Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Estimation des processus localement stationnaires
par la distance minimale de Hellinger
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
1
Ecole Nationale de la Statistique et de l’Analyse Economique (ENSAE), Sénégal
2
Université Gaston Berger (UGB), Saint-Louis, Sénégal
3
Institut National Polytechnique Félix Houphouët-Boigny (INPHB),
Yamoussoukro, Côte d’Ivoire
CIMPA, Abidjan 2014
Abidjan, 27 Mars 2014
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Plan
1
Introduction
2
Processus localement stationnaires
3
Estimation de la densité spectrale
4
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la
stationnarité locale
Définition de l’estimateur
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
5
Simulations
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Introduction
1
La stationnarité constitue l’hypothèse de base : Identification,
Estimation et Prévision.
2
Comportement non stationnaire des processus, Stărică et
Granger (2005).
3
Hypothèse : X1,T , ..., XT ,T T observations issues d’un processus
locallement stationnaire (Xt ,T ) avec une densité spectrale f
variant au cours du temps et appartenant à une famille
paramétrique de densités spectrales F = {fθ : θ ∈ Θ ⊂ Rp }.
4
L’objectif est d’estimer le paramètre d’intérêt θ.
5
Estimation de θpar Hosoya (1974) et Taniguchi
(1979) en
Rπ
minimisant −π logfθ (λ) + IT (λ)/fθ (λ) d λ.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Introduction
1
La stationnarité constitue l’hypothèse de base : Identification,
Estimation et Prévision.
2
Comportement non stationnaire des processus, Stărică et
Granger (2005).
3
Hypothèse : X1,T , ..., XT ,T T observations issues d’un processus
locallement stationnaire (Xt ,T ) avec une densité spectrale f
variant au cours du temps et appartenant à une famille
paramétrique de densités spectrales F = {fθ : θ ∈ Θ ⊂ Rp }.
4
L’objectif est d’estimer le paramètre d’intérêt θ.
5
Estimation de θpar Hosoya (1974) et Taniguchi
(1979) en
Rπ
minimisant −π logfθ (λ) + IT (λ)/fθ (λ) d λ.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Introduction
1
La stationnarité constitue l’hypothèse de base : Identification,
Estimation et Prévision.
2
Comportement non stationnaire des processus, Stărică et
Granger (2005).
3
Hypothèse : X1,T , ..., XT ,T T observations issues d’un processus
locallement stationnaire (Xt ,T ) avec une densité spectrale f
variant au cours du temps et appartenant à une famille
paramétrique de densités spectrales F = {fθ : θ ∈ Θ ⊂ Rp }.
4
L’objectif est d’estimer le paramètre d’intérêt θ.
5
Estimation de θpar Hosoya (1974) et Taniguchi
(1979) en
Rπ
minimisant −π logfθ (λ) + IT (λ)/fθ (λ) d λ.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Introduction
1
La stationnarité constitue l’hypothèse de base : Identification,
Estimation et Prévision.
2
Comportement non stationnaire des processus, Stărică et
Granger (2005).
3
Hypothèse : X1,T , ..., XT ,T T observations issues d’un processus
locallement stationnaire (Xt ,T ) avec une densité spectrale f
variant au cours du temps et appartenant à une famille
paramétrique de densités spectrales F = {fθ : θ ∈ Θ ⊂ Rp }.
4
L’objectif est d’estimer le paramètre d’intérêt θ.
5
Estimation de θpar Hosoya (1974) et Taniguchi
(1979) en
Rπ
minimisant −π logfθ (λ) + IT (λ)/fθ (λ) d λ.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Introduction
1
La stationnarité constitue l’hypothèse de base : Identification,
Estimation et Prévision.
2
Comportement non stationnaire des processus, Stărică et
Granger (2005).
3
Hypothèse : X1,T , ..., XT ,T T observations issues d’un processus
locallement stationnaire (Xt ,T ) avec une densité spectrale f
variant au cours du temps et appartenant à une famille
paramétrique de densités spectrales F = {fθ : θ ∈ Θ ⊂ Rp }.
4
L’objectif est d’estimer le paramètre d’intérêt θ.
5
Estimation de θpar Hosoya (1974) et Taniguchi
(1979) en
Rπ
minimisant −π logfθ (λ) + IT (λ)/fθ (λ) d λ.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Introduction
1
Estimation de θ par Dahlhaus (1997) en minimisant
Z π
1 1 M
logfθ (uj , λ) + IT (uj , λ)/fθ (uj , λ) d λ.
4π M j =1 −π
∑
2
3
4
5
Le problème d’estimation du paramètre
- cas temporel basé sur les distributions de probabilité.
- cas spectral avec des processus non stationnaires, un cas
rarement étudié, bien qu’il soit très important pour plusieurs
applications (économie, finance,...).
Les premiers résultats théoriques sont dûs, d’une part à
Dahlhaus (1997) et d’autre part à Ludeña (2000).
L’objectif de ce travail est de proposer un estimateur robuste et
applicable pour les processus locallement stationnaires.
Méthode d’estimation par le Minimum de Distance de Hellinger
(MDH)
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Introduction
1
Estimation de θ par Dahlhaus (1997) en minimisant
Z π
1 1 M
logfθ (uj , λ) + IT (uj , λ)/fθ (uj , λ) d λ.
4π M j =1 −π
∑
2
3
4
5
Le problème d’estimation du paramètre
- cas temporel basé sur les distributions de probabilité.
- cas spectral avec des processus non stationnaires, un cas
rarement étudié, bien qu’il soit très important pour plusieurs
applications (économie, finance,...).
Les premiers résultats théoriques sont dûs, d’une part à
Dahlhaus (1997) et d’autre part à Ludeña (2000).
L’objectif de ce travail est de proposer un estimateur robuste et
applicable pour les processus locallement stationnaires.
Méthode d’estimation par le Minimum de Distance de Hellinger
(MDH)
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Introduction
1
Estimation de θ par Dahlhaus (1997) en minimisant
Z π
1 1 M
logfθ (uj , λ) + IT (uj , λ)/fθ (uj , λ) d λ.
4π M j =1 −π
∑
2
3
4
5
Le problème d’estimation du paramètre
- cas temporel basé sur les distributions de probabilité.
- cas spectral avec des processus non stationnaires, un cas
rarement étudié, bien qu’il soit très important pour plusieurs
applications (économie, finance,...).
Les premiers résultats théoriques sont dûs, d’une part à
Dahlhaus (1997) et d’autre part à Ludeña (2000).
L’objectif de ce travail est de proposer un estimateur robuste et
applicable pour les processus locallement stationnaires.
Méthode d’estimation par le Minimum de Distance de Hellinger
(MDH)
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Introduction
1
Estimation de θ par Dahlhaus (1997) en minimisant
Z π
1 1 M
logfθ (uj , λ) + IT (uj , λ)/fθ (uj , λ) d λ.
4π M j =1 −π
∑
2
3
4
5
Le problème d’estimation du paramètre
- cas temporel basé sur les distributions de probabilité.
- cas spectral avec des processus non stationnaires, un cas
rarement étudié, bien qu’il soit très important pour plusieurs
applications (économie, finance,...).
Les premiers résultats théoriques sont dûs, d’une part à
Dahlhaus (1997) et d’autre part à Ludeña (2000).
L’objectif de ce travail est de proposer un estimateur robuste et
applicable pour les processus locallement stationnaires.
Méthode d’estimation par le Minimum de Distance de Hellinger
(MDH)
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Introduction
1
Estimation de θ par Dahlhaus (1997) en minimisant
Z π
1 1 M
logfθ (uj , λ) + IT (uj , λ)/fθ (uj , λ) d λ.
4π M j =1 −π
∑
2
3
4
5
Le problème d’estimation du paramètre
- cas temporel basé sur les distributions de probabilité.
- cas spectral avec des processus non stationnaires, un cas
rarement étudié, bien qu’il soit très important pour plusieurs
applications (économie, finance,...).
Les premiers résultats théoriques sont dûs, d’une part à
Dahlhaus (1997) et d’autre part à Ludeña (2000).
L’objectif de ce travail est de proposer un estimateur robuste et
applicable pour les processus locallement stationnaires.
Méthode d’estimation par le Minimum de Distance de Hellinger
(MDH)
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Introduction
1
Estimation de θ par Dahlhaus (1997) en minimisant
Z π
1 1 M
logfθ (uj , λ) + IT (uj , λ)/fθ (uj , λ) d λ.
4π M j =1 −π
∑
2
3
4
5
Le problème d’estimation du paramètre
- cas temporel basé sur les distributions de probabilité.
- cas spectral avec des processus non stationnaires, un cas
rarement étudié, bien qu’il soit très important pour plusieurs
applications (économie, finance,...).
Les premiers résultats théoriques sont dûs, d’une part à
Dahlhaus (1997) et d’autre part à Ludeña (2000).
L’objectif de ce travail est de proposer un estimateur robuste et
applicable pour les processus locallement stationnaires.
Méthode d’estimation par le Minimum de Distance de Hellinger
(MDH)
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Introduction
Nous présentons ici des données non stationnaires : le SP 500. Dans
plusieurs applications, cette série est d’abord stationnarisée avant
d’être étudiée. Dans notre étude, pour ne pas perdre certaines
informations nous proposons d’estimer localement cette série.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Introduction : L’estimateur du minimum de distance de
Hellinger
L’EMDH, que nous notons ici θ̂DH
T , est la valeur du paramètre θ
qui minimise la distance de Hellinger entre un estimateur non
paramétrique f̂T et fθ une densité spectrale appartenant à la
famille paramétrique spectrale F .
θ̂DH
T
||fθ − f̂T ||2 =
1
1
= arg min ||fθ2 − f̂T2 ||2
(1)
θ∈Θ
1 Z π
21
[fθ (λ)− f̂T (λ)]2 d λ
2π −π
est la norme usuelle L2 .
(2)
b
θDH
T est la valeur de θ qui minimise la distance de Hellinger dH (fθ , f̂T )
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Introduction : L’estimateur du minimum de distance de
Hellinger
L’EMDH, que nous notons ici θ̂DH
T , est la valeur du paramètre θ
qui minimise la distance de Hellinger entre un estimateur non
paramétrique f̂T et fθ une densité spectrale appartenant à la
famille paramétrique spectrale F .
θ̂DH
T
||fθ − f̂T ||2 =
1
1
= arg min ||fθ2 − f̂T2 ||2
(1)
θ∈Θ
1 Z π
21
[fθ (λ)− f̂T (λ)]2 d λ
2π −π
est la norme usuelle L2 .
(2)
b
θDH
T est la valeur de θ qui minimise la distance de Hellinger dH (fθ , f̂T )
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Définition
Xt ,T est dit localement stationnaire si
∞
Xt ,T =
∑
αt ,T (j )εt −j ,
(3)
j =−∞
où les εt sont des v.a i.i.d avec Eεt = 0, Eε2t = 1 et Eε4t < ∞. Les
coefficients αt ,T (j ) variant au cours du temps satisfont les
conditions suivantes :
H1 : il existe une suite {`(j ), j ∈ Z} satisfaisant
∞
|j |
<∞
j =−∞ `(j )
∑
et telle que
sup |αt ,T (j )| ≤
t
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
K
`(j )
.
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Définition
Xt ,T est dit localement stationnaire si
∞
Xt ,T =
∑
αt ,T (j )εt −j ,
(3)
j =−∞
où les εt sont des v.a i.i.d avec Eεt = 0, Eε2t = 1 et Eε4t < ∞. Les
coefficients αt ,T (j ) variant au cours du temps satisfont les
conditions suivantes :
H1 : il existe une suite {`(j ), j ∈ Z} satisfaisant
∞
|j |
<∞
j =−∞ `(j )
∑
et telle que
sup |αt ,T (j )| ≤
t
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
K
`(j )
.
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Définition
Xt ,T est dit localement stationnaire si
∞
Xt ,T =
∑
αt ,T (j )εt −j ,
(3)
j =−∞
où les εt sont des v.a i.i.d avec Eεt = 0, Eε2t = 1 et Eε4t < ∞. Les
coefficients αt ,T (j ) variant au cours du temps satisfont les
conditions suivantes :
H1 : il existe une suite {`(j ), j ∈ Z} satisfaisant
∞
|j |
<∞
j =−∞ `(j )
∑
et telle que
sup |αt ,T (j )| ≤
t
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
K
`(j )
.
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Définition
H2 : il existe une fonction α(., j ) : (0, 1] → R satisfaisant
sup |α(u , j )| ≤
u
K
`(j )
sup |α(u , j ) − α(v , j )| ≤
u ,v
et
,
K |u − v |
(4)
`(j )
t
K
sup |αt ,T (j ) − α( , j )| ≤
.
T
T `(j )
t
Nous définissons alors le processus stationnaire X̃t (u ),
approximation de Xt ,T dans un voisinage local autour de u =
(5)
t
T
∞
X̃t (u ) =
∑
α(u , j )εt −j ,
(6)
j =−∞
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Définition
H2 : il existe une fonction α(., j ) : (0, 1] → R satisfaisant
sup |α(u , j )| ≤
u
K
`(j )
sup |α(u , j ) − α(v , j )| ≤
u ,v
et
,
K |u − v |
(4)
`(j )
t
K
sup |αt ,T (j ) − α( , j )| ≤
.
T
T `(j )
t
Nous définissons alors le processus stationnaire X̃t (u ),
approximation de Xt ,T dans un voisinage local autour de u =
(5)
t
T
∞
X̃t (u ) =
∑
α(u , j )εt −j ,
(6)
j =−∞
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Définition
1 ∞
2
α(u , j )exp(−i λj )
f (u , λ) =
2π j =−∞
(7)
∑
densité spectrale, variant au cours, du temps du processus Xt ,T au
temps u ∈ [0, 1] et à la fréquence λ ∈ [−π, π].
En effet (4) et (5) impliquent
n t
1o
Ut
Xt − X̃t (u ) ≤ K − u +
T
T
où {Ut } est le processus stationnaire définie par
∞
Ut =
∑
`−1 (j )εt −j j =−∞
d’où l’approximation de Xt ,T par X̃t (u ) autour de u =
S.
Fofana1 ,
A.
Diop2 ,
O.
Hili3
t
T
.
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Définition
1 ∞
2
α(u , j )exp(−i λj )
f (u , λ) =
2π j =−∞
(7)
∑
densité spectrale, variant au cours, du temps du processus Xt ,T au
temps u ∈ [0, 1] et à la fréquence λ ∈ [−π, π].
En effet (4) et (5) impliquent
n t
1o
Ut
Xt − X̃t (u ) ≤ K − u +
T
T
où {Ut } est le processus stationnaire définie par
∞
Ut =
∑
`−1 (j )εt −j j =−∞
d’où l’approximation de Xt ,T par X̃t (u ) autour de u =
S.
Fofana1 ,
A.
Diop2 ,
O.
Hili3
t
T
.
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Définition
1 ∞
2
α(u , j )exp(−i λj )
f (u , λ) =
2π j =−∞
(7)
∑
densité spectrale, variant au cours, du temps du processus Xt ,T au
temps u ∈ [0, 1] et à la fréquence λ ∈ [−π, π].
En effet (4) et (5) impliquent
n t
1o
Ut
Xt − X̃t (u ) ≤ K − u +
T
T
où {Ut } est le processus stationnaire définie par
∞
Ut =
∑
`−1 (j )εt −j j =−∞
d’où l’approximation de Xt ,T par X̃t (u ) autour de u =
S.
Fofana1 ,
A.
Diop2 ,
O.
Hili3
t
T
.
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Exemple
Un processus TVAR(p), a0 (u ) = 1 (TVAR : Time Varying AR)
p
∑
aj
j =0
t
t
T
T
Xt −j ,T = σ
εt , εt iid
Densité spectrale :
f (u , λ) =
−2
σ2 (u ) p
a
(
u
)
exp
(
i
λ
j
)
j
∑
2π j = 0
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Exemple
Un processus TVAR(p), a0 (u ) = 1 (TVAR : Time Varying AR)
p
∑
aj
j =0
t
t
T
T
Xt −j ,T = σ
εt , εt iid
Densité spectrale :
f (u , λ) =
−2
σ2 (u ) p
a
(
u
)
exp
(
i
λ
j
)
j
∑
2π j = 0
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Exemple
Simulation d’un TVAR(2)
−4 −2
0
x
2
4
6
T=128 réalisations d’un AR variant au cours du temps
0
20
40
60
80
100
120
Time
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Exemple
Simulation d’un TVAR(2)
−4 −2
0
x
2
4
6
T=128 réalisations d’un AR variant au cours du temps
0
20
40
60
80
100
120
Time
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Estimateur non paramétrique
Nous considérons ici l’estimateur à noyau, f̂N (u , λ), défini par
f̂N (u , λ) =
1
N1
∑
NhN k =−N1
K
λ − λk
IN (u , λk ).
hN
(8)
où
IN (u , λ) =
1 N
X
e
N
2πN s=0 [uT ]− 2 +s+1,T
∑
2
,
−i λs −π ≤ λ ≤ π,
représente le périodogramme des sous-échantillons.
K (.) est un noyau régulier, symmétrique et positif
N la taille du sous-échantillon et N1 représente le plus grand
entier inférieur ou égal à N2 .
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Estimateur non paramétrique
Nous considérons ici l’estimateur à noyau, f̂N (u , λ), défini par
f̂N (u , λ) =
1
N1
∑
NhN k =−N1
K
λ − λk
IN (u , λk ).
hN
(8)
où
IN (u , λ) =
1 N
X
e
N
2πN s=0 [uT ]− 2 +s+1,T
∑
2
,
−i λs −π ≤ λ ≤ π,
représente le périodogramme des sous-échantillons.
K (.) est un noyau régulier, symmétrique et positif
N la taille du sous-échantillon et N1 représente le plus grand
entier inférieur ou égal à N2 .
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Propriétés de l’estimateur
Les propriétés asymptotiques de l’estimateur f̂N (u , λ) sont étudiées
par, Dahlhaus (1996b) et Sergides et Paparoditis (2007).
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Propriétés de l’estimateur
Les propriétés asymptotiques de l’estimateur f̂N (u , λ) sont étudiées
par, Dahlhaus (1996b) et Sergides et Paparoditis (2007).
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Dans cette section nous définissons l’estimateur EMDH dans le
cadre de la locale stationnarité et discutons du comportement.
Considerons un échantillon X1,T , ..., XT ,T provenant d’un
processus localement stationnaire (Xt ,T ) défini en (3).
Stationnarité : Estimation à l’aide de l’estimateur non
paramétrique à noyau.
Stationnarité locale : Adaptation de cette estimation avec la
version locale de l’estimation non paramétrique à noyau.
Une approche de la densité de Kernel dans la stationnarité
globale.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Dans cette section nous définissons l’estimateur EMDH dans le
cadre de la locale stationnarité et discutons du comportement.
Considerons un échantillon X1,T , ..., XT ,T provenant d’un
processus localement stationnaire (Xt ,T ) défini en (3).
Stationnarité : Estimation à l’aide de l’estimateur non
paramétrique à noyau.
Stationnarité locale : Adaptation de cette estimation avec la
version locale de l’estimation non paramétrique à noyau.
Une approche de la densité de Kernel dans la stationnarité
globale.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Dans cette section nous définissons l’estimateur EMDH dans le
cadre de la locale stationnarité et discutons du comportement.
Considerons un échantillon X1,T , ..., XT ,T provenant d’un
processus localement stationnaire (Xt ,T ) défini en (3).
Stationnarité : Estimation à l’aide de l’estimateur non
paramétrique à noyau.
Stationnarité locale : Adaptation de cette estimation avec la
version locale de l’estimation non paramétrique à noyau.
Une approche de la densité de Kernel dans la stationnarité
globale.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Dans cette section nous définissons l’estimateur EMDH dans le
cadre de la locale stationnarité et discutons du comportement.
Considerons un échantillon X1,T , ..., XT ,T provenant d’un
processus localement stationnaire (Xt ,T ) défini en (3).
Stationnarité : Estimation à l’aide de l’estimateur non
paramétrique à noyau.
Stationnarité locale : Adaptation de cette estimation avec la
version locale de l’estimation non paramétrique à noyau.
Une approche de la densité de Kernel dans la stationnarité
globale.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Plan
1
Introduction
2
Processus localement stationnaires
3
Estimation de la densité spectrale
4
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la
stationnarité locale
Définition de l’estimateur
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
5
Simulations
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Généralisation : on pose
dTHD (fθ , fN ) =
M
1
1
2
1
2
∑ fθ (uj , .) − fN (uj , .)2 ,
M
(9)
j =1
autrement dit, la distance de Hellinger entre fθ et fN est la
1
moyenne des distances au cours du temps entre fθ2 (uj , .) et
1
fN2 (uj , .)
où fθ (uj , .) et fN (uj , .) sont respectivement la densité spectrale
paramétrique locale et la densité spectrale non parametrique
local du processus dans le j eme segment et M est le nombre de
segments dépendant de N.
Alors la valeur θ̂DH
T , basée sur X1,T , X2,T , ..., XT ,T , est telle que
HD
θ̂HD
T = arg min dT (fθ , f̂N ).
(10)
θ∈Θ
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Généralisation : on pose
dTHD (fθ , fN ) =
M
1
1
2
1
2
∑ fθ (uj , .) − fN (uj , .)2 ,
M
(9)
j =1
autrement dit, la distance de Hellinger entre fθ et fN est la
1
moyenne des distances au cours du temps entre fθ2 (uj , .) et
1
fN2 (uj , .)
où fθ (uj , .) et fN (uj , .) sont respectivement la densité spectrale
paramétrique locale et la densité spectrale non parametrique
local du processus dans le j eme segment et M est le nombre de
segments dépendant de N.
Alors la valeur θ̂DH
T , basée sur X1,T , X2,T , ..., XT ,T , est telle que
HD
θ̂HD
T = arg min dT (fθ , f̂N ).
(10)
θ∈Θ
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Généralisation : on pose
dTHD (fθ , fN ) =
M
1
1
2
1
2
∑ fθ (uj , .) − fN (uj , .)2 ,
M
(9)
j =1
autrement dit, la distance de Hellinger entre fθ et fN est la
1
moyenne des distances au cours du temps entre fθ2 (uj , .) et
1
fN2 (uj , .)
où fθ (uj , .) et fN (uj , .) sont respectivement la densité spectrale
paramétrique locale et la densité spectrale non parametrique
local du processus dans le j eme segment et M est le nombre de
segments dépendant de N.
Alors la valeur θ̂DH
T , basée sur X1,T , X2,T , ..., XT ,T , est telle que
HD
θ̂HD
T = arg min dT (fθ , f̂N ).
(10)
θ∈Θ
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Généralisation : on pose
dTHD (fθ , fN ) =
M
1
1
2
1
2
∑ fθ (uj , .) − fN (uj , .)2 ,
M
(9)
j =1
autrement dit, la distance de Hellinger entre fθ et fN est la
1
moyenne des distances au cours du temps entre fθ2 (uj , .) et
1
fN2 (uj , .)
où fθ (uj , .) et fN (uj , .) sont respectivement la densité spectrale
paramétrique locale et la densité spectrale non parametrique
local du processus dans le j eme segment et M est le nombre de
segments dépendant de N.
Alors la valeur θ̂DH
T , basée sur X1,T , X2,T , ..., XT ,T , est telle que
HD
θ̂HD
T = arg min dT (fθ , f̂N ).
(10)
θ∈Θ
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Soit f (u , λ) la vraie densité spectrale du processus (Xt ,T )t ∈Z et
fθ (u , λ) ∈ F la densité spectrale locale du modèle choisi, on
défini alors
d
DH
Z
(fθ , f ) =
0
1
1
2 1/2
du , (11)
fθ (u , λ) − f (u , λ) d λ
Z π
2π −π
1
2
1
2
comme la distance entre le vrai processus avec densité spectrale
f (u , λ) et le modèle avec densité spectrale fθ (u , λ).
La meilleure approximation de la valeur du paramètre de notre
classe de modèles est donc
θ0 = arg min d HD fθ , f .
θ∈Θ
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Soit f (u , λ) la vraie densité spectrale du processus (Xt ,T )t ∈Z et
fθ (u , λ) ∈ F la densité spectrale locale du modèle choisi, on
défini alors
d
DH
Z
(fθ , f ) =
0
1
1
2 1/2
du , (11)
fθ (u , λ) − f (u , λ) d λ
Z π
2π −π
1
2
1
2
comme la distance entre le vrai processus avec densité spectrale
f (u , λ) et le modèle avec densité spectrale fθ (u , λ).
La meilleure approximation de la valeur du paramètre de notre
classe de modèles est donc
θ0 = arg min d HD fθ , f .
θ∈Θ
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Soit f (u , λ) la vraie densité spectrale du processus (Xt ,T )t ∈Z et
fθ (u , λ) ∈ F la densité spectrale locale du modèle choisi, on
défini alors
d
DH
Z
(fθ , f ) =
0
1
1
2 1/2
du , (11)
fθ (u , λ) − f (u , λ) d λ
Z π
2π −π
1
2
1
2
comme la distance entre le vrai processus avec densité spectrale
f (u , λ) et le modèle avec densité spectrale fθ (u , λ).
La meilleure approximation de la valeur du paramètre de notre
classe de modèles est donc
θ0 = arg min d HD fθ , f .
θ∈Θ
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
La fonction dTDH (fθ , f̂N ) ←→ d DH (fθ , f ) intégrale par (1/M ) ∑j et f
par f̂N la densité spectrale exacte non connue f par l’estimateur
nonparamétrique f̂N .
Ainsi, nous supposons que d DH (fθ , f̂N ) est une approximation de
la distance exacte d DH (fθ , f )
Nous prouvons sous certaines conditions de régularité que θ̂DH
T
converge vers θ0 .
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
La fonction dTDH (fθ , f̂N ) ←→ d DH (fθ , f ) intégrale par (1/M ) ∑j et f
par f̂N la densité spectrale exacte non connue f par l’estimateur
nonparamétrique f̂N .
Ainsi, nous supposons que d DH (fθ , f̂N ) est une approximation de
la distance exacte d DH (fθ , f )
Nous prouvons sous certaines conditions de régularité que θ̂DH
T
converge vers θ0 .
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
La fonction dTDH (fθ , f̂N ) ←→ d DH (fθ , f ) intégrale par (1/M ) ∑j et f
par f̂N la densité spectrale exacte non connue f par l’estimateur
nonparamétrique f̂N .
Ainsi, nous supposons que d DH (fθ , f̂N ) est une approximation de
la distance exacte d DH (fθ , f )
Nous prouvons sous certaines conditions de régularité que θ̂DH
T
converge vers θ0 .
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Plan
1
Introduction
2
Processus localement stationnaires
3
Estimation de la densité spectrale
4
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la
stationnarité locale
Définition de l’estimateur
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
5
Simulations
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
L’établissement de la distribution asymptotique de l’estimateur du
MDH est important pour faire des comparaisons théoriques avec
d’autres estimateurs et aussi pour faire des approximations
inférentielles valides.
Nous montrons ici la consistence et la normalité asymptotique de
l’estimateur MDH.
Pour l’existence, la continuité et l’unicité, les résultats sont
simulaires à ceux de Beran (1977).
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
L’établissement de la distribution asymptotique de l’estimateur du
MDH est important pour faire des comparaisons théoriques avec
d’autres estimateurs et aussi pour faire des approximations
inférentielles valides.
Nous montrons ici la consistence et la normalité asymptotique de
l’estimateur MDH.
Pour l’existence, la continuité et l’unicité, les résultats sont
simulaires à ceux de Beran (1977).
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
L’établissement de la distribution asymptotique de l’estimateur du
MDH est important pour faire des comparaisons théoriques avec
d’autres estimateurs et aussi pour faire des approximations
inférentielles valides.
Nous montrons ici la consistence et la normalité asymptotique de
l’estimateur MDH.
Pour l’existence, la continuité et l’unicité, les résultats sont
simulaires à ceux de Beran (1977).
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Consistance de l’estimateur
Théorème
Supposons que f ∈ G soit la vraie fonction de densité spectrale de
Xt ,T définie en (3) et que I (f ) soit unique. Alors, sous les hypothèses
du Théorème précédent
θ̂DH
T −→ I (f ) p.s.
En particulier, si f = fθ0 , alors θ̂DH
T −→ θ0 p.s.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Normalité asymptotique
1
Soit sθ = fθ2 , supposons pour θ ∈ Θ0 (intérieur à Θ) que sθ est
deux fois différentiable dans L2 ; c’est à dire, supposons qu’il
existe ṡθ et s̈θ dans L2 qui satisfont, pour chaque β proche de
zéro.
sθ+β (u , λ) = sθ (u , λ) + βṡθ (u , λ) + βuβ (u , λ)
(12)
et
ṡθ+β (u , λ) = ṡθ (u , λ) + βs̈θ (u , λ) + βvβ (u , λ),
(13)
où uβ et vβ tendent vers zéro dans L2 quand β −→ 0.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Normalité asymptotique
1
Soit sθ = fθ2 , supposons pour θ ∈ Θ0 (intérieur à Θ) que sθ est
deux fois différentiable dans L2 ; c’est à dire, supposons qu’il
existe ṡθ et s̈θ dans L2 qui satisfont, pour chaque β proche de
zéro.
sθ+β (u , λ) = sθ (u , λ) + βṡθ (u , λ) + βuβ (u , λ)
(12)
et
ṡθ+β (u , λ) = ṡθ (u , λ) + βs̈θ (u , λ) + βvβ (u , λ),
(13)
où uβ et vβ tendent vers zéro dans L2 quand β −→ 0.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Normalité asymptotique
Théorème
Supposons que (12) et (13) soient réalisées pour θ ∈ Θ0 , pour f ∈ G ,
I (f ) existe, est unique, et I (f ) ∈ Θ0 . Supposons aussi que
Z 1Z π
1
s̈I (f ) (u , λ)f 2 (u , λ)d λdu > 0 et que la fonctionnelle I est
0
−π
continue en f dans la topologie de Hellinger. Alors pour toute suite de
densités spectrales {fN } convergeant vers f dans la métrique de
Hellinger,
I (fN )
=
I (f ) +
1
M
Z π
∑
M
j =1 −π
+ aN
1
M
∑
M
Z π
j =1 −π
1
ρf (uj , λ)fN2 (uj , λ)d λ −
1
1
−π
0
ṡI (f ) (uj , λ)f̂N2 (uj , λ)d λ −
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
1Z π
Z
Z
0
ρf (u , λ)f 2 (u , λ)d λdu
1Z π
−π
1
(14)
ṡI (f ) (u , λ)f 2 (u , λ)d λdu ,
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Normalité asymptotique
Théorème
Supposons que (12) et (13) soient réalisées pour θ ∈ Θ0 , pour f ∈ G ,
I (f ) existe, est unique, et I (f ) ∈ Θ0 . Supposons aussi que
Z 1Z π
1
s̈I (f ) (u , λ)f 2 (u , λ)d λdu > 0 et que la fonctionnelle I est
0
−π
continue en f dans la topologie de Hellinger. Alors pour toute suite de
densités spectrales {fN } convergeant vers f dans la métrique de
Hellinger,
I (fN )
=
I (f ) +
1
M
Z π
∑
M
j =1 −π
+ aN
1
M
∑
M
Z π
j =1 −π
1
ρf (uj , λ)fN2 (uj , λ)d λ −
1
1
−π
0
ṡI (f ) (uj , λ)f̂N2 (uj , λ)d λ −
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
1Z π
Z
Z
0
ρf (u , λ)f 2 (u , λ)d λdu
1Z π
−π
1
(14)
ṡI (f ) (u , λ)f 2 (u , λ)d λdu ,
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Normalité asymptotique
où
ρf (u , λ) = − R 1 R π
0
ṡI (f ) (u , λ)
−π s̈I (f ) (u , λ)f
1
2
(u , λ)d λdu
et aN tend vers zéro quand N −→ ∞.
En utilisant la représentation (14), nous montrons par le
théorème ci-après, que l’EMDH θ̂DH
T = I (f̂N ) suit
asymptotiquement une distribution normale.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Normalité asymptotique
où
ρf (u , λ) = − R 1 R π
0
ṡI (f ) (u , λ)
−π s̈I (f ) (u , λ)f
1
2
(u , λ)d λdu
et aN tend vers zéro quand N −→ ∞.
En utilisant la représentation (14), nous montrons par le
théorème ci-après, que l’EMDH θ̂DH
T = I (f̂N ) suit
asymptotiquement une distribution normale.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Normalité asymptotique
où
ρf (u , λ) = − R 1 R π
0
ṡI (f ) (u , λ)
−π s̈I (f ) (u , λ)f
1
2
(u , λ)d λdu
et aN tend vers zéro quand N −→ ∞.
En utilisant la représentation (14), nous montrons par le
théorème ci-après, que l’EMDH θ̂DH
T = I (f̂N ) suit
asymptotiquement une distribution normale.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Normalité asymptotique
Théorème
Supposons f ∈ G est la vraie densité spectrale de (Xt )t ∈Z définie en
(3). Supposons que (12) et (13) sont réalisées et ρ a un support
compact K = [−π, π] sur lequel il est continu. Supposons f > 0 sur K ;
00
f est deux fois absolument continue et f est bornée par rapport à λ.
Supposons que I (f ) existe, est unique et J (f ) ∈ Θ0 (intérieur de Θ),
R
1
s̈I (f ) (uj , λ)f 2 (uj , λ)d λ > 0 pour tout j = 1, ..., M, et ṡI (f ) ∈ L2 . Alors,
3
pour toute suite (hN ) telle que hN → 0, NhN
→ ∞ et T 1/2 hN2 → 0 et
sous les hypothèses du Théorème précédent,
√
T (I (f̂N ) − I (f )) −→ N (0, V )
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
(15)
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Définition de l’estimateur
Estimation de la densité spectrale
Propriétés asymptotiques de l’estimateur
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Normalité asymptotique
où
V
π
=
2
Z
1Z π
0
ρ(u , −λ)ρ(u , λ)f (u , λ)d λdu +
−π
π
1Z π
Z
2
0
ρ2 (u , −λ)f (u , λ)d λdu
−π
En particulier, si f = fθ , I (f ) = θ0 est équivalent à θ et donc
√
T (θ̂DH
T − θ) −→ N (0, V )
(16)
où
V=
π
2
Z
0
1Z π
1
−π ṡθ (u , −λ)ṡθ (u , λ)
sθ (u , λ)d λdu +
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
π
2
Z
0
1Z π
1
2
−π ṡθ (u , −λ)
sθ (u , λ)d λdu
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
Nous présentons ici un exemple de simulation pour l’estimation
de θ̂DH
T d’un processus AR(2) locallement stationnaire
t
t
t
Xt ,T + a1 ( )Xt −1,T + a2 ( )Xt −2,T = σ( )εt
T
T
T
(17)
où les εt sont des v.a. i.i.d gaussiennes de moyenne zéro et de
variance 1. Les paramètres autorégressifs ai = ai ( Tt ), i = 1, 2
sont des fonctions qui changent au cours du temps.
Comme paramètres nous choisissons
a1 (u ) = −1.8 cos(1.5 − cos 4πu ), i.e. a1 (u ) varie au cours du
temps, a2 (u ) = 0.832 pour tout 0 ≤ u ≤ 1, i.e. a2 (u ) est constant
à travers le temps, σ(u ) = 1.0. Nous générons T = 128
observations provenant du modèle (17).
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
Nous présentons ici un exemple de simulation pour l’estimation
de θ̂DH
T d’un processus AR(2) locallement stationnaire
t
t
t
Xt ,T + a1 ( )Xt −1,T + a2 ( )Xt −2,T = σ( )εt
T
T
T
(17)
où les εt sont des v.a. i.i.d gaussiennes de moyenne zéro et de
variance 1. Les paramètres autorégressifs ai = ai ( Tt ), i = 1, 2
sont des fonctions qui changent au cours du temps.
Comme paramètres nous choisissons
a1 (u ) = −1.8 cos(1.5 − cos 4πu ), i.e. a1 (u ) varie au cours du
temps, a2 (u ) = 0.832 pour tout 0 ≤ u ≤ 1, i.e. a2 (u ) est constant
à travers le temps, σ(u ) = 1.0. Nous générons T = 128
observations provenant du modèle (17).
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
Nous présentons ici un exemple de simulation pour l’estimation
de θ̂DH
T d’un processus AR(2) locallement stationnaire
t
t
t
Xt ,T + a1 ( )Xt −1,T + a2 ( )Xt −2,T = σ( )εt
T
T
T
(17)
où les εt sont des v.a. i.i.d gaussiennes de moyenne zéro et de
variance 1. Les paramètres autorégressifs ai = ai ( Tt ), i = 1, 2
sont des fonctions qui changent au cours du temps.
Comme paramètres nous choisissons
a1 (u ) = −1.8 cos(1.5 − cos 4πu ), i.e. a1 (u ) varie au cours du
temps, a2 (u ) = 0.832 pour tout 0 ≤ u ≤ 1, i.e. a2 (u ) est constant
à travers le temps, σ(u ) = 1.0. Nous générons T = 128
observations provenant du modèle (17).
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
On génére ainsi un processus Xt ,T localement stationnaire et sa
densité spectrale dépendant du temps comme dans (7) est
−2
2
σ2 (u ) f (u , λ) =
1 + ∑ aj (u )exp(i λj ) = fθ(u ) (λ).
2π
j =1
Estimation à partir des données générées du paramètre
θ = (θ1 , θ2 , θ3 , θ4 ) tels que a1 (u ) = −θ1 cos(θ2 − cos(4πu )),
a2 (u ) = θ3 and σ2 (u ) = θ4 . L’estimateur de la densité spectrale
du noyau définie par (8) est utilisé. Pour calculer le
périodogramme, nous choisissons S = 2, N = 16 (i.e., M = 57).
Pour le choix de la fonction du noyau dans f̂N , nous utilisons la
densité de la distribution de N (0, 1).
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
On génére ainsi un processus Xt ,T localement stationnaire et sa
densité spectrale dépendant du temps comme dans (7) est
−2
2
σ2 (u ) f (u , λ) =
1 + ∑ aj (u )exp(i λj ) = fθ(u ) (λ).
2π
j =1
Estimation à partir des données générées du paramètre
θ = (θ1 , θ2 , θ3 , θ4 ) tels que a1 (u ) = −θ1 cos(θ2 − cos(4πu )),
a2 (u ) = θ3 and σ2 (u ) = θ4 . L’estimateur de la densité spectrale
du noyau définie par (8) est utilisé. Pour calculer le
périodogramme, nous choisissons S = 2, N = 16 (i.e., M = 57).
Pour le choix de la fonction du noyau dans f̂N , nous utilisons la
densité de la distribution de N (0, 1).
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
Choix de la largeur de la fenêtre :
→ Utilisation de l’erreur moyenne quadratique intégrée
Z 1Z π 2
MISE (u , h) =
E bfN (u , λ) − f (u , λ) π(u , λ)d λdu
0
−π
π la fonction de poids est supposée connue et nulle en dehors de
[−π, π] × [0, 1].
Sélectionner h minimisant la MISE, f inconnue =⇒ Estimation de
la MISE en adoptant la méthode de la validation croisée
(Rudemo (1982) et Bowman (1984)). On considère l’erreur
quadratique intégrée "Integrated square error" ISE définie par :
Z 1Z π 2
bfN (u , λ) − f (u , λ) π(u , λ)d λdu
ISE (u , h) =
0
−π
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
Choix de la largeur de la fenêtre :
→ Utilisation de l’erreur moyenne quadratique intégrée
Z 1Z π 2
MISE (u , h) =
E bfN (u , λ) − f (u , λ) π(u , λ)d λdu
0
−π
π la fonction de poids est supposée connue et nulle en dehors de
[−π, π] × [0, 1].
Sélectionner h minimisant la MISE, f inconnue =⇒ Estimation de
la MISE en adoptant la méthode de la validation croisée
(Rudemo (1982) et Bowman (1984)). On considère l’erreur
quadratique intégrée "Integrated square error" ISE définie par :
Z 1Z π 2
bfN (u , λ) − f (u , λ) π(u , λ)d λdu
ISE (u , h) =
0
−π
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
Approximation de ISE par le critère CV , Grégoire (1993), défini
par :
Z 1Z π
CV (h, u ) = CV1 (h, u ) +
f 2 (u , λ)π(u , λ)d λdu
0
−π
où
Z
1Z π
CV1 (h, u ) =
−π
0
où λj =
2πj
,
N
N=
h
fN2 (u , λ)π(u , λ)d λdu −
N −1
2
i
j
et fN (u , λ) =
π(u , λ) =


1
2π

0
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
1
NhN
2
N
∑
N
j =1 0
N1
∑
1
Z
K
j
fN (u , λj )IN (u , λj )
λ−λ k =−N1
k
hN
j
IN (u , λk )
sur [0, 2π] × [0, 1]
ailleurs
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
Approximation de ISE par le critère CV , Grégoire (1993), défini
par :
Z 1Z π
CV (h, u ) = CV1 (h, u ) +
f 2 (u , λ)π(u , λ)d λdu
0
−π
où
Z
1Z π
CV1 (h, u ) =
−π
0
où λj =
2πj
,
N
N=
h
fN2 (u , λ)π(u , λ)d λdu −
N −1
2
i
j
et fN (u , λ) =
π(u , λ) =


1
2π

0
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
1
NhN
2
N
∑
N
j =1 0
N1
∑
1
Z
K
j
fN (u , λj )IN (u , λj )
λ−λ k =−N1
k
hN
j
IN (u , λk )
sur [0, 2π] × [0, 1]
ailleurs
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
Ainsi, la largeur de la fenêtre spectrale sera choisie au point h
minimisant le critère CV (h) :
ĥ = arg min CV (u , h) = arg min CV1 (u , h)
h
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
h
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
Les résultats des données simulées sont présentées en Figure 2.
FIG. 2 – Réalisations d’un time varying AR-model et Coefficient a1 (u )
exact et estimé variant au cours du temps
1.5
a1(u) exact
−4
−2
0
−1.5 −1.0 −0.5
x
0.0
2
0.5
4
1.0
6
â1(u) estimé
0
20
40
60
80
100
120
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Time
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
Les résultats des données simulées sont présentées en Figure 2.
FIG. 2 – Réalisations d’un time varying AR-model et Coefficient a1 (u )
exact et estimé variant au cours du temps
1.5
a1(u) exact
−4
−2
0
−1.5 −1.0 −0.5
x
0.0
2
0.5
4
1.0
6
â1(u) estimé
0
20
40
60
80
100
120
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Time
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
Méthode de Monte Carlo avec 3000 réplications : â1 (u ) in Figure
2, â2 (u ) = 0.819, et σ̂(u ) = 1.28
Robustesse : Nouvel estimateur pour θ de fθ . L’estimateur pour
I (f ) est défini par
dH (fI (f̂α,N ) , fα ) = min dH (ft , f̂α,N )
t ∈Θ
où f̂α,N = (1 − α)f̂N + αδ[0,1] est la densité contaminée et δ[0,1]
représente la densité uniforme sur l’intervale [0, 1] et α ∈ [0, 1].
Dans l’estimation par le MDH des coefficients du modèle (17),
nous remplaçons f̂N par f̂α,N pour six valeurs particulières de α.
Une application de Monte Carlo =⇒ la Table suivante pour les
valeurs de â2 (u ) et σ̂(u ) et les figures suivantes pour â1 (u ).
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
Méthode de Monte Carlo avec 3000 réplications : â1 (u ) in Figure
2, â2 (u ) = 0.819, et σ̂(u ) = 1.28
Robustesse : Nouvel estimateur pour θ de fθ . L’estimateur pour
I (f ) est défini par
dH (fI (f̂α,N ) , fα ) = min dH (ft , f̂α,N )
t ∈Θ
où f̂α,N = (1 − α)f̂N + αδ[0,1] est la densité contaminée et δ[0,1]
représente la densité uniforme sur l’intervale [0, 1] et α ∈ [0, 1].
Dans l’estimation par le MDH des coefficients du modèle (17),
nous remplaçons f̂N par f̂α,N pour six valeurs particulières de α.
Une application de Monte Carlo =⇒ la Table suivante pour les
valeurs de â2 (u ) et σ̂(u ) et les figures suivantes pour â1 (u ).
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
Méthode de Monte Carlo avec 3000 réplications : â1 (u ) in Figure
2, â2 (u ) = 0.819, et σ̂(u ) = 1.28
Robustesse : Nouvel estimateur pour θ de fθ . L’estimateur pour
I (f ) est défini par
dH (fI (f̂α,N ) , fα ) = min dH (ft , f̂α,N )
t ∈Θ
où f̂α,N = (1 − α)f̂N + αδ[0,1] est la densité contaminée et δ[0,1]
représente la densité uniforme sur l’intervale [0, 1] et α ∈ [0, 1].
Dans l’estimation par le MDH des coefficients du modèle (17),
nous remplaçons f̂N par f̂α,N pour six valeurs particulières de α.
Une application de Monte Carlo =⇒ la Table suivante pour les
valeurs de â2 (u ) et σ̂(u ) et les figures suivantes pour â1 (u ).
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
Méthode de Monte Carlo avec 3000 réplications : â1 (u ) in Figure
2, â2 (u ) = 0.819, et σ̂(u ) = 1.28
Robustesse : Nouvel estimateur pour θ de fθ . L’estimateur pour
I (f ) est défini par
dH (fI (f̂α,N ) , fα ) = min dH (ft , f̂α,N )
t ∈Θ
où f̂α,N = (1 − α)f̂N + αδ[0,1] est la densité contaminée et δ[0,1]
représente la densité uniforme sur l’intervale [0, 1] et α ∈ [0, 1].
Dans l’estimation par le MDH des coefficients du modèle (17),
nous remplaçons f̂N par f̂α,N pour six valeurs particulières de α.
Une application de Monte Carlo =⇒ la Table suivante pour les
valeurs de â2 (u ) et σ̂(u ) et les figures suivantes pour â1 (u ).
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
Table 1
α
0.05
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
â2 (u )
0.805
0.821
0.737
0.818
0.831
0.826
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
σ̂(u )
1.007
1.019
0.986
0.962
1.296
1.103
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
α = 0.05
α = 0.1
−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
a1(u) exact
â1(u) estimé
−1.5
−1.5
−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
a1(u) exact
â1(u) estimé
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
FIG.
1–Coéfficient a1 (u ) exact et estimé variant au cours du temps.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
α = 0.2
α = 0.3
−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
a1(u) exact
â1(u) estimé
−1.5
−1.5
−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
a1(u) exact
â1(u) estimé
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
FIG.
2–Coéfficient a1 (u ) exact et estimé variant au cours du temps.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Simulation
α = 0.4
α = 0.5
−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
a1(u) exact
â1(u) estimé
−1.5
−1.5
−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
a1(u) exact
â1(u) estimé
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
FIG.
3–Coéfficient a1 (u ) exact et estimé variant au cours du temps.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Quelques éléments bibliographiques
Beran, R. J. (1977). Minimum Hellinger Distance Estimates for
Parametric Models, Ann. Stat., 5, 445-463.
Dahlhaus, R. (1996b). Asymptotic statistical inference for
nonstationary process with evolutionary spectra. In Athens
Conference on Applied Probability and Time Series Analysis, (P.
M. Robinson and M. Rosenblatt, eds) 2. Springer, New York, pp.
145–159.
Dahlhaus, R. (1997). Fitting time Series Models to Nonstatioary
Processe. The Annals of Statistics, 25, 1-37.
Hili, O. (1995). On the estimation of nonlinear time series models,
Stoch. Stoch. Rep. 52, 207–226.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Quelques éléments bibliographiques
Hosoya, Y. (1974). Estimation problems on stationary time-series
models. Ph.D. Thesis Yale University.
Ludeña, C. (2000). Parametric estimation for Gaussian longrange
dependent processes based on the log-periodogram. Bernoulli
6(4), 2000, 709-728.
Sergides, M. and Paparoditis, E. (2007). Bootstrapping the local
periodogramof locally stationary processes. Journal of Time
Series Analysis, Vol. 29, Issue 2, pp. 264-299.
Stărică, C. and Granger, C.W.J. (2005). Nonstationnarities in
stock return, The review of Economics and Statistics, 81, 553-574.
Taniguchi, M. (1979). On estimation of parameters of Gaussian
Stationary Processes. J. Appl. Prob., 16, 575-591.
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim
Introduction
Processus localement stationnaires
Estimation de la densité spectrale
Estimateur du minimum de distance de Hellinger sous la stationnarité locale
Simulations
Merci pour votre attention !
S. Fofana1 , A. Diop2 , O. Hili3
Estimation des processus localement stationnaires par la distance minim