Extremwertaufgabe
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil IV, Kap. 8
Seite: 88
Zuletzt aktualisiert: 24.09.2002
Bearbeiter: Silke Michaelsen
Beispiel: Berechnung der Stellen mit maximaler Durchbiegung der Biegelinie
eines Zweifeldträgers (vgl. [4-6])
Die Biegelinie des zweifach statisch unbestimmt gelagerten Trägers der Länge l = 2a
ist gegeben durch die Gleichungen
(
)
 x  2  x

1
1
 ⋅  − 1 
120 ⋅ E ⋅ I  a   a

0 ≤ x1 ≤ a
)
4
2
 x 2   x 2 
 x2 
 x 2  
 ⋅   − 4 ⋅   + 2 ⋅   + 1
120 ⋅ E ⋅ I  a   a 
 a 
 a  
0 ≤ x2 ≤ a
w1 x 1 , a , E , I , q1 :=
(
w2 x 2 , a , E , I , q1 :=
4
q1 ⋅ a
4
q1 ⋅ a
⋅ 
⋅
Zunächst wird versucht, die Stellen mit maximaler Durchbiegung symbolisch zu berechnen. Dazu werden
die ersten beiden Ableitungen der Funktionen w1 und w2 benötigt.
d
dx 1
d
dx 2
(
)
w1 x 1 , a , E , I , q1 vereinfachen →
(
)
w2 x 2 , a , E , I , q1 vereinfachen →
2
d
−1
120
1
⋅ q1 ⋅ a ⋅ x 1 ⋅
⋅
q1
120 a
⋅
(−3 ⋅ x1 + 2 ⋅ a)
E ⋅I
 5 ⋅ x 4 − 12 ⋅ x 2 ⋅ a2 + 4 ⋅ x ⋅ a3 + a4 
2
2
 2

E ⋅I
(
)
−3 ⋅ x 1 + a
−1
⋅ q1 ⋅ a ⋅
w x , a , E , I , q1 vereinfachen →
2 1 1
60
E ⋅I
dx 1
(
)
3
2
3

1 q1  5 ⋅ x 2 − 6 ⋅ x 2 ⋅ a + a 
⋅
⋅
w2 x 2 , a , E , I , q1 vereinfachen →
2
30 a
E ⋅I
dx 2
2
d
(
)
Notwendige Bedingung für ein Extremum:
Vorgabe
d
dx 1
(
)
w1 x 1 , a , E , I , q1 = 0
( )
suchen x 1 →
 0 2 ⋅a 


 3 
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Während die Nullstellen der ersten Ableitung von w1 symbolisch ermittelt werden, kann Mathcad die Nullstellen der
ersten Ableitung von w2 nur numerisch berechnen. Da w2 ein Polynom ist, bietet sich die Funktion nullstellen() an, die
keine Startwerte benötigt. Mithilfe des Schlüsselwortes koeff wird ein Vektor erzeugt, der die Koeffizienten des
Polynoms enthält. Für den Parameter a muss jedoch ein Wert angegeben werden:
(
)
2 2
3
4
4
w2_hilf x 2 , a := 5 ⋅ x 2 − 12 ⋅ x 2 ⋅ a + 4 ⋅ x 2 ⋅ a + a
 a4 



3 
 4⋅a 
v( a) := w2_hilf ( x 2 , a) koeff , x 2 → 
2
 −12 ⋅ a 
 0 


 5 
a := 1m
a

m
v_lös 
v_lös ( a) := nullstellen ( v( a) )
 −1.68 


−0.17 

=
 0.55 


 1.29 
 a  = 0.55 relevant.
2
m
Wegen 0 ≤ x 2 ≤ a ist nur v_lös 
Hinreichende Bedingung für ein Extremum:
(
)
w1_2 x 1 , a , E , I , q1 :=
(
)
w1_2 0 , a , E , I , q1 →
2
d
(
)
w x , a , E , I , q1
2 1 1
dx 1
−1
60
⋅ q1 ⋅
m
2
(Maximum)
E ⋅I
2
 2 ⋅a , a , E , I , q  → 1 ⋅q ⋅ m
1
1
E ⋅I
3
 60
w1_2 
(
)
w2_2 x 2 , a , E , I , q1 :=
2
d
(
(Minimum)
)
w x , a , E , I , q1
2 2 2
dx 2
2
m
-2
w2_2 0.555m , a , E , I , q1 vereinfachen → −4.9174354166666666667 ⋅ 10 ⋅ q1 ⋅
E ⋅I
(
)
(Maximum)
Die Berechnung der Extrema gestaltet sich weniger aufwendig, wenn die Numerikfunktionen minimieren() und maximieren()
verwendet werden. Die Funktionen werden analog zu der Funktion suchen() innerhalb eines Lösungsblockes aufgerufen, der durch
das Wort Vorgabe eingeleitet wird. Für x1 bzw. x2 sind Schätzwerte vorzugeben.
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( )
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2
 x1   x1

 ⋅ − 1
a
a
  

w1_spez x 1 := 
x 1 :=
a
2
Vorgabe
x1 ≥ 0
x1 ≤ a
(
)
maximieren w1_spez , x 1 = 0.00 m
( )
4
2

 x 2   x 2 
 x2 
 x2  
 ⋅   − 4 ⋅   + 2 ⋅   + 1
 a   a 
 a 
 a  
w2_spez x 2 := 
x 2 :=
a
2
Vorgabe
x2 ≥ 0
x2 ≤ a
(
)
maximieren w2_spez , x 2 = 0.55 m
Da die Durchbiegung in den Randpunkten gleich Null ist, ist nur das Maximum im Inneren des Intervalls [0 , 2a] von
Interesse. Die maximale Durchbiegung wird also an der Stelle x2_max
4
m
-3
w2 0.555m , a , E , I , q1 → 4.4991047278906250000 ⋅ 10 ⋅ q1 ⋅
E ⋅I
(
x 2_max := v_lös ( a) m
2
)
im Intervall (a , 2a) erreicht .
Für
KN := 1000N
5
E := 2.1⋅ 10
N
mm
I := 1940cm
2
4
q1 := 100000KN
ergibt sich:
x 1 := 0 , 0.0001m .. a
x 2 := a , a + 0.0001m .. 2a
Biegelinie
0.2
(
)
w2 ( x 2−a , a , E , I , q1)
w1 x 1 , a , E , I , q1
0
0.5
1
1.5
2
0.2
x1 , x2
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