Grandes Déviations en épidémiologie
Etienne Pardoux
en collaboration avec Peter Kratz
Aix Marseille Université
Ecole CIMPA, ABIDJAN, 22 Mars 2014
Etienne Pardoux: Grandes Déviations en épidémiologie
Aix Marseille Université
Plan
1
Motivation
Modèles déterministes compartimentaux
Comportement en temps long
Modèles stochastiques
2
Un modèle général
Modèles poissoniens
Loi des Grands Nombres
Théorème Central Limite
3
Approximation diffusion
4
Grandes déviations
Fonction de taux
Principe des Grandes Déviations
Sortie d’un domaine
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Plan
1
Motivation
Modèles déterministes compartimentaux
Comportement en temps long
Modèles stochastiques
2
Un modèle général
Modèles poissoniens
Loi des Grands Nombres
Théorème Central Limite
3
Approximation diffusion
4
Grandes déviations
Fonction de taux
Principe des Grandes Déviations
Sortie d’un domaine
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Un modèle avec vaccination
Modèle SIV de Kribs–Zaleta et Velasco–Hernandez
S =# de susceptibles, I = # d’infectieux,
V = # de vaccinés, N = S + I + V taille totale de la population
µN (taux de naissance)
µS
(taux de mort)
S
β SI /N
(taux d’infection)
cI
(taux de guérison)
I
µI -
S
7
o θV
S
S
S(perte de vaccination) σβ VI /N (σ ∈ [0, 1])
φ S SS
S
(infection des vaccinés)
(taux de vaccination)
S
S
SS
w
µVS
V
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Représentation sous forme d’EDO
SI
− (µ + φ)S + cI + θV
N
(S + σ V )I
l0 = β
− (µ + c )I
N
VI
− (µ + θ)V
V 0 = φS − σβ
N
S 0 = µN − β
(1)
L’équation (1) a une solution unique qui satisfait
0 ≤ S, I , V ≤ S + I + V = N
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EDO pour les quantité renormalisées
Posons
s (t ) =
S (t )
I (t )
V (t )
, i (t ) =
, v (t ) =
.
N
N
N
Les quantités s(t ), i (t ) et v (t ) sont les proportions de
susceptibles, infectieux et vaccinés dans la population totale.
Grâce à l’identité s = 1 − i − v , on peut se ramener à une
EDO en dimension 2 pour le couple (i , v )
Cette EDO s’écrit
i 0 = β((σ − 1)v − i )i + (β − µ − c )i
v 0 = φ − φi − σβ vi − (µ + θ + φ)v .
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EDO et équilibres
On veut comprendre le comportement en temps long du
modèle
Est-ce que la maladie s’éteint ou devient endémique ?
Trouver les équilibres de l’EDO (1)
R0 = “nombre de reproduction de base”
= “# moyen d’individus qu’un infectieux infecte, au début de
l’épidémie”
un équilibre sans malade (I = 0) de (1) existe
Si R0 < 1 ⇒ cet équilibre est asymptotiquement stable
R̃0 = nombre de reproduction de base sans vaccination
R̃0 > 1 ⇒ l’équilibre sans malade est instable
R0 < 1 < R̃0 (vrai avec des choix ad hoc des paramètres)
⇒ il y a deux équilibres endémiques (I > 0)
L’un est asymptotiquement stable, l’autre est instable
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Equilibres de l’EDO
v = V /N = proportion de vaccinés
1
0.86
d équilibre sans malade
d équilibre endémique instable
0.59
d équilibre endémique stable
0.46
0
0.18
0.31
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1
i = I /N proportion d’infectieux
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Le modèle SIS
Dans ce modèle :
1
2
Chaque infectieux infecte un susceptible donné au taux β/N.
Chaque infectieux guérit au taux µ, et redevient
instantanément susceptible.
On a donc deux compartiments S et I. On suppose que la
taille totale de la population est constante, égale à N. On peut
ramener le modèle à une seule EDO, qui s’écrit
en fonction de I
I 0 = (β − µ)I − β
I2
.
N
en fonction de i = I /N
i 0 = (β − µ)i − β i 2 .
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Equilibres du modèle SIS
R0 = le nombre moyen qu’un infectieux infecte au début de
l’épidémie = β/µ
Si R0 ≤ 1, i.e. β ≤ µ, i 0 ≤ 0, 0 est l’unique équilibre, qui est
stable. C’est l’équilibre sans malade.
Si R0 > 1, i.e. β > µ, alors 0 est toujours un équilibre, mais
qui est instable. Il y a un équilibre stable, l’équilibre
endémique, avec comme fraction d’infectés à l’équilibre
i ∗ = 1 − µ/β .
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Modèles stochastiques
Comment déduire le modèle stochastique du modèle
déterministe ?
Les taux deviennent ceux de processus de Poisson
Un individu de type S devient de type I à l’instant de saur du
processus de Poisson correspondant.
Les taux sont constants entre deux sauts sucessifs
S (t )I (t )
Exemple. Le taux d’infection (à l’instant t) = β N
Questions
Quelle est la différence entre la solution de l’EDO et celle de
l’EDS poissonienne quand N est grand ?
La solution de l’EDS peut-elle passer du bassin d’attraction
d’un équilibre stable de l’EDF à un autre (avec N grand) ?
Combien de temps faut–il attendre pour que cela se produise ?
Suivant la taille N de la population est–ce possible/probable ?
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Plan
1
Motivation
Modèles déterministes compartimentaux
Comportement en temps long
Modèles stochastiques
2
Un modèle général
Modèles poissoniens
Loi des Grands Nombres
Théorème Central Limite
3
Approximation diffusion
4
Grandes déviations
Fonction de taux
Principe des Grandes Déviations
Sortie d’un domaine
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Modèles poissonniens
k
Z t
1 X
N βj (Z N (s))ds
Z (t ) := x +
hj Pj
N
0
N
(2)
j =1
t
t
1 X
=x+
b(Z (s))ds +
hj Mj
N βj (Z N (s))ds
N
0
0
j
d = nombre of compartiments (susceptibles, infectieux, ...)
N = “taille” de la population. k = nombre de types de sauts.
ZiN (t ) = proportion d’individus dans le compartiment i à
l’instant t
A = ensemble (compact) des valeurs prises par le processus
Pj (j = 1, . . . , k) : processus de Poisson standard
mutuellement indépendants
Mj (t ) = Pj (t ) − t : processus de Poisson compensés
hj ∈ Zd : valeurs des sauts βj : A → R+ : intensités des
P
sauts. b(x ) = j hj βj (x )
Z
N
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Z
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Le modèle stochastique SIS
Dans ce cas d = 1, k = 2, A = [0, 1], h1 = 1, h2 = −1,
β1 (z ) = β z (1 − z ), β2 (z ) = µz.
L’EDS poissonnienne s’écrit
N
Z
t
[(β − µ)ZsN − β(ZsN )2 ]ds
0
Z t
1
N
N
+ M1 N β
Zs (1 − Zs )ds
N
0
Z t
1
N
− M2 N µ
Zs ds .
Z (t ) =x +
N
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0
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Loi des Grands Nombres
Modèle déterministe
Z
φ(t ) := x +
t
b(φ(s))ds = x +
0
Z tX
k
hj βj (φ(s))ds
(3)
0 j =1
Théorème (Kurtz)
Soit x ∈ A, T > 0, βj : Rd → R+ bornées et Lipschitz. Il existe des
constantes C1 (), C2 > 0 (C1 () = Θ(1/) quand → 0, C2
indépendente de ) telles que pour N ∈ N, > 0
N 2
P sup |Z N (t ) − φ(t )| ≥ ≤ C1 () exp(−C2
).
t ∈[0,T ]
log N
En particulier, Z N → φ p.s., uniformément pour t ∈ [0, T ].
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Théorème Central Limite
Posons U N (t ) :=
√
N [Z N (t ) − φ(t )].
Alors U N (t ) ⇒ U (t ), où U (t ) est un processus
d’Ornstein–Uhlenbeck, solution de l’EDS
0
dU (t ) = b (φ(t ))U (t )dt +
k
q
X
hj
βj (φ(t ))dWj (t ).
j =1
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Plan
1
Motivation
Modèles déterministes compartimentaux
Comportement en temps long
Modèles stochastiques
2
Un modèle général
Modèles poissoniens
Loi des Grands Nombres
Théorème Central Limite
3
Approximation diffusion
4
Grandes déviations
Fonction de taux
Principe des Grandes Déviations
Sortie d’un domaine
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Approximation diffusion
Z
Y N (t ) = x +
t
b(Y N (s))ds+
0
Z t
1 X
N βj (Y N (s))ds ,
hj Wj
N
0
j
Wj (j = 1, . . . , k ) : mouvements brownien standard
mutuellement indépendants.
Théorème (Kurtz)
Il existe une VA X = X (N , T ) dont la loi ne dépend pas de N et qui
vérifie E[exp(λX )] < ∞ pour certains λ > 0 t.q.
sup |Z N (t ) − Y N (t )| ≤ X
0≤t ≤T
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log N
.
N
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Une formulation alternative
L’EDS de la page précédente se réécrit
Z tq
Z t
1 X
N
Y (t ) = x +
b(Y (s))ds+ √
hj
βj (Y N (s))dWj (s)
N
0
N
j
0
On voit ici une EDS avec “petit bruit”, donc on est dans le
cadre de la théorie de Wentzell–Freidlin.
Attention : Le résultat de convergence de Kurtz ne dit rien du
comportement en temps long. Il a été montré que les
fonctionnelles de Grandes Déviations du systèmes
poissonnien et de l’approximation diffusion peuvent être très
différentes !
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Plan
1
Motivation
Modèles déterministes compartimentaux
Comportement en temps long
Modèles stochastiques
2
Un modèle général
Modèles poissoniens
Loi des Grands Nombres
Théorème Central Limite
3
Approximation diffusion
4
Grandes déviations
Fonction de taux
Principe des Grandes Déviations
Sortie d’un domaine
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Evénements rares
D’après la LGN, Z N → φ p.s., uniformément pour t ∈ [0, T ]
Mais : Une (grande) déviation de Z N par rapport à la solution
φ de l’EDO est néanmoins possible (même avec N grand !)
Fixons T > 0 ; D ([0, T ]; A) := {φ : [0, T ] → A|φ càdlàg} ;
On veut quantifier
P[Z N ∈ G],
P[Z N ∈ F ]
pour G ⊂ D ([0, T ]; A) ouvert, F ⊂ D ([0, T ]; A) fermé (N
grand), avec typiquement φ 6∈ G, φ 6∈ F .
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Transformée de Legendre–Fenchel
Transformée de Legendre–Fenchel
A la position x ∈ A et à la direction de mouvement y ∈ Rd , on
associe
L(x , y ) := sup `(θ, x , y )
θ∈Rd
avec
`(θ, x , y ) = hθ, y i −
X
βj (x )(ehθ,hj i −1)
j
P
L(x , y ) ≥ L x , j βj (x )hj = 0
L(x , y ) < ∞ ssi
P
∃µ ∈ Rk+ t.q. y = j µj hj et µj > 0 ⇒ βj (x ) > 0
L(x , y ) peut être considérée comme une “mesure locale” de
l’énergie requise pour un mouvement au départ de x dans la
direction y.
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Fonction de taux
Fonction de taux. Soit x ∈ A.
(R T
Ix ,T (φ̃) :=
0
L(φ̃(t ), φ̃0 (t ))dt
∞
si φ̃(0) = x and φ̃ est abs. cont.
sinon
Ix ,T (φ) = 0 ssi φ est solution de (3) sur [0, T ]
Ix ,T (φ̃) s’interprète comme l’énergie nécessaire pour que le
système suive φ̃ plutôt que φ
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Principe des grandes déviations
Sous des hypothèses à préciser (qui sont vérifiées dans le
cas du modèle SIV avec immigration)
Théorème
Si G ⊂ D ([0, T ]; A) est ouvert et x ∈ A,
lim inf
N →∞
1
log P[Z N ∈ G] ≥ − inf Ix ,T (φ̃).
N
φ̃∈G
Si F ⊂ D ([0, T ]; A) est fermé et x ∈ A,
lim sup
N →∞
1
log P[Z N ∈ F ] ≤ − inf Ix ,T (φ̃).
N
φ̃∈F
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Remarques bibliographiques
La théorie des grandes déviations a été bien développée pour
les EDS dirigées par un Brownien. Voir en particulier la théorie
des “petites perturbations des systèmes dynamiques” de
Wentzell et Freidlin 1984. Voir aussi Dembo et Zeitouni 2009.
La littérature sur les Grandes Déviations pour les processus
de Poisson et les EDS dirigées par des processus de Poisson
est moins fournie. Signalons cependant Dupuis et Ellis 1997,
Feng et Kurtz 2006, Shwartz et Weiss 1995.
Une difficulté pour nous : certains taux s’annulent quand le
processus atteint le bord, donc le logarithme correspondant
devient infini ! Motivés par les modèles informatiques, Shwartz
et Weiss ont traité en 2005 le cas où certains taux peuvent
s’annuler sur certaines frontières. Mais leurs hypothèses ne
sont pas satisfaites dans nos modèles, et nous avons dû
généraliser encore un peu (Kratz et Pardoux en préparation).
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Sortie d’un domaine
G = domaine d’attraction d’un équilibre x ∗ ; x ∈ G.
Quand Z N sort–il de G (et entre dans le domaine d’attraction
d’un autre équilibre) ?
Par quel point du bord Z N sort–il de G (et en suivant quelle
trajectoire) ?
L’énergie minimale nécessaire pour aller de y à z dans
l’intervalle de temps [0, T ] est
V (y , z , T ) :=
inf
φ: φ(0)=y ,φ(T )=z
Iy ,T (φ)
L’énergie minimale nécessaire pour aller de y à z est
V (y , z ) := inf V (y , z , T )
T >0
L’énergie minimale pour aller de x ∗ à la frontière est
V̄ := inf V (x ∗ , z )
z ∈∂ G
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Temps de sortie
Sous des hypothèses adéquates :
Corollaire
x ∈ G, δ > 0.
lim P[eN (V̄ +δ) > τ N ] = 1,
N →∞
lim P[eN (V̄ −δ) < τ N ] = 1.
N →∞
Autrement dit, τ N ' eN V̄ .
C’est une conséquence du principe des Grandes Déviations.
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Lieu de sortie
Sous des hypothèses adéquates :
Théorème (travail en cours avec Brice Samegni)
x ∈ G, F ⊂ ∂ G fermé, infz ∈F V (x ∗ , z ) > V̄ .
lim P[Z N (τ N ) ∈ F ] = 0.
N →∞
En particulier, s’il existe z ∗ ∈ ∂ G tel que pour tout z 6= z ∗
V (x ∗ , z ∗ ) < V (x ∗ , z ), alors pour tout δ > 0,
lim P[|Z N (τ N ) − z ∗ | < δ] = 1.
N →∞
Problème : ∂ G est la “frontière caractéristique” de G, i.e., pour
x ∈ G, limt →∞ φ(t ) 6= x ∗ .
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Application au modèle SIS
Dans ce cas G = (0, 1]. Il y a un unique point d’équilibre
stable de l’EDO dans (0, 1] si R0 > 1, qui est l’équilibre
endémique.
Nos résultats permettent de répondre à une question ouverte
en épidémiologie, à savoir le temps d’extinction d’une
situation endémique.
On a une formule analytique pour la transformée de
Legendre–Fenchel L(x , y ).
Supposons par exemple que β = 1.5 et µ = 1. Alors
R0 = 1.5, et par une méthode numérique on peut calculer V̄ .
on trouve V̄ ' 0.0702.
On en déduit que pour N suffisamment grand,
τ N ' exp(0.0702N ).
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Application au modèle SIV
Dans ce cas, nous n’avons pas encore obtenu les résultats.
Le problème de contrôle pour le calcul de V̄ est plus
compliqué, notamment parce que L(x , y ) n’est plus connue
explicitement. Il faut l’évaluer numériquement de façon
approchée.
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Une prochaine Ecole CIMPA
Il y aura du 5 au 16 décembre 2015 une Ecole CIMPA
à Ziguinchor, Sénégal
sur le thème
Probabilistic Models in Epidemiology
Organisateurs : Alassane Diedhiou, Etienne Pardoux
Principaux orateurs : Frank Ball (Nottingam), Tom Britton
(Stockholm), Catherine Larédo (Jouy en Josas), Etienne
Pardoux (Marseille), Vier Chi Tran (Lille).
page web
http ://www.cmi.univ-mrs.fr/ pardoux/Cimpa2015.html
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Une référence importante
Cette Ecole CIMPA en 2015 traitera de nombreux aspects des
modèles probabilistes en épidémiologie, notamment ceux qui
étudient la propagation des épidémies sur les graphes de
relations sociales, mais aussi les méthodes statistiques
adaptées à l’épidémiologie.
Pour une introduction au monde très riche des modèles
mathématiques (déterministes et stochastiques) en
épidémiologie, je recommande le livre récent
Diekmann O., Heesterbeek, H., Britton, T. : Mathematical
tools for understanding infectious disease dynamics,
Princeton University Press, 2013.
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MERCI POUR VOTRE ATTENTION !
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