Nux_el
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
(
)
yfel := matrix 6 ⋅ nel , 1 , Nuy_el
Seite 15
Dateiname:
TV_1_03_FEM_Scheibe.mcd
FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 120
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Verformte Geometrie
10
8
6
4
2
0
0
5
10
Elementspannungen
Element:
Reihe := 1
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
Element_in_Reihe := 2
Seite 16
Dateiname:
TV_1_03_FEM_Scheibe.mcd
FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 120
el := nx ⋅ ( Reihe − 1) + Element_in_Reihe
(
)
(
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
nknel := 4
)
ii := nknel + 2 ⋅ ( el − 1) + 1 .. nknel + 2 ⋅ ( el − 1) + 6
i+1

 2
ind ← trunc 
Nuel ( i , j) :=
(
)
usys
if
 Topel , ind ⋅ 2−1
(
)
usys
Top
⋅2
el , ind
(
 trunc  i  = i 

 


 2 2
otherwise
)
uel := matrix 8 , 1 , Nuel
Elementnummer:
el = 2
10
5
0
0
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
5
10
Seite 17
Dateiname:
TV_1_03_FEM_Scheibe.mcd
FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 120
Knotenverschiebungen
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Knotenkräfte
Fel := Kel ( el) ⋅ uel
−7 

 2.695 × 10


−6 
 −1.571 × 10 

−7 
 7.377 × 10


−6 
 −1.756 × 10  103
uel =

−7 
 7.377 × 10


−6 
 −1.766 × 10 

−7 
 7.208 × 10


−6 
 −1.483 × 10 
 −2.423 × 103 
 −758.077 


 1.978 × 103 


− 12 

Fel = 1.252 × 10


 821.481 
 342.599 


 −376.102 
 415.479 


Spannungen und Dehnungen
2⋅y − b
0
−2 ⋅ y + b
0
2⋅y + b
0
−2 ⋅ y − b
0


B ( a , b , x , y ) :=
⋅
0
2⋅x − a
0
−2 ⋅ x − a
0
2⋅x + a
0
−2 ⋅ x + a 
2⋅a⋅b 

2
⋅
x
−
a
2
⋅
y
−
b
−
2
⋅
x
−
a
−
2
⋅
y
+
b
2
⋅
x
+
a
2
⋅
y
+
b
−
2
⋅
x
+
a
−2 ⋅ y − b 

1
a_el := a ( el)
b_el := b ( el)
0
1 µ

E_s  µ 1
0
D ( E_s , µ ) :=
⋅
2 
1−µ
1−µ
0 0
2

ε ( x , y ) := B ( a_el , b_el , x , y ) ⋅ uel
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
a_el = 3.25






b_el = 2.5
 3 × 107

0
0




7
D ( Em ( el) , mue ( el) ) =
0
3 × 10
 0


7
0
1.5 × 10 
 0
σ ( x , y ) := D ( Em ( el) , mue ( el) ) ⋅ ε ( x , y )
Seite 18
Dateiname:
TV_1_03_FEM_Scheibe.mcd
FEM-Berechnung einer rechteckförmigen Scheibe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 120
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Spannungen und Dehnungen in Elementmitte und in den Eckpunkten
x m := 0
Elementmitte:
y m := 0
−5 

 7.464 × 10 


ε ( x m , y m) = 1.555 × 10− 5



−5 
 1.827 × 10 
Ecke links unten:
x 1 := −0.5⋅ a_el
 1.441 × 10− 4 




ε ( x 1 , y 1) = 3.528 × 10− 5



−4 
 1.237 × 10 
Ecke rechts unten:
x 2 := 0.5⋅ a_el
−4 

 1.441 × 10



−
6
ε ( x 2 , y 2) = −4.18 × 10



−5 
 −5.683 × 10 
Ecke rechts oben:
x 3 := 0.5⋅ a_el






−
6
ε ( x 3 , y 3) = −4.18 × 10



−5 
 −8.718 × 10 
−6
5.2 × 10
Ecke links oben:
x 4 := −0.5⋅ a_el
 5.2 × 10− 6 




ε ( x 4 , y 4) = 3.528 × 10− 5



−5 
 9.337 × 10 
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
 2.239 × 103 


σ ( x m , y m) =  466.509 


 274.079 
y 1 := −0.5⋅ b_el
 4.323 × 103 




3
σ ( x 1 , y 1) = 1.058 × 10



3
 1.856 × 10 
y 2 := −0.5⋅ b_el
 4.323 × 103 


σ ( x 2 , y 2) =  −125.405 


 −852.39 
y 3 := 0.5⋅ b_el
 156.006 


σ ( x 3 , y 3) =  −125.405 

3
 −1.308 × 10 
y 4 := 0.5⋅ b_el
 156.006 
3

σ ( x 4 , y 4) = 1.058 × 10


 1.401 × 103 


Seite 19
Dateiname:
TV_1_03_FEM_Scheibe.mcd