Differentialgleichungen
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil IV, Kap. 10.1.4
Seite: 100
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Differentialgleichungen
Lösung der DGL des elastisch gebetteten Balkens
Systembeschreibung
Balken
l := 8
Länge
b := 1.
Höhe
h := 0.3
3
b⋅h
Elastizitätsmodul
7
E := 3 ⋅ 10
I :=
Bettungsmodul
C := 30000
k := b ⋅ C
Elastische Länge
L :=
4
Last
Breite
E ⋅I
12
L = 1.225
k
−3
I = 2.25 × 10
l
L
= 6.532
Eine Trapezlast q wirkt von x=xa bis x=xb
q ( x ) :=
qa +
x a := 0.5
x b := 6.5
qa := 50
qb := 150
qb − qa
xb − xa
(
)
⋅ x − xa
if
(x ≤ xb) ⋅ (x ≥ xa)
0 otherwise
Lösung der DGL
DGL




DGL ( x , w) := 

 q ( x)

 E ⋅I



w
2


w
3


k
−
⋅w 
0
E ⋅I

w
1
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Randbedingungen an der Stelle x_li=0 (linker Rand)
1 

1 
v := 
w(0)=v1
v 
 0
v 
load ( x_li , v) :=  1 
0 
 
0 
w(0)=v1
w´(0)=v2
w´(0)=v2
w´´(0)=0
w´´´(0)=0
Randbedingungen an der Stelle x_re=0 (rechter Rand)
score ( x_re , w) :=
w − 0 
 2

w − 0 
 3

w´´(l)=0
w´´´(l)=0
Umformung in ein Anfangswertproblem
S=
S := sgrw ( v , 0 , l , DGL , load , score)
S 
 0
S 
ANFBED :=  1 
 0 
 
 0 
 6.265 × 10− 4 



−3 
 1.04 × 10

 6.265 × 10− 4 



−3 
ANFBED =  1.04 × 10



0


0


Lösung des Anfangswertproblems
−8
ACC := 10
ANZ_PUNKTE := 500
SAVE_x :=
l
500
LOES := rkadapt ( ANFBED , 0 , l , ACC , DGL , ANZ_PUNKTE , SAVE_x )
Ergebnisse
xx := 0 ,
l
ANZ_PUNKTE
〈 0〉
x := LOES
.. l
〈 1〉
w := LOES
xi := 0 , 1 .. ANZ_PUNKTE
〈 3〉
M := ( −E ⋅ I) ⋅ LOES
〈 4〉
Q := −( E ⋅ I) ⋅ LOES
σ := C ⋅ w
null := 0
xi
Schnittgrößen und Durchbiegungen mit der DGL der Biegelinie
Streckenlast [kN/m]
200
q ( xx )
100
0
2
4
6
8
xx
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Durchbiegung [m]
−5
min ( w) = 5.624 × 10
−3
max ( w) = 3.774 × 10
w
null
0.002
0.004
0
2
4
6
8
x
Biegemoment [kNm]
max ( M) = 50.608
M
min ( M) = 0
null
50
100
0
2
4
6
8
6
8
x
Querkraft [kN]
50
min ( Q) = −53.811
0
Q
max ( Q) = 16.217
2
4
50
100
x
Bodenpressung [kN/m^2]
min ( σ) = 1.687
max ( σ) = 113.232
σ
50
null
100
150
0
2
4
6
8
x
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Werte
0
0
0
0
0
0
0
0.0006
0
0.000
0
0
1
0.045
1
0.0007
1
0.020
1
0.885
2
0.111
2
0.0007
2
0.122
2
2.271
3
0.204
3
0.0008
3
0.434
3
4.475
4
0.309
4
0.0009
4
1.048
4
7.287
5
0.422
5
0.0011
5
2.061
5
10.699
6
0.0011
6
2.295
6
11.383
6
0.443
x= 7
0.46
8
0.478
8
0.0011
8
2.717
8
12.55
9
0.495
9
0.0011
9
2.928
9
13.109
w = 7 0.0011
M = 7 2.494
Q = 7 11.943
10 0.552
10 0.0012
10 3.665
10 12.505
11 0.661
11 0.0013
11 4.951
11 10.955
12 0.778
12 0.0014
12 6.142
12
9.493
13 0.903
13 0.0016
13 7.240
13
8.136
14 1.035
14 0.0017
14 8.235
14
6.923
15 1.173
15 0.0018
15 9.114
15
5.903
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