Übertragungsmatrizenverfahren
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Seite: 116
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Übertragungsmatrizenverfahren
ORIGIN := 1
Matrizen und Operationen
ABSCHNITT

1



A ( l , EI) := 0


0
0

l
1
0
0

2 ⋅ EI
6 ⋅ EI 

2 
l
l
−
−

EI
2 ⋅ EI

1
l


0
1 
−
l
2
l
−
3
 ( 4 ⋅ q + q ) ⋅ l4 
l
r


120 ⋅ EI


 ( 3 ⋅ q + q ) ⋅ l3 
l
r


24 ⋅ EI


Lq ( ql , qr , l , EI) :=


2
 −( 2 ⋅ ql + qr) ⋅ l 


6


 −( ql + qr) ⋅ l 


2


0 
 
0 
Lnull :=
0 
 
0 
PUNKT
 1 0 0
 0 1 0

P ( k w , k φ) :=
 0 −k φ 1

 kw 0 0
0


0

1
0
 0 


 0 
PF ( F , M) :=
 −M 


 −F 
ÜBERTRAGUNG
(
)
Lr ( ÜB_MATRIX , LA_VEKTOR , Ll) := ÜB_MATRIX⋅ Ll + LA_VEKTOR
Zr ÜB_MATRIX , Zl := ÜB_MATRIX⋅ Zl
ANFANGSVEKTOREN
1

0
Zfrei :=
0

0
0

1
Zgelenk :=
0

0
0

1
0

0
0

0
Zeinspann :=
1

0
0

0
0

1
0

0
0

1
LÖSUNG
UNBEK_LI Zende , Z , L := submatrix erweitern Z , −Zende
(
)
)− 1 ⋅ ( −L) , 1 , 2 , 1 , 1
(
UNBEK_RE Zende , Z , L := submatrix erweitern Z , −Zende
(
)
(
)− 1 ⋅ ( −L) , 3 , 4 , 1 , 1
________________________________________________________________
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Beispiel
F1
F1
F2
F2
q2
q1
1
2
3
a
a
a := 1
4
a
5
6
a
E := 1
7
a
a
8
a
I := 1
k w := 3
9
10
a
11
a
a
q1 := 4
F1 := 20
q2 := 8
F2 := 50
12
a
Übertragungsmatrizen:
Abschnitt mit Länge a:
(
Aa := A ( a , I)
1

0
Aa =
0

0
)
(
La1 := Lq q1 , q1 , a , E ⋅ I
 0.167 


 0.667 
La1 =
 −2 


 −4 
1 −0.5 −0.167 
1
−1
−0.5
0
1
1
0
0
1





)
La2 := Lq q2 , q2 , a , E ⋅ I
 0.333 


 1.333 
La2 =
 −4 


 −8 
Punkt mit Feder und Punkte mit Einzellasten:
(
)
(
)
(
)
Fed := P k w , 0
LF1 := PF F1 , 0
LF2 := PF F2 , 0
1

0
Fed =
0

3
 0 


 0 
LF1 =
 0 


 −20 
 0 


 0 
LF2 =
 0 


 −50 
0 0 0

1 0 0
0 1 0

0 0 1
Erste Übertragung mit Unbekannten im Zustandsvektor
Anfangsvektor
Z1 := Zfrei
1

0
Z1 =
0

0
0

1
0

0
Übertragung
Z2 := Aa ⋅ Z1
L2 := La1
Z3 := Aa ⋅ Z2
L3 := Aa ⋅ L2 + La1
___________________________________
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Z3re := Fed ⋅ Z3
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L3re := Fed ⋅ L3 + LF1
___________________________________
Z4 := Aa ⋅ Z3re
L4 := Aa ⋅ L3re + La1
Z5 := Aa ⋅ Z4
L5 := Aa ⋅ L4 + La1
Z5re := Z5
L5re := L5 + LF1
Z6 := Aa ⋅ Z5re
L6 := Aa ⋅ L5re + La1
Z7 := Aa ⋅ Z6
L7 := Aa ⋅ L6 + La1
Z7re := Z7
L7re := L7 + LF2
Z8 := Aa ⋅ Z7re
L8 := Aa ⋅ L7re + La1
___________________________________
Z8re := Fed ⋅ Z8
L8re := Fed ⋅ L8 + LF2
___________________________________
Z9 := Aa ⋅ Z8re
L9 := Aa ⋅ L8re + La2
Z10 := Aa ⋅ Z9
L10 := Aa ⋅ L9 + La2
Z11 := Aa ⋅ Z10
L11 := Aa ⋅ L10 + La2
Z12 := Aa ⋅ Z11
L12 := Aa ⋅ L11 + La2
Rechter Rand
(
)
X := UNBEK_LI Zeinspann , Z12 , L12
(
 −86.985 

 51.295 
X= 
)
−5
eps := 10
 −7.525 

 −9.4 
UNBEK_RE Zeinspann , Z12 , L12 = 
Zweite Übertragung mit bekanntem Zustandsvektor
Anfangsvektor
Z1 := Zfrei ⋅ X
Übertragung
Z2 := Aa ⋅ Z1 + La1
Z3 := Aa ⋅ Z2 + La1
 −86.985 


51.295 

Z1 =
 0 


 0 
 −35.523 


 51.962 
Z2 =
 −2 


 −4 
___________________________________
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Übertragungsmatrizenverfahren
Z3re := Fed ⋅ Z3 + LF1
___________________________________
 18.272 


 56.628 
Z3 =
 −8 


 −8 
Z4 := Aa ⋅ Z3re + La1
 74.598 


 51.887 
Z4 =
 16.815 


 22.815 
Z5 := Aa ⋅ Z4 + La1
 114.442 


 24.331 
Z5 =
 37.631 


 18.815 
Z5re := Z5 + LF1
 18.272 


 56.628 
Z3re =
 −8 


 26.815 
 114.442 


 24.331 
Z5re =
 37.631 


 −1.185 
Z6 := Aa ⋅ Z5re + La1
 120.321 


 −12.041 
Z6 =
 34.446 


 −5.185 
Z7 := Aa ⋅ Z6 + La1
 92.089 


−43.227 

Z7 =
 27.261 


 −9.185 
 92.089 


−43.227 

Z7re =
 27.261 


 −59.185 
 45.261 


 −40.23 
Z8 =
 −33.923 


 −63.185 
 45.261 


 −40.23 
Z8re =
 −33.923 


 22.6 
Z7re := Z7 + LF2
Z8 := Aa ⋅ Z7re + La1
___________________________________
Z8re := Fed ⋅ Z8 + LF2
___________________________________
Z9 := Aa ⋅ Z8re + La2
 18.56 


−16.273 

Z9 =
 −15.324 


 14.6 
Z10 := Aa ⋅ Z9 + La2
 7.849 


 −6.916 
Z10 =
 −4.724 


 6.6 
Z11 := Aa ⋅ Z10 + La2
 2.53 


 −4.16 
Z11 =
 −2.12 


 −1.4 
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 −6.459 × 10− 11 



− 11 
Z12 =  −5.295 × 10



−7.525


−9.4


Z12 := Aa ⋅ Z11 + La2
Grafische Darstellung der Ergebnisse
100
0
−w
2
4
6
8
10
12
8
10
12
100
200
x
50
−M
0
2
4
6
50
x
50
0
2
4
6
8
10
12
Q
50
100
x
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