Learning Outcomes
• Mahasiswa dapat menghitung solusi integer
programming dengan berbagai metode
(gomory,branch & bound) utk menyelesaikan
berbagai kasus yg sesuai..
Outline Materi:
• Metode Gomory
• Metode Branch & Bound
• Contoh kasus..
Metode Gomory (cutting point),
•
•
Metoda ini merupakan metoda yang sistematis untuk
memperoleh solusi pure Integer Programming.
Pertama kali dikemukakan oleh R.E Gomory pada
tahun 1958, yang kemudian memperluas prosedur
untuk dapat menyelesaikan masalah mixed integer
programming.
Algoritma Gomory,
1. Selesaikan solusi awal masalah IP dgn
Simpleks atau dengan metoda grafik.
2. Periksa solusi optimum, jika semua variabel
basis memiliki nilai integer, solusi optimum
integer telah didapat. Jika satu atau lebih
variabel basis memiliki nilai pecah, teruskan ke
langkah 3.
3. Buatlah suatu kendala Gomory (suatu bidang
pemotong atau cutting point) dan cari solusi
optimum melalui prosedur dual simpleks,
kemudian kembali ke langkah 2..
Pembentukan kendala,
Berikut proses pembentukan kendala Gomory. Misal
tabel optimum LP berikut merupakan solusi optimum
kontinu
Basis X1 ..… Xm
W 1 …. W n
Solusi
z
0 …… 0
c1 ….. cn
b0
x1
1 …… 0
:
:
:
:
:
:
0 ……. 1
a11 … a1n
b1
:
:
:
bm
:
:
:
Xm
:
:
:
:
:
:
am1 …..
amm
•
•
•
Variabel Xi (i=1,2…m) = variabel basis
Variabel Wj(j=1,2,…n) = var.nonbasis
Xi =bi - aij Wj , di mana b non integer.
Kemudian pisahkan bi dan ai menjadi bagian
bulat dan bagian pecah non negatif seperti
berikut :
_
_
bi = bi + fi  fi = bi - -bi, utk 0  fi  1
_
_
aij = aij + fij fij =aij - -aij,utk 0  fij 1
•
Dengan menggunakan rumusan tsb maka tabel baru
setelah penambahan kendala Gomory menjadi :
Basis
X1 ..… Xm
W1 …. Wn
Sg
Solusi
z
0 …… 0
c1 ….. cn
0
b0
x1
a11 … a1n
Xm
1 …… 0
:
:
:
:
:
:
0 ……. 1
am1 ….. amm
0
:
:
:
0
b1
:
:
:
bm
Sg
0 ……. 0
-fi1 …… fin
1
-fi
:
:
:
:
:
:
:
:
:
Contoh kasus,
Maks z= 7x1 + 9x2
Kendala : -x1 + 3x2  6
7x1 + x2  35
x1,x2 non negatif integer
Solusi kontinu optimumnya sbb:
Basis X1
X2
S1
S2
Solusi
z
0
0
28/11 15/11
63
X2
X1
0
1
1
0
7/22
-1/22
7/2
9/2
1/22
3/22
•
•
•
•
•
Karena solusi tidak bulat, dan kedua f1=f2=1/2,
sehingga salah satu yg di gunakan, mis X2
menghasilkan
X2 + 7/22 S1 + 1/22 S2 = 7/2 atau
X2 +(0+7/22)S1+(0+1/22)S2=(3+1/2)
Sehingga kendala Gomory adalah
Sg1- 7/22S1 – 1/22 S2 = -1/2 dan diperoleh tabel
berikutnya :
Basis X1
X2
S1
S2
Sg1
Solusi
z
0
0
28/11 15/11
0
63
X2
X1
0
1
1
0
7/22
-1/22
0
0
7/2
9/2
0
0
-7/22 -1/22
1
-1/2
1/22
3/22
Sg1
Dgn metoda dual simpleks dihasilkan
Basis
z
X2
X1
S1
X1 X2
S1
S2
Sg1
Solusi
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1/7
1/7
8
1
-1/7
-22/7
59
3
32/7
11/7
0
1
0
0
Karena solusi masih pecah, kendala gomory baru ditambahkan
pada f1 terbesar (f1=4/7), maka
X1+(0+1/7) S2 + (-1+6/7) Sg1=(4+4/7)
Kendala Gomory kedua:
Sg2 –1/7 S2 – 6/7 Sg1 = -4/7 diperoleh:
Basis
X1
X2
S1
S2
Sg1
Sg2
Solusi
z
X2
X1
Sg1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1/7
1/7
8
1
-1/7
-22/7
0
0
0
0
59
3
32/7
11/7
Sg2
0
0
0 -1/7
-6/7
1
-4/7
Menggunakan metoda dual simpleks diperoleh :
Basis
X1 X2
S1 S2
Sg1
Sg2
z
X2
X1
S1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
S2
0
0
0
Solusi
0
0
0
0
2
1
-1
-4
7
0
1
1
55
3
4
1
1
6
-7
4
yang menghasilkan solusi bulat optimum X1=4, X2=3 dan Z=55