Introduction
Modèles
Formalisme multifractale
Estimation
Simulation
Cours: Analyse multifractale
Ecole de Recherche CIMPA ”Analyse et Probabilités”
Carenne Ludena, Universidad Central de Venezuela
Cocody-Abidjan, 17–28 mars 2014
Ludena
Multifractals
Introduction
Modèles
Formalisme multifractale
Estimation
Simulation
1
Introduction
2
Modèles
Cascades Multiplicatives
Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
3
Formalisme multifractale
4
Estimation
Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
5
Simulation
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Modèles Multifractales
Multifractalité: X (t) tel que EX q (t) ≈ t ζ(q) pour t < T , le
horizon d’invariance d’ échelle.
Ici, et pour la suite a ≈ b s’ ils existent 0 < c < C tels que
cb < a < Cb.
Souvent, dansP
des applications, on considère la moyenne
empirique: N1 i |Xi (t)|q ≈ t ζ(q) .
ζ(q), nomée la fonction d’échelle, est non linéaire (en fait
strictement concave).
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Modèle par excellence: X tel que
X (λt) ∼ M(λ)X (t),
M indépendant de X
Où on suppose pour M la propriété d’ échelle:
M(c1 c2 ) ∼ M(c1 )M(c2 )
avec M(c1 ) et M(c2 ) indépendants.
d
Ici, et pour la suite a ∼ b ssi a = b
Chaque échelle agit sur X de façon indépendant.
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Concavité de ζ
X tel que E|X (t)|q = c(q)t ζ(q) pour t < T
Soient wi , qi , i = 1, 2 tels que w1 + w2 = 1 et
q = w1 q1 + w2 q2 . Par Hölder
E|X |q ≤ (E|X |q1 )w1 (E|X |q2 )w2
En prenant logarithmes,
log c(q) + ζ(q) log t
≤ [w1 log c(q1 ) + w2 log c(q2 )] + [w1 ζ(q1 ) + w2 ζ(q2 )] log t
En divisant par log(t) lorsque t → 0 on obtient
ζ(q) ≥ w1 ζ(q1 ) + w2 ζ(q2 )
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D’autre part si l’on suppose T → ∞, en divisant par log(t)
lorsque t → ∞ on obtient
ζ(q) ≤ w1 ζ(q1 ) + w2 ζ(q2 )
et donc la linéarité de ζ
Modèles monofractales: ζ(q) linéaire
Mouvement Brownien fractionnaire: B H (λt) ∼ λH B H (t)
Si le horizon d’invariance d’ échelle est infinie: X est
monofractale
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Mesures multifractales:
(µ[0, λt])0<t<T ∼ λe Ωλ (µ[0, T ])0<t<T , avec Ωλ infiniment
divisible.
Ee qΩλ = λ−ψ(q) , ψ(q) strictement convexe
Soit X (t) := µ[0, t]. On a E[X (λ)q ] = c(q)λq−ψ(q)
On définit ζ(q) = q − ψ(q)
Plus généralement, on peut considérer processus aléatoires
d’accroissements stationnaires X = {X (s), s ∈ [0, T ]}
(T > 0)
Si l’on définit a(s) := X (t) − X (t + s)
E[|a(s)|q ] ≈ c(q)|s|ζ(q) .
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Interprétation: a(λs) ∼ e Ωλ a(s), avec Ωλ infiniment divisible.
Exemples: turbulence, mouvements séismiques, finances,
électrocardiogrammes, modèles de pluie (rainfall models)
Plus loin: on observe pour certaines modèles des moments
impaires nulles
Interprétation Gaussiènne: modèles de volatilité multifractale
dXt = a(s)dBtH ,
Dans ce cours nous introduirons quelques modèles
multifractales, des propriétés fondamentaux et finalement
nous aborderons le probléme d’éstimation des paramètres.
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Planning du cours
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Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
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Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
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Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
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Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
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Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
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Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
Pour commencer: Cascades Binomiales
P
ri
i 2i :
ri ∈ {0, 1} définie par sa expansion dyadique.
P
P
Notation: r |n = r1 . . . rn . , Ir |n = [ i 2rii , i 2rii + 21n ),
Sn (r ) = r1 + . . . + rn
P
Pour 0 < p < 1 on définit λn = 2n r |n p Sn (1 − p)n−Sn 1Ir |n
Soit r =
Et finalement, la cascade multiplicative d’ordre n, mn = λn λ
(λ la mesure Lebesgue)
Alternativement
dmn
dλ (r )
= p Sn (r ) (1 − p)n−Sn (r )
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Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
Cascades Binomiales
Si I = Is|n est un intervalle dyadique on a
mn (I ) = mn+1 (I ) = mn+2 (I ) = . . .
Pour tout I intervalle dyadique on a donc que mn (I ) converge
Soit f une fonction continue sur [0, 1]: il existe use suite
escalier (sur des intervalles dyadiques) fm rapprochent f
uniformément
R
On a mn (f ) := fdmn (x) converge vers mf .
Par le théorème de Banach-Steinhaus et le théorème de
représentation de Riesz il existe une mesure m tel que pour
tout f continue sur [0, 1] mn (f ) → m(f ).
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Cascades Multiplicatives
Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
Cascades multiplicatives
Casacade de Mandelbrot (1974): comme avant
r ∈ [0, 1] : r = r1 r2 . . . sa expansion dyadique.
P
Q
On définit λn = r |n W0 nj=1 Wr |j 1Ir |n , où Wr |j ∼ W sont
des variables aléatoires (sur un espace de probabilité
(Ω, F, P)) indépendants du même loi. Ils satisfont les
conditions
E (W ) = 1( normalisation)
(1)
E[W log2 W ] < 1( non dégénérescence)
(2)
Soit mn = λn λ. On a
Kahane et Peyère (1976): il existe un mesure (aléatoire) m∞
tel que
P(mn → m∞ faiblement lorsque n → ∞) = 1 ,
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Marches aléatoires multifractales
Cascades multiplicatives
De plus, la mesure limite m∞ satisfait Em∞ ([0, T ]) = T sous
la condition (2): non dégénérescence
Soient ψ(q) = log2 E (W q )
ζ(q) = q − ψ(q) et
τ (q) = 1 − ζ(q)
Propieté d’échelle (scaling property):
q
q
Em∞
([0, λ]) = λζ(q) Em∞
[0, 1]
pour q < qmax < q∗
Où q∗ = supq {ψ(q) < ∞}
Et qmax = sup{q : τ (q) < 0} .
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Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
La fonction τ (q)
τ (q) = 1 − ζ(q)
Elle est bien définie sur [0, q∗), q∗ ≥ 1
τ (1) = 0 (EW = 1)
τ (0) = 1 + log2 P(W 6= 0)
Elle est continue sur [0, 1]
Elle est convexe
Sous (1) (EW = 1) la condition (2) (E[W log2 W ] < 1) est
équivalent à τ 0 (1− ) < 0
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Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
τ 0 (1− ) < 1 équivalent à (2):
τ 0 (1− ) =
EW log2 W
EW
−1
En effet: si r (q) := EW q on a r 0 (q) = E(W q log W ) pour
0 < q < 1 (par convergence dominée)
De plus r 0 (q) croit vers E(W log W )
La preuve suit de prendre le dérivée du logarithme.
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Marches aléatoires multifractales
Cascades multiplicatives: version b-adyque
On peut changer l’expansion de r par une expansion b-adyque
P
r = i brii : ri ∈ {0, . . . , b − 1}
P
Q
Soit λn = r |n W0 nj=1 Wr |j 1Ir |n
Soient ψb (q) = logb E (W q )
ζb (q) = q − ψb (q) et
τb (q) = 1 − ζb (q)
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Mesures multifractales aléatoires (IDC)
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Typiquement on donne alors les conditions (1,2) comme
τb (1) = 0
(3)
τb0 (1− )
(4)
<0
Si m∞ est la mesure limite (limite faible p.p) on a
E[m∞ ([0, T ])] = T sous la condition (4)
Propieté d’échelle (scaling property):
q
q
m∞
([0, λ]) ≈ λζb (q) m∞
[0, 1] pour q < qmax
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La mesure mq
Pour q < qmax on considère maintenant mq = limn mq,n
Où mq,n = λq,n λ et
λq,n =
X
r |n
Wq,ν ∼
Wq
EW q
Wq,0
n
Y
Wq,r |j 1Ir |n ,
j=1
indépendants
Alors si q < q0 on a, mq ([0, 1]) = 1 (non dégénérescence)
Où q0 := sup{q : qτ 0 (q) − τ (q) < 0} .
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Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
Démonstration: la suite mq,n est une martingale.
La preuve suit de montrer que la condition q < q0 est
équivalent a (4) pour W 0 = W q /EW q .
En effet, soit τq (t) = τ (tq) − tτ (q).
Alors, τq (t) correspond à τ (t) pour la cascade définit par les
variables W 0 = Wq,ν .
D’autre part τq0 (1− ) = qτ 0 (q) − τ (q). Fin.
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Exemple Log-Normal
b=2
Considerons la cascade log-normale log W = µ + σZ avec
Z ∼ N(0, 1).
EW = e µ+σ
2 /2
La condition E[W ] = 1 implique µ = −σ 2 /2.
Alors ζ(q) = q −
q(q−1)σ 2
2 log 2
2
et τ (q) = q(q−1)σ
2 log 2 − (q − 1)
2
qmax = 2 log
∨1
2
σ
√
q0 =
2 log 2
σ
.
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Condition de normalisation
Pourquoi EW = 1?
Pour tout t
Z
mn ([0, t]) =
X
λn (u)dλ(u) = tb −n
[0,t]
Emn ([0, t]) = tb −n
r |n∈[0,t]
P
r |n∈[0,t] EW0
Qn−1
j=1
Emn ([0, t]) = Emn−1 ([0, t])EW
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W0
n−1
Y
j=1
Wr |j EWr |n
Wr |j Wr |n
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Soient Fn , n ≥ 1 les sous-tribus de F définies par
Fn := σ{Wν : |ν| ≤ n}
On a EFn−1 mn ([0, t]) = mn−1 ([0, t])
Pour tout Borelien I : mn (I ) est martingale positive par
rapport à Fn : elle converge p.s.
D’ailleurs Emn (I ) = λ(I ).
Or, par le Lemme de Fatou on sait seulement que
Em(I ) ≤ limn Emn (I ) = λ(I )
Non dégénérescence: Em(I ) = λ(I ) (Em[0, 1] 6= 0)
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Théorème de K-P: Cascades multiplicatives
Em[0, T ] > 0 (P(m[0, T ] 6= 0) > 0) ssi τb0 (1− ) < 0
Emq [0, T ] < ∞ pour q ∈ [0, 1]
et si qmax > 1, on a Emq [0, T ] < ∞ pour 1 < q < qmax
Em[0, T ] = T ssi Em[0, T ] > 0
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Théorème de K-P: Demonstration
Par (3) il y a convergence p.s. de la suite mn (I ): or
Les suivants afirmations sont équivalentes (I = [0, 1])
Em[0, 1] = 1
Em[0, 1] > 0
La martingale mn [0, 1] est uniformement intégrable: dans ce
cas le Théorème de convergence des martingales assure la
converence dans L1 et Em([0, 1]) = limn Emn ([0, 1]) = 1
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Demonstration de l’équivalence
Clairement Em[0, 1] = 1 ⇒ Em[0, 1] > 0
Pour montrer l’équivalence il suffit de montrer alors que sous
Em[0, 1] > 0 la suite mn est uniformément intégrable. On
utilise la propriété de la distribution multiplicative de la densité
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Distribution multiplicative de la densité
En reprenant
mn ([0, 1]) = b
X
−n
W0
n−1
Y
Wr |j Wr |n
j=1
r |n∈[0,1]
Comme tous les Wr |n ont la même loi on a la propriété
fondamentale suivante:
b
X
mn ([0, 1]) = b −1
mi,n−1 ([0, 1])Wi
(5)
i=1
où tous les mi,n−1 ([0, 1]) sont i.d et indépendants des Wi
En prenant des limites on obtient
m([0, 1]) = b
−1
b
X
mi ([0, 1])Wi
i=1
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Demonstration de l’équivalence (suite)
Si Em([0, 1]) > 0 il existe un m0 dont Em0 ([0, 1]) = 1 solution
de
b
X
m0 ([0, 1]) = b −1
mi0 ([0, 1])Wi
i=1
En itérant on obtient
m0 ([0, 1]) = b −n
X
mr0 |n ([0, 1])
Y
Wr |j
j
r |n
Si Fn est la sous-tribu σ{Wr |j , j = 1, . . . , n}
EFn m0 ([0, 1]) = b −n
XY
r |n
Wr |j = mn ([0, 1])
j
Donc = mn ([0, 1]) est uniformément intégrable.
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Demonstration Thm
Em[0, T ] > 0 (P(m[0, T ] 6= 0) > 0) ssi τb0 (1− ) < 0
Nécessite: supposons que il existe m tel que Em([0, 1]) = 1 et
m([0, 1]) = b
−1
b
X
mi ([0, 1])Wi .
i=1
Par sous-additivité de x q ,
b q Emq ([0, 1]) ≤ bEmq ([0, 1])EW q
Alors τb (q) ≥ 0 pour q ≤ 1
Comme τb (1) = 0 on obtient la condition plus faible
τb0 (1− ) ≤ 0 (un peu plus de travail donne l’inégalité stricte)
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Demonstration Thm (suite)
Suffisance (plus technique):
Lemme:
a
P q pour
P 0q< q < 1 on P
( xi ) ≥ xi − 2(1 − q) i<j (xi xj )q /2
A partir du
m([0, 1]) = b
−1
b
X
mi ([0, 1])Wi
i=1
en prenant des espérances on a
b q Emnq ([0, 1])
q
≥ bEmn−1
([0, 1])EW q
q/2
−b(b − 1)(1 − q)(Emn−1 ([0, 1]))2 (EW q/2 )2
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q
En utilisant que Emnq ([0, 1]) ≤ mn−1
([0, 1]) on obtient
1/2
−τb0 (1− ) log b ≤ (b − 1)(Emn [0, 1])2
1/2
Comme mn ([0, 1]) est uniformément intégrable dans L2 (car
1/2
Emm ([0, 1]) = 1) on a 0 < Emm ([0, 1]) → Em1/2 ([0, 1]).
Donc, Em([0, 1]) > 0 et par conséquent Em([0, 1]) = 1
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Demonstration existence moments
Si mn ([0, 1]) est bornée dans Lq , Emq ([0, 1]) < ∞ (par
intégrabilité uniforme)
Par
m([0, 1]) = b
−1
b
X
mi ([0, 1])Wi
i=1
et suradditivité de x q (q > 1) on a
b q Emq ([0, 1]) > bEmq ([0, 1])EW q
(l’inégalité est stricte a moins que P(W = 1) = 1)
Donc Emq ([0, 1]) < ∞ ⇒ τ (q) < 0
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Demonstration existence moments (cont)
Supposons τ (q) < 0 et soit k tel que k < q ≤ k + 1
Considérons la fonction x q/(k+1) : par sous-additivité
q/(k+1)
(x1 + . . . xb )q ≤ (x1
≤
x1q
q/(k+1) k+1
+ . . . xb
)
xbq
+ ... +
X
Y α
+
γα1 ...αb [ xj j ]q/(k+1)
j
P
αj ≤ k et
γα1 ...αb = b k+1 − b
On obtient
b q Emnq ([0, 1])
q
k
≤ bEmn−1
([0, 1])EW q + (b k+1 − b)Emn−1
([0, 1])EW k
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Marches aléatoires multifractales
Donc,
q
k
Emnq ([0, 1]) ≤ b 1−q Emn−1
([0, 1])EW q + bEmn−1
([0, 1])EW k
q
Et, car Emn−1
([0, 1]) ≤ Emnq ([0, 1]) (sous-martingale)
Emnq ([0, 1])(1 − b 1−q EW q ) ≤ bEmk ([0, 1])EW k
Alors Emk ([0, 1]) < ∞ ⇒ Emq ([0, 1]) < ∞. Fin si 1 < q ≤ 2
(car Em[0, 1] < ∞)
Si q > 2: comme τ (q) < 0 ⇒ τ (k) < 0 pour k < q on a
Emk−1 ([0, 1]) < ∞ ⇒ Emk ([0, 1]) < ∞ si k < q. Fin.
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Mesures multifractales aléatoires (IDC)
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Mesures multifractales
Du discret au continue: Muzy and Bacry, 2002 and 2003,
Chainais, 2001. Aussi Barral et Mandelbrot, 2002 avec une
construction de processus de Poisson composés et plus
recenment Baral et Jin, 2013 qui généralisent la construction
de Bacry et Muzy.
Mesures multifractales aléatoires (MRM) ou Cascades
infiniment divisibles (IDC): limite vague ν, lorsque l → 0,
d’une succession νl dont sa densité est l’exponentiel d’une
mesure aléatoire P sur une suite d’ensembles appropriés Al .
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Cascades Multiplicatives
Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
P est une mesure infiniment divisible sur S + = {(s, t), t > 0}
définie par la tuple (ψ, µ) telle que
P∞
P(∪∞
i=1 P(Ai ) pour Ai disjoint
i=1 Ai ) =
E (e qP(A) ) = e ψ(q)µ(A) .
Al est choisi pour que: −µ(Al ) ≈ log(l) ceci assure la loi de
puissance et la multifractalité.
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Cascades Multiplicatives
Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
Mesures multifractales
Par le Thm de représentation de Lévy Khinchine, on a
Z ∞
σ2
ψ(q) =
+ mq +
{eqx − 1 − x1{|x|≤1} }ν(dx) ,
2
−∞
ν est la mesure de Lévy de P. Elle satisfait
Z ∞
(x 2 ∧ 1)ν(dx) < ∞ .
−∞
ψ(q) est assumé exister pour 1 < q < q∗ ce que implique
pour q < q∗
Z ∞
eqx ν(dx) < ∞ .
1
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Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
Al (u)
T
A
A
A
u−
T
2
l
u
T
2
0
+u
Figure: Ensemble Al (u) (T fixé, typiquement T = 1 et l > 0).
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Soit µ(dt, dl) =
Cascades Multiplicatives
Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
dtdl
l2
Considérons les cônes d’influence Al (t) (transparence
antérieure )
Soit wl (t) = P(Al (t)) (Al ⊂ S + )
Alors
Z
M(B) = lim
l→0+ B
e wl (t) dt
est la mesure limite d’une suite des martingales
Rappel notation: ζ(q) = q − ψ(q) et τ (q) = 1 − ζ(q)
La limite est non dégénéré s’il existe ε > 0 tel que
ζ(1 + ε) > 1 ( équivalent à τ 0 (1− ) < 0).
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Proprietés
Soit X (t) = M[0, t]
Propriété d’échelle en distribution
loi
{X (λt), 0 ≤ t ≤ T } = {Uλ X (t), 0 ≤ t ≤ T } ,
Ici 0 < λ < 1, Uλ est une variable aléatoire positive
indépendant du processus X et tel que E[Uλq ] = λζ(q) pour
q < qmax
qmax = sup{q : τ (q) < 0} .
Existence des moments: Si τ (q) < 0 alors EM q (I ) < ∞.
Si τ 0 (1− ) < 0 alors EM q (I ) < ∞ ⇒ τ (q) ≤ 0
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Formalisme multifractale
Estimation
Simulation
Cascades Multiplicatives
Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
Processus Poisson Composés
Pour chaque t on choisit les ”points” Γ(t) ⊂ S + par
l’ı́ntensité µ sur Al (t).
On a alors
P(Al (t)) =
λl (t) :=
Q
i∈Γ(t) e
X
log(Wi )1{i∈Γ(t)}
Wi
Wi ∼ W sont des v.a. i.i.d avec Ee W = 1
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Cascades Multiplicatives
Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
Mesure:
Z
m(B) = lim
l→0+ B
λl (t)dt
Alorsψ(q) = E[W q ] − 1 (EW = 1 si non, on prend
E[W q ] − 1 − q(EW − 1)) et
qmax = max{q : E[W q ] ≤ q}
q0 = max{q : qE[W q (log(W ) − 1)] ≤ 1}
On utilisera cette construction pour les simulations.
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Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
Exemples I
Le cas Gaussien général:
P(A) ∼ N(−σ 2 µ(A)/2, σ 2 µ(A))
On a ψ(q) = σ 2 q(q − 1)/2
On obtient les mêmes qmax , q0
On remarque var(P(A)) = ψ 00 (0)µ(A) est fini ssi µ(A) < ∞.
Algorithme détaillée de simulation dans Chainais, Riedi et
Abry, 2003.
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Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
Exemples II
Le cas P α-stable
ψ(q) = µq + σ α |q|α (1 + βsign(q) tan(πα/2)), 0 < α < 2,
α 6= 1.
En prenant µ pour que ψ(1) = 0 on obtient
ψ(q) = σ α (q α − q)(1 + β tan(πα/2)) pour q > 0
Soit β = 0
Si α ∈ (1, 2) ψ(q) = σ α (q α − q).
Alors qmax > 1 ssi σ α (α − 1) < 1 et dans ce cas qmax < ∞ et
q0 = σ −1 (1/(α − 1))1/α .
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Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
Marches aléatoires multifractales: Bm
Case H = 1/2: Bacry, Delour and Muzy, 2001; Bacry and
Muzy, 2003: marche aléatoire multifractale (MRW) comme
un processus conditionnellement gaussien
Le MRW X1/2 (t) est définie comme le processus centré,
conditionnellement gaussien avec covariance conditionnelle
Z t∧s
Γ(s, t) = lim
ewl (u) du = M(s ∧ t).
l→0+ 0
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Cascades Multiplicatives
Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
Marche aleatoire comme mB change du temps
Soit M une MRM. Soit Bt un mB indépendant. Alors
L
X (t) = B(M[0, t]): changement de temps aléatoire par la
mesure multifractale.
La fonction d’échelle est ζ1/2 (q) = ζ(q/2),
Simulation: pour tk = k/2n , considérons e wl (tk ) la densité
multifractale au niveaux l < 2−n et w (k) un bruit blanc
gaussien (centrées,
indépendants):
P
Xn = 2−n/2 k e wl (tk )/2 w (k) → X , dans L2 avec X une
marche aléatoire multifractale.
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Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
Marches aléatoires multifractales: fBm
Cas H > 1/2 (fBm): Bacry and Muzy 2003, Ludena, 2008 et
Abry et al. 2009.
XH (t) est définie comme le processus gaussien centré avec
covariance conditionnelle
Z
t
Z
ΓH (s, t) = lim
l→0+
0
0
s
ewl (u) ewl (v )
du dv =
|u − v |2−2H
t
Z
0
s
Z
0
M(du) M(dv )
.
|u − v |2−2H
Il est bien définie lorsque H − ψ(2)/2 > 1/2 (la convexité de
ψ assure ψ(2) > 0).
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Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
La fonction d’échelle ζH est ζH (q) = qH − ψ(q) ,
Dans ce cas, tel comme définie XH n’ est pas un mBf changée
de temps
Simulation: pour tk = k/2n , considérons e wl (tk ) la densité
multifractale au niveaux l <P
2−n et wH (k) une réalisation
d’un mBf dans [0, 1]: Xn = k e wl (tk ) wH (k) → XH , dans L2
avec XH une marche aléatoire multifractale.
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Marches aléatoires multifractales
Marches aléatoires multifractales: fBm
Cas H < 1/2 (fBm): Perpète, 2012
Integration par rapport à fBm avec H < 1/2 bien définie sur
l’espace des fonctions fractionnairement intégrées L−κ avec
κ = H − 1/2.
L−κ = {f : ∃φ ∈ L2 , f = I−−κ (φ)}
R
1
Pour 0 < η < 1 I−η (φ)(s) := Γ(η)
φ(u)(u − s)η−1
+ ds
L−κ est un espace de Hilbert pour le produit
R −κ
2
−κ
< f , g >κ := Γγ 2(κ+1)
(D− (g ))(s)(D−
(f ))(s)ds
(−κ)
R
∞ f (s)−f (s+u)
η
η
D−
(g ))(s) = Γ(1−η)
du et (0 < η < 1/2)
0
u η+1
R
∞
1
2
−η
−η
2
γ (η) = 0 ((1 + s) − s ) ds + 1−2η
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Marches aléatoires multifractales
Marches aléatoires multifractales: fBm
Rt
Pas 1: on définit Xlκ (t) := l −κ 0 e P(Al (s)) dB H (s) comme un
processus conditionnellement gaussien
Pas 2 : on vérifie l’existence de la limite en distribution de X
lorsque l → 0. La convergence du Kernel du covariance a lieu
dans L1 (dans le cas H > 1/2 on montre convergence p.s.).
Les conditions sur ψ assurant la convergence sont différents
selon que H < 1/4 ou H > 1/4.
Le processus est multifractale avec fonction d’échelle
ζ(q) = q/2 − ψ(q/2), si le moment d’ordre q existe.
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Marches aléatoires multifractales
Chaos multiplicatif
Kahane 1985 (Sur le chaos multiplicatif), Barral et
Mandelbrot 2002, 2010, Robert et Vargas 2010, Rhodes et
Vargas 2013, Mannersalo et, al. 2010
Soit K (s, t)
Pun noyau positif définie tel que
K (s, t) = j Kj (s, t)
Soit Xj une collection des processus gaussiens centrés,
indépendants, de covariance Kj (s, t).
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Estimation
Simulation
Soit
Z
mγ,n (I ) =
eγ
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Marches aléatoires multifractales
P
2
P
Xj (s)− γ2 E( Xj (s))2
ds,
I
I Borelien dans Rd (on peut généraliser pour σ une mesure
de Radon sur D et I ∈ B(σ))
Alors mγ,n (I ) est une martingale positive et converge p.s. vers
mγ,K (I ) pour une mesure mγ,K . Cette mesure est appelé le
chaos multiplicatif gaussien et ne dépend pas du choix des Kj .
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Marches aléatoires multifractales
Proprietés
Non dégénérescence: Supposons K (s, t) = log+
distance euclidienne dans
RR
intégrable si γ tel que
Alors m est non dégénéré
Rd ):
R
ρ(s,t)
(ρ
la suite mγ,n est uniformément
< ∞,
1
dsdt
ρ(s,t)γ 2
ssi γ 2 < 2d
De plus mγ,K admet de moments d’ordre q, pour q ≤ 0 et
0 < q < 2d/γ 2 .
On a aussi si B(0, r ) est la boule de rayon r dans Rd
mγ,K (B(0, r )) ∼ r d e γΩr −
γ2
EΩ2r
2
mγ,K (B(0, 1))
avec Ωr indépendant de m: ζ(q) = (d + γ 2 /2)q − γ 2 q 2 /2
Plus loin: X (t) processus stationnaire
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2
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4
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Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
5
Simulation
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Estimation
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Formalisme multifractale
Kahane et Peyère (1976) Th. 4: Ir |n intervalle b-adyque.
λ(Ir |n ) = b −n . Soit m la mesure multifractale. Suposons
E(m[[0, 1]] log m[[0, 1]]) < ∞. On a m p.s.
lim
n
log m(Ir |n )
= 1 − E(W logb W ) = −τ 0 (1− )
log λ(Ir |n )
Corollaire: la mesure m est portée para un Borélienne B de
mesure D := 1 − E(W logb W ). Tout Borelienne de
dimension < D est de m mesure nulle.
Soit Eα := {r : limn
dimension de Eα ?
log m(Ir |n )
log λ(Ir |n )
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= α}. Question: quelle est la
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Estimation
Simulation
Formalisme multifractale
Soit f (α) = dimH (Eα )
On cherche un q = qα tel que
P
mqα (Ir |n ) ≈
P
Eα
|Ir |n |αqα
En remarquantPque pour chaque q,
P
mq (Ir |n ) = γ |Ir |n |qγ−f (γ)
On a pour chaque q, τ (q) = inf α (qα − f (α))
On aura pour chaque α , f (α) = inf q (qα − τ (q)) ssi f est
convexe (τ est convexe).
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Estimation
Simulation
Soit f (α) = inf q (qα − τ (q)) := τ ∗ (α)
On appelle f (α) le spectre multifractal.
Le ”bon” q = qα donne qα α − τ (qα ) = f (α).
Alors qα tel que α = τ 0 (qα )
f (α) = τ ∗ (τ 0 (qα )).
Applications: caractériser f (α).
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Estimation
Simulation
Plus précisément: on a toujours f (α) ≤ τ ∗ (α) avec égalité
(Brown, Michon, Peyrière, 1992) si il existe q avec τ (q) < 0
et C > 0 tel que pour tout I intervalle b-adyque on a
1
m(I )|I |τ (q) ≤ mq (I ) ≤ Cm(I )|I |τ (q)
C
Lorsque on a égalité on dit que le formalisme multifractale est
satisfaite.
Remarque: rappelons τq (t) = τ (tq) − tτ (q). Si q = qα on
aura l’ égalité ssi τq0 α (1− ) < 0: si la mesure mq pour le ”bon”
q est non dégénéré.
De plus si τq0 (1− ) < 0 pour q ∈ [qmin , qmax ] alors on aura
égalité pour les α (= (αmin , αmax )) tels que qα ∈ [qmin , qmax ]
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Estimation
Simulation
Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
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Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
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Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
La fonction de structure
Pas d’échantillonnage: ∆ = 2−n .
Nombre d’observations: N = 2n . Intervalle d’invariance
d’échelle: T = 1.
Fonction de structure empirique: pour estimer ψ nous devons
étudier
1 X
SN (X , q) =
|X ((j − 1)∆) − X (j∆)|q
N
j
− log2 (SN (X , q))/ log2 (τ ) ≈ ψ(q) − q + 1.
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Estimators:
Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
log2 (SN (X , q))
log2 (∆)
SN (X , q)
ζ̃N (q) := 1 + log2
S2N (X , q)
ζ̂N (q) := 1 +
Ossiander et Waymire, 2000 pour les cascades: ζ̂N (q) et
ζ̃N (q) sont des estimateurs consistantes de ζ(q) pour q < q0
Rapellons q0 < qmax est le plus grand valeur de q tel que
ζ(q) − qζ 0 (q) < 1 .
Pour q > q0 , ζ̂N (q) converge vers une fonction linneaire de q.
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Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
On a des résultats de convergence conditionnelle en loi de
ζ̂N (q) − ζ(q) et ζ̃N (q) − ζ(q) si 2q < q0 .
La vitesse de convergence de ζ̂N (q) est d’ordre log2 (N) car il
existe un terme de biais.
Vitesse de convergence de ζ̃N (q) puissance de N que dépend
de ζ.
SN (X , q) est une somme de variables conditionnellement
indépendants
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Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
Ossiander et Waymire, 2000: convergence de la fonction de
structure pour les cascades multiplicatives
Pour q < q0 on a SN (X , q)/b nτb (q) → mq 1m>0 Emq
logb (SN (X , q)) − nτb (q) → logb (mq ) + logb (Emq )
Biais aléatoire d’ordre n: Bn := (logb (mq ) + logb (Emq ))/n
Si q ≥ q0 on a logb (SN (X , q))/n ≈ q
On appelle ce phénomène l’effet de linéarisation
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Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
Vitesses TLC: si 2q < q0 et η ∼ 1m>0 , N ∼ N(0, 1)
Soit σ12 = var (mq /(Emq log2 b))
nSN (X , q)
1/2
SN (X , 2q)
ˆ − τ (q) − Bn ) → σ 2 ηN
(τ (q)
1
˜ (on peut estimer de façon empirique)
Soit σ22 = var (τ (q))
˜ − τ (q) → σ 2 ηN
τ (q)
2
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Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
Une fois qu’on a estimé τ (q) sur un intervalle (qmin , qmax )
prochaine étape: estimer f (α)
Algorithme: pour chaque q on estime τ (q)
On calcule alors la transformée de Legendre pour la fonction
estimée
f (α) = inf q {qα − τ (q)}
qα solution de α = τ 0 (qα )
f (α) = τ ∗ (τ 0 (qα ))
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Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
Le cadre asymptotique mixte
Bacry, Gloter, Hoffman, Muzy (2010): 2q < q0 très restrictive.
On voudrait augmenter le nombre L des intervalles ”base” :
N = L/∆.
Les observations sont X ((jL + k)∆), 0 ≤ j ≤ L − 1,
0≤k ≤N −1
Et la fonction de structure
SN,L (X , q) :=
L−1 N−1
X
X
|∆XjL+k |q .
j=0 k=0
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Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
Considérons les estimateurs modifiés
log2 (SL,N (X , q))
log2 (∆)
SL,N (X , q)
ζ̃L,N (X , q) := 1 + log2
SL,2N (X , q)
ζ̂L,N (X , q) := 1 +
Bacry et al, 2010: si L = [N χ ], χ > 0, alors ζ̂N,L (X , q) et
ζ̃N,L (X , q) sont des estimateurs consistants pour q < qχ où
qχ = sup{q : ζ(q) − qζ 0 (q) < χ + 1} .
Lorsque χ → ∞ qχ peut devenir plus grand que qmax , donc
on considéra les χ tels que qχ < qmax .
Remarque: pour ζ̂N,L (X , q) il existe un terme de biais
déterministe BN := E[mq ]/ log2 (N)
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Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
Estimateurs par quotient
Comportement asymptotique de ζ̃L,N (X , q) en fonction de
SN,L (X , q)
Résultat (S & L, 2012): Si 2q < qχ , on a
n
o
L−1/2 2−n/2 2nζ(2q)/2 SL,N (X , q) − 2ζ(q)−1 SL,2N (X , q)
→d N(0, V (q)) ,
On remarque les variances non aléatoires
Si 2q < qχ alors
2n(1+χ+2ψ(q)−ψ(2q))/2 {ζ̃(q) − ζ(q)}
→d N(0, V (q)/(E[λq∞ ([0, T ])])2 ).
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Simulation
u − 12 s − 12
D
1
2
Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
− t v − 21 12 + u 21 + s
As,t
C
3
2
Bs,t
− t v + 12
D
1
J J
J J
J J
J J
J J
J J J
J
J
J
l =1−s−t
t+s
u
1−t
s
v
0
Figure: Calcul de covariances: sur une décomposition de Al (s) et Al (1 − t) dans des
régions disjoints par les propriétés de P. Les parties D sont
négligeables et
Cov (M q ([0, s]), M q ([1 − t, 1])) = O (s + t)ζ(q)+ζ(q)+1}
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Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
Ondelettes
Analyse par ondelettes: Arneodo, Bacry et Muzy (1994),
Abry, Flandrin, Taqqu and Veitch (1999),Chainais, Abry et
Veitch (2000), Goncalvez et al (1998), Mallat and Hwang
(1992), Jaffard (1988),Jaffard(2004),...
Soit ψ l’ondelette mère: ψj,k (t) :=
k = 0, . . . 2j − 1
R
Soit cX (j, k) = X (t)ψj,k (t)dt
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ψ(2−j (t−k))
2j
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Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
Pour quoi ondelettes?
Si X est un processus d’incréments stationnaires on a
{cX (j, k)}j,k est une suite stationnaire.
Si ψ a p moments nulles on peut ”décorreler” la suite pour p
assez grand:
Si l’on considère les accroissements à pas δ X (t) − X (t − δ)
et sa covariance
γX (τ ) := Cov (X (t + τ ) − X (t + τ − δ), X (t) − X (t − δ)) on a
Z
Cov (cX (j, k), cX (j, k + l)) ≈ γX (τ )γψ (2−j τ − l)
On a la vitesse de décroissement de Cov (cX (j, k), cX (j, k + l))
lorsque l → ∞ augmente lorsque p est plus grand
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Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
Regularité locale et ondelettes
Exposants de Hölder α > 1: une signale X (t) est dite
Lipschitz α au point t ssi il existent c, h0 et un polynôme
P(x) de dégrée n et n ≤ α ≤ n + 1 tel que pour h < h0 ,
|X (t + h) − P(h)| ≤ c|h|α
La régularité locale de X est définie par le sup des α tel que
l’inégalité antérieure est satisfaite
X est dite uniformément Lipschitz α sur (a, b) si l’inégalité est
satisfaite pour t ∈ (a, b)
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Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
Soit X ∈ L2 [a, b], X uniformément Lip 0 < α ≤ 1 ssi
|cX (j, k)| ≤ c2−jα pour tout j (Mallat)
Si X est α Lip avec 0 < α < 1 on dit que X est singulière.
Pour n < α < n + 1
Si la signale X est uniformément Lipschitz α > n sur (a, b) ssi
sa dérive d’ordre n, X (n) , est uniformément Lipschitz α − n
sur (a, b).
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Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
Si ψ a p > n moments nulles, cX (j, k) = 2−jn cX (n) (j, k)
Alors on obtient |cX (j, k)| ≤ c2−jα
Si X ∈ L2 on a X Lipschitz α ≤ n + 1 au point t alors
cX (j, k) =≤ c[2−jα + (t − k2−j )α )] (k < k0 )
X Lipschitz α ≤ n + 1 au point t si
cX (j, k) =≤ c2−jα et
cX (j, k) =≤ c 0 [2−jα +
(t−k2−j )α )
]
log |t−k2−j |
Si une signale X est α Lipschitz n ≤ α ≤ n + 1 X a n dérives
et X (n) est singulière.
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Simulation
Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
Les ondelettes caractérisent la régularité locale
On étudiera trois méthodes
Fonction de structure des ondelettes
Wavelet Transform Module Maxima
Wavelet Leaders
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Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
Fonction de structure par ondelettes
Soit SW ,N2−j (X , q) =
1
N2−j
PN2−j
j=0
|cX (j, k)|q
On a vu que localement |cX (j, k)|q ≈ |X (t + 2−j ) − X (t)|q
On estime τ par régression de log2 (SW ,N2−j (X , q)) sur j
Rappel:E log2 (SW ,N2−j (X , q)) est biaisée
Mieux (Gonçalvez et al, 1998): on utilise une régression avec
des poids ( marche si le biais est déterministe ou dans le cadre
mixte)
P
P
On estime pour {aj }jj21 tel que jj21 aj = 0 et jj21 jaj = 1
τ̂W (q) =
j2
X
aj log2 (SW ,N2−j (X , q))
j1
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Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
Alors τ̂W est consistant comme estimateur de τ (q)
Vitesses et lois limites: cX (j, k) es une transformation linéaire
de X dont on connait la structure de covariance
Dans certaines cas il y a des résultats asymptotiques
explicites: par exemple X ∼ fBm(H)
qP (Gonçalvez et al, 1998).
2
Ils obtient des vitesses vN = O(
W
j aj /N) et τˆ
asymptotiquement gaussien (X est gaussien).
En général, l’asymptotique de τ̂W dépend de
E log2 (SW ,N2−j (X , q))
Cov (log2 (SW ,N2−j (X , q)), log2 (SW ,N2−j 0 (X , q)))
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Modèles
Formalisme multifractale
Estimation
Simulation
Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
Methode de Module Maximal (WTMM)
Idée originale Mallat et Hwang, 1992
X singulière au point t ⇒ cW 0 ,X (j, k) >> 0 pour
|t − k2−j | ≈ 0.
Pour une échelle j, (j, k0 ) est un point de module maxima
(mm) si |cX (j, k0 )| > |cX (j, k)| sur une voisinage de k0 .
Une ligne maxima est une courbe connexe dans le espace
(j, k) ou tous les points sont de mm
Résultat (M et H): Soit W avec p moments nulles et support
compact. S’il existe j0 tel que pour tout j > j0 cX n’as pas de
mm sur (a, b) avec 1 < α < p, alors X est uniformément Lip
α.
X n’est pas singulière sur un intervalle ou cX (j, k) n’as pas
des mm lorsque j → ∞
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Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
Methode de Module Maxima (WTMM)
Algorithme: pour chaque échelle j soit
Mj = {k : cX (j, k)est mm }.
Si pour une tolérance ε > 0 il y deux k, k 0 avec
2−j |k − k 0 | < ε on choisit le k = arg max |cx (j, k)|.
On définit une fonction de structure MM
X
SMM (j, q) =
|cX (j, k)|q
Mj
τ̂MM (q) s’obtient par régression de − log2 (SMM (j, q)) sur
log2 (j)
On suppose τMM tel que
ESMM (j, q) ≈ 2−jτMM (j)
Lien avec le spectre des singularités f (α): (Arneodo, Bacry,
Muzy, Jaffard)
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τ Ludena
= inf{qα
− f (α)}
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Wavelet Leaders
Une alternative: Wavelet Leaders
On suppose l’ondelette mère ψ est à support compact et a p
moments nulles
Pour chaque échelle j soit l’ensemble {cX (j, k)}k
Pour k donnée soit λj,k = [k2−j , (k + 1)2−j )
Soit (3λ)j,k = λj,k ∪ λj,k−1 ∪ λj,k+1
On définit LX (j, k) = supλ0 ⊂3λ |cX (j 0 , k 0 )| calculé sur les
échelles plus fines contenues dans (3λ)j,k .
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Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
Wavelet Leaders characterisent les singularités
(Abry,Jaffard, Lashermes, 2005) Si X es Lip α en t ≈ k2−j et
p > α il existe c tel que
LX (j, k) ≤ c2−jα .
Si (8) et X est uniformément Lipschitz α > p il existe un
polynôme P tel que |X (t) − P(t − k2−j )| ≤ c2−jα log(j)
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(8)
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Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
Wavelet Leaders
Soit la fonction de structure leader
SL (q, j) =
nj
X
LX (j, k)q
k=0
Supposons qu’il existe τL (q) tel que SL (q, j) ≈ 2−jτL (q)
On a f (α) ≤ inf α {qα − τL (q)}
On obtient τL par régression de log2 ((j, q)) sur j
L’avantage des LX : plus stables numériquement
On peut calculer des moments négatifs
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1
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2
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Cascades Multiplicatives
Mesures multifractales aléatoires (IDC)
Marches aléatoires multifractales
3
Formalisme multifractale
4
Estimation
Estimateurs basées sur la fonction de structure
Le cadre asymptotique mixte
Estimation par ondelettes
5
Simulation
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Simulation
Installation R
Programmes: dans Dossier Medidas multifractales
Simulation: Cascades Dymatrix.R,MRM: Poisson composées
alpha stables.R, makeWi.R, Mdt1D.R, Mdt2D.R,
Mdtab1D.R, Mdtab2D.R
Estimation: MfA formal.R, MfA WLeaders.R, MfA WTMM.R
Pour exécuter un programme dans R il faut le compiler
d’abord. Pour cela on utilisera le logiciel RStudio (ce n’est pas
nécessaire, mais c’est plus amiable).
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Figure: Interface RSudio
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Cascades
Soit W avec EW = 1
Soient Zi ∼ log W i.i.d
Soit M matrice J × 2J tel que
M[j, ] = (Z1 , Z1 , . . . , Z1 , . . . , Zj , Zj , . . . , Zj )
|
{z
}
{z
}
|
2J−j
Xk = e
P
M[,k]
2J−j
est la densité de la cascade à niveaux J
Exemple 1 (Algorithme base): Dymatrix.R log W ∼ N(µ, σ 2 ),
µ = −σ 2 /2
Sur Rstudio (Console): n=11
sigma2=0.5
ycm=Dymatrix(n,sigma2)
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Processus Poisson Composees
Chainais, Riedi et Abry, 2003 (versions originales des
algorithmes par Chainais et Peyré, Abry et autres)
Rang des échelles rmin < δ (niveaux de tolérance de la
simulation)
Mesure des cônes d’ influence: log(1/rmin)
Pas d’ échantillonnage Delta = rmin/2
Nombre des points n = T /Delta + 1
Nombre de multiplicateurs: (on élargit l’intervalle original
[0, T ] par 1 ) (1/rmin − 1) ∗ (T + 1)
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Génération du processus Poisson sur Armin :
Génération uniforme des ti sur [−1/2, T + 1/2]
Génération des ri : selon densité c/r 2 (on prend c = 1)
Multiplicateurs (Cas Gaussien): log W ∼ N(µ, sigma2)
EW q = e qµ+q
2 σ2/2
(EW = 1: µ = −σ2/2)
Exemple 3 (Algorithme base): Mdt1D.R avec la distribution
gaussienne
Normalisation: N1 = e (1−EW ) log(1/rmin)
τ (q) = [1 − EW q − q(1 − EW )] − q + 1
Si µ = −sigma2/2:
τ (q) = [1 − exp(sigma2/2 ∗ q ∗ (1 − q))] − q + 1
IDC: Poisson composée LogNormal
y=Mdt1D(rmin,T=1,sigma2=0.09,mu=-sigma2/2,type="LogN")
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Processus Poisson Composees
Cas α−stable
Algorithm generation:Fulger, Scalas et Germano, 2013
Normalisation
alpha/2 ∗(1+β∗tan(pi∗alpha/2))
EW q = e qµ+sigma2
τ (q) = [1 − EW q − q(1 − EW )] − q + 1
β=0
µ=1
α = 1.2
σ2 = 0.002
IDC: Poisson composée α−Stable
y=Mdt1D(rmin,T=1,sigma2,mu,type="aSa",alpha,beta)
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Marches aléatoires multifractales
Soit M le multifractale générée: y$f
On construit la marche aléatoire par
P
zi
M(ti ) ∆
∆ = t(i) − t(i − 1)
{zi } une collection des variables N(0, 1) indépendants
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Estimation
Estimation par la fonction de structure: MfA formal.R
Nombre d’échelles m=floor(log(T/rmin)/log(2))
Moments q ∈ q1 : q2
On calcule une matrice n × m S: m nombre d’échelles, n
nombre des moments
Le premier estimateur: par régression de S[q, ] sur j
Le deuxième quotient S[, n − 1]/S[, n]
Pour comparer les estimateurs
tau=MfA formal(T,rmin,-3:3,y)
plot(tau$taur,col="blue")
points(tau$tau[,7],col="red")
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Estimation par ondelettes
Estimation par la fonction de structure: MfA WLeaders.R
Installation du paquet wmtsa: dans R
install.packages(wmtsa) et library(wmtsa)
Le programme fournit l’ estimateur de τ
On peut comparer en regardant la fonction originale
taur=(1-exp(sigma2/2*q*(1-q)))-q+1
plot(-taur)
points(tau$tau[,11],col="red")
points(tauwl$tau,col="blue")
points(tau$taur,col="orange")
Plus d’observations l’approximation sera meilleure
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Grand merci!
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Formalisme multifractale
Estimation
Simulation
Biblio I
Patrice Abry, Pierre Chainais, Laure Coutin, and Vladas
Pipiras.
Multifractal random walks as fractional Wiener integrals.
IEEE Transactions on Information Theory, 55(8):3825–3846,
2009.
P. Abry, S. Jaffard, and B. Lashermes. Revisiting scaling,
multifractal, and multiplicative cascades with the wavelet
leader lens. Proc. SPIE, 5607, 2004, pages 103–117.
Emmanuel Bacry, Jean-François Muzy et A. Arneodo.
Multifractal formalism for fractal signals: The structure
function approach versus the wavelet transform modulus
maxima method. Physical review E. Vol. 47(2), 1993.
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Formalisme multifractale
Estimation
Simulation
Biblio II
Emmanuel Bacry and Jean François Muzy.
Log-infinitely divisible multifractal processes.
Communications in Mathematical Physics, 236(3):449–475,
2003.
Emmanuel Bacry, J. Delour, and Jean-François Muzy.
Multifractal random walk.
Physical Review E, 64(2):026103, 6, 2001.
Emmanuel Bacry, Arnaud Gloter, Marc Hoffmann, and
Jean François Muzy.
Multifractal analysis in a mixed asymptotic framework.
The Annals of Applied Probability, 20(5):1729–1760, 2010.
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Formalisme multifractale
Estimation
Simulation
Biblio III
Julien Barral and Xiong Jin. On exact scaling log-infinitely
divisible cascades .Preprint, 2013
Julien Barral and Benoı̂t B. Mandelbrot.
Multifractal products of cylindrical pulses.
Probability Theory and Related Fields, 124(3):409–430, 2002.
Pierre Chainais, Rudolf Riedi and Patrice Abry On non scale
invariant infinitely divisible cascades. IEEE Transactions on
Information Theory 2003.
Pierre Chainais. Multidimensional infinitely divisible
cascades.Application to the modelling of intermittency in
turbulence. EJP, 2006.
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Formalisme multifractale
Estimation
Simulation
Biblio IV
Laurent Duvernet, Christian Y. Robert and Mathieu
Rosenbaum.
Testing the type of a semi-martingale: Itô against multifractal
Electronic Journal of Statistics, 4:1300?-1323, 2010
Paulo Gonc¸alves, Rudolf Riedi and Richard Baraniuk A Simple
Statistical Analysis of Wavelet-basedMultifractal Spectrum
Estimation Asilomar 32nd conference on signals, systems and
computers, Monterrey, 1998
Jean-Pierre Kahane and Jacques Peyrière.
Sur certaines martingales de Benoit Mandelbrot.
Advances in Mathematics, 22(2):131–145, 1976.
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Formalisme multifractale
Estimation
Simulation
Biblio V
Jean-Pierre Kahane. Multiplications aléatoires et dimensions
de Hausdorff. Ann. Inst. henri Poincaré, vol. 23, 1987, pgs.
289-296.
Jean-Pierre Kahane. Sur le chaos multiplicatif, Ann. Sci.
Math. Qu´ebec, vol. 9, pp. 105?150, 1985.
Carenne Ludeña.
Lp -variations for multifractal fractional random walks.
The Annals of Applied Probability, 18(3):1138–1163, 2008.
C. Ludena, P. Soulier. Estimating the scaling function of
multifractal measures and multifractal random walks using
ratios. Bernoulli 20(1), 2014, 334?376.
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Formalisme multifractale
Estimation
Simulation
Biblio VI
Stephane Mallat et Wen Liang Hwang. Singularity detection
and processing with wavelets. IEEE, Transactions on
Information Theory, vol. 38(2).
Benoit Mandelbrot, Adlai Fisher et Laurent Calvety A
Multifractal Model of Asset Returns. Cowles Foundation
Discussion Paper #1164, 1997
Benoit Mandelbrot.
Multiplications aléatoires itérées et distributions invariantes par
moyenne pondérée aléatoire.
Comptes Rendus de l’Académie des Sciencs de Paris. Série A,
278:289–292, 1974.
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Formalisme multifractale
Estimation
Simulation
Biblio VII
Jean-François Muzy and Emmanuel Bacry.
Multifractal stationary random measures and multifractal
random walks with log infinitely divisible scaling laws.
Physical Review E, 66(5):056121, 16, 2002.
Mina Ossiander and Edward C. Waymire.
Statistical estimation for multiplicative cascades. The Annals
of Statistics, 28(6):1533–1560, 2000.
Rémi Rhodes et Vincent Vargas. Multidimensional Multifractal
Random Measures. EJS. Vol. 15 (2010), Paper no. 9, pages
241?258.
Rémi Rhodes et Vincent Vargas. Gaussian multiplicative chaos
and applications: a review. Preprint, 2013.
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Formalisme multifractale
Estimation
Simulation
Biblio VIII
Raul Robert et Vincent Vargas. Gaussian multiplicative chaos
revisited The Annals of Probability 2010, Vol. 38, No. 2,
605?631
D. Veitch, P. Abry, P. Flandrin and P. Chainais Infinitely
divisible cascade analysis of network traffic data. Proceedings
of the ICASSP 2000 conference, 2000.
Edward C. Waymire and Stanley C. Williams. A general
decomposition theory for random cascades. Bulletin of the
American Mathematical Society. Volume 31, Number 2, 1994,
Pages 216-222.
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