Institut
Mines-Telecom
Méthode de Stein
fonctionnelle
L. Decreusefond
Ecole CIMPA
Outline
Roadmap
Distances entre lois
Opérateurs
Mesures gaussiennes
Structures de Dirichlet
Méthode de Stein
Applications
Roadmap
Distances
entre lois
Transport
Optimal
Types
Rubinstein
Wasserstein
Entropie
Prohorov
Roadmap
Distances
entre lois
Transport
Optimal
Types
Rubinstein
Wasserstein
Entropie
Applications
Ergodicité
Inég.
fonction.
Vitesse
converg.
Prohorov
Roadmap
Girsanov
ν µ
Distances
entre lois
Calculs
Stein
ν = T ∗m
Applications
Ergodicité
Inég.
fonction.
Transport
Optimal
Types
Rubinstein
Vitesse
converg.
Wasserstein
Entropie
Prohorov
Roadmap
Girsanov
ν µ
Distances
entre lois
Calculs
Stein
ν = T ∗m
Applications
Ergodicité
Inég.
fonction.
Transport
Optimal
Types
Rubinstein
Vitesse
converg.
Wasserstein
Entropie
Prohorov
Outline
Roadmap
Distances entre lois
Opérateurs
Mesures gaussiennes
Structures de Dirichlet
Méthode de Stein
Applications
Distance de Prohorov
-voisinage
(E , d ) espace métrique
A = {y ∈ E , ∃x ∈ A, d (x, y ) ≤ }
Definition (Distance de Prohorov)
n
o
inf > 0, P(A) ≤ Q(A ) + pour tout A ∈ B(E )
Distance de Prohorov
-voisinage
(E , d ) espace métrique
A = {y ∈ E , ∃x ∈ A, d (x, y ) ≤ }
Definition (Distance de Prohorov)
n
o
inf > 0, P(A) ≤ Q(A ) + pour tout A ∈ B(E )
Topologie de la convergence en loi
Si (E , d ) séparable alors
n→∞
(Pn =⇒ P) ⇐⇒ ( dProhorov (Pn , P) −−−→ 0)
Absolue continuité
Definition
Q P ssi
P(A) = 0 =⇒ Q(A) = 0
ou
∃ L ∈ L1 (P),
Z
Z
F dQ =
On note
L=
dQ
dP
FL dP
f -divergence
Définition
f convexe telle que f (1) = 0
Z
Df (QkP) =
Exemples
Kullblack-Leibler f (t) = t ln t
√
Hellinger f (t) = ( t − 1)2
Variation totale f (t) = |t − 1|
f
dQ
dP
dP
Problème de Monge dans R3
Problème de Monge dans R3
s
x
y = s(x)
Problème de Monge (1781)
Transport optimal
I
µ et ν, mesures de même masse sur Rn .
I
Trouver s : Rn → Rn telle que
s ∗µ = ν
qui minimise
Z
|x − s(x)|d µ(x)
Problème de transport, Kantorovitch (1942)
Linéarisation par changement d’inconnue
I
X et Y deux espaces Polonais
I
c : X × Y → R+ ∪ {+∞} s.c.i.
I
µ = mesure de proba. sur X
I
ν = mesure de proba. sur Y
I
But : trouver
Z
inf
γ∈Σ(µ, ν) X ×Y
I
Tc =
R
c dγopt
c(x, y ) dγ(x, y ).
Cas particuliers
Théorème (Dimension 1, coût quelconque)
Soit Fµ (x) = µ(] − ∞, x])
t(x) = Fν−1 ◦ Fµ (x)
envoie µ sur ν de façon optimale, i.e.
Z
Tc (µ, ν) = c(x, t(x)) dµ(x)
Cas particuliers
Théorème (Dimension 1, coût quelconque)
Soit Fµ (x) = µ(] − ∞, x])
t(x) = Fν−1 ◦ Fµ (x)
envoie µ sur ν de façon optimale, i.e.
Z
Tc (µ, ν) = c(x, t(x)) dµ(x)
Théorème (Dimension quelconque, coût quadratique)
I
c(x, y ) = |x − y |2
I
Conclusion : si µ Leb, il existe une unique mesure γ
optimale
Cas particuliers
Théorème (Dimension 1, coût quelconque)
Soit Fµ (x) = µ(] − ∞, x])
t(x) = Fν−1 ◦ Fµ (x)
envoie µ sur ν de façon optimale, i.e.
Z
Tc (µ, ν) = c(x, t(x)) dµ(x)
Théorème (Dimension quelconque, coût quadratique)
I
c(x, y ) = |x − y |2
I
Conclusion : si µ Leb, il existe une unique mesure γ
optimale
I
Il existe t : Rn → Rn telle que y = t(x), γ-p.p.
Cas particuliers
Théorème (Dimension 1, coût quelconque)
Soit Fµ (x) = µ(] − ∞, x])
t(x) = Fν−1 ◦ Fµ (x)
envoie µ sur ν de façon optimale, i.e.
Z
Tc (µ, ν) = c(x, t(x)) dµ(x)
Théorème (Dimension quelconque, coût quadratique)
I
c(x, y ) = |x − y |2
I
Conclusion : si µ Leb, il existe une unique mesure γ
optimale
I
Il existe t : Rn → Rn telle que y = t(x), γ-p.p.
I
t = Id +∇φ avec φ convexe.
Exemples
I
I
I
I
X = Y = Rn , c(x, y ) = |x − y | (Monge). Rubinstein
1
X = Y = Rn , c(x, y ) = |x − y |2 . Wasserstein
2 P
X = Y = {0, 1}n , c(x, y ) = j=1 1xj 6=yj (Hamming).
1 −1/2
X = Y = l 2 (N), c(x, y ) = |Sβ (x − y )|2l 2 (N) où Sβ
2
opérateur auto-adjoint, Hilbert-Schmidt de l 2 (N).
Inégalité HWI
H-W-I
Entropie (H) HP (Q) = EP [L log L] avec L = d Q/d P
Inégalité HWI
H-W-I
Entropie (H) HP (Q) = EP [L log L] avec L = d Q/d P
Wasserstein (W) W2 (P, Q) = Tk.k2 /2 (P, Q)
Inégalité HWI
H-W-I
Entropie (H) HP (Q) = EP [L log L] avec L = d Q/d P
Wasserstein (W) W2 (P, Q) = Tk.k2 /2 (P, Q)
Information de Fischer (I) IP (Q) = EQ |∇ log L|2
Inégalité HWI
H-W-I
Entropie (H) HP (Q) = EP [L log L] avec L = d Q/d P
Wasserstein (W) W2 (P, Q) = Tk.k2 /2 (P, Q)
Information de Fischer (I) IP (Q) = EQ |∇ log L|2
Inégalité
Si P at Q admettent une variance (sur Rn ) et P = exp(−V ) dx
avec ∇2 V ≥ K Idn
p
K
HP (Q) ≤ W2 (P, Q) IP (Q) − W2 (P, Q)2
2
Log-Sobolev et Talagrand
Inégalité de log-Sobolev
Si P = exp(−V ) dx avec ∇2 V ≥ K Idn , pour tout Q P,
HP (Q) ≤
1
IP (Q)
2K
Log-Sobolev et Talagrand
Inégalité de log-Sobolev
Si P = exp(−V ) dx avec ∇2 V ≥ K Idn , pour tout Q P,
HP (Q) ≤
1
IP (Q)
2K
Talagrand
Si P = exp(−V ) dx avec ∇2 V ≥ K Idn , pour tout Q P,
r
2HP (Q)
W2 (P, Q) ≤
K
Espace de Wiener sur l 2 (N)
Shift
T : l 2 (N) −→ l 2 (N)
u 7−→ u + v
Théorème
1/2
T # mβ mβ ssi ∃ w ∈ l 2 (N) tel que v = Sβ w
dT # mβ
1 −1/2
(u) = exp −v .u − kSβ v k2l 2 (N)
dmβ
2
Distance de Wasserstein
Definition
c(v , w ) =

 1 kS −1/2 (v − w )k2
l 2 (N)
2 β
+∞
1/2
si v − w ∈ Sβ (l 2 (N)) ⊂ l 2 (N)
sinon
Théorème
Tc (mβ , L mβ ) ≤ 2E [L log L]
Distance de Rubinstein
Théorème
Si c est une distance,
Tc (P, Q) =
sup
F ∈c−Lip1
(EP [F ] − EQ [F ])
où
F ∈ c − Lip1 ⇐⇒ |F (x) − F (y )| ≤ c(x, y )
Distance de Rubinstein
Théorème
Si c est une distance,
Tc (P, Q) =
sup
F ∈c−Lip1
(EP [F ] − EQ [F ])
où
F ∈ c − Lip1 ⇐⇒ |F (x) − F (y )| ≤ c(x, y )
Théorème
Si (E , d ) est séparable, il y a équivalence entre
I
Pn converge en loi vers P
I
prohorov-distance(Pn , P) −−−→ 0
n→∞
Distance de Rubinstein
Théorème
Si c est une distance,
Tc (P, Q) =
sup
F ∈c−Lip1
(EP [F ] − EQ [F ])
où
F ∈ c − Lip1 ⇐⇒ |F (x) − F (y )| ≤ c(x, y )
Théorème
Si (E , d ) est séparable, il y a équivalence entre
I
Pn converge en loi vers P
I
prohorov-distance(Pn , P) −−−→ 0
I
Td (Pn , P) −−−→ 0
n→∞
n→∞
Bibliographie
Distances entre lois
I
R.M. Dudley, Real Analysis and Probability. Vol. 74.
Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 2002.
Transport optimal
I
C. Villani, Optimal transport, old and new. Springer Verlag,
New York, 2007.
I
C. Villani, Topics in optimal transportation, vol. 58.
Providence, RI : American Mathematical Society, 2003.
I
L.C. Evans, Partial differential equations and
Monge-Kantorovitch mass transfer
Bibliographie
Transport optimal (suite)
I
D. Feyel and A. S. Üstünel, “Monge-Kantorovitch measure
transportation and Monge-Ampère equation on Wiener space,”
Probab. Theory Related Fields, vol. 128, no. 3, pp. 347–385,
2004.
I
L. Decreusefond, “Wasserstein distance on configurations
space,” Potential Anal., vol. 28, no. 3, pp. 283–300, 2008.
Processus de Poisson sur R+
Definition
N(t) =
X
n≥1
où Tn =
Pn
j=1 Sj
1Tn ≤t
avec (Sj , j ≥ 1) i.i.d. et Sj ∼ E(λ)
Processus de Poisson sur R+
Definition
N(t) =
X
n≥1
où Tn =
Pn
j=1 Sj
1Tn ≤t
avec (Sj , j ≥ 1) i.i.d. et Sj ∼ E(λ)
Propriétés
I
E [N(t)] = λt
I
On note B le MB standard
N λ (t) :=
N(t) − λt λ→∞
√
−−−→ B(t)
λ
au sens de la convergence en loi
En image
3
2
1
0
−1
−2
−3
0
200
400
600
800
Figure : Trajectoire du Poisson renormalisé
1000
Espace commun
Fonctions cadlag
D([0, 1], R) : espace des fonctions continues à droites avec une
limite à gauche
Espace commun
Fonctions cadlag
D([0, 1], R) : espace des fonctions continues à droites avec une
limite à gauche
Distance
d0 (ω, η) =
inf
Φ∈Hom([0,1])
(kω ◦ Φ − ηk∞ + kΦ − Id k∞ ),
où Hom([0, 1]) est l’ensemble des homéormorphismes croissants de
[0, 1]
Espace commun
Fonctions cadlag
D([0, 1], R) : espace des fonctions continues à droites avec une
limite à gauche
Distance
d0 (ω, η) =
inf
Φ∈Hom([0,1])
(kω ◦ Φ − ηk∞ + kΦ − Id k∞ ),
où Hom([0, 1]) est l’ensemble des homéormorphismes croissants de
[0, 1]
Distance de Rubinstein associée
Td0 (P, Q) =
sup
F ∈d0 −Lip1
(EP [F ] − EQ [F ])
Théorème de Barbour
Théorème
c ln n
Td0 (loi(N n ), loi(MB)) ≤ √
n
Méthode
I
Estimer la distance Poisson renormalisé - MB discrétisé
I
Contrôler la distance MB discrétisé - MB par le module de
continuité du MB
Espace commun (suite)
Mouvement Brownien
B a des trajectoires Hölder d’ordre β < 1/2 donc qui appartiennent
à Iβ,2
Espace commun (suite)
Mouvement Brownien
B a des trajectoires Hölder d’ordre β < 1/2 donc qui appartiennent
à Iβ,2
Processus de Poisson
N(t) =
X
n≥1
pour tout β < 1/2
1[Tn , 1] (t) ∈ Iβ,2
Espace commun (suite)
Mouvement Brownien
B a des trajectoires Hölder d’ordre β < 1/2 donc qui appartiennent
à Iβ,2
Processus de Poisson
N(t) =
X
1[Tn , 1] (t) ∈ Iβ,2
n≥1
pour tout β < 1/2
Distance de Rubinstein associée
Tβ loi(N λ ), loi(MB) =
sup
F ∈Iβ,2 −Lip1
h
i
E F (N λ ) − E [F (B)]
Bibliographie
Distance Poisson-Brownien
I
A. D. Barbour, “Stein’s method for diffusion approximations,”
Probab. Theory Related Fields, vol. 84, no. 3, pp. 297–322,
1990.
Théorème de Donsker
A quelle vitesse

1
]
Bm
(t) = √ 
m
converge un MB ?
[mt]
X
j=1

Xj + (mt − [mt])X[mt+1] 
Convergence vers un processus de Poisson
1
3
5
432
4
6
2
0
5
6
1
2
Convergence vers un processus de Poisson
1
3
5
432
4
2
5
6
0
6
dR((n4 • ξn )|[0,a] , ζ|[0,a] ) ≤ C n−1
1
2
Outline
Roadmap
Distances entre lois
Opérateurs
Mesures gaussiennes
Structures de Dirichlet
Méthode de Stein
Applications
Exemples classiques
l 2 (N), L2 ([0, 1]; dx)
Exemples classiques
l 2 (N), L2 ([0, 1]; dx)
Notations
Exemples classiques
l 2 (N), L2 ([0, 1]; dx)
Notations
I
(xn , n ≥ 1) BONC de l 2 (N)
Exemples classiques
l 2 (N), L2 ([0, 1]; dx)
Notations
I
(xn , n ≥ 1) BONC de l 2 (N)
I
(en , n ≥ 1) BONC de L2 ([0, 1])
Exemples classiques
l 2 (N), L2 ([0, 1]; dx)
Notations
I
(xn , n ≥ 1) BONC de l 2 (N)
I
(en , n ≥ 1) BONC de L2 ([0, 1])
L2 (Ω; V )
B : Ω −→ V tel que
E kBk2V < ∞
L2 (Ω; L2 ([0, 1])) = L2 (Ω × [0, 1], P ⊗ dx)
Exemples classiques
l 2 (N), L2 ([0, 1]; dx)
Notations
I
(xn , n ≥ 1) BONC de l 2 (N)
I
(en , n ≥ 1) BONC de L2 ([0, 1])
L2 (Ω; V )
B : Ω −→ V tel que
E kBk2V < ∞
L2 (Ω; L2 ([0, 1])) = L2 (Ω × [0, 1], P ⊗ dx)
Exemples classiques
l 2 (N), L2 ([0, 1]; dx)
Notations
I
(xn , n ≥ 1) BONC de l 2 (N)
I
(en , n ≥ 1) BONC de L2 ([0, 1])
L2 (Ω; V )
B : Ω −→ V tel que
E kBk2V < ∞
L2 (Ω; L2 ([0, 1])) = L2 (Ω × [0, 1], P ⊗ dx)
Hilbert
Exemples classiques
l 2 (N), L2 ([0, 1]; dx)
Notations
I
(xn , n ≥ 1) BONC de l 2 (N)
I
(en , n ≥ 1) BONC de L2 ([0, 1])
L2 (Ω; V )
B : Ω −→ V tel que
E kBk2V < ∞
L2 (Ω; L2 ([0, 1])) = L2 (Ω × [0, 1], P ⊗ dx)
Besov-Liouville
Iα,2 = I0α+ (L2 ([0, 1]; dx))
avec
(I0α+ f )(x) =
1
Γ(α)
Z
x
f (t)(x − t)α−1 dt , x ≥ 0,
0
et
kf kIα, 2 = kI0−α
+ f kL2
Besov-Liouville
Iα,2 = I0α+ (L2 ([0, 1]; dx))
avec
(I0α+ f )(x) =
1
Γ(α)
Z
x
f (t)(x − t)α−1 dt , x ≥ 0,
0
et
kf kIα, 2 = kI0−α
+ f kL2
Espaces de Slobodetzky
Sα, 2
ZZ
n
2
= f ∈L ,
[0,1]2
o
|f (t) − f (s)|2
dt
ds
|t − s|1+2α
Besov-Liouville
Iα,2 = I0α+ (L2 ([0, 1]; dx))
avec
(I0α+ f )(x) =
1
Γ(α)
Z
x
f (t)(x − t)α−1 dt , x ≥ 0,
0
et
kf kIα, 2 = kI0−α
+ f kL2
Espaces de Slobodetzky
Sα, 2
ZZ
n
2
= f ∈L ,
[0,1]2
o
|f (t) − f (s)|2
dt
ds
|t − s|1+2α
Besov-Liouville
Iα,2 = I0α+ (L2 ([0, 1]; dx))
avec
(I0α+ f )(x) =
1
Γ(α)
Z
x
f (t)(x − t)α−1 dt , x ≥ 0,
0
et
kf kIα, 2 = kI0−α
+ f kL2
Espaces de Slobodetzky
Sα, 2
ZZ
n
2
= f ∈L ,
[0,1]2
o
|f (t) − f (s)|2
dt
ds
|t − s|1+2α
Espaces fractionnaires
Besov-Liouville
Iα,2 = I0α+ (L2 ([0, 1]; dx))
avec
(I0α+ f )(x) =
1
Γ(α)
Z
x
f (t)(x − t)α−1 dt , x ≥ 0,
0
et
kf kIα, 2 = kI0−α
+ f kL2
Espaces de Slobodetzky
Sα, 2
ZZ
n
2
= f ∈L ,
[0,1]2
o
|f (t) − f (s)|2
dt
ds
|t − s|1+2α
Injections
Relations
Sα+, 2 ⊂ Iα, 2 ⊂ Sα−, 2 ∀ > 0
Injections de Sobolev
Iα, 2 ⊂ L2/(1−2α) , α < 1/2
Iα, 2 ⊂ Hol(α − 1/2), α > 1/2
Hol(α + ) ⊂ Iα, 2
Lemme
t 7→ 1[τ, 1] (t) ∈ Iα, 2 ssi α < 1/2 et
I0−α
+ (1[τ, 1] )(t) =
1
(t − τ )−α
+
Γ(1 − α)
Lemme
t 7→ 1[τ, 1] (t) ∈ Iα, 2 ssi α < 1/2 et
I0−α
+ (1[τ, 1] )(t) =
1
(t − τ )−α
+
Γ(1 − α)
Démonstration.
Z t
−β
−1
=
Γ(α)
(t − s)α−1
I0α+ (. − τ )−β
+
+ (s − τ )+ ds
τ
α−β
= Γ(1 − β) (t − τ )+
Lemme
t 7→ 1[τ, 1] (t) ∈ Iα, 2 ssi α < 1/2 et
I0−α
+ (1[τ, 1] )(t) =
1
(t − τ )−α
+
Γ(1 − α)
Démonstration.
Z t
−β
−1
=
Γ(α)
(t − s)α−1
I0α+ (. − τ )−β
+
+ (s − τ )+ ds
τ
α−β
= Γ(1 − β) (t − τ )+
Lemme
t 7→ 1[τ, 1] (t) ∈ Iα, 2 ssi α < 1/2 et
I0−α
+ (1[τ, 1] )(t) =
1
(t − τ )−α
+
Γ(1 − α)
Démonstration.
Z t
−β
−1
=
Γ(α)
(t − s)α−1
I0α+ (. − τ )−β
+
+ (s − τ )+ ds
τ
α−β
= Γ(1 − β) (t − τ )+
Dérivabilité des indicatrices
Lemme
t 7→ 1[τ, 1] (t) ∈ Iα, 2 ssi α < 1/2 et
I0−α
+ (1[τ, 1] )(t) =
1
(t − τ )−α
+
Γ(1 − α)
Démonstration.
Z t
−β
−1
=
Γ(α)
(t − s)α−1
I0α+ (. − τ )−β
+
+ (s − τ )+ ds
τ
α−β
= Γ(1 − β) (t − τ )+
Isomorphisme canonique
De Iα,2 à l 2 (N)
Iα, 2 −→ L2 ([0, 1]; dx) −→
f
l 2 (N)
I0−α
+ f
7−→
7−→
g
P
n≥1
R
1
0 g (s)en (s)
ds
xn
Cas particulier
1[τ, 1] 7−→
X Z
n≥1
0
1
X
(s−τ )−α
e
(s)
ds
x
=
Γ(1−α)
I11−α
n
n
− en (τ ) xn
+
n≥1
où
I1α− f
Z
(t) =
t
1
(s − t)α−1 f (s) ds
Definition
A : V0 −→ V est Hilbert-Schmidt ssi
X
kV k2HS :=
kAvn k2V < ∞
n≥1
pour une (donc toute) BONC (vn , n ≥ 1) de V0 .
Definition
A : V0 −→ V est Hilbert-Schmidt ssi
X
kV k2HS :=
kAvn k2V < ∞
n≥1
pour une (donc toute) BONC (vn , n ≥ 1) de V0 .
Exemple
Si Af (t) =
R
A(t, s)f (s) ds alors A est HS ssi
ZZ
A(t, s)2 dt ds < ∞
Definition
A : V0 −→ V est Hilbert-Schmidt ssi
X
kV k2HS :=
kAvn k2V < ∞
n≥1
pour une (donc toute) BONC (vn , n ≥ 1) de V0 .
Exemple
Si Af (t) =
R
A(t, s)f (s) ds alors A est HS ssi
ZZ
A(t, s)2 dt ds < ∞
Definition
A : V0 −→ V est Hilbert-Schmidt ssi
X
kV k2HS :=
kAvn k2V < ∞
n≥1
pour une (donc toute) BONC (vn , n ≥ 1) de V0 .
Exemple
Si Af (t) =
R
A(t, s)f (s) ds alors A est HS ssi
ZZ
A(t, s)2 dt ds < ∞
Opérateurs Hilbert-Schmidt
Definition
A : V0 −→ V est Hilbert-Schmidt ssi
X
kV k2HS :=
kAvn k2V < ∞
n≥1
pour une (donc toute) BONC (vn , n ≥ 1) de V0 .
Exemple
Si Af (t) =
R
A(t, s)f (s) ds alors A est HS ssi
ZZ
A(t, s)2 dt ds < ∞
Espaces de Besov-Liouville
Theorem
L’injection κα := Iα, 2 ⊂ L2 est HS ssi α > 1/2
1
1
2
2
α 2
cα := kκα kHS = kI0+ kHS =
4Γ(α)2 α(α − 1/2)
Démonstration.
(hn = I0α+ en , n ≥ 1) BONC de Iα, 2 donc
kκα k2HS =
X
khn k2L2 =
n≥1
1
=
Γ(α)2
X
kI0α+ en k2L2 = kI0α+ k2HS
n≥1
ZZ
(t − s)2α−2
ds dt
+
Definition
A : V −→ V est trace-class ssi
X
hAvn , vn iV < ∞
n≥1
On note
trace(A) =
X
hAvn , vn iV
n≥1
Definition
A : V −→ V est trace-class ssi
X
hAvn , vn iV < ∞
n≥1
On note
trace(A) =
X
hAvn , vn iV
n≥1
Opérateurs diagonalisables
Si Af =
P
n≥1 λn
vn ⊗ vn alors
Definition
A : V −→ V est trace-class ssi
X
hAvn , vn iV < ∞
n≥1
On note
trace(A) =
X
hAvn , vn iV
n≥1
Opérateurs diagonalisables
I
P
vn ⊗ vn alors
P
A est HS ssi n≥1 |λn |2 < ∞
Si Af =
n≥1 λn
Definition
A : V −→ V est trace-class ssi
X
hAvn , vn iV < ∞
n≥1
On note
trace(A) =
X
hAvn , vn iV
n≥1
Opérateurs diagonalisables
I
I
P
vn ⊗ vn alors
P
A est HS ssi n≥1 |λn |2 < ∞
P
A est trace-class ssi n≥1 |λn | < ∞
Si Af =
n≥1 λn
Definition
A : V −→ V est trace-class ssi
X
hAvn , vn iV < ∞
n≥1
On note
trace(A) =
X
hAvn , vn iV
n≥1
Opérateurs diagonalisables
I
I
P
vn ⊗ vn alors
P
A est HS ssi n≥1 |λn |2 < ∞
P
A est trace-class ssi n≥1 |λn | < ∞
Si Af =
n≥1 λn
Definition
A : V −→ V est trace-class ssi
X
hAvn , vn iV < ∞
n≥1
On note
trace(A) =
X
hAvn , vn iV
n≥1
Opérateurs diagonalisables
I
I
P
vn ⊗ vn alors
P
A est HS ssi n≥1 |λn |2 < ∞
P
A est trace-class ssi n≥1 |λn | < ∞
Si Af =
n≥1 λn
Opérateurs à trace
Definition
A : V −→ V est trace-class ssi
X
hAvn , vn iV < ∞
n≥1
On note
trace(A) =
X
hAvn , vn iV
n≥1
Opérateurs diagonalisables
I
I
P
vn ⊗ vn alors
P
A est HS ssi n≥1 |λn |2 < ∞
P
A est trace-class ssi n≥1 |λn | < ∞
Si Af =
n≥1 λn
Propriétés
Norme associée
kAkS1 =
X
h(A∗ A)1/2 vn , vn iV
n≥1
Si A auto-adjoint, positif alors kAkS1 = trace(A)
Composition
trace(A ◦ B) ≤ kAkop kBkS1
Bibliographie
Intégration fractionnaire
I
Samko, S.G., A.A. Kilbas, and O.I. Marichev. Fractional
Integrals and Derivatives. Gordon and Breach Science, 1993.
I
Feyel, D., and A. de La Pradelle. “On Fractional Brownian
Processes.” Potential Anal. 10, no. 3 (1999): 273–288.
Opérateurs à trace
I
Dunford, N., and J.T. Schwartz. Linear Operators. Part II.
Wiley Classics Library, 1988.
I
Simon, B. Trace Ideals and Their Applications. Vol. 120.
Second. Mathematical Surveys and Monographs. Providence,
RI : American Mathematical Society, 2005.
Outline
Roadmap
Distances entre lois
Opérateurs
Mesures gaussiennes
Structures de Dirichlet
Méthode de Stein
Applications
Vecteurs gaussiens
Definition
Un vecteur aléatoire X = (X1 , · · · , Xn ) est un vecteur gaussien ssi
n
X
loi
ηj Xj = N (∗, ∗) pour tout η ∈ Rn
j=1
ce qui équivaut à
1
E [exp(iη.X )] = exp iη.mX − ΓX η.η
2
où
mX = (E [X1 ] , · · · , E [Xn ]) et ΓX (i, j) = cov(Xi , Xj )
Matrice de covariance
Propriétés
I
ΓX symétrique, définie et positive
ΓX η.η > 0 pour tout η ∈ Rn \{0}
I
ΓX diagonalisable de vp (λj , j = 1, · · · , n)


n
n
X
X
E
|Xi |2  =
|λj |2
j=1
I
j=1
A ∈ M(Rn ; Rp )
loi
AX = N (AmX , AΓX A∗ )
Généralisation
Espaces de Hilbert
X : Ω −→ V , V Hilbert, est une variable aléatoire gaussienne
centrée à valeurs dans V ssi il existe S : V −→ V , auto-adjoint,
positif et Hilbert-Schmidt tel que
1
E [exp(ihη, X iV )] = exp − hSη, ηiV pour tout η ∈ V
2
Remarque
Il n’existe pas de gaussienne d’opérateur de covariance Id en
dimension infinie
Mouvement brownien
0.6
0.4
0.2
0.0
−0.2
−0.4
−0.6
0
2000
4000
6000
8000
10000
Definition
Le mouvement brownien (B(t), t ≥ 0) est l’unique processus
gaussien centré de covariance
E [B(t)B(s)] = min(t, s)
Definition
Le mouvement brownien (B(t), t ≥ 0) est l’unique processus
gaussien centré de covariance
E [B(t)B(s)] = min(t, s)
Propriétés
Definition
Le mouvement brownien (B(t), t ≥ 0) est l’unique processus
gaussien centré de covariance
E [B(t)B(s)] = min(t, s)
Propriétés
I
B(t) ∼ N (0, t)
Definition
Le mouvement brownien (B(t), t ≥ 0) est l’unique processus
gaussien centré de covariance
E [B(t)B(s)] = min(t, s)
Propriétés
I
B(t) ∼ N (0, t)
I
B(t) − B(s) est indépendant de {B(u), u ≤ s}
Definition
Le mouvement brownien (B(t), t ≥ 0) est l’unique processus
gaussien centré de covariance
E [B(t)B(s)] = min(t, s)
Propriétés
I
B(t) ∼ N (0, t)
I
B(t) − B(s) est indépendant de {B(u), u ≤ s}
I
t 7→ B(t) est p.s. α-Hölder pour tout α < 1/2
Definition
Le mouvement brownien (B(t), t ≥ 0) est l’unique processus
gaussien centré de covariance
E [B(t)B(s)] = min(t, s)
Propriétés
I
B(t) ∼ N (0, t)
I
B(t) − B(s) est indépendant de {B(u), u ≤ s}
I
t 7→ B(t) est p.s. α-Hölder pour tout α < 1/2
Definition
Le mouvement brownien (B(t), t ≥ 0) est l’unique processus
gaussien centré de covariance
E [B(t)B(s)] = min(t, s)
Propriétés
I
B(t) ∼ N (0, t)
I
B(t) − B(s) est indépendant de {B(u), u ≤ s}
I
t 7→ B(t) est p.s. α-Hölder pour tout α < 1/2
Définition formelle
Definition
Le mouvement brownien (B(t), t ≥ 0) est l’unique processus
gaussien centré de covariance
E [B(t)B(s)] = min(t, s)
Propriétés
I
B(t) ∼ N (0, t)
I
B(t) − B(s) est indépendant de {B(u), u ≤ s}
I
t 7→ B(t) est p.s. α-Hölder pour tout α < 1/2
Conséquence
Hol(α) ⊂ Iβ, 2 si α > β
B : Ω −→
ω 7−→ (t 7→ B(ω, t))
Conséquence
Hol(α) ⊂ Iβ, 2 si α > β
B : Ω −→ Iβ,2
ω 7−→ (t 7→ B(ω, t))
Théorème d’Itô-Nisio
(Xn , n ≥ 1) suite de va indépendantes, de loi N (0, 1)
B(t) =
∞
X
n=1
Xn I01+ en (t) p.s., uniformément
Théorème d’Itô-Nisio
(Xn , n ≥ 1) suite de va indépendantes, de loi N (0, 1)
B(t) =
∞
X
Xn I01+ en (t) p.s., uniformément
n=1
B ∈ L2 (Ω; Iβ,2 ) ?
P
1−β 2
=E ∞
X
I
e
2
n
n
n=1
0+
β,2
L
hP
i
R 1 1−β
R 1 1−β
P
1−β
2
2
=E
n, m Xn Xm 0 I + en (s) I + em (s) ds = n≥1 0 |I + en (s)| ds=c1−β
h P
1
2
E k ∞
n=1 Xn I0+ en kI
0
i
0
0
Théorème d’Itô-Nisio
(Xn , n ≥ 1) suite de va indépendantes, de loi N (0, 1)
B(t) =
∞
X
Xn I01+ en (t) p.s., uniformément
n=1
B ∈ L2 (Ω; Iβ,2 ) ssi β < 1/2
P
1−β 2
=E ∞
X
I
e
2
n
n
n=1
0+
β,2
L
hP
i
R 1 1−β
R 1 1−β
P
1−β
2
2
=E
n, m Xn Xm 0 I + en (s) I + em (s) ds = n≥1 0 |I + en (s)| ds=c1−β
h P
1
2
E k ∞
n=1 Xn I0+ en kI
0
i
0
0
Théorème d’Itô-Nisio
(Xn , n ≥ 1) suite de va indépendantes, de loi N (0, 1)
B(t) =
∞
X
Xn I01+ en (t) p.s., uniformément
n=1
B ∈ L2 (Ω; Iβ,2 ) ssi β < 1/2
P
1−β 2
=E ∞
X
I
e
2
n
n
n=1
0+
β,2
L
hP
i
R 1 1−β
R 1 1−β
P
1−β
2
2
=E
n, m Xn Xm 0 I + en (s) I + em (s) ds = n≥1 0 |I + en (s)| ds=c1−β
h P
1
2
E k ∞
n=1 Xn I0+ en kI
0
i
0
0
Construction
Théorème d’Itô-Nisio
(Xn , n ≥ 1) suite de va indépendantes, de loi N (0, 1)
B(t) =
∞
X
Xn I01+ en (t) p.s., uniformément
n=1
B ∈ L2 (Ω; Iβ,2 ) ssi β < 1/2
P
1−β 2
=E ∞
X
I
e
2
n
n
n=1
0+
β,2
L
hP
i
R 1 1−β
R 1 1−β
P
1−β
2
2
=E
n, m Xn Xm 0 I + en (s) I + em (s) ds = n≥1 0 |I + en (s)| ds=c1−β
h P
1
2
E k ∞
n=1 Xn I0+ en kI
0
i
0
0
Bibliographie
Gaussiennes
I
Kuo, H.H. Gaussian Measures in Banach Spaces. Vol. 463.
Lect. Notes in Mathematics. Springer–Verlag, 1975.
Construction du mouvement brownien
I
K. Itô, and M. Nisio. “On the Convergence of Sums of
Independent Banach Space Valued Random Variables.” Osaka
Journal of Mathematics 5 (1968): 35–48.
Outline
Roadmap
Distances entre lois
Opérateurs
Mesures gaussiennes
Structures de Dirichlet
Méthode de Stein
Applications
Transfert de structure
Explication
De Iβ,2 à l 2 (N)
+
Jβ : Iβ,2
−→ l 2 (N)
X −β
ω 7−→
hI0+ ω, en iL2 xn
n≥1
+
2
J−1
β : l (N) −→ Iβ,2
X
X
αn xn 7−→
αn I0β+ (en )
n≥1
n≥0
MB sur l 2 (N)
Definition (Définition du MB)
I
Sur Iβ,2 ,
X
Xn I01+ en
n
I
Sur l 2 (N),
u=
XX
k
n
Xn hI01−β
+ en , ek iL2 xk
Opérateur de covariance
Notations
µβ loi du MB sur Iβ, 2 , mβ = J#
β µβ
Z
Sβ tel que
l 2 (N)
e iv .u dmβ (u) = exp(−Sβ v .v )
Montrer que
Sβ =
XX
hhn1−β , hk1−β iL2 xn ⊗ xk
n≥1 k≥1
où hn1−β = I11−β
− en
Indication
Solution
Semi-groupe d’Orstein-Uhlenbeck
Definition
Z
F (e −t u +
Pt F (u) =
l 2 (N)
p
1 − e −2t v ) dmβ (v )
Propriétés (à montrer)
t→∞
Ergodicité Pt F (u) −−−→
R
Semi-groupe Pt+s = Pt ◦ Ps
F dmβ
Indication
Solution
Commutation gradient/semi-groupe ∇Pt F (u) = e −t Pt ∇F (u)
Intégration par parties
Préliminaires
Soit νΓ une mesure gaussienne sur Rn de matrice de covariance Γ
Z
Z
∇F (y ).y dνΓ (y ) =
trace(Γ ◦ ∇(2) F (y )) dνΓ (y ).
(1)
Rn
Indication
Rn
Solution
Corollaire
Z
p
1 − e −2t v ) dmβ (v )
Z
=
tracel 2 (N) (Sβ ◦ ∇(2) F (u)) dmβ (u)
v .∇F (e −t u +
l 2 (N)
l 2 (N)
Indication
Solution
Montrer que
d β
A F (u) =
Pt F (u)
.
dt
t=0
β
avec
(Aβ F )(u) = u.(∇F )(u) − tracel 2 (N) (Sβ ◦ ∇(2) F (u))
pour F ∈ Cb2 (l 2 (N); X )
Montrer que
d β
A F (u) =
Pt F (u)
.
dt
t=0
β
avec
(Aβ F )(u) = u.(∇F )(u) − tracel 2 (N) (Sβ ◦ ∇(2) F (u))
pour F ∈ Cb2 (l 2 (N); X )
Corollaire
F (u) − Emβ [F ]
Z
=−
0
∞
u.∇Ptβ F (u) − trace Sβ ◦ ∇(2) Ptβ F (u) dt
Montrer que
d β
A F (u) =
Pt F (u)
.
dt
t=0
β
avec
(Aβ F )(u) = u.(∇F )(u) − tracel 2 (N) (Sβ ◦ ∇(2) F (u))
pour F ∈ Cb2 (l 2 (N); X )
Corollaire
F (u) − Emβ [F ]
Z
=−
0
∞
u.∇Ptβ F (u) − trace Sβ ◦ ∇(2) Ptβ F (u) dt
Montrer que
d β
A F (u) =
Pt F (u)
.
dt
t=0
β
avec
(Aβ F )(u) = u.(∇F )(u) − tracel 2 (N) (Sβ ◦ ∇(2) F (u))
pour F ∈ Cb2 (l 2 (N); X )
Corollaire
F (u) − Emβ [F ]
Z
=−
0
∞
u.∇Ptβ F (u) − trace Sβ ◦ ∇(2) Ptβ F (u) dt
Chapman-Kolmogorov
Montrer que
d β
A F (u) =
Pt F (u)
.
dt
t=0
β
avec
(Aβ F )(u) = u.(∇F )(u) − tracel 2 (N) (Sβ ◦ ∇(2) F (u))
pour F ∈ Cb2 (l 2 (N); X )
Corollaire
F (u) − Emβ [F ]
Z
=−
0
∞
u.∇Ptβ F (u) − trace Sβ ◦ ∇(2) Ptβ F (u) dt
Bibliographie
Espaces de Dirichlet
I
N. Bouleau and F. Hirsch, Dirichlet Forms and Analysis on
Wiener Space. De Gruyter Studies in Mathematics, 1992.
I
Z. M. Ma and M. Röckner, Introduction to the theory of
(nonsymmetric) Dirichlet forms. Berlin : Springer-Verlag, 1992.
Outline
Roadmap
Distances entre lois
Opérateurs
Mesures gaussiennes
Structures de Dirichlet
Méthode de Stein
Applications
Schéma générique
Espace initial
Espace cible
(E, ν)
(F, µ)
Schéma générique
Espace initial
Espace cible
(E, ν)
(F, µ)
T
(F, T ∗ ν)
Schéma générique
Espace initial
Espace cible
(E, ν)
(F, µ)
T
dist.(T ∗ ν, µ) ?
(F, T ∗ ν)
Poisson - Gaussien
Convergence en loi
1
λ→∞
√ (Poisson(λ) − λ) −−−→ N (0, 1)
λ
Convergence pour la distance de Wasserstein
distW
1
√ (Poisson(λ) − λ), N (0, 1)
λ
1
≤√
λ
Premier ingrédient (espace cible)
Caractérisation de la loi gaussienne
Z ∼ N (0, 1) ⇐⇒ E Z F (Z ) − F 0 (Z ) = 0, ∀F ∈ Cb1
Idée de Stein
Z F (Z ) − F 0 (Z ) ' 0 =⇒ Z ' N (0, 1)
Equation de Stein
Definition
∀H ∈ Lip(1), ∃? F s.t. H(x) − E [H(N (0, 1))] = x F (x) − F 0 (x)
Théorème
Il existe F , qui plus est, F ∈ Cb2
kF 0 k∞ ≤ 1, kF 00 k∞ ≤ 2
Deuxième ingrédient (espace initial)
Intégration par parties
√
Soit X ∼ Poisson (λ) and X̃ = (X − λ)/ λ
h
i √
h
i
√
E X̃ F (X̃ ) = λ E F (X̃ + 1/ λ) − F (X̃ )
Troisième ingrédient (deux espaces)
Pseudo commutation des « gradients »
D’après la formule de Taylor
√
√
1
1 00
F (X̃ + 1/ λ) − F (X̃ ) = √ F 0 (X̃ ) +
F (X̃ + θ/ λ)
2λ
λ
distW
1
√ (Poisson(λ) − λ), N (0, 1)
λ
h
i
= sup E H(X̃ ) − H(N (0, 1))
H∈Lip(1)
≤
sup
h
i
E X̃ F (X̃ ) − F 0 (X̃ )
F : kF 0 k∞ ≤1, kF 00 k∞ ≤2
= sup E
h√
i
√
λ(F (X̃ + 1/ λ) − F (X̃ )) − F 0 (X̃ )
F ...
D’après la formule de Taylor
√
√
1
1 00
F (X̃ + 1/ λ) − F (X̃ ) = √ F 0 (X̃ ) +
F (X̃ + θ/ λ)
2λ
λ
Conclusion
distW
1
1
√ (Poisson(λ) − λ), N (0, 1) ≤ √
λ
λ
Schéma générique
Espace initial
Espace cible
(D, νλ = loi(N λ )
(l 2 (N), mβ )
Jβ
(l 2 (N), J#
β νλ )
Caractérisation de la loi cible
m
(Ptβ )# m
mβ
(Ptβ )# mβ
mβ
Structure de Dirichlet
LF =
dPt F dt t=0
E(F ,G )=
d hP F ,G i
t
L2 (m)
dt
Pt =e tL
R
Pt F → F dm
en t = 0
LF / G tq
E(F ,H)=
hG ,Hi 2
, ∀H
L (m)
E(F ,G )
=
R
m, L
LF dm = 0
hLF ,G i 2
L (m)
Structure de Dirichlet-Malliavin
LF =
dPt F dt t=0
L = D∗D
E(F ,G )=
d hP F ,G i
t
L2 (m)
dt
Pt =e tL
R
Pt F → F dm
en t = 0
LF / G tq
E(F ,H)=
hG ,Hi 2
, ∀H
L (m)
D tel que
E(F ,G )=
hDF ,DG i 2
L (m)⊗L2 (m)
E(F ,G )
=
R
m, L
LF dm = 0
hLF ,G i 2
L (m)
Exemples
Mesure gaussienne sur Rn
I
F = Rn , µ=Gaussienne
I
LF (x) = x.∇F (x) − ∆F (x)
I
X =processus Ornstein-Uhlenbeck
dX (t) = −X (t)dt +
I
2 dB(t)
Semi-groupe
Z
Pt F (x) =
Rn
I
√
D=∇
F (e −t x +
p
1 − e −2t y ) d µ(y )
Mesure Gaussienne sur l 2 (N)
mβ
I
F = l 2 (N), µ = mβ
I
LF (u) = u.∇F (u) − trace(Sβ ◦ ∇(2) F (u)
I
Semi-groupe
Z
F (e −t u +
Pt F (x) =
l 2 (N)
I
Xk =processus Ornstein-Uhlenbeck sur R
XX
X(t) =
Xk (t)hI01−β
+ ek , en iL2 xn
n
I
p
1 − e −2t v ) dmβ (v )
D=∇
k
Loi de Poisson sur N
Poisson
I
F = N, µ=Poissonn [λ]
I
LF (n) = λ(F (n + 1) − F (n)) + n(F (n − 1) − F (n))
I
X (t) = nb de serveurs occupés dans une file M/M/∞
I
Dist. X (t) = Poisson[θ(t, X (0))] où
θ(t, n) = e −t n + (1 − e −t )λ
I
Semi-groupe
Pt F (n) =
∞
X
k=0
I
DF (n) = F (n + 1) − F (n)
F (k)e −θ(t,n)
θ(t, n)k
k!
Processus de Poisson
PPP sur R+
I
F = processus ponctuels sur R+
I
µ=processus de Poisson d’intensité λ dt
I
Générateur
Z
LF (N) :=
R+
F (N + y ) − F (ω) λ dy
X
+
F (N − y ) − F (ω)
y ∈N
I
Processus de Markov X : processus de Glauber
I
Dist. X (t)=PPP((1 − e −t )λ) + e −t -amincissement de la C.I.
Gradient discret
Definition
Dλ2,1
Dτ F (N) = F (N + τ ) − F (N), for any τ ∈ [0, 1],
Z 1
n
o
2
2
2
2
= F ∈ L , kF k2,1,λ := Eνλ F +Eνλ
|Dτ F | λ dτ < ∞
0
Definition (Domaine de la divergence)
G ∈ L2 (νλ × d τ ) appartient à Dom δ λ s’il existe c > 0 tel que
Z 1
Eνλ
Dτ F Gτ λ dτ ≤ c kF kL2 (νλ ) ,
0
pour tout F ∈ Dλ2,1 .
Intégration par parties
Definition
δ λ = D ∗ définie par
Z
h
i
λ
Eνλ F δ (G ) = λ Eνλ
1
Dτ F Gτ dτ .
0
Théorème
Pour G déterministe,
λ
Z
0
et Dδ λ G = G .
1
Gτ ( dN(τ ) − λ dτ ),
δ G=
Espace de Rademacher
Suite de Bernoulli symétrique indépendantes
I
F = {−1, 1}N , µ = (1/2.−1 + 1/2.1 )⊗N
I
Xk+ = (X1 , · · · , Xk−1 , 1, Xk+1 · · · )
and Xk− = (X1 , · · · , Xk−1 , −1, Xk+1 · · · ).
I
Gradient discret
1
Dk] F (X ) = (F (Xk+ ) − F (Xk− )).
2
I
Intégration par parties
"
#
"
#
X
X
E
uk Dk] F (X ) = E F (X )
uk Xk
k∈N
pour tout u = (uk , k ∈ N) ∈ l 2 (N).
k∈N
(2)
Rappel
Definition
Ptβ F (u)
Z
F (e −t u +
=
l 2 (N)
p
1 − e −2t v ) dmβ (v )
Théorème (Equation de Dirichlet-Stein)
F (u) − Emβ [F ]
Z
=−
0
∞
u.∇Ptβ F (u) − trace Sβ ◦ ∇(2) Ptβ F (u) dt
Distance modifiée
Definition
Z
sup
ρj (ν, µ) =
Z
F dν −
kF k
≤1
j
C (l 2 (N); R)
b
Théorème
n→∞
loi
ρj (Pn , P) −−−→ 0 =⇒ Pn = P
F dµ.
Hypothèse : Hyp(X , H, α)
Données : X Hilbert, H ∈ l 2 (N) ⊗ X , α ≥ 0 Pour tout
G ∈ Cb2 (l 2 (N); l 2 (N))
Z
l 2 (N)
Z
x.G (x) dν(x)−
l 2 (N)
trace(traceX (H⊗H)◦∇G (x)) dν(x)
≤ α k∇(2) G k∞ .
Hypothèse : Hyp(X , H, α)
Données : X Hilbert, H ∈ l 2 (N) ⊗ X , α ≥ 0 Pour tout
G ∈ Cb2 (l 2 (N); l 2 (N))
Z
Z
x.G (x) dν(x)−
l 2 (N)
l 2 (N)
trace(traceX (H⊗H)◦∇G (x)) dν(x)
≤ α k∇(2) G k∞ .
Theorem (Méthode de Stein)
Sous Hyp(X , H, α)
α > 0 =⇒ ρ3 (ν, mβ ) ≤
1
α
k traceX (H ⊗ H) − Sβ kS1 + ·
2
3
1
α = 0 =⇒ ρ2 (ν, mβ ) ≤ k traceX (H ⊗ H) − Sβ kS1 .
2
Hypothèse : Hyp(X , H, α)
Données : X Hilbert, H ∈ l 2 (N) ⊗ X , α ≥ 0 Pour tout
G ∈ Cb2 (l 2 (N); l 2 (N))
Z
Z
x.G (x) dν(x)−
l 2 (N)
l 2 (N)
trace(traceX (H⊗H)◦∇G (x)) dν(x)
≤ α k∇(2) G k∞ .
Theorem (Méthode de Stein)
Sous Hyp(X , H, α)
α > 0 =⇒ ρ3 (ν, mβ ) ≤
1
α
k traceX (H ⊗ H) − Sβ kS1 + ·
2
3
1
α = 0 =⇒ ρ2 (ν, mβ ) ≤ k traceX (H ⊗ H) − Sβ kS1 .
2
Hypothèse : Hyp(X , H, α)
Données : X Hilbert, H ∈ l 2 (N) ⊗ X , α ≥ 0 Pour tout
G ∈ Cb2 (l 2 (N); l 2 (N))
Z
Z
x.G (x) dν(x)−
l 2 (N)
l 2 (N)
trace(traceX (H⊗H)◦∇G (x)) dν(x)
≤ α k∇(2) G k∞ .
Theorem (Méthode de Stein)
Sous Hyp(X , H, α)
α > 0 =⇒ ρ3 (ν, mβ ) ≤
1
α
k traceX (H ⊗ H) − Sβ kS1 + ·
2
3
1
α = 0 =⇒ ρ2 (ν, mβ ) ≤ k traceX (H ⊗ H) − Sβ kS1 .
2
Résultat principal
Hypothèse : Hyp(X , H, α)
Données : X Hilbert, H ∈ l 2 (N) ⊗ X , α ≥ 0 Pour tout
G ∈ Cb2 (l 2 (N); l 2 (N))
Z
Z
x.G (x) dν(x)−
l 2 (N)
l 2 (N)
trace(traceX (H⊗H)◦∇G (x)) dν(x)
≤ α k∇(2) G k∞ .
Theorem (Méthode de Stein)
Sous Hyp(X , H, α)
α > 0 =⇒ ρ3 (ν, mβ ) ≤
1
α
k traceX (H ⊗ H) − Sβ kS1 + ·
2
3
1
α = 0 =⇒ ρ2 (ν, mβ ) ≤ k traceX (H ⊗ H) − Sβ kS1 .
2
Preuve
Démonstration.
Eν [F ] − Emβ [F ]
Z
Z ∞
=−
x.∇Ptβ F (x) − trace Sβ ◦ ∇(2) Ptβ F (x) dt dν(x).
l 2 (N)
0
On applique Hyp(X , H, α) à G = ∇Ptβ F
Z
Eν [F ] − Em [F ] ≤ Eν
β
0
∞
trace(traceX (H ⊗ H) − Sβ ) ◦ ∇(2) Ptβ F )
Z ∞
+ α Eν
k∇(3) Ptβ F k∞ dt
0
1
α
≤ k∇(2) F k∞ k traceX (H ⊗ H) − Sβ kS1 + k∇(3) F k∞ ,
2
3
Ingrédients
Au marché
I
Structure de Dirichlet-Malliavin sur les deux espaces
I
Commutation gradient initial/gradient cible
Recette
marmiton.org
I
Caractérisation de la loi « cible »
I
Transformation de l’équation de Malliavin-Stein : ipp sur
l’espace de départ
I
Fin des calculs : commutation gradient « initial »
/semi-groupe « cible »
Bibliographie
Méthode de Stein
I
A. D. Barbour, L. Holst, and S. Janson, Poisson
approximation, vol. 2. The Clarendon Press Oxford University
Press, 1992.
I
I. Nourdin and G. Peccati, Normal Approximations with
Malliavin Calculus : From Stein’s Method to Universality.
Cambridge University Press, 2012.
Calcul de Malliavin
I
N. Privault, Stochastic analysis in discrete and continuous
settings with normal martingales, vol. 1982. Berlin:
Springer-Verlag, 2009.
Outline
Roadmap
Distances entre lois
Opérateurs
Mesures gaussiennes
Structures de Dirichlet
Méthode de Stein
Applications
Poisson-Brownien
On pose
Hλ = λ−1/2
X
hn1−β ⊗ xn = λ−1/2 H1
n≥1
I
Montrer que
X
|hkα (τ )|2 =
k∈N
(1 − τ )2α−1
·
(2α − 1)Γ(α)2
Solution
I
Montrer que
1 X λ 1−β
Jβ N λ = √
δ (hn ) xn
λ n≥1
I
Montrer que
E [Jβ Nλ .G (Jβ Nλ )] =
√
Z
1
Dτ F (Jβ Nλ ).H1 (τ ) dτ .
λE
0
I
Montrer que
Z
1
⊗(2)
E [Jβ Nλ .G (Jβ Nλ )] = E
∇G (Jβ Nλ ).H1 (τ )
dτ
0
Z 1 Z 1
−1/2
(2)
⊗(3)
+λ
E
(1 − r ) ∇ G (Jβ Nλ ).H1 (τ )
dτ dr
0
I
0
Montrer que
Z 1
∇G (Jβ Nλ ).H1 (τ )⊗(2) dτ = tracel 2 (N) (Sβ ◦ ∇G (Jβ Nλ ))
0
I
Montrer que
Z
0
I
1
kH1 (τ )k3l 2 (N) dτ =
Conclure
Solution
Z
0
1

3/2
X
(1 − β)3/2 3

hn1−β (τ )2 
dτ =
c
5/2 − 3β 1−β
n≥1
Donsker
Processus approchant


[mt]
X
1
]
Bm
(t) = √ 
Xj + (mt − [mt])X[mt+1]  .
m
j=1
m
1 X
]
Xj 1[(j−1)/m, j/m) (t) dt.
dBm
(t) = √
m
j=1
Montrer que
]
Jβ Bm
Z j/m
m
XX
1
√ Xj
=
hn1−β (s) ds xj ⊗ xn .
m
(j−1)/m
n∈N j=1
Théorème de Donsker
Theorem
]
Hm
=
Z j/m
m
XX
1
√
h1−β (s) ds xj ⊗ xn .
m (j−1)/m n
n∈N j=1
Pour tout > 0, il existe m0 tel que pour m ≥ m0 ,
]
ρ3 (νm
, mβ ) ≤ (1 + )
m2β−1
2(1 − 2β) Γ(1 − β)2
Bibliographie
Méthode de Stein fonctionnelle
I
L. Coutin and L. Decreusefond, “Stein’s method for Brownian
approximations,” Communications on Stochastic Analysis, vol.
7, no. 3, pp. 349–372, Sep. 2013.
I
L. Coutin and L. Decreusefond, “Higher order expansions via
Stein’s method,” Communications on Stochastic Analysis,
2014.
I
L. Decreusefond, M. Schulte and C. Thäle, “Functional
Poisson approximation with applications in stochastic
geometry”, in preparation.
Utiliser
Enoncé
Z
(z.u)2 dmβ (u) = Sβ z.z

Z
XX
(z.u)2 dmβ (u) = E 
k
=
XX
=
XX
Xn hI01−β
+ en , ek iL2
!2 
zk 
n
1−β
E [Xn Xm ] hI01−β
+ en , ek iL2 hI0+ em , el iL2 zk zl
k,l m,n
n
=k
1−β
hen , zk I11−β
− ek iL2 hen , zl I1− el iL2
k,l
X
2
zk I11−β
− ek kL2
k
d’après E [Xn Xm ] = δn,m et Parseval. En particulier,
1−β 1−β
2
, hk iL2
Sβ xk .xk = kI11−β
− ek kL2 = hhk
Le résultat s’en déduit par polarisation.
Enoncé
Invariance par rotation de la loi gaussienne
I
Considérer la mesure gaussienne mβ ⊗ mβ sur l 2 (N) × l 2 (N)
et la rotation
Rθ : l 2 (N) × l 2 (N) −→ l 2 (N) × l 2 (N)
(u, v ) 7−→ (cos θ u + sin θ v , − sin θ u + cos θ v )
et montrer que Rθ# (mβ ⊗ mβ ) = mβ ⊗ mβ
I
Trouver θ tel que
ZZ
Pt (Ps F (u)) =
l 2 (N)×l 2 (N)
Enoncé
p
F ⊗1(e −(s+t) u+ 1 − e −2(s+t) Rθ (v , z))
Sur l 2 (N) × l 2 (N), le produit scalaire est défini par
(u, v ).(η, ζ) = u.η + v .ζ. Comme en dimension finie, Rθ∗ (l’adjoint
de Rθ pour ce produit scalaire) est R−θ . La juxtaposition de deux
gaussiennes indépendantes est une mesure gaussienne donc son
image par une application liénaire aussi. Reste à calculer l’opérateur
de covariance de cette dernière.
ZZ
exp(iRθ (u, v ).(η, ζ)) dmβ (u) dmβ (v )
l 2 (N)×l 2 (N)
ZZ
=
exp(i(u, v ).R−θ (η, ζ)) dmβ (u) dmβ (v )
l 2 (N)×l 2 (N)
1
exp(−
2
1
u
Sβ 0
u
R−θ
.R−θ
) = exp(− (Sβ u.u+Sβ v .v ))
0 Sβ
v
v
2
en faisant un « produit matriciel » par blocs.
Pt (Ps F (u))
ZZ
p
p
=
F (e −(s+t) u+e −t 1 − e −2s v + 1 − e −2t z) dmβ (v ) dmβ (z)
ZZ
p
=
F (e −(s+t) u+ 1 − e −2(s+t) (cos θv +sin θz)) dmβ (v ) dmβ (z)
p
√
−t 1 − e −2s v / 1 − e −2(s+t) car il faut remarquer
où cos θ =
e
√
√
que (e −t 1 − e −2s )2 + ( 1 − e −2t )2 = 1 − e −2(s+t) . La fonction
Fu ⊗ 1 est définie par
Fu ⊗ 1 : l 2 (N) × l 2 (N) −→ l 2 (N) × l 2 (N)
(v , z) 7−→ F (e −(s+t) u + v )
D’après l’invariance par rotation de mβ ⊗ mβ ,
Pt (Ps F (u))
ZZ
p
=
Fu ⊗ 1( 1 − e −2(s+t) Rθ (v , z)) dmβ (v ) dmβ (z)
ZZ
p
=
Fu ⊗ 1( 1 − e −2(s+t) (v , z)) dmβ (v ) dmβ (z)
ZZ
p
=
F (e −(s+t) u + 1 − e −2(s+t) v ) dmβ (v ) dmβ (z)
Z
p
=
F (e −(s+t) u + 1 − e −2(s+t) v ) dmβ (v )
l 2 (N)
Enoncé
Utiliser la représentation Y ∼ N (0, Γ) ⇐⇒ Y ∼ Γ1/2 X avec
X ∼ N (0, Id)
Enoncé
Par ipp dans Rn ,
Z
h
i
∇F (y ).y dνΓ (y ) = E ∇F (Γ1/2 X ).Γ1/2 X
h
i
= E Γ1/2 ∇F (Γ1/2 X ).X
Z X
1 P 2
1/2
=
γkj ∇j F (Γ1/2 x)xk e − 2 i xi dx1 . . .
k,j
=
Z X
1
1/2
i
xi2
dx1 . . .
i
xi2
dx1 . . .
γkj ∇k (∇j F (Γ1/2 x)) e − 2
P
e− 2
1
P
1
xi2
k,j
=
Z X
1/2
1/2
γkj ∇lj F (Γ1/2 x)γlk
k,j,l
=
Z X
γlj ∇lj F (Γ1/2 x) e − 2
P
i
dx1 . . .
jl
Z
=
trace(Γ ◦ ∇(2) F (Γ1/2 x) dνId (x)
R
Z
=
trace(Γ ◦ ∇(2) F )(y ) dνΓ (y )
R
Enoncé
Indication
Après dérivation sous l’intégrale, il suffit de montrer que la formule
d’intégrations par parties suivante est vraie
Z
l 2 (N)
p
1 − e −2t v ) dmβ (v )
Z
=
tracel 2 (N) (Sβ ◦ ∇(2) F (u)) dmβ (v ).
v .∇F (e −t u +
l 2 (N)
Pour cela on décompose Sβ sur une BONC qui le diagonalise
Enoncé
Let (gnβ , n ∈ N) be CONB of Iβ, 2 which reduces Sβ , i.e.
Sβ =
X
λn (Sβ ) gnβ ⊗ gnβ ,
n∈N
where (λn (Sβ ), n ∈ N) is the set of eigenvalues of Sβ . Let πN the
orthogonal projection in Iβ,2 , on span{gnβ , n ≤ N}, uN = πN u and
∗ m and µ⊥ = (Id − π )∗ m . By
un⊥ = u − uN . Denote by νn = πN
N
β
β
n
the properties of Gaussian measures,
Z
l 2 (N)
Z
v .∇F (v ) dmβ (v ) =
l 2 (N)
(vN +vN⊥ ).∇F (vN +vN⊥ ) dνn (vN ) dνN⊥ (v
N
= AN
1 + A2 .
Since F ∈ Cb2 (l 2 (N); X ),
|AN
2 | ≤ k∇F k∞
Z
l 2 (N)
!1/2
|vN⊥ |2 dνN⊥ (vN⊥ )
.
Since νN⊥ is a Gaussian measure on Iβ, 2 whose covariance kernel is
⊥ S π ⊥ , we have
πN
β N
Z
⊥
⊥
|vN⊥ |2 dνN⊥ (vN⊥ ) = trace(πN
Sβ π N
).
l 2 (N)
⊥ tends to the null operator as N goes to infinity, AN tends
Since πN
2
to 0. Moreover, ΓN = πN Sβ πN tends in trace norm to Sβ , hence for
any u ∈ l 2 (N),
N→∞
trace(Γ̃N ◦ ∇(2) F (u)) −−−−→ trace(Sβ ◦ ∇(2) F (u)),
⊥ ) = Γ (u ) for any u = u + u ⊥ in l 2 (N).
where Γ̃N (uN + uN
N N
N
N
Z
Z
⊥
⊥
trace(Γ̃N ◦∇(2) F (uN +uN
)) dνN (uN )
∇F (uN +uN
).uN dνN (uN ) =
RN
RN
Hence,
AN
1 =
Z
l 2 (N)
trace(Γ̃N ◦ ∇(2) F (u)) dν(u),
and we conclude by dominated convergence.
Enoncé
X
k∈N
|hkα (τ )|2
2
1 X
1
α−1
2
=
k(.−τ )α−1
(.−τ )+ , ek 2 =
+ kL2
Γ(α)2
Γ(α)2
L
k∈N
Let F ∈ Cb2 (l 2 (N); R) and x ∈ l 2 (N). Denoting by
G (y ) = F (y )x for y ∈ l 2 (N), we have
Enoncé
i
1 X h λ 1−β
E [Jβ Nλ .G (Jβ Nλ )] = √
E δ (hn )F (Jβ Nλ ) xn .x
λ n≥1
Z 1
1 X
1−β
=√
E
hn (τ )Dτ F (Jβ Nλ )λ dτ xn .x
λ n≥1
0
Z 1
√
= λE
Dτ F (Jβ Nλ ).H1 (τ ) dτ .
0
According to the Taylor formula,
Dτ F (Jβ Nλ ) = F (Jβ Nλ + Hλ (τ )) − F (Jβ Nλ )
Z
1 1
1
√
(1−r ) ∇(2) F (Jβ Nλ +rHλ (τ )).H1 (τ )⊗(2) d
∇F (Jβ Nλ ).H1 (τ )+
=
λ
λ
0
Thus, we get
Z
1
⊗(2)
E [Jβ Nλ .G (Jβ Nλ )] = E
∇G (Jβ Nλ ).H1 (τ )
dτ
0
Z 1 Z 1
+ λ−1/2 E
(1 − r ) ∇(2) G (Jβ Nλ ).H1 (τ )⊗(3) dτ dr . (3)
0
0
By linearity and density,P(3) holds for any G ∈ Cb2 (l 2 (N); l 2 (N)).
Note that for any A = n, jk∈N an, k xn ⊗ xk ∈ l 2 (N) ⊗ l 2 (N)
Z
0
1
A.H1 (τ )⊗(2) dτ =
∞
X
n, k=1
ai,j hn1−β , hk1−β
L2
= tracel 2 (N) (Sβ ◦A).
Hence,
Z 1
∇G (Jβ Nλ ).H1 (τ )⊗(2) dτ = tracel 2 (N) (Sβ ◦ ∇G (Jβ Nλ )).
0
Since ∇2 G is bounded, we have
Z 1 Z 1
(2)
⊗3
E
(1 − r ) ∇ G (Jβ Nλ + rHλ ), H1 (τ ) dr dτ 0
0
Z 1
1 (2)
≤ k∇ G k∞
kH1 (τ )k3l 2 (N) dτ.
2
0
Moreover,
Z
0
1
kH1 (τ )k3l 2 (N) dτ =
Z
0
1
3/2

X

hn1−β (τ )2 
dτ =
n≥1
(1 − β)3/2 3
c
5/2 − 3β 1−β
Hence, it follows that
3
|E [Jβ Nλ .G (Jβ Nλ )] − E [trace(Sβ ◦ ∇G (Jβ Nλ ))]| ≤
(1 − β)3/2 c1−β
√ k∇(2)
5/2 − 3β 2 λ