Analyse harmonique dyadique : une introduction
Aline Bonami
Université d'Orléans
Abidjan, mars 2014
Fonction maximale dans Rd et convergence presque partout
1
Z
Mf (x ) = sup
|f (y )| dy
x ∈ Q |Q | Q
supremum pris sur tous les cubes contenant x .
On aurait pu prendre les boules, même fonction à des constantes
près.
Application fondamentale : Théorème de diérentiation de
Lebesgue
1
Z
f (y ) dy .
f (x ) = lim
r →0 |B (x , r )| B (x ,r )
Ici B (x , r ) désigne la boule de centre x et de rayon r et f est
localement intégrable.
Théorème maximal
Théorème
(théorème maximal) [HardyLittlewoodWiener]
M est de type faible (1, 1) :
|{Mf > λ}| ≤
c kf kL1
.
λ
De plus M est de type fort (p , p ), 1 < p < ∞ :
kMf k
L
p
≤
cp
kf k .
L
p−1
p
Ici |A| est la mesure de Lebesgue de A.
c dépend de la dimension. Meilleure constante ?
http ://terrytao.wordpress.com/2011/05/21/steins-sphericalmaximal-theorem/
(1)
Deux outils indispensables
Exercice
Montrer que, quelle que soit la fonction φ positive sur l'espace
mesuré (X , µ), on a la formule
Z
Z ∞
dt
p
φ dµ = p
t p µ({x ∈ X : φ(x ) > t }) .
t
X
0
Exercice
Montrer que l'inégalité faible (1, 1) entraîne l'inégalité forte.
Indication : on pourra écrire f = g + h avec g = f 1|f |>λ/2 et en
déduire que
{Mf > λ} ⊂ {Mg > λ/2}.
Le théorème d'interpolation de Marcinkiewicz
Si T est un opérateur (linéaire, sous-linéaire) qui est de type faible
(p0 , q0 ) et de type faible (p1 , q1 ), avec 1 ≤ p0 ≤ q0 ≤ ∞ et
1 ≤ p1 ≤ q1 ≤ ∞, alors T est de type fort (p , q ) pour tout
p ∈ (p0 , p1 ) si p et q sont tels que
1
p
=
t
1−t
+
p0
p1
1
q
t
1−t
+
.
q0
q1
=
Hypothèses : µ({x ∈ X : |Tf (x )| > λ}) ≤
c0 kf k
µ({x ∈ X : |Tf (x )| > λ}) ≤
Conclusion : kf kq ≤ c kf kp .
0
0
q
p
λ 0
q
c1 kf kqp11
λq1
Le théorème de diérentiation de Lebesgue
On admet pour l'instant le théorème maximal.
A montrer, pour f localement intégrable dans Rd : il existe Lf
(ensemble de Lebesgue) de complémentaire négligeable
1
Z
f (x ) = lim
f (y ) dy
r →0 |B (x , r )| B (x ,r )
x ∈ Lf
(2)
Nous allons montrer un résultat plus fort, l'existence de Lf tel que
lim
1
Z
r →0 |B (x , r )| B (x ,r )
|f (y ) − f (x )| dy = 0
Il sut de le montrer pour f intégrable.
x∈
/ Lf .
(3)
Le théorème de diérentiation de Lebesgue - Suite
1
Z
Aλ = {x : lim sup
|f (y ) − f (x )| dy > λ}
r →0 |B (x , r )| B (x ,r )
λ ≥ 0.
On veut montrer que |A | = 0. Comme A = ∪j A /j il sut de
montrer que |Aλ | = 0 pour tout λ > 0.
0
0
1
Vrai si f est continue. Le sous-espace des fonctions continues est
dense dans L .
Soit f ∈ L (Rd ) : f = g + h avec g continue, kf − g kL1 < ε Dans
Aλ :
1
1
1
Z
|h(y ) − h(x )| dy
λ < sup
r >0 |B (x , r )| B (x ,r )
Z
1
≤ |h(x )| + sup
|h(y )| dy
r >0 |B (x , r )| B (x ,r )
≤ |h(x )| + κd Mh(x ).
Le théorème de diérentiation de Lebesgue - Suite
Vu : sur Aλ on a l'inégalité
κd Mh + |h| > λ.
|Aλ | ≤ |{x ∈ Rd : cd Mh(x ) > λ/2}| + |{x ∈ Rd : |h(x )| > λ/2}|
Inégalité maximale pour le premier terme, inégalité de Tchebychev
pour le second :
|Aλ | ≤
2(κd c + 1)
λ
Z
Rn
|h(x )| dx ≤
2(κd c + 1)
λ
En faisant tendre ε vers 0 on obtient que |Aλ | = 0.
ε
Cubes dyadiques
Intervalle dyadique dans R : [2−k n, 2−k (n + 1)), avec n, k ∈ Z.
2−k est appelé paramètre d'échelle. On note D l'ensemble des
intervalles dyadiques et Dk le sous ensemble constitué des
intervalles I ∈ Dk tels que |I | = 2−k .
I
I
I
I
A l'échelle k les intervalles dyadiques forment une partition de
R.
D est invariant par la dilatation x 7→ 2x : si I intervalle
dyadique, alors 2I aussi.
Chaque intervalle dyadique I est réunion disjointe de deux
intervalles de l'échelle moitié.
Si I , I 0 sont deux intervalles dyadiques, alors ou bien l'un est
inclus dans l'autre ou bien les deux intervalles sont disjoints.
Lemme.Soit L une collection d'intervalles dyadiques I
de taille
bornée. Si Lmax désigne la sous-collection des intervalles dyadiques
Fonction maximale dyadique
Dans Rd les cubes dyadiques sont des produits d'intervalles
dyadiques de la même longueur. Les propriétés se généralisent.
On dénit la fonction maximale dyadique par
1
Z
M f (x ) = sup
|f (y )| dy
x ∈ Q |Q | Q
D
où le supremum est pris sur tous les cubes dyadiques Q contenant
x.
Il est clair que M D f ≤ Mf . Le contraire est presque vrai : Soit Dα ,
pour α ∈ {0, 1/3}d , la collection des cubes
2−k ([0, 1)d + j + (−1)k α), avec k ∈ Z et j ∈ Zd . La famille Dα
possède toutes les propriétés que nous avons énoncées pour la
famille des cubes dyadiques.
Fonction maximale dyadique-Suite
Rappel : les cubes de Dα , pour α ∈ {0, 1/3}d , sont donnés par
2−k ([0, 1)d + j + (−1)k α).
Lemme
Tout cube Q d'arête ` est inclus dans un cube Q 0 d'échelle k
appartenant à une des familles Dα et tel que 2k ≤ 6`.
Preuve en dimension 1. Soit k tel que 2−k −
2−k j ,
1
≤ 3` < 2−k . Si I ne
contient aucun point
alors I est contenu dans un cube
dyadique classique de taille 2−k < 6`. Si I contient 2−k j . Alors il ne
contient aucun point de la forme 2−k (j ± 1/3). Il est donc contenu
dans un intervalle de la seconde famille.
Conclusion : il sut de travailler sur la fonction maximale
dyadique.
Théorème maximal dyadique
Inégalité de Doob
D
λ|{M f > λ}| ≤
Démonstration. Soit A = {M D f
dyadiques Q tels que
1
Z
M D f >λ
|f (x )|dx .
(4)
> λ}, réunion des cubes
Z
|f (x )|dx > λ.
|Q | Q
R
|f (x )|dx
Q de volume borné par
, donc borné. On peut utiliser le
λ
lemme sur les collections de cubes dyadiques :
A est réunion disjointe de cubes dyadiques Qj qui satisfont la même
propriété et donc pour lesquels
Z
1
|Qj | <
λ Q
|f (x )|dx .
j
On conclut en faisant la somme en j .
Théorème maximal dyadique-Suite
Exercice
Déduire de (4) que
Z
|M D f |p dx ≤
p
p−1
Z
|M D f |p−1 |f |dx .
p .
En déduire l'inégalité de type fort (p , p ) avec la constante p−
1
Démonstration géométrique valable pour une mesure de Radon
quelconque. Pour avoir des cubes bornés, on considère d'abord
MND f (x ) =
1
sup
x ∈Q ,|Q |≤2
puis on fait tendre N vers +∞.
dN
Z
|Q | Q
|f (y )| dy
Martingales dyadiques et autres
Notations. Si Q est un cube dyadique, D(Q ) (resp. Dk (Q )) est la
sous-famille des cubes dyadiques inclus dans Q (resp. des cubes
dyadiques de l'échelle 2−k ).
En dimension 1, on prend I = [0, 1). On note Fn la tribu
engendrée par les intervalles de Dn (I ). Alors Fn % et a pour limite
la tribu borélienne.
0
0
Lemme.Si I
est de la n-ième génération,
Z
1
f (x )dx .
E(f |Fn ) =
|I | I
Démonstration. E(g |Fn ) est Fn -mesurable et possède la propriété
caractéristique, parmi les fonctions Fn -mesurables, que, quelle que
soit la fonction h Fn -mesurable
E(E(g |Fn )h) = E(gh).
Fonction maximale pour les martingales
La fonction maximale dyadique (restreinte à l'intervalle I ) coïncide
avec la fonction maximale au sens des martingales :
0
sup
1
Z
x ∈I ,I ∈D(I0 ) |I | I
f (y ) dy = sup |E(f |Fn )|(x ) = f ∗ (x ).
n
(Attention, les deux notions ne coïncident que pour les fonctions
positives).
L'inégalité que nous avons démontrée est l'inégalité de Doob pour
f positive :
Z
λP(f ∗ > λ) ≤
f ∗ >λ
f.
Généralisation. Soit une suite croissante de tribus Fn sur un
espace de probabilité, on dit que la suite (fn ) dénit une martingale
intégrable si chaque fn est Fn mesurable, si E(fn+ |Fn ) = fn , et si
supn≥ E|fn | < ∞.
1
0
Inégalité de Doob
Inégalité de Doob.Pour une martingale positive intégrable,
λP(f ∗ > λ) ≤ sup E(1f ∗ >λ fn ).
n≥0
Démonstration classique : temps d'arrêt τ
= inf {n; fn > λ}
∗
P(f > λ) = P(τ < ∞).
Par dénition fτ = fn lorsque τ = n, donc fτ ≥ λ quand τ < ∞.
Conclusion : τ ≤n fτ = τ ≤n fn , ce qui découle de la propriété
caractéristique de l'espérance conditionnelle.
La technique de sélection utilisée pour les cubes dyadiques est une
technique de temps d'arrêt.
R
R
Si une martingale intégrable est donnée par une fonction f
intégrable telle que fn = E(f |Fn ) alors fn converge p. s. vers f .
C'est l'analogue du théorème de diérentiation de Lebesgue, qu'on
Exercices supplémentaires
Exercice
Montrer que si f est dans Lp , avec 1 < p < ∞, alors fn tend vers f
dans Lp . (On pourra utiliser le théorème de Lebesgue, le majorant
étant donné par la fonction maximale).
Exercice
Montrer que si f est la fonction indicatrice de la boule unité
centrée en 0, alors Mf (x ) ≥ c |x |−n à l'inni. En déduire qu'il n'y a
pas d'inégalité forte (1, 1). En déduire que la plus petite constante
dans l'inégalité
kMf k ≤ Akf k
(5)
L
L
c (les constantes c peuvent changer d'une ligne
est supérieure à p−
1
à l'autre).
p
p
Variables aléatoires de Bernoulli
Une v.a. de Bernoulli (centrée) est une v. a. qui prend les valeurs
−1 et 1 avec probabilité 1/2. Plusieurs manières de considérer une
suite innie de v. a. de Bernoulli indépendantes.
I
Le groupe Ω = {−1, +1}N est un groupe abélien compact,
muni de la mesure produit. Si on considère pour Xj la j -ième
fonction coordonnée, alors les Xj sont indépendantes et sont
des v. a. de Bernoulli. On ajoute X = 1.
Les fonctions de Rademacher, qui sont dénies sur [0, 1)
(muni de la mesure de Lebesgue) par rn (t ) = sgn sin(2n π t ),
sont orthogonales et sont de Bernoulli. On peut voir qu'elles
sont indépendantes. On ajoute r = 1.
Soit une suite (Yn ) de v. a. gaussiennes centrées réduites
indépendantes. Alors la suite Xn = sgn Yn forme une suite de
Bernoulli indépendantes.
0
I
0
I
Fonctions de Rademacher
Si t =
P
n >0
εn
2n
, alors
rn (t ) =
1
−1
s i εn = 0 ,
.
s i εn = 1
(On exclut les développements avec uniquement des 1 à partir d'un
certain rang).
L'application t 7→ (εn ) envoie [0, 1) sur {−1, +1}N et fait se
correspondre les fonctions coordonnées et les fonctions de
Rademacher.
tout énoncé relatif aux martingales dyadiques peut
s'interpréter en termes de v. a. de Bernoulli.
La tribu Fn peut aussi être vue comme la tribu engendrée par
X0 , · · · , Xn .
Fonctions de Haar
Pour tout intervalle dyadique I , on note I− et I+ les deux intervalles
dyadiques moitié qui le composent. Alors
1  1
−1
hI (x ) = p
|I |  0

x ∈ I−
x ∈ I+ .
x∈
/I
Théorème
Les fonctions de Haar (hI )I ∈D forment une base de L2 (R). Les
fonctions de Haar (hI )I ∈D(I0 ) , complétées par 1I0 , forment une base
de L2 (I0 ).
La complétion est une conséquence du théorème de diérentiation
de Lebesgue dyadique.
La base de Haar est la base d'ondelettes la plus simple. Elle est très
utilisée en traitement du signal ou de l'image.
Théorème
Inégalité de Khintchine
Soit Xj une
de v. a. de Bernoulli
indépendantes, X0 = 1.
P suite
P
Alors, si
aj2 < ∞, la somme
aj Xj , qui converge dans L2 est
aussi convergente dans Lp pour tout p < ∞ et
X
X
E|
aj Xj |p ≤ Cp p/2 (
aj2 )p/2 .
Démonstration Susant de considérer les sommes nies. Soit Yj
une suite de v. a. gaussiennes centrées réduites ind., Y = 1. On
prend Xn = sgn Yn = E(Yn |F), où F est la tribu engendrée par les
Xj . Inégalité de Jensen
P pourp les espérances conditionnelles :
majoration par E|
aj Yj | , c-à-d
P du moment d'ordre p d'une
gaussienne centrée de variance
aj , soit
0
0
2
0
Z ∞
X
1
2
(
aj2 )p/2 √
|t |p e −t /2 dt .
2π −∞
Exercice
Inégalité de Khintchine-Suite
Montrer que la limite n'est pas bornée en général.PMontrer, pour les
sommes innies, que exp λX 2 est intégrable si λ aj2 < 1/2.
Corollaire
Soit Xj une suite de v. a. de Bernoulli indépendantes, X0 = 1. Alors
N
X
X
(
aj2 )1/2 ≤ c sup E a j Xj .
N
0
Pour la démonstration il sut de considérer les sommes nies. On
utilise ensuite la log-convexité des moments (conséquence de
l'inégalité de Hölder) : EZ ≤ (EZ )α (EZ ) −α
si on choisit α de sorte que 2 = α + 4(1 − α) donc α = 2/3. On
utilise ensuite l'inégalité de Khintchine.
2
4
1
Une application de l'inégalité de Khintchine
Théorème
Soit T un opérateur borné sur LP (X , d µ), de norme kT k. Alors
l'opérateur s'étend en un opérateur borné sur Lp (X , CN ) avec une
norme indépendante de N c'est-à-dire
X
X
k(
|Tfj |2 )1/2 kp ≤ C kT kk(
|fj |2 )1/2 kp .
X
|fj (x )|2 )p/2 ≈
Z
1
|
X
0
rj (t )fj (x )|p
du fait de l'inégalité de Khintchine (ou son corollaire). Donc
Z
X
|
X
rj (t )Tfj (x )|p d µ ≤ kT kp
Z Z
X
1
|
0
X
rj (t )fj (x )|p d µ(x ).
On intègre en t , on change l'ordre des intégrations et on utilise les
inégalités de Khintchine pour conclure.
Transformée de Hilbert
Pour f de classe C à support compact,
1
Hf (x ) = v.
p.
1
π
Z
f (y )
dy = lim
x −y
ε→0 π1
Hf = v.
p.
1
πx
Z
|x −y |>ε
f (y )
dy .
x −y
∗f.
La distribution v. p. πx a pour transf. Fourier la fonction −i sgn.
Donc
1
c (ξ) = −i sgn ξ b
Hf
f (ξ).
donne par transf. Fourier δπ0 .
Multiplication par −2π ix , donne dérivation.
x × v.
p.
Exercice
1
πx
=
1
π
Montrer que la transformée de Hilbert est un opérateur unitaire sur
L2 . Montrer que l'image d'une fonction de L1 ∩ L2 n'est pas dans
L1 si l'intégrale de f n'est pas nulle.
Opérateur de Calderón-Zygmund
K mesurable dans Rd × Rd est un noyau de C.-Z. si
|K (x , y )| ≤
|K (x , y )−K (x 0 , y )| ≤
C |x − x 0 |δ
|x − y |d +δ
C
,
|x − y |d
|K (x , y )−K (x , y 0 )| ≤
C |y − y 0 |δ
|x − y |n+δ
pour x 6= y et max(|x − x 0 |, |y − y 0 |) ≤ |x − y |.
Un opérateur est dit opérateur de Calderón-Zygmund de noyau
K s'il est borné dans L et :
1
2
2
Z
g (x )T (f )(x ) dx =
ZZ
g (x )K (x , y )f (y ) dy dx
lorsque f et g sont des fonctions régulières dont les supports sont
disjoints.
Opérateur de Calderón-Zygmund - Suite
Exercice
Montrer que le noyau de la transformée de Hilbert est de
Calderón-Zygmund.
Théorème
Soit T un opérateur de Calderón-Zygmund. Alors T est de type
faible (1, 1) et de type fort (p , p ).
Transformées de martingales
Soit vn de fonctions Fn− mesurables (suite prévisible), v
constante.Si Tv (f ) = g ,
1
g0 = v0 f0
0
gn − gn−1 = vn (fn − fn−1 ),
n ≥ 1.
dn = fn − fn−1 est appelée suite des diérences de la martingale
E(dn |Fn−1 ) = 0.
Lemme
L'opérateur Tv est borné dans L2 si (et seulement si) la suite vn est
bornée.
kf k22 = sup kfn k22 =
X
n≥0
E(dn2 ).
E(dn dn+k ) = E(E(dn dn+k |Fn )) = E(dn E(dn+k |Fn )) = 0.
Multiplicateurs de Haar
Si vn = αI sur I , alors Tv (hI ) = αI hI et
Tv (f ) =
X
I
αI hf , hI ihI + α0 1I0 .
Théorème
Soit Tv une transformée de martingale, avec supn |vn | ≤ 1. Alors
Tv est de type faible (1, 1) et de type fort (p , p ).
Essentiellement dû à Burkholder. Il sut de montrer l'inégalité
faible (1, 1). Dicultés liées aux sauts de la martingale dans le cas
général.
Démonstration dans le cas dyadique
Si φ est àP
support dans I et d'intégrale nulle, alors
Tα (φ) = I 0 ⊂I αI 0 hφ, hI ihI 0 est à support dans I et de norme L2
majorée par celle de φ.
Point-clé : décomposition de Calderón-Zygmund de la fonction
f , étant donné λ > 0. Soit
{x ; M D f (x ) ≥ λ} = ∪Ij
R
réunion disjointe. Par maximalité, I w ≤ 2λ|Ij |. Donc, f = g + b
(ou encore f = fτ + (f − fτ )) avec
(
si x
n'appartient à aucun des Ij
R f (x )
g (x ) =
.
1
si x ∈ Ij
|I | I f (y )dy
j
j
j
Alors |g | ≤ 2λ et Tα b est à support dans la réunion des Ij ,
c'est-à-dire dans l'ensemble où M D f > λ.
3
D
|{Tα f ≥ λ}| ≤ |{M f ≥ λ}| + |{Tα g ≥ λ}| ≤
λ
kf k1 .
Fonction carrée
En utilisant le théorème de Khintchine on en déduit immédiatement
que
X
X
k(
dn2 ))1/2 kp ≤ Cp kf kp ≤ k(
n≥0
P
La quantité ( n≥0 E(dn2 ))1/2 est la
martingale.
n ≥0
dn2 ))1/2 kp .
fonction carrée de la
Poids de Muckenhoupt
w est un poids de la classe Ap , 1 < p < ∞ si
[w ]A = sup
Q
p
1
Z
|Q | Q
w (y ) dy
1
Z
|Q | Q
1
− p−
1
w (y )
dy
p−1
<∞
(6)
w est un poids de la classe A s'il existe une constante K telle que
1
1
Z
|Q | Q
w (y ) dy ≤ K inf w ,
Q
(7)
[w ]A1 la plus petite constante possible.
Exercice
Montrer (inégalité de Jensen) que
1≤p≤q
=⇒
[w ]A ≤ [w ]A
q
p
i.e.
Ap ⊂ Aq .
Inégalités maximales à poids
w (Q ) mesure de Q relative à la mesure à poids wdx
Lp (w dx ) = Lp (w ).
Théorème
[Muckenhoupt (1972), Buckley (1993), Lerner (2008)]
Soit 1 < p < ∞. w ∈ Ap est équivalent à :
(c) M est de type faible (p , p ) dans Lp (w ). De plus
w (x )dx ≤ cd [w ]A kf kpL (w ) .
Mf >λ
(d) M est borné sur Lp (w ). De plus
λp
Z
p
p
1
cn p
[w ]A−1 .
kM kL (w ) ≤
p−1
p
p
p
(8)
(9)
Démonstration p = 2
w ∈ A2 est équivalent à, pour tout f positive
1
Z
|Q | Q
f (y ) dy
2
w ( Q ) ≤ [ w ] A2
Z
Q
(10)
f (y )2 w (y )dy .
(On teste sur la fonction f = 1Q w − .)
Si inégalité faible
1
λ
2
Z
Mf >λ
w (x )dx ≤ cd [w ]2A2 kf k2L2 (w ) ,
on a (10).
Conditions susantes. Rappel : soit Mw l'opérateur maximal
(dyadique) pour la mesure wdx . De même Mσ avec σ = w − .
Puisque w ∈ A , de l'inégalité (10) on déduit que
(M D f ) ≤ [w ]A2 Mw f . D'où l'inégalité faible.
1
2
2
2
Démonstration p = 2-Suite
Montrons de la même manière que
h
i
M D f ≤ [w ]A Mw w −1 Mσ (f σ −1 ) .
2
1
Z
|Q | 1
f ≤ [w ]A
f (x )σ −1 (x )σ(x )dx .
I =
2 w (Q ) σ(Q )
|Q | Q
Q
Z
I ≤ [w ]A
2
|Q |
inf Mσ (f σ −1 )
w (Q ) Q
leq [w]A2 w (Q ) Q Mσ (f σ − )dx .
Mais dans le cube Q
1
1
R
Z
w (Q ) Q
1
h
i
Mσ (f σ −1 )dx ≤ Mw w −1 Mσ (f σ −1 ) .
Cas des martingales
Suite croissante de tribus Fn sur un espace de probabilité (Ω, P).
Condition A pour un poids Z :
2
[Z ]A2 = sup E(Z |Fn )E(Z −1 |Fn ) < ∞.
n
Proposition
Soit (fn = E(f |Fn ) une martingale positive, f ∗ sa fonction
maximale. Alors
E((f ∗ )2 Z ) ≤ 16[Z ]2A2 E((f 2 Z ).
E(f |Fn ) = E(U |Fn )EU (fZ |Fn )
(11)
Erratum + exercices
Yn suite de Gaussiennes centrées réduites indépendantes,
Xn = E(Yn |F), où p
F est la tribu engendrée par les Xj . Alors Xn
prend les valeurs ± π4 avec probabilité 1/2 (Bernoulli fois une
constante !). Attention, modier l'énoncé de l'exercice
Exercice
Montrer que la limite n'est pas bornée en général.PMontrer, pour les
√
sommes innies, que exp λX 2 est intégrable si λ aj2 < 1/ π .
Exercice
Montrer que si f est la fonction indicatrice de la boule unité
centrée en 0, alors Mf (x ) ≥ c |x |−d en dehors de cette boule. En
déduire qu'il n'y a pas d'inégalité forte (1, 1). En déduire que la
plus petite constante dans l'inégalité
kMf k ≤ Akf k
L
L
p
p
(12)
Méthode d'extrapolation de Rubio de Francia
Luque, Pérez et Rela : le théorème de Buckley est optimal.
Proposition
Soit p > 1 donné et soit ψ : [1, ∞) → (0, ∞) une fonction
croissante telle que, quel que soit le poids w ∈ Ap et quel que soit
la fonction f positive,
kMf kL (w ) ≤ ψ([w ]A )kf kL (w ) .
p
p
p
Alors il existe une constante c telle que ψ(t ) ≥ ct
1
1.
p−
p = 2 : pour chaque q > 1 une fonction f positive de norme 1 dans
c .
Lq et telle que kMf kq ≥ q−
1
On pose
R (f ) =
∞
X
1 M k (f )
k kM kk .
2
q
k =0
∞
X
1 M k (f )
R (f ) =
2k kM kkq
k =0
f ≤ R (f )
kR (f )kL ≤ 2 kf kL ,
q
q
[R (f )]A1 ≤ 2 kM kq .
Lemme
w = (Rf )q−2 est un poids de A2 .
Il sut de montrer que (Rf )2−q est un poids de A1 . Mais
M [(Rf )2−q ] ≤ M (Rf )2−q ≤ 2kM k2q−q f 2−q .
kMf kL
q
q
1
(Mf )(Rf ) 2 −1 ) (Rf )q(1− 2 ) dx
Z
1 Z
1−
2
2
≤
(Mf )2 (Rf )q−2 dx
(Rf )q dx
Z
1 Z
1−
2
2
2
q
−2
≤ ψ([w ]A2 )
f (Rf ) dx
(Rf )q dx
.
=
Z q
q
q
q
kMf kL
q
q
Inégalités de Hölder inverses
Pour un poids Ap il existe r > 1 tel que
1
Z
|Q | Q
wr
1/r
Z
c
≤
w.
|Q | Q
Ppropriété fondamentale, due à Gehring. Version précisée de Lerner,
Ambrosi et Pérez (2008)
Proposition
Soit w un poids sur Rd tel que M D w ≤ [w ]A1 w . Alors, si
r = 1 + 1/(2d +1 [w ]A1 ), on a l'inégalité pour tout cube dyadique
1
Z
|Q | Q
wr
1/r
≤
2[w ]A1
|Q |
Z
Q
w.
Démonstration cas d = 1. Soit
{MID w > λ} = ∪Ij .
Si λ > |I | I wdx , alors
1
R
Z
I
Donc
Z
M w >λ
D
w ≤ 2λ|Ij |.
j
wdx ≤ 2|MID w > λ|.
I
On calcule
Z
I
D
(MI w ) wdx
δ
Z
∞
= δ
λ
δ−1
0
≤
1
|I |δ
!
Z
M D >λ
I
Z
(
I
wdx )
δ+1
+
w
dλ
2δ
Z
δ+1 I
(MID w )δ+1 dx .
Avec le choix proposé pour δ on peut faire passer le second terme
du membre de droite à gauche et conclure.
Relations avec les processus stationnaires
Suite de v. a. gaussiennes centrées réduites Yn telles que les
covariances E(Yj Yk ) = r (j − k ).
r dénie positive : quelle que soit la suite nie (ξj ),
X
j ,k
r (j − k )ξj ξk ≥ 0.
Théorème de Bochner (ou de Herglotz) : il existe une probabilité
sur [0, 2π] telle que
ρ(n) =
π
2
Z
e −int d µ(t ).
0
E(Yj Yk ) =
Z
0
π
2
e −ijt e ikt d µ(t )
Projection sur le passé dans l'espace des gaussiennes ? Projection
dans L (d µ) ? Helson-Szegö 1965 d µ = wdx et w = exp (u + Hv ),
où u et v sont bornés, |u | < π/2.
2