Lösung von Gleichungen Lineare Gleichungssysteme
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil IV, Kap. 6
Seite: 79
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Lösung von Gleichungen - Lineare Gleichungssysteme
Beispiel: Fachwerk nach der Finite-Element-Methode
Systemkennwerte:
8
E := 2.1⋅ 10
A := 0.004
F2x := 10
F2y := −10
l := 3
Gleichungssystem:
Nach der Finite-Element-Methode erhält man folgendes symmetrisches
Gleichungssystem mit den Knotenverschiebungen als Unbekannten:
−0.35355 
0
−1
1.35355 −0.35355


0.35355 
0
0
 −0.35355 1.35355
E ⋅A 

0
1.35355 0.35355
0
K :=
⋅
−1

l 
0
0.35355 1.35355
0
0


 −0.35355 0.35355

1.35355 
0
0

 0 


 0 


f := F2x


 F2y 


 0 
−0.99 
3.79 −0.99 −2.8 0


0
0.99 
 −0.99 3.79 0

 105
0
3.79 0.99
0
K = −2.8


0 
0
0.99 3.79
 0
 −0.99 0.99 0

3.79 
0

 0 
 0 


f = 10


 −10 
 0 


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Lösung durch Matrizeninversion
u
 1 
 v1 
 
−1
 u2  := K ⋅ f
v 
 2
 u3 
 
 u1 
 v1 
 
 u2 
v 
 2
 u3 
 
0.862 


 0.179 

 −4
= 1.041 10


 −0.536 
 0.179 


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Lösung mit der Funktion llösen:
u := llösen ( K , f)
0.862 


 0.179 

 −4
u = 1.041 10


 −0.536 
 0.179 


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Lösung mit Cholesky-Verfahren:
Dreieckzerlegung:
Ls := cholesky ( K)
0
0
0
0
615.625


0
0
0
 −160.802 594.253



0
0
Ls = −454.822 −123.073 396.212


0
249.851 562.644
0
0


 −160.802 123.073 −146.36 64.994 558.878 


(
)
Vorwärtseinsetzen:
y := llösen Ls , f
Rückwärtseinsetzen:
T
u := llösen  Ls , y 
 0.862 
 0.179 

 −4
u = 1.041 10


 −0.536 
 0.179 


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