Lösung der DGL der
Rechteckplatte mit trapezförmiger
Teilflächenlast
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil IV, Kap. 10
Seite: 105
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Differentialgleichungen
Lösung der DGL der Rechteckplatte mit trapezförmiger Teilflächenlast
y
Systemkennwerte
lx := 6.5
Abmessungen
ly
ly := 3.5
ly
α = 0.538
ya
lx
p(y)
yb
α :=
Plattenstärke
t := 0.2
Elastizitätsmodul
7
E := 3 ⋅ 10
Querdehnzahl
µ := 0.2
x
xa
xb
lx
Lagerung: Platte allseitig gelenkig gelagert
Last
y a := 1
pa := 2
y b := 2.5
pb := 10
x a := 1
x b := 3
Plattensteifigkeit:
E ⋅t
K :=
(
3
12 ⋅ 1 − µ
)
2
4
K = 2.083 × 10
np := 32
Diskretisierung
i := 0 .. np
(
h :=
lx
h = 0.203
np
j := 0 .. np
)
LA x , y , x a , x b , y a , y b , pa , pb :=
pb − pa


pa +
⋅ ( y − y a)  if


yb − ya
(y ≥ ya) ∧ (y ≤ yb) ∧ (x ≥ xa) ∧ (x ≤ xb)
0 otherwise
ly
 lx

p := LA 
⋅i ,
⋅ j , x a , x b , y a , y b , pa , pb 
i, j
 np np

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Last:
p
Gitter:
3
2
j⋅
ly
np
1
0
1
2
3
4
5
6
1
i⋅
lx
np
Koeffizienten
A
i, j
:= 1
B
i, j
:= 1
C :=
i, j
1
α
2
D :=
i, j
1
α
2
E
i, j

1


α

:= −2 ⋅  1 +
2
S := p
Randbedingungen
U := 0
i, j
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r := 1 −
Spektralradius ( 0 < r < 1 ):
(
2⋅π
r = 0.804
np
)
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2
M := relax A , B , C , D , E , −S ⋅ h , U , r


W := relax  A , B , C , D , E ,
−M
K

2
⋅h , U , r

Schnittgrößen
Mom ( w , hx , hy , NN , K , art ) :=
for i ∈ 1 .. ( NN − 1)
j ∈ 1 .. ( NN − 1)
for

 Mi , j ←







M
M
M
M
M
M
M
M
0, 0
i, 0
0, j
 wi−1 , j − 2 ⋅ wi , j +


2
hx

 wi , j−1 − 2 ⋅ wi , j +


2
hy

w
i+ 1 , j
+ µ⋅
w
− 2⋅w + w
i , j−1
i, j
i , j+ 1 


w
w
− 2⋅w + w
i , j+ 1
i−1 , j
i, j
i+ 1 , j 
+ µ⋅
if

2
hx


 1−µ ⋅ w
+w
− w
+w


i+ 1 , j−1
i−1 , j−1
i+ 1 , j+ 1  
 4 ⋅ hx ⋅ hy  i−1 , j+ 1
hy
(
) (
2
)





art = "my"



if art = "mxy" 

if art = "mx"
←0
NN , j
←0
←0
i , NN
←0
←0
NN , NN
NN , 0
0 , NN
←0
←0
←0
M ← M ⋅ ( −K)
−3
max ( W ) = 0.12 10
min ( W ) = 0
, np , K , "mx" 


max ( M_X) = 1.734
min ( M_X) = −0.095


max ( M_Y ) = 2.573
min ( M_Y ) = 0
max ( M_XY ) = 1.11
min ( M_XY ) = −1.228
Durcbiegungen w:
Biegemomente mx


M_X := Mom  W ,
lx
,
ly
np np
Biegemomente my


M_Y := Mom  W ,
lx
,
ly
np np
, np , K , "my" 
Drillmomente mxy


M_XY := Mom  W ,
lx
,
ly
np np


, np , K , "mxy" 
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Durchbiegung
W
Biegemeoment mx
M_X
Biegemoment my
M_Y
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Drillmomente
M_XY
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