Introduction and Motivations
Etude d’un exemple de grandes déviations
Notations and assumptions
MAINS RESULTS
Principe des grandes déviations pour l’estimateur Bayésien
Processus de type Ornstein-Uhlenbeck: estimation
et grandes déviations
TANOH KOUACOU
Université Félix Houphouet Boigny
21 mars 2014
TANOH KOUACOU
Processus de type Ornstein-Uhlenbeck: estimation et grandes dév
Introduction and Motivations
Etude d’un exemple de grandes déviations
Notations and assumptions
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Principe des grandes déviations pour l’estimateur Bayésien
1
Introduction and Motivations
2
Etude d’un exemple de grandes déviations
3
Notations and assumptions
4
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5
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Processus de type Ornstein-Uhlenbeck dirigé par un
brownien fractionnaire
Bernard Bercu et al. (2008) ont établi les propriétés des grandes
déviations pour l’EMV et l’EB de θ dans le processus
dXt = θXt dt + dWtH ,
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θ ≤ 0,
0<H<1
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Généralisation
Biswal (2007) a établi un principe de grandes déviations pour
l’EMV et l’EB du paramètre θ de l’EDS
dXt = f (θ, t, Xt )dt + dWt ,
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t ≥ 0, X0 = 0
(1)
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Bernard Bercu et al. (2012) ont étudié le comportement
asymptotique de l’EMV θ̂T du parametre reel θ
dXt = θXt dt + dVt ,
dVt = ρVt dt + dWt
t ≥ 0, X0 = 0; V0 = 0.
θ < 0,
ρ≤0
Où W = {Wt , t ≥ 0} est un mouvement brownien standard.
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dXt = θXt dt + dVt ,
dVt = ρVt dt + dWt
t ≥ 0, X0 = 0; V0 = 0 ,
θ < 0,
ρ ≤ 0.
Bercu has prove that : limT →+∞ (θ̂T ) = θ + ρ a.s.
The above equation can be rewritten as :
dXt = (θ + ρ)Xt dt − θρΣt dt + dWt ,
(2)
Vt = Xt − θΣt ,
Z t
Σt =
Xs ds
(3)
(4)
0
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u = (θ + ρ; −θρ)0 and Yt the vector (Xt ; Σt )0 , we have :
dXt = u 0 Yt dt + dWt
(5)
which the general form is : dXt = f (u, t, Xt ))dt + dWt , X0 = 0,
where ϕ is a function from R to R2 which is known, W is a
standard Brownian motion. The space U = U1 × U2 where Ui is a
segment of R, the space of parameters u = (u1 , u2 )0 and f a
function known from U × [0, T ] × R2 to R
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Problemes de grandes deviations a etudier
We decide to study the large deviation of the the parameter θ for
the EMV and the EB for the following EDS :
dXt = f (θ, t, Xt )dt + dWt
(6)
dXt = θXt dt + dVt ,
(7)
dXt = θXt dt + dLt .
(8)
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Un exemple de grande deviation
Begin by studying an example. Let (Xi )i≥1 a sequence of
independent random variables
with normal distribution centered
1 Pn
¯
reduced. Note Xn = n i=1 Xi , the mean of Xi . The weak law of
large numbers ensure that : ∀a ≥ 0, limn→+∞ P(|X¯n |) ≥ a) = 0.
The theory of large deviations attempts to quantify the probability
√
of such event. X¯n follows the normal law N(0, n1 ) therefore nX¯n
follows N(0, 1).
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Conclusion de l’exemple
We conclude that when n tends to infinity,
P(|X¯n | ≥ a) ' exp(− 12 na2 ).
The probability that the process X¯n makes an unusual event such
as exceeding his mean is approximately exp(− 12 na2 ). With the
small probability of the order of exp(− 12 na2 ), |X¯n | deviates from its
typical behavior, hear his mean, by taking large values. This is the
origin of the word large deviations.
The theory of the large deviations is concerned with the study of
rare events and study their speed of convergence to zero in the
theorems of convergence in law.
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Definition de la fonction de taux
Donsker and Varadhan introduced in 1966 the statement of a
principle of large deviations.
Definition (rate function)
Let X be a polish space with its Borel tribe. A fonction I from X to
[0, +∞] is a function of rate if it is semi-continuous inferiorly , i.e.
for all l ≥ 0, the sets {x ∈ X : I (x) ≤ l} are closed in X. I is a
good rate function if the sets if the levels set are compacts.
The following theorem is proved by Donsker and Varadhan in 1976.
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Theorem
Let X be a separable Banach space. P a probability distribution on
X which admits finite exponential moments. And let (Xi )i≥0 be a
sequence of independents
random variables with distribution P and
1 Pn
¯
let be Xn = n i=0 Xi . Then for any Borel set E of X,
− inf{I (x), x ∈ E ◦ } ≤ lim inf log P(X¯n ∈ E ) ≤ lim sup log P(X¯n ∈
E ) ≤ − inf{I (x), x ∈ Ē }
When I is the transform of Cramér define by :
I (x) = supθ≥0 {θx − log{E (exp(θX ))} is the rate function.
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Definition generale des grandes definitions
Varhadan has given this definition of large deviations.
Definition
Let X be a polish space. We say that a family (P ε )ε>0 of measures
of probability satisfies a principle of large deviation with rate
function I and speed of decay aε tends to zero , if :
(i) For any closed set F of X,
limε→0 sup aε log(P ε (F )) ≤ − inf x∈F I (x)
(ii) For any open set of X,
limε→0 inf aε log(P ε (O)) ≥ − inf x∈O I (x)
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Hypotheses generales
The general form of the stochastic differential equation is :
dXt = f (u, t, Xt )dt + dWt , X0 = 0, where ϕ is a function from
R to R2 which is known, W is a standard Brownian motion. The
space U = U1 × U2 where Ui is a segment of R, the space of
parameters u = (u1 , u2 )0 and f a function known from
U × [0, T ] × R2 to R satisfying the Hölder continuity condition :
∀u ∈ U; s, t ∈ [0, T ]; (x, y ) ∈ R2 × R2 ,
α
γ
(9)
|f (u, t, x) − f (u, s, y )| ≤ C (kx − y k + |t − s| )
(10)
where k.k is the euclidian norm.
(11)
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(A1) Pu 6= Pv for u ∈ U and v ∈ U such as u 6= v .
(A2) {Xt } is the unique strong solution of stochastic differential
RT
equation (1) with PuT ( 0 f 2 (u, t, Xt )dt < ∞) = 1.
This condition ensures that PuT is absolutely continuous with
T for all u, where P T is the standard Wiener measure
respect PW
W
and likelihood function is given by :
dPuT
LT (u) =
= exp{
T
dPW
Z
0
T
1
f (u, t, Xt )dXt −
2
Z
T
f 2 (u, t, Xt )dt},
0
(12)
The maximum likelihood estimator UˆT of u on the basis of the
observations of X0T defined by UˆT = Arg maxu∈U LT (u).
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(A3)
(i) f (u, t, x) admits des continuous partial derivatives
with respect to u1 and to u2 .
Z T
(ii) Let : IT (u) =
[kGradientf (u, t, Xt )k]2 dt,
0
R T ∂f
2
JwT (w2 , z) = EwT 0 [ ∂u
(z, w2 , t, Xt )] dt et
1
R T ∂f
2
JwT (v1 , z) = EwT 0 [ ∂u
(v1 , z, t, Xt )] dt.
2
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(iii) The log-likelihood function has continuous partial
derivatives in a neighborhood Vu of u for any u in U.
Let nT = nT (u) = EuT (IT (u)) < ∞ and with nT
→ ∞ as T → ∞ and there exists a constant C0 such
T
that for any u, v, w belonging to U, Eu n(ITT(v(w) )) < C0
(iv)
T
IT (u) Pu
nT −→
1 as T → ∞.
(A4) Suppose there exists γ ≥ 2 et C > 0 such that
for any u ∈ U,
RT
−1/2
EuT {exp (− 31 0 [f (u + anT , t, Xt ) − f (u, t, Xt )]2 dt)} ≤
C exp(−C (kakγ ).
.
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Principe des grandes déviations pour l’estimateur Bayésien
Let p(u|X0T ) be the posterior density of u given X0T . By Bayes
theorem p(u|X0T ) is given by
p(u|X0T ) = R
LT (u)λ(u)
.
U LT (u)λ(u)du
Let l(., .) : U × U → R be a loss function as defined in Ibragimov
and Khasminski (1981) which satisfies the following conditions :
(B1) l(u, v ) = ψ(ku − v k), where k.k is the euclidian norm.
(B2) ψ(u) is defined and nonnegative on R, ψ(0) = 0 and ψ(u) is
continuous at u = 0 but is not identically equal to 0.
(B3) ψ is symmetric
(B4) {u : ψ(u) < c} are convex sets and bounded for all c > 0
sufficiently small
(B5) There exists numbers γ > 0, h0 ≥ 0 such that for h ≥ h0
sup{ψ(u) : |u| ≤ hγ } ≤ {ψ(u) : |u| ≥ h}.
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L’estimateur Bayesien
eT of u with respect to the loss function l(ϕ; u)
A Bayes estimator u
and prior density λ(u) is one which minimizes the posterior risk
and is given by
Z
e
l(φ, u)p(u|X0T )du.
UT := arg min
φ∈U
U
In particular, for the quadratic loss function l(u, v ) = ku − v k2 , the
eT becomes the posterior mean given by :
Bayes estimator U
R
ui p(u|X0T )du
1
2
i
e
UT = (e
αT , α
eT ), α
eT = UR
T
U p(u|X0 )
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Theorem
With
dXt = u 0 Xt dt + dWt ,
the
maximum
likelihood
is :
(13)
Z
LT (u) = exp(
T
(u 0 Xt )dXt −
0
1
2
Z
T
(u 0 Xt )2 dt)
0
(14)
The maximum likelihood estimator of u is :
Z T
Z T
0
−1
ˆ
Xt dXt
UT = (
Xt Xt dt)
0
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(15)
0
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Theorem
the maximum likelihood estimator of u is strongly consistent.
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Principe des grandes déviations pour l’estimateur Bayésien
Bernard Bercu, Frédéric Proia and Nicolas Savy established that :
lim
T →+∞
1
T
0
T
T
Xt dXt = −
0
1
2
a.s., (16)
PT
1
=−
a.s.,
T
2(θ + ρ)
ST
1
lim
=−
a.s.,
T →+∞ T
2(θ + ρ)
LT
1
=−
p.s.,
lim
T →+∞ T
2ρ
Z
1 T
1
Vt dVt = −
lim
a.s.,
T →+∞ T 0
2
Z T
Vt dVt = ρLT + MTV ,
Xt dXt = θST + ρPT + MTX
lim
T →+∞
Z
Z
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
0
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Lemma (Ibragimov and Khasminskii (1981, p.45))
Let Zε,u (y ) be the likelihood ratio function corresponding to the
points u + φ(ε)y and u where φ(ε) denotes a normalizing factor
such that |φ(ε)| → 0 as ε → 0. Thus Zε,u is defined on the set
u (t) possesses the following
Uε = (φ(ε))−1 (U − u). Let Zε,u
properties : given a compact set K ⊂ U there exist numbers
M1 > 0 and m1 ≥ 0 and functions gεK (y ) = gε (y ) correspond such
that :
(1) For some α > 0 and all u ∈ K ,
sup ka−bk
kak≤R
kbk≤R
−α
1
(ε) 2
Eu Zε,u
(b)
2
− Zε,u (a) ≤ M1 (1+R m1 )
1
2
(ε)
1
2
(y ) ≤ e−gε (y )
(2) For all u ∈ K and y ∈ Uε , Eu Zε,u
(3) gε is aTANOH
monotonically
increasing
∞ function
of y et grandes dév
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Processus
de type to
Ornstein-Uhlenbeck:
estimation
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Lemma
lim y N e−gε (y ) = 0
y →∞
ε→0
Let {e
uε } be a family of Bayes estimators with respect to the prior
density q, which is continuous and positive on K and possesses in
U a polynomial majorant and a loss function
wε (u, v ) := ψ (φ(ε))−1 (u − v ) where ψ satisfies (B1) − (B5).
Then for all N,
(ε) lim hN sup Pu (φ(ε))−1 (e
uε − u) > h = 0.
y →∞
ε→0
u∈K
If in addition, ψ(y ) = τ (|y |), then for all ε sufficiently small,
0 < ε < ε0 ,
(ε) sup Pu (φ(ε))−1 (e
uε − u) > h ≤ B0 e−b0 gε (h) .
u∈K
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Lemma
Under the assumptions (A1)-(A4), and posing : u = (u1 , u2 )0 , v =
(v1 , v2 )0 , w = (w1 , w2 )0 , δt = f (w , t, Yt ) − f (v , t, Yt ).
T 1/2
w
.
VT = dP
dP T
v
Z
EwT (
0
T
δt2 dt) ≤ 2(w1 −v1 )
Z
w1
v1
JwT (w2 , z)dz+2(w2 −v2 )
Z
w2
JwT (v1 , z)dz.
v2
(22)
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Démonstration.
RT
RT
VT = exp{ 12 0 δt dWt − 14 0 δt2 dt}.
Using Itô’s formula,
we have :R
R
T
1 T
VT = 1 + 2 0 Vt δt dWt − 18 0 Vt δt2 dt.
The stochastic process {Vt2 , Ft , PuT ; 0 ≤ t ≤ T } is a martingale
and by the Ft measurability of δt for any t belonging to the
interval [0, T ], we have :
EvT [VT2 δt2 |Ft ] = EvT [VT2 |Ft ]δt2
.
We have :
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Démonstration.
EvT
Z
T
Vt2 δt2 dt =
0
Z
T
EvT (Vt2 δt2 )dt
0
Z
T
EvT (EvT [VT2 |Ft ]δt2 )dt
=
0
Z
T
EvT (EvT [VT2 δt2 |Ft ])dt
=
0
Z
=
T
EvT (VT2 δt2 )dt
0
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Démonstration.
=
EvT
T
Z
VT2 δt2 dt
0
=
Z
=
Z
EvT VT2
Z
VT2
T
δt2 dt
0
T
δt2 dt
dPvT
0
T
Z Z
δt2 dt
=
0
= EwT
Z
T
δt2 dt
dPwT ,
by definition of Vt
0
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Démonstration.
=
EwT
T
Z
2
[f (w , t, Xt ) − f (v , t, Xt )] dt
<∞
0
=
=
EwT
EwT
T
Z
2
[f (w1 , w2 , t, Xt ) − f (v1 , v2 , t, Xt )] dt
Z
0
T
2EwT
w1
Z
{
0
≤
v1
Z
T
Z
w1
[
0
v1
∂f
(z, w2 , t, Xt )dz +
∂u1
Z
w2
v2
∂f
(z, w2 , t, Xt )dz]2 + [
∂u1
TANOH KOUACOU
∂f
(v1 , z, t, Xt )dz}2 dt.
∂u2
Z
w2
v2
∂f
(v1 , z, t, Xt )dz]2 dt.
∂u2
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Démonstration.
≤ 2(w1 −
v1 )EwT
T
Z
(
0
2(w2 − v2 )EwT
Z
T
v1
w2
Z
(
0
≤ 2(w1 −
v1 )EwT
Z
v2
w1
Z
w2
0
T
(
v2
T
(
Z
0
TANOH KOUACOU
∂f
(z, w2 , t, Yt ))2 dzdt+
∂u1
∂f
(v1 , z, t, Yt ))2 dzdt.
∂u2
Z
v1
2(w2 − v2 )EwT
w1
Z
∂f
(z, w2 , t, Yt ))2 dtdz+
∂u1
∂f
(v1 , z, t, Yt ))2 dtdz.
∂u2
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Démonstration.
Z
w1
Z
≤ 2(w1 − v1 )
v1
Z
w2
Z
T
EwT (
0
∂f
(z, w2 , t, Yt ))2 dtdz+
∂u1
T
∂f
(v1 , z, t, Yt ))2 dtdz.
∂u2
v2
0
Z w1
Z w2
T
≤ 2(w1 − v1 )
Jw (w2 , z)dz + 2(w2 − v2 )
JwT (v1 , z)dz < ∞.
2(w2 − v2 )
EwT (
v1
Z
T
Ew (
v2
T
δt2 dt) ≤ 2(w1 − v1 )
Z w2
2(w2 − v2 )
JwT (v1 , z)dz
0
Z
w1
JwT (w2 , z)dz+
v1
v2
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Definition de la fonction rapport de vraisemblance
dP T
ΨT (a) =
−1/2
u+anT
dPuT
(X0T ).
(23)
We have :
Z
ΨT (a) = exp[
0
T
1
gt (a)dWt −
2
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Z
T
gt2 (a)dt].
(24)
0
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Lemma
Under the assumptions (A1)-(A4),
i2 C
h
1/2
1/2
0
a) sup EuT ΨT (a) − ΨT (b) ≤
ka − bk2 ;
2
u∈U
h
i
1/2
b) sup EuT ΨT (a) ≤ C exp(−C kakγ );
(26)
h
i4
1/8
1/8
c) sup EuT ΨT (a) − ΨT (b) ≤ 2K ka − bk4 ;
(27)
(25)
u∈U
u∈U
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Démonstration.
u = (u1 , u2 )0 , v = (v1 , v2 )0 , w = (w1 , w2 )0 , a = (a1 , a2 )0 , b = (b1 , b2 )0 ,
−1/2
v = u + anT
−1/2
, w = u + bnT
TANOH KOUACOU
, δt = f (w , t, Yt ) − f (v , t, Yt ).
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Introduction and Motivations
Etude d’un exemple de grandes déviations
Notations and assumptions
MAINS RESULTS
Principe des grandes déviations pour l’estimateur Bayésien
Démonstration.

1/2
1/2
EuT [ΨT (a)ΨT (b)] = EuT 
dP T
−1/2
u+anT
dPuT
Z dPvT
dPuT
12 Z dPwT
dPvT
12
=
=
TANOH KOUACOU
 12 
 
dPwT
dPuT
12
dP T
−1/2
u+bnT
dPuT
 21

dPuT
dPvT = EvT (VT )
(28)
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Démonstration.
1/2
1/2
EuT (ΨT (a) − ΨT (b))2 ≤ 2 − EvT (VT )
Z T
Z T
1
1
≤ EvT
δt2 dt + EwT
δt2 dt
8
8
0
0
Z T
Z w1
JvT (v2 , z)dz
EvT (
δt2 dt) ≤ 2(w1 − v1 )
0
v
Z w1 2
+2(w2 − v2 )
JvT (w1 , z)dz
v2
Z w1
1
1/2
1/2
EuT (ΨT (a) − ΨT (b))2 ≤ (w1 − v1 )
[JwT (w2 , z) + JvT (v2 , z)]dz
4
v
Z 1w2
1
+ (w2 − v2 )
[JwT (v1 , z) + JvT (w1 , z)]dz
4
v2
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Démonstration.
1
1
≤ (w1 − v1 )2 sup JuT (u, z) + (w2 − v2 )2 sup JuT (u, z)
2
2
u,z
u,z
1
1
≤ [(w1 − v1 )2 + (w2 − v2 )2 ] sup JuT (u, z)
2
2
u,z
1
≤ kw − v k2 sup JuT (u, z)
2
u,z
1 ka − bk2
sup JuT (u, z)
2 nT
u,z
C0
1/2
1/2
ka − bk2 .
EuT (ΨT (a) − ΨT (b))2 ≤
2
≤
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Principe des grandes deviations pour l’estimateur Bayesien
Theorem
Suppose (A1)-(A6) and (B1)-(B5) hold. For ρ > 0, the Bayes
estimator θeT with respect to the prior λ(.) and a loss function
l(., .).
n√
o
eT − uk > ρ ≤ B exp(−bργ )
T kU
sup PT
u
u∈U
for some positive constant B and b dependent of ρ and T .
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Démonstration.
Using Lemma of Ibragimov), we obtain the lemma 3 (1) with
α = 2, Zε,u = ΨT , M1 = C20 and m1 = 0. Using Lemma 5 b), we
obtain the lemma 3 (2) with Zε,u = ΨT and gε (y ) = y γ . Using
Lemma 5 b), we obtain the lemma 3 (3) with gε (y ) = y γ .
Then with φ(ε) = √1T , and taking into all the above, we have the
required result.
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THANK YOU
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