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UNIVERSITE DES ANTILLES ET DE LA GUYANNE,
GUADELOUPE
Ecole CIMPA-UNESCO
Janvier 2009
Cours de Modélisation des Systèmes Physiques et Biologiques
Diaraf SECK
Universié Cheikh Anta Diop de Dakar, SENEGAL
Chapitre 1
Introduction
L’objectif de ce cours est de donnner quelques éléments fondamentaux
de la mo’.elisation des systèmes physiques et biologiques. La modĺisation est
un domaine inter disciplinaire et complexe. En effet elle a pour ambition de
traduire les phénomènes de la vie en s’adossant à un langage scientifique.
Ce langage se trouve être les mathématiques. Dans la production de façon
génerale, les bons modèles (validés)permettent non seulement de réaliser des
performances, mais de faire des économies déchelle, de préserver l’environnement entre autre.
Dans ce cours nous n’allons pas présenter dans les détails tous les outils
mathématiques nécessaires à la modélisation. Nous invitons le lecteur à consulter la bibliographie pour un complément. Par exemple le calcul tensoriel un
maillon fondamental pour l’écriture des phénomènes décrits.
La notation d’Einstein sur les indices, est aussi un élément à maı̂triser car
elle permet de simplifier les écritures.
1
Chapitre 2
Introduction générale :
motivations
2.1
2.1.1
Exemples de problèmes d’ingénieurs
Contraintes thermoelastiques dans un échangeur
Voir figure 1
2.1.2
Croisement de trains ou TGV dans les tunnels
2.1.3
Résonnance magnétique nucléaire
Voir figure 2
Zone d’action, un champs magnétique intense et le plus uniforme possible.
On suppose un champs léger fluctuant.
2.1.4
Contacts thermiques electriques et thermoelastiques
Voir figure 3.
A t = 0, on fait varier la température, c’est un problème qui se traduit par
des inéquations variationnelles.
Voir figure 4
2
∂
∂θ
a(x3 ) −
∂t ∂xi
∂θ
aij (xs )
∂xj
=f
2.1.5
Matériaux composites tissés
2.1.6
Tubes(flambage et les essaies techniques)
flambage : quand il y a un conflit de symétrie.
2.1.7
Design ou profil d’ailes d’avions, de maisons ou
...
2.1.8
Phénomènes biologiques, écologiques
Par exemple : la pollution,les tumeurs, évolution des insectes, bactéries
etc.
2.2
2.2.1
Exemples de problèmes pédagogiques
Ecoulement de fluide dans un cylindre
Voir figure 5
Données : la différence de pression p1 − p2
la forme du tube
la nature du fluide
Lois générales : 4 équations scalaires plus les lois particulières caractéristiques
de chaque milieu.
Inconnues fondamentales : vitesse, pression (4 inconnues)
inconnue secondaire : la masse volumique.
2.2.2
Traction simple d’un échantillon
Voir figure 6
Principe fondamentale de la thermodynamique, loi de comportement, de
l’élasticité : les inconnues principales sont les contraintes de la tige, les allongements unitaires.
3
2.3
Ingrédients neccessaires
On va avoir des éléments descriptifs, (d’ordre cinématique)
- intensifs
et des lois
2.3.1
Eléments descriptifs
a) Eléments cinématiques ou géométriques
a = {a1 , a2 , a3 } les coordonnées d’une particule à l’instant t = t0 .
x = {x1 , x2 , x3 } les coordonnées de la même particule à l’instant t.
x = ϕ(a, t), (équation de la trajectoire)
u = x−a = ϕ(a, t)−a, déplacement, inconnue fondamentale pour les solides.
= ∂ϕ
= dϕ
, inconnue fondamentale en mécanique des fluides.
v(x, t) = dx
dt
∂t
dt
b) Eléments intensifs
→
→
−
→ −
−
. T (x, k ), vecteur contraintes en x pourune direction k de l’espace.
 conduction (il y a contact)
rayonnement
. On peut être interessé par les températures :

convection (il y a mouvement)
Les champs éléctrique et magnétique
les inductions éléctreique et magnétique
2.3.2
Les lois qui relient ces grandeurs entre elles
a) Les lois générales

. Conservation de la masse

. principe fondamental de la dynamique
lois de conservation

. 1er principe de la thermodynamique
. 2eme principe de la thermodynamique : loi de dissipation
. les équations de Maxwell.
Les lois particulières
Nécessité d’outils mathématiques
Constatations physiques
4
rhéologie (en mécanique)
(les lois decomportement, les lois 
d’états, les lois constitutives.)
 newtonnien ou non 



gaz
fluides :




liquides

et les phénomènes thermiques.

 élastiques



plastiques
solides :




viscoélastiques
milieux isolants ou non, aimentés ou non, polarisés ou non.
5
Chapitre 3
Ingrédients mathématiques
néccessaires à la description
d’un milieu continu
3.1
Coordonnées d’une particule
Référentiel : un instant de référence,
une référence spatiale, par exemple un repére orthonormé, connaı̂tre l’évolution
d’un milieu.
une relation de type x = F{(X, T, t)}, le lieu x est la trajectoire de la particule (X, T ).

reflexivité x = F{(x, t, t)}

symétrie X = F{(x, t, T )}alorsx = F{(X, T, t)}
F n’est pas quelconque, c’est une relation :

transitivité x = F{(X, T, t)} et si X = F(ξ, τ, t)]
alors
x = F[F(ξ, τ, t), T, t] = x = F(ξ, τ, t)


x1
Coordonnées d’Euler de la particule sont désignées par les variables  x2 
x3
Les coordonnées de Lagrange sont les trois variables qui sont liées à la position
de référence, une description plus simple, on prend T = 0
x = F(a, 0, t) = ϕ(a, t)
6
a désigne la coordonnée de Lagrange
x désigne la coordonnée d’Euler
La fonction ϕ est inversible, on peut trouver a en fonction de x : a = ψ(x, t)
x = ϕ(a, t) =⇒ x = ϕ[ψ(x, T ), t]
3.1.1
Déplacement de la particule à t
u = déplacement de la particule a à l’instant t : u = u(a, t)
u(a, t) = x − a = ϕ(a, t) − a
Convention de notation
∂g
indices latines pour les coordonnées d’Euler : xi , x = {xi }
g,i = ∂x
i
indices grecs pour les coordonnées de Lagrange a = {aα }
ui (a, t) = xi − aβ δβi
uα (a, t) = xj δjα − aα
ui (a, t) = xi − ψβ (x, t)δβi
dxi
dϕi
=
[ψ(x, T ), t]
dt
dt
∂
dϕi
∂ϕi
(a, t) =
(a, t) = ϕ(ψ(x, T ), t)
dt
∂t
∂t
vi (x, t) =
3.2
Trajectoire d’une particule
La trajectoire d’une particule a c’est le lieu au cours du temps des positions de la particule.
Sa description paramétrique : xi = ϕ(a, t) = g(t)
3.3
Tenseur gradient de la transformation
dxi = ϕi,α daα ,
Fiα (a, t) = ϕi,α (a, t)
7
aα = ψα (x, t), daα = ψα,j (x, t)dxj
dxi = Fiα ψα,j dxj
Gαj (x, t) = ψα,j
Fi,α (a, t)Gαj (x, t) = δij
daα = ψα,j (x, t)dxj = ψα,j (x, t)ϕj,β (a, t)daβ
Gαj Fjβ = δαβ
F et G sont inverses l’un de l’autre : FG = GF = 1
3.4
Expression des gradients de la transformation en fonction de u(a, t)
ui = xi − aβ δβi
∂aβ
δβi
∂aα
= ui,α + δiα
ui,α = Fi,α −
Fiα
F = 1 + grad U
uα (x, t) = xj δjα − aα
uα,i (x, t) = δαi −
daα
dxi
G(x, t) = 1 − grad U
3.5
Dérivée particulaire d’une fonction f (x, t)
→ −−→
df
∂f −
=
+ V .grad f
dt
∂t
df
∂f
∂f dxi
=
+
,
dt
∂t
∂xi dt
8
3.6
Accélération d’une particule
−
→
γ (M, t) =
→
−
dV
,
dt
−
→
V (x, t),
γ(x, t) =
dvi
dt
=
∂vi
∂t
+ vi,j vj
→
→
→ −
−
→
d−
v
∂−
v
V2
−
→
γ =
=
+ grad
+ rot V ∧ V
dt
∂t
2
3.7
3.7.1
Evolutions stationnaires ou quasistationnaires
Evolutions stationnaires
Evolution pour un régime établi i.e les grandeurs en causes ne dépendent
→
−
plus explicitement du temps, elles ne dépendent que de x, V (x), T (x).
Même si les particulent bougent, elles ne dépendent plus de t mais x = x(t)
3.7.2
Evolutions quasistationnaires
Evolution pour laquelle on a oublié le temps pendant lequel, elle s’est
produite. On étudie l’état d’équilibre à l’instant actuel ( ce qui revient à
négliger l’accelération)
3.8
Milieu incompressible

 point de vue Euclidienne
R
d
dV
(D
)
=
V(Dt ) = Dt dx
t
dt
R dt Dt dx

k(t) = Dt c(x, t)dx
On démontre que
Z dk
∂c
→
−
=
+ div(c v ) dx
dt
∂t
Dt
R
→
−
dV
→
−
dt (Dt ) = Dt div V dx ∀Dt que l’on suit le mouvement
Donc ⇒ div V = 0
c(x, t) = 1
point de vue Lagrangien : un solide est plutôt lagrangien. On fait l’expression de V(Dt ), le changement de variable x
a (ici on fait le changement
de variable direct donc J ≥ 0, J = detF)
R
9
V(Dt ) = V(D0 ) ∀ t
Z
V(Dt ) ≡
Z
da ∀ D0
Jda =
D0
D0
→
−
=⇒ J(a, t) = 1 ⇐⇒ det(1 + grad U ) = 1.
3.9
Milieu indéformable
C’est un milieu qui au cours du temps ne subit que des évolutions isométriques
−−−→0
|M M | = constante, ∀ M, M 0 et ∀ t
→
−
→
−
→
−
−→
V (P ) = V (Q) + Ω (t) ∧ QP cela traduit le champs de vitesse d’un milieu
indéformable. C’est un champ rigidifiant P et Q liés au milieu.
Si O est un point fixe du milieu
−
→
→
−
→ −−→
−
1
V (M ) = V (O) + Ω ∧ OM ⇔ εij (v) ≡ (vi,j + vj,i ) = 0
2
3.10
Déformation
3.10.1
Transformation linéaire tangente
Voir figure 7
a1
x1
M0 a2
Mt x2 , x = ϕ(a, t).
a3
x3
−−→ 2
−−→ −
→
|dMt | = ds2 en fonction de dS (dilatation), dMt .δ Mt = dsdS cos θ.
3.10.2
Dilatation
−−→
−−→ −−→
ds2 = |dMt |2 = |dMt |.|dMt | = dxi dxi = ϕi,α daα ϕi,β daβ
→
daα = projection de ds−
ν sur l’axe α, daα = dsνα
ds2 = ϕi,α ϕi,β να νβ dS 2 ,
10
Fiα = ϕi,α
Cαβ = Fiα Fiβ , C = Ft F,
C t = Ft F = C
→
d2 s
2 −
=
c
ν
ν
=
λ
(
V , a, t) dilatation
αβ
α
β
dS 2
→
→
→
= c(−
ν ) = C(−
ν ,−
ν ) forme quadratique
C est le tenseur des dilatations.
3.10.3
Variation angulaire
−→
−
→
→
−
→
δ M0 = δS −
ν , δ Mt = δs N
−
→ −
→
dsδS cos θ = dMt .δ Mt = dxi δxi = ϕi,α daα ϕi,β daβ = cαβ dSνα dSVβ
→
−
→
C(−
ν, V)
cαβ να Vβ
q
q
=p
cos θ = p
→
−
→
−
→
→
c(−
ν ) c( V )
c(−
ν ) c( V )
→
Supposons que −
ν ⊥ V leur angle est de π
→
−
→
π
π
C(−
ν, V)
q
cos θ = sin( − θ) ⇒ − θ = arcsin p
→
−
2
2
→
−
c( ν ) c( V )
glissement angulaire en a à l’instant des α direction orthogonale ν, V
3.10.4
Application à un mouvement rigidifiant
→
→
u ) = 1 pour tout a, t, −
u unitaire
Si le mouvement est rigidifiant, λ2 (a, t, −
Cα,β (a, t)uα uβ = 1 ⇐⇒ (Cαβ − δαβ )uα uβ = 0 ∀ u unitaire
∀a, t
−
→
C(ν) = Cαβ µα νβ = | ν |2 = 1
→
−
→
−
π
→
→
cos θ = δα βνα Vβ = −
ν .V , θ = ⇒ −
n .V = 0
2
Cα,β (a, t) = δαβ
11
3.10.5
Tenseur des déformations de Green Lagrange
On appelle tenseur des déformations de Green Lagrange
1
1
Lαβ = (Cαβ − δαβ ) = (Fiα Fiβ − δαβ )
2
2
1
L(a, t) = (Ft (a, t).F(a, t) − 1)
2
il est symétrique.
3.10.6
Tenseur des déformations d’Euler-Almansi
|dM0 |2 = daα daβ = dS =2 = Gαi Gαj ds2 ni nj
a = ψ(x, t),
Bij = Gαi Gαj
B = Gt G
1
daα = ψα,i dxi , Gαi = ψαi , Eij = [δij − Bij ]
2
Eij = composante générique du tenseur des déformations d’Euler-Almansi
ds2 − dS 2
→
→
= 2L(−
ν ,−
ν ) = 2Lαβ να νβ
2
dS
L = forme bilinéaire assocée à L
ds2 − dS 2
→
→
= 2E(−
n,−
n ) = 2Eij ni nj
2
ds
3.11
Tenseur des vitesses de déformation
∂ −−→ −→
∂ −−→−→ −−→ ∂ −→
∂vi
∂vj
(dM .δM ) = dM δM + dM . (δM ) = (
+
)dxi δxj = 2εij dxi δxj
∂t
∂t
∂t
∂xj
dxi
εij est tenseur des vitesses de déformation εij (v) = 12 (vi,j + vj,i ), pourqoi le
1
? vi,j = εi,j (v) + wij (v)
2
1
wij (v) = (vi,j − vj,i )
2
12
ou encore
σi,j
|{z}
εi,j (v)
| {z }
= σi,j (εi,j (v) + wij (v)) = σi,j vi,j
tenseur des contraintes T enseur des vitesses de def ormation
σi,j = σj,i
→
−
Le tenseur des vitesse de déformation s’exprime direcytement à partir de V .
→
On peut exprimer L et F en fonction de −
u déplacement.
3.12
Expression des tenseurs de déplacements
en fonction des déplacements
3.12.1
Expression de L
1
Lαβ = [ϕi,α ϕi,β − δαβ ]
2
ui (a, t) = xi − aβ δβα = ϕi (a, t) − aβ δβi ; ϕi,α = ui,α + δi,β
1
Lαβ = [uα,β + uβ,α + ui,α ui,β ]
2
3.12.2
Expression de E
uα (ψ(x, t), t) = uα (x, t) = xj δαj − ψα (x, t)
1
Eij = [δij − ψα,i ψα,j ], ψα,i = δi,α − uα,i
2
1
Ei,j = [ui,j + uj,i − uα,i uα,j ]
2
3.13
Linéarisation en mécanique
→
Lorsqu’on peut prévoir que |−
u | sera très petit devant une longueur, L
caractéristique du problème. |x − a| est aussi très petit devant L, en première
approximation,on confond les coordonnées d’Euler avec celles de Lagrange
x≈a
g(x) = g(a + u) = g(a) + uα gα + · · · , g(a + u) ≈ g(a)
13
interet fondamental pour la mécanique des solides, à l’instant Ω
pourra travailler sur Ω0 qui est inconnu
Ωt , on
hypothèse des petits déplacements
ça consite à dire que :
1
→
u)≈E
si |ui,α | 1 alors L ≈ [∇u + ∇ut ] = ε(−
2
→
On peut travailler avec ε(−
u ), tenseur approché des tenseurs de déformations
de tenseurs de déformations linéaires.
3.14
Deux problèmes de bases en cinématique
3.14.1
Determination de trajectoires à partir du champs
de vitesses
dxi
dt
= vi (a, t) xi = ϕi (a, t)
Problème de Cauchy : Existence et uniφi (0) = aα δαi xi = φi (t)
cité locale de thèoréme de Péano-Picard.
Ce qui inspire une méthode d’approche de solution pour tous les problèmes
de Cauchy.
Equation différentielle d’ordre n, L(t, ϕ, ϕ0 , · · · , ϕ(n) ) = 0, soitϕ(n) = f (t, ϕ, ϕ0 , · · · , ϕn−1 )
ϕ(t) = u1
0
u1
1
=
u
ϕ (t) = du
2
dt
du
→
ϕ00 (t) = dt2 = u3 −
u ...
..
un
.
→
−
dun
= fn (t, u )
dt
→ →
−
→
−
Problème de Cauchy ddtu = f (t, −
u )+ des conditions aux limites. On étudie
→ −
−
→
f (t, u ) pour avoir des informations sur la stabilité et autre chose.
3.14.2
Détermination de u (champs de déplacements)
à partir des déformations linéaires
→
a) Le problème : On cherche −
u connaissant un tenseur symétrique qui
→
→
est sensé être εij (−
u ) = Sij . Peut-on calculer −
u tel que
ui,j + uj,i = 2Sij
14
(A)
→
b) Existence de −
u
Théorème 1 Une condition neccessaire et suffisante pour que S = S t soit
la partie symétrique d’un champ de gradient est que
∆Sij + Sll,ij − (Sil,lj + Sjl,li ) = 0
dite condition de compatibilité cinématique.
Remarque 2 Dès que Sij (x) est constante ou linéaire affine en x, cette
relation est identiquement satisfaite
c) Unicité (de la solution) n’est qu’à un champ de mouvement près i.e un
→ −−→
−
→
→
champ de vecteurs −
g tel que −
g (M ) = g(O) + Ω ∧ OM
Ce résultat donne un moyen pratique d’intégration. aperçu :
Z x1
u1,1 = S11 ⇒ u1 (x) =
S11 (ξ, x2 , x3 )dξ + ϕ1 (x2 , x3 )
0
Z x2
u2,2 = S22 ⇒ u2 (x) =
S22 (x1 , ξ, x3 )dξ + ϕ2 (x3 , x1 )
0
Z x3
u3,3 = S33 ⇒ u3 (x) =
S33 (x1 , x2 , ξ)dξ + ϕ3 (x1 , x2 )
0
u1,2 + u2,1 = 2S12 = c1,2 + c2,1 + ϕ1,2 + ϕ2,1
ci , i = 1, 23 représente
respectivement l’ intégrale des équations ci dessus (par
R x1
exemple c1 = 0 S11 (ξ, x2 , x3 )dξ). Les ci,j sont connus et les ci aussi.
u2,3 + u3,2 = 2S23 = c2,3 + c3,2 + ϕ2,3 + ϕ3,2
u1,3 + u3,1 = 2S13 = c1,3 + c3,1 + ϕ1,3 + ϕ3,1
De deux choses l’une :
→
→
a) εij (−
ϕ ) = 0 alors −
ϕ est un champ de moments
1
ϕi = αi + εijk βj xk , εij = (ϕij + ϕji )
2
ϕ est de cette forme.
b) ϕ n’est pas un champ de moments alors sachant que le système d’équations
→
(du théorème ci dessus) a une solution, on peut en général corriger −
ϕ de façon
à avoir un champ de moments.
On pose g1,2 = ϕ1,2 + termes parmi (S12 , c1,2 , c2,1 ) qui ne dépendent que de
x 2 , x3 .
g2,1 = ϕ2,1 + temes parmi (S12 , c1,2 , c2,1 ) qui ne dépendent que de x1 , x3 .
g1,2 + g2,1 = 0
15
Chapitre 4
Notions de base nécessaires à la
description et au contrôle des
efforts intérieurs
4.1
4.1.1
Motivation
Expérience de traction
Voir figure 1
Voir figure 2
σL = limite de l’élasticité, quand c’est linéaire, il y a élasticité. La dissipation
se représente par un tenseur.
4.1.2
Expérience d’un écoulement dans une canalisation
Voir figure
efforts moteurs : pression
efforts de viscosité : (frottements entre les particules). Les efforts de viscosité
dépendent de la vitesse.
16
4.2
Notion de contraintes
Voir figure 3.
→
−
−
→
T (x, k ) efforts exercés en x sur un petit élément de surface perpendiculaire
−
→
à k par les points (voisins) où pointe la normale située du cotê.
Postulat : La constante ne dépend pas de la courbure du petit élément de
surface.
→
−
→
−
Pour l’autre côté, on utilise T (x, − k )
Le principe fondamental de la dynamique
(qui peut s’écrire pour la conservation de la quantité de mouvement) :
égalité des résultantes.
Z
Z
Z
→
−
−
→
−
n )ds
ρ γ (x, t)dx =
f (M, t)dx +
T (x, t, →
Dt
Dt
∂Dt
→
∀ Dt que l’on suit dans son mouvement. , −
n = normale extérieure.
Il y a aussi l’égalité des moments à écrire :
Z
Z
Z
→
−−→ −
−−→ −
−→ −
→
→
→
OM ∧ γ (M, t)ρ(M, t)dM =
OM ∧ f (M, t)dM +
OP ∧ T (P, t, −
n )ds (2)
Dt
Dt
∂Dt
Conséquences
→
−
→
−
→
. conséquence de l égalité des résultantes : T est linéaire en −
x (en k ),
(une application linéaire qui à un vecteur associe un vecteur est un tenseur
du second ordre) : il existe Σ(x, t) tel que
→
−
→
−
−
→
T (x, k ) = Σ(x, t). k
→
−
Ti (x, k ) = σij (x, t)kj
σij ou Σ est un tenseur des contraintes de Cauchy.
. Conséquence de l’égalités des moments :
t
Σ=Σ,
σij = σji
−
→
→
→
→
→
→
T (x, −
e r ) = σrr (x)−
e r (x) + σrθ −
e θ + σr3 −
e 3 (x) = −p−
er
17
→
σij (x) = Ti (x, −
e j ) = σji (x)
→ →
−
→
−
→
→
→
→
sur les bases du cylindre T (x, −
e 3 ) = F = Fi −
e i (−
e 1, −
e 2, −
e 3 ) base absolue correspondante au cylindre. En coordonnées cartésiennes, au moment de
−−→
→
→
xα −
eα
résoudre, il faut bien choisir une base −
e r = HM
=
; α = (1, 2)
r
r
→
−
→
→ xα −
−
→ −
eα
xα −
→
→
T (x, −
e r ) = T (x,
)=
T (x, →
e α ) = σαl −
el
r
r
4.3
4.3.1
Outils de base pour le contrôle des efforts
intérieurs
Objectifs
C’est d’éviter que les structures cassent ou se déteriorent
On suppose un sysème de données (loi générales)
efforts de déplacement extérieur (les efforts intérieurs, il faut savoir les contrôler(
s’arranger pour qu’ils ne deviennent pas trop grands)) Ω, désigne la nature
de la matière.
Comment évaluer l’intensité des efforts intérieurs ?
Il est proposé plusieurs familles decritéres : les composantes dangereuses
soit les déviateurs
d’un tenseur des contraintes sont :
soit les composantes de cisaillement
4.3.2
Problème du choix de base
→
−
→
−
−
→
T (x, k ) = Σ. k
Exemple 3 cf figure en annexe.
→
→ −
−
→ −
−
→
→
si x ∈ ∂Ω, T (x, k ) = F F = efforts imposés de l’extérieur, −
n vecteur
normal unitaire extérieur.
→
−
→
→
→
Si sur la surface latérale du cylindre f = −p−
n = −p−
er −
e r vecteur de la
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
base locale du cylindre (base locale e r , e θ , e 3 ) T (x, e r ) = −p−
er
→
σij (x) = Ti (x, ej ) = Tj (x, −
e i)
→ −
−
→ −
−
→
→
−
→
T (x, →
e 1 ) = T1 −
e 1 + T t T (x, −er ) = − T (x, er )
18
4.3.3
Décomposition unique de tout tenseur en partie
sphérique et déviatrice
σij existe s et sij unique tel que σij = sδij + sij .
sij est un déviateur ⇔ sll = 0 σll = 3s s = σ3ll
sij = σij − sδij
4.3.4
Invariants d’un tenseur du deuxième ordre dans
R3
Soit Σ un tenseur du deuxième ordre.
→
→
→
→
On cherche λ et −
u tels que −
u 6= 0 Σ−
u = λ−
u de polynôme caractéristique
3
2
−λ + Σ1 λ − Σ2 λ + Σ3 , Σ1 , Σ2 , Σ3 invariants dans tout changement de base
dans le repére P
principal.
Σ1 = trace de
Σ2 = 12 (σP
ii σjj − σij σji )
Σ3 = det
Ce sont les 3 invariants de Σ.
Les valeurs propres (contraintes normales principales) sont des invariants
ainsi que les vecteurs propres (directions principales).
4.3.5
Décomposition des vecteurs contraintes en composantes normales et composantes tangentielles
→→ −
−
→
−
−
→
→
→
→
→
T (x, −
n ) = ( T (−
x ,→
n ).−
n ).−
n + T t (x, −
n)
|
{z
}
Tn
→
−
→
−
→
Tn (x, −
n ) = σi n2i , | T |2 = | T t |2 + Tn2
4.3.6
Critère de Von-Mises (contrôle de la partie déviatrice)
1
1
D
ΣD
1 = sll = 0, Σ2 = (sii sjj − sij sji ) = − sij sji
2
2
19
à cause de la symétrie
Le critère de Von-Mises consiste à écrire
1
1
1
sij sji ≤ k 2 ⇔ σij σji − σii σjj − k 2 ≤ 0
2
2
6
1
1
F(σij ) = σij σji − σii σjj − k 2
2
6
k mesure comme limite dans l’expérience de traction simple.
Dans le cas où le milieu n’est pas isotrope, k < inf{k1 , k2 , k3 } dans ce cas il
y a 3 directions d’isotropie.
F(σij ) ≤ 0;
4.3.7
Critère de Tresca
Contrôle le module de Tt
On connaı̂t après l’avoir déterminé σij (x) = σji σ1 , σ2 , σ3
Ωa = {x ∈ Ω σ1 , σ3 sont les valeurs extrêmes}
Ωb = {x ∈ Ω σ2 , σ3 sont les valeurs extrêmes}
Ωc = {x ∈ Ω σ1 , σ2 sont les valeurs extrêmes}
x ∈ Ω0
Voir figure.
Les couples (|Tt |, Tn ) possibles ne peuvent être que la partie non hachurée.
pour x fixe dans Ωa
→
n) =
max Tt (x, −
−
→
n varie
On cherche
S a = sup
x∈Ωa
S b = sup
x∈Ωb
S c = sup
x∈Ωc
|σ1 (x) − σ3 x|
2
|σ1 (x) − σ3 x|
2
|σ2 (x) − σ3 x|
2
|σ1 (x) − σ2 x|
2
20
Critère de Tresca
max{Sa , Sb , Sc } − k ≤ 0 ⇔ F(σij ) ≤ 0, F(σij ) = max{Sa , Sb , Sc } − k
Il y a d’autres critères cf par exemple les ouvrahes de Paul Germain, le cours
de Jean Garrigues (Ecole Suprieure de Mécanique de Marseille) etc.
4.3.8
Remarque importante d’un point de vue mathématique
Les critères F(Σ) ≤ 0 sont toutes des fonctions convexes des arguments
σij .
21
Chapitre 5
Lois générales de la thermo
mécanique des milieux continus
5.1
Motivations
→
On a introduit des notions géméotriques : déformation L(−
u ) et vitesse
→
−
de déformation E( v )
On a introduit des notions sur les efforts intérieurs : Σ(x).
L et Σ sont à priori inconnus.
Si l’on connaı̂t le milieu et les charges auquelles
il est soumis, on doit pouvoir
Lois générales : 4
établir les relations entre les quantités
Lois particulères à chaque milieu
On va écrire successivement :
La conservation de la masse (axiome de base de la mécanique classique ).
Le principe fondamental de la dynamique
Le premier principe de la thermodynamique.
Le second principe de la thermodynamique.
22
5.2
La conservation de la masse
Dt que l’on suit dans son mouvement :
Point de vue de Lagrange : ρ(a, t) est la masse volumique
Z
Z
ρ(a, t)dt =
ρ(a, t)dx, x = ϕ(a, t) ∀t
Dt
D0
Point de vue d’Euler :
d
dt
Z
ρ(a, t)dx = 0 ∀t.
Dt
ρ(a, 0)
= detF = det(1 + ∇u)
ρ(x, t)
ρ0
= det(1 + ∇u)
ρt
point de vue Lagrangien
→
−
→
−
dρ
∂ρ
+ ρdiv V = 0 ⇐⇒
+ div(ρ V ) = 0
dt
∂t
Equation de la conservation de la masse locale du point de vue d’Euler.
Remarque 4 On 4 inconnues ρ, vi (ou ui )
→
−
Pour un milieu incompressible (div V = 0) ie ρ est constant le long de la
trajectoire. Si le milieu est homoène à l’instant initial ρ0 (a) = cte = ρ0 ⇒ ρ
est constant partout et à chaque instant = ρ0 .
Pour un solide l’incompressibilité s’écrit detF = 1
ρ0 = ρ, ρ0 (a, 0) = ρ(x, t),
5.3
x = ϕ(a, t)
Principe fondamental de la mécanique
→
{ρ−
γ } = {Fe → Dt } efforts extérieurs éxercés sur Dt au cours du temps.
Z
Z
Z
→
−
→−
−
→
−
ργ =
f dv +
T .→
n ds (1)
Dt
Dt
∂Dt
23
→
−
quelque soit Dt que l’on suit le mouvement, T vecteur des contraintes
→
−
f densité volumique à distance (attraction magnétique, gelé au milieu poreux, etc).
Egalité des moments en un point M
Z
Z
Z
→
−−→ −
−−→ −
−→ −
→
→
→
OM ∧ γ (M, t)ρ(M, t)dM =
OM ∧ f (M, t)dM +
OP ∧ T (P, t, −
n )ds (2)
Dt
Dt
∂Dt
(1) et (2) = lois de conservation de la quantité de mouvement.
Compte tenu de la conservation de la quantité de masse
−−−X
−→ −
→ dvi
→
= σij,j + fi
ρ−
γ = div
+ f, ρ
dt
σij = σji
(3) version Eulerienne
Remarque 5 6 inconnues nouvelles pour 3 relations scalaires
D’un point de vue purement mécanique c’est tout.
On a 10 inconnues pour 4 relations.
Analyse dimensionnelle : Trois grandeurs canoniques M, L, T
dimρ = M L−3 , dimvi = LT −1
5.4
Premier principe de la thermodynamique
A chaque instant, la dérivée particulaire de l’énergie totale E d’un système
Dt est égale à la somme de la puissance des efforts extérieures appliqués au
système et de la quantité de chaleur reçue.
Z
Z
V2
E(Dt ) =
eρdx +
ρ dx
2
Dt
Dt
e : énergie interne spécifique c’est une densité par unité de masse de l’énergie
interne.
Z
Z
→−
−
→
→−
−
→
P(Dt ) =
f . V dx +
T . V ds
Dt
∂Dt
Z
Q(Dt ) =
Z
rdx +
Dt
∂Dt
24
→
q(−
n )ds
r : densité volumique de chaleur reçue par unité de temps,
q : quantité de chaleur reçue par contact par unité de surface et par unité de
temps.
→
n.
r dépend de x et de t et q dépend de x, t et −
d
E(Dt ) = P(Dt ) + Q(Dt ) ∀Dt
dt
→
→
→
→
→
Conséquences : q(x, t, −
n ) est linéaire en −
n , q(x, t, −
n ) = −−
q (x, t).−
n
→
−
q (x, t) = vecteur flux de chaleur par unité de surface et unité de temps.
Voir figure
Premier principe de thermodynamique implique que la conservation de
l’énergie
ρ
de
→
= σij vi,j − qii + r = Σ(x) : E(V ) − div −
q +r
dt
(4)
1
σij vi,j = σij ε(V ), εij (v) = (vi,j + vj,i )
2
Remarque 6 On a :
4 relations supplémentaires e, qi et une seule relation supplémentaire.
En thermodynamique, les lois de conservation s’expriment par 5 relations
scalaires et 14 inconnus, il manque 9 relations.
dimension dimΣ(x) : E(V ) = F orceL2 T −1 = M LT −2 L−2 T −1 = M L−1 T −3
→
dim−
q : M T −3 , dimτ = M L−1 T −3 , dime = M L−1 T −3 T M −1 L3 = L2 T −2
5.5
Deuxième principe de la thermodynamique
(Inégalité de Clausius-Duhen.)
On évalue la dissipation

→
−
q
ds
ρ dt + div T − Tτ ≥ 0 (5)



s : densité spécifique d’entropie
dS = dQ
≥ 0 =⇒
T

T : température absolue


si on évalue τ entre (4) et (5)
ρ(T
T,i
ds de
− ) + σij εij (V ) + qi
≥ 0 (50 )
dt
dt
T
25
ψ = e − T s énergie libre spécifique
0
(5 ) =⇒
dψ
dt
−
dT
s
dt
− T ds
dt
−−→
dψ
dT
gradT
→
−
σij εij (V ) − ρ(
+s )− q .
≥0
dt
dt
T
|
{z
}
Φ
La quantité Φtraduit la dissipation
dT
dψ
+s )
dt
dt
est la dissipation purement mécanique intrinséque. Tandis que
−−→
gradT
→
−
Φ2 = − q .
est la dissipation thermique
T
Φ1 = σij εij (V ) − ρ(
5.6
5.6.1
Conditions aux limites associées aux lois
générales
Pour la conservation de la masse
− −
→
V .→
n = 0 = Vn sur ∂Ωt
5.6.2
Pour le principe fondamental de la dynamique
Passage à la limite de l’identité intérieure
→
n ) (8)
σij (x, t) = Ti (x, t, −
La condition aux limite associées à (2) σij (x)nj = Fi (80 ) partout sur ∂Ωt .
Fi sont les efforts extérieurs surfaciques (connus ou non). σlj nj = Fl sur
ΓFl ⊂ ∂Ωt sur laquelle on connaı̂t la leme composante des efforts imposés.
qi ni − Ti vi = (qi δij − σij vi )nj = −$ − Fi ωi
sur Γ
$ = taux de quantité de chaleur surfacique reçue
→
−
ω = vitesse propre de la frontière.
Compte tenu de σij nj = Fi , −q = qi ni , −q = −$ − Fi (vi − ωi ),
→
−
→
v −−
w , q = $ − Fi ui
→
−
v vitesse du milieu
→
−
w vitesse de la frontière
→
−
u vitesse relative du milieu de surface
26
−
→
u =
Remarque 7 Il reste à écrire :
- les relations en variables de Lagrange
- les relations de discontinuité
5.7
5.7.1
Classification des inconnues en 3 familles
Les inconnues cinématiques
−
→
→
→
v ou −
u = vecteur déplacement εij (−
v ), dtd , ρ (ρ supposé constant.) Elles
dérivent toutes de la définition du mouvement
ρ0
−
u = x − a, ρ =
x = ϕ(a, t), →
det(1 + ∇u)
5.7.2
Les flux surfaciques
quantités qui décrivent les interactions de contact : σij = σji , qi (9 grandeurs)
5.7.3
Les grandeurs thermodynamiques
. e établit le couplage thermodynamique, toutes les autres sont soit purement mécaniques soit purement thermiques,
. s, T On peut alors remplacer e par ψ = e − T s
5.8
Loi de comportement et autres expressions
Ecrire une loi de comportement c’est trouver une fonction e(s ou T, χl )
χl , l variant de 1 à 6 au plus, éventuellement, e peut ne pas dépendre de la
cinématique.
On sait que de = dQ + dW
dQ = T ds, dQ = quantité de chaleur reçue, dW = travail réversible reçu
dW =
p
X
l=1
27
ηl dχl
ηl = force ou contrainte
de = T ds +
p
X
ηl dχl , T =
l=1
∂e
∂e
, ηl =
∂s
∂χl
e est une differentielle totale (exacte).
ψ = e − Ts
dψ = de − T ds − sdT = −sdT +
p
X
ηl dχl ψ(t, χl )
l=1
ds
de
+s )
dt
dt
−−→
gradT
→
Φ2 = −−
q.
T
p
de
ds X dχl
=T
+
ηl
dt
dt
dt
l=1
Φ1 = σij εij (V ) − ρ(T
Φ1 =
−ρ
|
purement mecanique
σij εij (V )
| {z }
Φ1 = σij εij (V ) − ρ
5.9
X ∂ψ ∂χl
≥0
∂χ dt
{z l }
cinematique
X ∂ψ ∂χl
≥0
∂χl dt
Conclusion
Ecrire une loi de comportement c’est :
a) d’une part traduire la dissipation du milieu (la dissipation mécanique
(intrinsèque) et la dissipation thermique).
b) d’autre part traduire la mémoire du milieu.
28
Chapitre 6
Comportement des fluides en
évolution isotherme ou
adiabatique
6.1
Introduction
−−→
→
−
→
−
→
1.1 isotherme : gardT = 0 ou adiabatique : −
q = 0 (pas d’échange de
−−→
→
chaleur). Donc Φ2 = −−
q .gradT = 0
1.3 Un fluide est un milieu qui n’a qu’une mémoire instantanée infinitésimale.
1.2 On n’a besoin que des relations purement mécaniques (pas de dissipation
thermique ).
1.4 Les inconnues cinématiques adaptées (à la mémoire) vont être obtenues à
partir des vitesses (la dépendance instantanée est représentée par une dérivée
temporelle).
1.5 vi ou εij (v) les équations à retenir :
→
−
dvi
∂ρ
+ div(ρ V ) = 0; σij,j + fi = ρ , σij = σji
∂t
dt
On va chercher
X
(x, t) = K(x, D), D = E(V )
→
−
Les χl vont être soit V soit D = E(V ).
P
L’indifféerence materielle implique que la relation entre
et E(V ) est neccessairement isotrope ( les mêmes propriétés dans toutes les directions)
X
= k0 (x, DI , DII , DIII )1 + k1 (x, DI , DII , DIII )D + k2 (x, DI , DII , DIII )D2
29
si le fluide est homogène, les ki ne dépendent pas explicitement de x, il
reste plus que les 4 inconnues fondamentales qui sont ρ, vi , Dij = εij (v) =
1
(v + vj,i )
2 i,j
6.2
Définition des fluides classiques
Ils sont ceux qui peuvent être décrites par une loi de comportement E =
K(x, D) linéaire et affine en D
DI = D22 = divV c’est linéaire en V
DII = 12 (Dij Dji − Dij Dji), DIII = detD
σij = −pδij + λεll (V )δij + 2εij (V )
λ et µ sont les coefficients de Lamé, ils peuvent dépendre de x si le milieu
est non homogène. Ce sont les coefficients de viscosité.
λ et µ sont en général constants. Viscosité implique la dissipation mécanique.
La dissipation ?
σij = −pδij + zij
zij = λεll (V )δij + 2εij (V )
le tenseur des contraintes visqueuses
Φ1 = σij zij (V ) la dissipation intrinsèque.
6.2.1
Fluides parfaits
Ce sont les fluides non dissipatifs (non visqueux) λ = µ = 0
δij = −pδij
6.2.2
Fluides incompressibles
→
−
div V = 0 ⇒ ρ(x, t) = ρ(a, 0),
( si le milieu est homogéne, ρ = ρ0 = cte)
σij = −pδij + 2µεij (v)
30
6.3
Les problèmes de mécanique des fluides
classique
Ω confiné (écoulement dans les tubes, canalisation, reservoires infinis autour d’un obstacle)
6.3.1
Relations générales
→
−
+ divρ V = 0 conservation de la masse
1. ∂ρ
∂t
i
2. ρ[ ∂v
+ vij vj ] = σij,j + fi , σij = σji conservation de la quantité de mouve∂t
ment.
3. σij = −pδij + zij ; zij = λεll (V )δij + 2εij (V ) :loi de comportement.
Calcul intermédiaire :
σij,j = −p,i + λvl,li + µ(vi,jj + vj,ij ) = −p,i + (λ + µ)vl,li + µvi,jj
∂vi
+ vi,j vj ) + p,i = (λ + µ)vl,li + µvi,jj + fi
(2) ρ(
∂t
→
−
−−→ −
→
− −
→ −−→
→
→ −
−
∂ V −−→ V 2 −→→
+ grad
+ rot V ∧ V ] + gradp = (λ + µ)graddiv V + µ∆ V + f
(2) ρ[
∂t
2
→
−
→
−
→
−
→−
−
→ ∂V
dV
∂V
=
+ grad V . V =
+ (V.∇)V
dt
∂t
∂t
Remarque 8 i) Il manque une relation qui sera donnée par une loi d’etat.
ii) (1) et (2) s’appellent le système de Navier-Stokes (non linéaire)
Conditions aux limites
A distances finies (sur une paroie)
→→
−
1) D’après la loi de conservation de la masse on a : V .−
n = 0(condition de
glissement) sur une paroie.
→→
−
→
−
2) Pour un fluide visqueux on complète par V .−
τ = 0, V = 0 à la paroie
(condition d’adhérence)
fi est une inconnues en mécanique des fluides (c’est-à -dire les efforts à la
paroie sont incunnus et sont déduits des résultats du problème).
→
−
En mécanique des fluides, il y a V qui nous interesse plus que les σij (contraintes).
Remarque 9 Fi est une inconnues en mécanique fluides
Conditions aux limites en p et ρ ?
31
Conditions initiales
ρ(x, 0) = ρ(a, 0) = ρ0 (a)
−
→
→
−
→
−
V (x, 0) = V (a, 0) = V 0 (a)
6.3.2
Cas particuliers des fluides incompressibles
→
−
div V = 0, dρ
= 0, ρ constant le long de chaque trajectoire. Pour les
dt
fluides homogènes, ρ = ρ0 = cte
→
−
−−→ V 2 −→−
→
→ −
→ −−→
→ −
−
∂V
+ grad
+ rot V ∧ V + gradp = µ∆ V + f
(2) ⇒ (2 ) ρ0 [
∂t
2
→
−
→
−−→ V 2 −→−
→ −
−
→ −
→ −−→ p
∂V
+ grad
+ rot V ∧ V + grad = µ∆ V + f
∂t
2
ρ0
0
Evocation d’un résultat important
A chaque fois qu’un milieu est soumis à p liaisons internes, il apparaı̂t
p indeterminées dans le tenseurs des contraintes. Une liaison interne est
une relation entre les composantes du tenseur des vitesses de déformations :
−
→
div V = εll (V ) = 0 joue le rôle de loi d’etat necessaire pour clarifier le cas de
p
6.3.3
Cas des fluides parfait
(1) (conservation de la masse) reste inchangé
i
(2) ρ( ∂v
+ vi,j vj + p,i ) = +fi l’équation reste non linéaire
∂t
(1) et (2) sont appelés équation d’Euler.
Remarque 10 Il ne reste que des dérivées du premier ordre,
→→
−
la condition limite V .−
n = 0 suffit à priori.
La réalité physique λ et µ petits.
La limite de la solution de Navier-Stokes lorsque λ et µ tendent vers 0 n’est
pas égale à la solution d’Euler (λ = µ = 0) cela entraine des phénomènes de
couches limites.
32
6.3.4
Ecoulements lents et réguliers
vi et vi,j sont ”petits”
(1) (conservation de la masse) reste inchangé
(2) devient
→
−
−−→ −
−−→
→
−
→
∂V
→
− (λ + µ)graddiv V − µ∆−
u + gradp = f
ρ
∂t
le problème devient linéaire.
Les conditions initiales et aux limites ne changent pas : c’est le système de
→
−
→
Stokes f = ρ−
g très souvent négligé devant le reste.
6.4
Exemple de loi d’etat autre que divV = 0
p = g(ρ), g étant inconnu.
∂p
dim( ∂ρ
)
M LT −2 L−2
M L−3
2
−2
∂p
∂ρ
> 0,
∂2p
∂ρ2
>0
2
=
= L T = c vitesse accoustique : c’est la vitesse du
son dans le milieu.
g étant inconnu, exemple la loi de gaz parfaits en évolution isotherme
pv = rt ⇐⇒ p = rtρ. v : volume spécifique = ρ1
gaz parfait en situation adiabatique p = cργ . Les fluides qui obéissent à une
loi du type p = g(ρ) sont dits barotropes.
6.5
6.5.1
Autres conditions aux limites réalistes
Si le domaine est confiné
Voir figure
Il faut connaı̂tre le gradient de la pression ou l’altitude. Ce sont des informations qui permettent de se passer de certaines conditions aux limies
6.5.2
Dans un milieu infini
→
−
Autour d’un obstacle, on écrit les conditions à l’infini pour ρ, V et p
33
6.6
6.6.1
Relations de discontinuité
Relations de discontinuité liées à la conservation
de la masse
Pour la conservation de la masse ⇒ [|ρu|]Σ = 0
Voir figure
avec [|ρ|]Σ = ϕ2 − ϕ1 notation pour exprimer le saut de ϕ à travers Σ.
→
→
→
u = (−
v −−
w ).−
n
→
−
w c’est la vitesse propre de la surface
→
−
→
→
v c’est la vitesse du fluide de part et d’autre. −
w ne saute pas par contre −
v
→
−
→
−
→
−
saute. On note par (2) le côté vers lequel part la normale. u = v − w est
la vitesse normale relative à la paroi.
[|ρ|]Σ = ρ(2) u(2) − ρ(1) u(1) = 0
On a deux situations :
a) oubien ρ(2) u(2) = ρ(1) u(1) = 0 =⇒ u(2) = u(1) = 0, car ρ 6= 0. Le milieu
ne traverse pas Σ. Σ est une surface de contact dans le cas des fluides : ie
l’interface entre deux fluides non missibles
b) oubien ρ(2) u(2) 6= 0 et ρ(1) u(1) 6= 0, les milieux sont missibles, Σ est une
onde de choc. Si ρu = m 6= 0, m n’est pas la masse.
6.6.2
Pour la conservation de la quantité de mouvement
→
−
→−
−
→
m[| U |] = [| T ( N )|]Σ , à la surface de contact U = 0 (vitesse relative) u
vitesse relative normale.
→
−
→
−
→
−
→
−
m = ρu, U (α) = V α − w. T (x, t, N ) = le vecteur des contraintes pour la
→
−
direction N normale unitaire à Σ.
Pour une surface de contact m = 0
→
−
[|T ( N )|]Σ = 0, [|σij Nj |]σ = 0
Remarque 11 Dans les situations capillaires (dans les situations où on a
de petites dimensions), on constate que si on est au repos qu’à l’interface
entre deux fluides
34
Voir figure
Rappels
σij = −λδij + zij (v);
zij = λεll (V )δij + 2εij (V ) = zji

 σij Nj = −pδij Nj = −pNi
donc on a

(1)
p = p(2) à Σ
On ne peut pas rendre compte de la courbure de l’interface si on admet cette
relation.
Cette relation est alors remplacée par la loi de Laplace p(1) − p(2) = σH, H =
courbure moyenne.
6.6.3
Modélisation des ondes acoustiques
Modélisation de l’équation des ondes acoustiques
Nous avons ici une propagation d’ondes accoustiques à étudier. La modélasation
est basée sur l’écoulement d’un fluide, barotrope (pour plus de détails cf [58])
occupant un domaine Ω de l’espace et immergenant un corps vibrant avec
une faible amplitude (source sonore) occupant lui-même un domaine Ω1 . On
étudie la propagation de ces petites perturbations dans le flide, et donc la
propagation du son.
→
On suppose que les forces de pesanteur f sont négligeables devant les forces
d’inertie
→
f= 0
Il est légitime de supposer aussi l’écoulement irrotationnelle.
→ →
rot u= 0
en effet si le fluide reste au repos jusqu’ l’instant t = 0 (ce que nous supposerons) pour plus de détails cf [58]. La relation
→ →
rot u= 0
implique l’existence d’un potentiel des vitesses ϕ tel que
→
→
U =gardϕ
35
Les équations de la conservation de masse et les équatins d’Euler s’écrivent :
∂ρ
+ ρ,i ϕ,i + ρ∆ϕ = 0 (6.1),
∂t
∂ ∂ϕ U 2
1 ∂p
[
+
]+
= 0 (6.2)
∂xi ∂t
2
ρ ∂xi
avec
→
U 2 = | gardϕ |2 .
En plus des hypothèses classiques faites sur des petites pertirbations cf [58],
savoir :
i)Les vitesses ui sont petites ainsi que leurs variations ui,k ∂ui /∂t,
ii)la pression p et la densité ρ varient pe autour de leurs valeurs constantes
p0 et ρ0 du repos initial
On peut alors linéariser les équations (6.1) et (6.2) qui deviennent :
∂ρ
+ ρ∆ϕ = 0, (6.3)
∂t
1 dp ∂ρ
∂ ∂ϕ
( )+
= 0 (6.4);
∂xi ∂t
ρ dρ ∂xi
comme ∂ϕ/∂t est petit ainsi que ∂ρ/∂xi , on peut remplacer ρ et dp/dρ par
les constantes ρ0 et c20 (voir [58]) d’o :
∂ρ
+ ρ0 ∆ϕ = 0 (6.5)
∂t
ρ
∂ϕ
+ c20 = k(t) (6.6);
∂t
ρ0
→
mais ϕ peut tre moddifié d’une fonction de t sans changer la valeur de de U ;
en effet si l’on pose
Z
t
Φ=ϕ−
k(s)ds, (6.7)
0
on a toujours
→
→
U =gardΦ et ∆ϕ = ∆Φ.
Une combinaison des relations (6.5), (6.6) et (6.7) montre que Φ est déterminé
par l’équation des ondes
1 ∂2Φ
− ∆Φ = 0 (6.8)
c20 ∂t2
36
les conditions initiales peuvent tre traduites par :
(x, 0) = 0(fluides au repos)
Φ(x, 0) = 0, ∂Φ
∂t
plus des conditions aux limites (cf [58])
En faisant le changement de variables suivant :
2
Φ = Φ0 e−iωt on aura donc ∂Φ
= −ωΦ et ∂∂tΦ2 = ω 2 Φ
∂t
(6.8) peut s’écrire donc sous la forme :
ω2
Φ − ∆Φ = 0 (6.9)
c20
et en posant k =
ω
,
c0
nous pouvons écrire (6.9) sous la forme :
−∆Φ = k 2 Φ (6.10)
Pour la suite nous considérons le système suivant :
−∆uΩ = λΩ uΩ dans Ω
uΩ = 0
sur ∂Ω
37
Chapitre 7
Modélisation du problème de
pollution dans un milieu non
saturé
Soit D un milieu déformable. Nous introduisons pour x ∈ D et t ∈ (0, T1 )
ε(x, t) la porosité effective donnée par
ε(x, t) =
δVl
,
δV
σ(x, t) =
δVv
,
δV
σ(x, t) la porosité donnée par
et q le vecteur vitesse de Darcy défini par q = εV
où V est le vecteur vitesse du fluide, δVl élément de volume du liquide, δVv
élément de volume du vide et δV élément de volume total. Ω est considéré
comme domaine élémentaire
de D.
R
Nous avons M (Ω, t) = Ω dm , dm étant l’élément de masseRdu fluide dans le
milieu. dm = ρ(x, t)ε(x, t)dx. Ce qui donne donc M (Ω, t) = Ω ρ(x, t)ε(x, t)dx.
ρ(x, t) est la densité du fluide liquide qui est une solution.
Pour toute la suite de la modélisation nous utiliserons les notations suivantes :
ρs [kg/m3 ] la densité de masse du fluide est donnée par :
ρs =
dmsolution
,
dvsolution
38
W (x, t)[kg/kg] la fraction de masse du corps dissout dans le liquide (concentration) :
dmsolute
.
W (x, t) =
dmsolution
dmsolution est un élément de masse de la solution et dmsolute est l’élément de
masse du soluté.
7.1
Conservation de la masse de la solution
A partir de la relation donnant ρs nous avons :
dmsolution = ρs dvsolution = ρs
dvsolution
dvtotal
dvtotal
Utilisant la définition de la porosité effective, on a
dvsolution
= ε(x, t)
dvtotal
Donc
dmsolution = ρs ε(x, t)dvtotal
Z
Z
ρs εdx.
dmsolution =
Msolution (Ω, t) =
Ω
Ω
La conservation de la masse dans Ω stipule que la variation de la masse
est égale au flux entrant à travers le bord de Ω à la vitesse V. Ce qui se
traduit par
Z
dM
=−
ρs εV.νdσ
dt
∂Ω
Z
Z
∂
0=
(ρs ε)dx +
ρs εV.νdσ.
∂Ω
Ω ∂t
où ν est la normale extérieure.
En utilisant la formule de Green on a
Z
∂
( (ρs ε) + div(ρs εV ))dx = 0 ∀ Ω ⊂ D
Ω ∂t
Ce qui équivaut à dire que :
∂
(ρs ε) + div(ρs εV ) = 0 dans D
(7.1)
∂t
Remarque 12 Si le fluide est incompressible on a divq = 0 où q = εV.
39
7.2
Conservation de la masse du corps chimique (soluté)
Nous supposerons ici que le liquide pollué est de l’eau plus une concentration chimique. Soit W la fraction de masse de ce corps dissout dans Ω.
W =
c
concentration de masse
=
ρ
densité de masse du fluide
[c] = kg/m3 , [ρ] = kg/m3 .
Nous avons
dmsolute = W (x, t)dmsolution = W (x, t)ρs ε(x, t)dvtotal
Z
Z
Msolute (Ω, t) =
dmsolute =
W (x, t)ρs εdx.
Ω
Ω
La masse dans Ω s’écrit
Z
M (Ω, t) =
ερW dx
Ω
La conservation de la masse stipule que la variation de la masse est égale au
flux entrant à travers le bord de Ω à la vitesse V. Ce qui se traduit par
Z
Z
dM
Jνdσ
W ρs εV.νdσ −
=−
dt
∂Ω
∂Ω
où J est le flux de dispersion diffusion à travers la frontière. En utilisant
la formule de Green on obtient :
Z ∂(ρs W ε)
+ div(W ρs q + J) dx = 0 ∀ Ω ⊂ D
∂t
Ω
Ce qui entraine que
∂(ερs W )
+ div(W ρs q + J) = 0 dans D
∂t
40
(7.2)
7.3
Conservation de la quantité de mouvement
Lorsque le milieu poreux est homogène la loi de Darcy est donnée par
K
q = − (∇p + ρs ge3 );
µ
où e3 est le troisième vecteur de la base canonique de R3 , p désigne la pression, ge3 = ~g est le vecteur gravité, K le tenseur de perméabilité intrinsèque,
µ la viscosité dynamique et K/µ représente la conductivité hydraulique. Nous
supposons que la conductivité hydraulique vérifie la condition d’ellipticité
suivante :
K
∃ α1 > 0 tel que (x)ξ.ξ ≥ α1 kξk2 , ∀ξ ∈ RN , N ≥ 2
µ
Si on a de faibles concentrations le flux de dispersion diffusion J peut être
exprimé par la loi de Fick :
J = −ρs D∇W
où D est le tenseur de dispersion diffusion. Nous supposons aussi que D
satisfait la condition d’ellipticité suivante
D = (dij )1≤i,j≤n ; ∃ α2 > 0 tel que dij ξi ξj ≥ α2 kξk2 , ∀ξ ∈ RN , N ≥ 2.
Remarque 13 ρs = ρs (T, p, W ). Nous supposons dans toute la suite que ρs
satisfait la relation
ρs = ρ0 exp(βT (T − T0 ) + βp (p − p0 ) + γW )
où βT , βp et γ sont des constantes ; p désigne la pression du fluide, T la
température et W la fraction de masse (concentration). ρ0 = ρ(T0 , p0 , 0) est
la densité de référence ; T0 et p0 sont respectivement la température et la
pression de référence. Cette expression de ρs est très utilisée en science de
l’ingénieur pour plus de détails voir [26].
On a donc en faisant le bilan des équations, le système suivant :

∂(ερs )

+ div(ρs q) = 0

∂t


∂(ερs W )


+ div(ρs W q + J) = 0
∂t
J = −ρs D∇W



ρ
=
ρ
exp[β
s
0
T (T − T0 ) + βp (p − p0 ) + γW ]



q = − Kµ (∇p + ρs ge3 )
41
(7.3)
Remarque 14 La porosité du milieu peut être donnée par plusieurs lois donnant les caractéristiques du milieu. Parmi ces lois on peut en citer trois qu’on
peut retrouver dans [28] :
1. La loi de GARDNER 1958 où ε est donnée par
ε=
εs − εr
+ εr
1 + (αh)β
ε = εs
pour h ≤ 0
pour h > 0
2. La loi de BROOKS ET COREY 1964
ε = (εs − εr )(
h β
) + εr
h0
ε = a.h5 + bh4 + εs
ε = εs
pour h ≤ hl
pour hl < h ≤ 0
pour h > 0
3. La loi de Van GENUCHTEN (1980)
ε = (εs − εr )(1 + (αh)β )τ + εr
ε = εs
pour h ≤ 0
pour h > 0
avec τ = 1 − 1/β.
Dans ces relations h représente la pression mesurée relativement à la pression atmosphérique et exprimé en colonnes d’eau, εs représente la teneur
en eau de saturation, εr la teneur en eau résiduelle, α et β des paramêtres
d’ajustement,h0 le ”bubbling pressure” dans la littérature anglo-saxonne qui
peut être assimilé à la frange capillaire ou ”pression d’entrée d’eau”.
En ce qui concerne notre étude nous allons considérer la loi de Van Genuchten
donnée en 3) en remplaçant h par p, β par n et τ par -m. Ce qui donne la
relation suivante :
ε = (εs − εr )(1 + (αp)n )−m
n et m des paramètres.
La résolution des équations de (7.3) en milieu poreux est très difficile. Nous
allons faire quelques restrictions en posant des hypothèses réalistes.
42
– H-1 ρs est une constante.
En remplaçant q par son expression dans la première équation de (7.3)
on obtient après développement
∂
K
K
ε − div( ∇p) − ρs gdiv( e3 ) = 0 dans Ω × (0, T1 )
∂t
µ
µ
(7.4)
où T1 > 0 est un temps fixé.
En remplaçant q et J par leur expression dans la deuxième équation
de (7.3) et en simplifiant on obtient l’équation suivante :
K
K
∂
(εW ) − div(W ∇p) − ρs gdiv( W e3 ) − div(D∇W ) = 0 Ω × (0, T1 )
∂t
µ
µ
(7.5)
– H-2 Le tenseur de conductivité hydraulique est une constante positive :
( Kµ = βId3 , β > 0) et D est une constante positive (D = aId3 , a > 0.)
Utilisant l’hypothèse (H-2) les équations (7.4) et (7.5) deviennent respectivement :
∂ε K
− ∆p = 0 dans Ω × (0, T1 )
∂t
µ
(7.6)
∂
K
K ∂W
(εW ) − div(W ∇p) − ρs g
− a∆W = 0 dans Ω × (0, T1 )
∂t
µ
µ ∂z
(7.7)
Utilisant l’équation (7.6), l’équation (7.7) devient
ε
∂
K
K ∂W
W − ∇W ∇p − ρs g
− a∆W = 0 dans Ω × (0, T1 ) (7.8)
∂t
µ
µ ∂z
Les équations (7.6) et (7.8) seront couplées avec des conditions aux
limites bien adaptées au modèle. On obtient finalement les problèmes
aux limites suivantes :

∂ε
− β∆p = 0 Ω × (0, T1 )

∂t


ε(x, 0) = ε0 dans Ω × {t = 0}
(7.9)
ε = ε1 ∂Ω \ Γ1 × (0, T1 )



ε = εs Γ1 × (0, T1 )
43
et
 ∂W
ε ∂t − µk ∇W ∇p − µk ρs g ∂W
− a∆W = 0 dans Ω × (0, T1 )

∂z


∂W
= 0 ∂Ω\Γ1 × (0, T1 )
∂n

W = v Γ1 × (0, T1 )


W (x, 0) = W0 dans Ω × {t = 0}
(7.10)
Faisons d’autres hypothèses pour obtenir le modèle que nous allons
étudier dans le paragraphe suivant :
– H-3 L’écoulement est permanent c’est à dire
∂
∂t
= 0.
– H-4Le milieu est isotherme donc T est une constante.
Rappelons que par l’hypothèse (H-1) ρs est constante et est donnée
par l’expression
ρs = ρ0 exp[βT (T − T0 ) + βp (p − p0 ) + γW ]
Utilisant l’hypothèse (H-1) et (H-4) on trouve une relation entre la
pression p et W la fraction de masse :
log
ρs
= βp (p − p0 ) + γW.
ρ0
D’où,
p = p0 +
ρs
1
[log
− γW ]
βp
ρ0
On déduit à pression p0 constante que
∇p = −
γ
∇W.
βp
En utilisant les hypothèses (H-1)-(H-4) et en remplaçant ∇p par sa
valeur dans (7.10) on obtient :

−∆p = 0 dans Ω


1
1
ε −ε
[( ε1 −εr )− m −1] n
s
r
(7.11)
p
=
sur ∂Ω \ Γ1
α


p = 0 sur Γ1
et
44

D
∂W
 +β|∇W |2 − βρs g ∂z − ρ00 ∆W = 0 dans Ω
∂
W = 0 sur ∂Ω\Γ1
∂n

W = v sur Γ1
(7.12)
Remarque 15 Les conditions du bord de (7.11) sont obtenues par la
loi de Van Genuchten.
Si on avait remplacé (H-4) par
(H-5) Le milieu est isobare
on aura des équations de même type et de même nature.
45
Chapitre 8
Lois de comportement
élastiques en milieu isotherme
et adiabatique
8.1
Introduction
. Isotherme ou adiabatique (pas de dissipation thermique)
. initule d’utiliser les relations de couplage découlant de la thermodynamique
ρ = ρdet(1 + ∇u)
. Les lois générale à écrire sont : 0 d2 ui
ρ dt2 = σij + fi
Une loi de comportement pour un solide dans les milieux isotherme et adiabatique est
X
∂xi
.
(x, t) = F[a, F(a, t − s)] ∀s, Fiα =
∂aα
s introduit la mémoire, ∀s > 0 ≡ : mémoire infinie, et ∀s ∈ [0, B] : mémoire
éventuellement courte.
Un milieu élastique est un milieu à mémoire selective. Il ne se souvient que
d’un état privilégié (état naturel) que l’on prend souvent comme (état initial).
Les autres milieux ie s 6= 0 sont des milieux viscoélastiques.
46
8.2
Lois de comportement élastique en général
Le principe d’indifférence matérielle implique
X
(x, t) = K(a, L)
où les composantes de L sont données par :
1
1
Lαβ = [Fiα Fiβ + δαβ ] = (Cαβ−δαβ )
2
2
Nous rappelons la conservation de la masse et le principe fondamental de la
dynamique sont traduits par :
1
= (uα,β + uβ,α + ui,α ui,β )
2
d2 ui
= σ ij,j + f i
dt2
se ramène donc à un systéme de 4 équations à 4 inconnues
Le problème est très fortement non linéaire.
ρ0
8.3
8.3.1
= ρdet(1 + ∇u),
Elasticité semi-classique
Définition
L’élasticité semi-classique est la loi de comportement d’un milieu milieu
soumis à un régime tel que l’on puisse faire 2 familles d(hypothèses.
- hypothèse de petites perturbations,
- linéarité de la loi des contraintes de déformations ,
Si le milieu est de plus homogème et isotrope on est en élasticité linéaire.
8.3.2
Hypothèses de petites perturbations
−
D’une part |→
u | sera très petits par rapport à une longeur caractéristique
du problème
→
u ∇F(a)
x = a + u ' a, F(x) = F(a + u) = F(a) + −
47
En première approximation, on considère F(x) ' F(a) et à tout instant.
La variable d’espace sera nommée x et on pourra écrire les relations entre le
milieu déformé et le milieu non déformé.
Comme le gradient des déplacements est en module petit on fait l’approximation suivante : E ' L ' E(u); εij
8.3.3
Hypothèses de linéarité
Voir figure
i) Définition
σij = aijkh (x)εkh (u)
Remarque 16 La linéarité sans hypothèse H1 se traduit par σij (x) = aijαβ
tenseur du 4eme ordre.
ii) Propriétés des composantes aijkh (les coefficients d’élasticité)
A priori on a 81 coefficients dans un tenseur du 4eme ordre.
- La symétrie de σij ⇒ aijkl = ajikl (54 coefficients)
- La symétrie de εij (u) ⇒ aijkl = aijlk (36 coefficients)
- Des raisons thermodynamiques le fait que σij dérive d’un potentiel :⇒
aijkh = akhij
Un milieu complétement anisotrope a 21 coefficients d’élasticité et s’il est
isotrope, on verra que l’on se ramene à 2 coefficients.
Le second principe de la thermodynamique : ⇒ aijkh Xij Xkh ≥ αXij Xij α > 0
(hypothèse de coercivité)
8.3.4
Les équations et conditions initiales et aux limites d’un problème régulier
i) La conservation de la masse
ρ0 = ρdet(1 + ∇u); les hypothèses de petites pertbations entraı̂nent : ρ '
→
(1 − div −
u )ρ0 ' ρ0
48
ii) Conservation de la quantité de mouvement
L’équation devient
(1) ρ0
∂uk
∂ 2 ui
∂
[aijkh
] = fi
+
2
∂t
∂xj
∂xh
Ω0
iii) Conditions aux limites
dérivant de la loi de conservation
σij nj = Fi sur ∂Ω0 (elle n’est interessante que si Fi est connue) ou bien
(2) aijkh
∂uk
nj = Fl
∂xh
sur
Γ ⊂ ∂Ω0
γFl le morceau de frontière sur lequel Fl est donnée et désigner par ΓF l’ensemble des parties de ∂Ω0 sur elle on connaı̂t au moins une composante de
F
Remarque 17 L’équation s’écrit
∂ 2 ui
+ (Au)i = 0
∂t2
∂
∂uk
aijkh
(Au)( i) = −
∂xj
∂xh
ρ0
La condition de Neumann est écrite :
(
∂u
∂uk
)l = aijkh
∂νA
∂xh
c’est la dérivée normale associée à l’opérateur A
(2) est une condition de Neumann.
iv) Conditions aux limites complémentaires
Remarque 18 (d’expérience) Quand on ne connaı̂t pas les efforts sur la
frontière en général, on connaı̂t les déplacements. up = Up donné sur Γup ⊆
∂Ω0 morceau de frontière sur lequel up est connu : c’est une condition de
Dirchlet.
Le problème est bien posé ou régulier si ΓF et Γu sont complémentaires sur
∂Ω0
49
v) Conditions initiales
∂ui
(x, 0) = ui,1
∂t
les problèmes d’élasticité non stationnaire sont soit .... ou des problèmes de
vibration.
ui (x, 0) = ui,0 ,
8.3.5
Autres conditions aux limites locales
i) Conditions initiales
exemple
Voir figure
Si le corps est au sol, on a : F3 > 0
Dans le cas où il n y a pas de contact, F3 = 0 si u3 (x) > 0
Inversement dans du contact u3 (x) = 0 mais F3 (x) > 0
On est dans le domaine des inégalités variationnelles
Autre exemple :
cas de frottement, les conditions sont du type : si F1 est plus petite qu’une
contrainte alors u1 = 0
dès que F1 dépasse une certaine limite, la relation est de type F1 = kv1
Voir figure
ii) Les conditions à l’infinie
Les déplacement sont nuls en général. Plus précisément c’est le bon sens
qui donne les condtions à écrire.
iii) Les conditions imprécises ou globales
Il y a beaucoup de situations où les effotrs sont connus globalement et
non localement sur certains morceaux de la frontière. On connaı̂t le torseur
50
des actions extérieures {τ }Σ .
Z
Z
σij nj ds =
∂Ω
Z
Fi (P )ds
∂Ω
−→ −
→
OP ∧ F (P )ds =
∂Ω
Z
−→ X −
.→
n ds
OP ∧
∂Ω
Il y a un principe d’ingénierie (St-Venant) qui dit que lorsque Γ(une
partie de ∂Ω ) est petit par rapport à ∂Ω, on peut remplacer le Fi local
précis inconnu à priori par n’importe quelle distribution admissible Fiad . Si
Z Z
Z Z
−→
→
−
Fiad ds, M0 =
OP ∧ Fiad (P )ds
R =
∂Ω
8.4
∂Ω
Elasiticité classique
On fait 2 hypothèses supplémentaires
H3 le solide est homogène
H4 il est isotrope (mêmes proprit́és dans toutes les directions)
Alors on a le théorème des fonctions isotropes
X
= k0 (EI , EII , EIII 1 + k1 (EI , EII , EIII E(u) + k2 (EI , EII , EIII )E 2 (u)
P
Comme on a l’hyporhèse H2 de linéarité. Donc
= λEI (u)1 + 2µE(u)
σij = λεll (u)δij + 2µεij (u),
c’est la loi de Hooke, λ et µ sont les coefficients de Lamé.
aijkh = λδij δkh + µ(δik δjh + δih δjk )
8.4.1
Inversion de cette loi
σii = (3λ + 2µ)εii (u)
εij (u) =
1+ν
ν
σij − σll δij
E
E
E = module de Young, ν = coefficient de Poisson
λ+µ
λ
= µ(3λ+2µ)
ν = 2(λ+µ)
E
νE
µ = 2(1+ν)
λ = (1−2ν)(1+ν)
1
E
51
8.4.2
Signification physique
σij = sδij + δijD , s = σ3ii
εii
εij = eδij + εD
ij , e = 3
→
On pose 3κ = 3λ + 2µ, εii = div −
u
κ = module de rigidité à la compression, s = 3κe
δijD = σij − sδij , εD
ij = εij − eδij ,
σijD = 2µεD
ij
µ = le module de rigidié au glissement.
Dans une expérience uniaxiale σij = 0 sauf σ11 , donc εij = 0 sauf ε11 =
E>0
µ
ε11 = ε22 = − σ11
E
ainsi κ > 0, λ > 0, µ > 0 donc
0≤ν≤
car
3κ =
Si ν =
1
2
1
2
E
1 − 2ν
alors κ est infini
e=
Donc
ν=
8.4.3
σ11
,
E
→
div −
u
s
εll (u)
=
=
3
3
3κ
1
correspond à un milieu incompressible
2
Coercivité
σij = aijkh εkh (u) = λεll (u)δij + 2µεij (u), εij = Aijkh σkh
La thermodynamique implique que les forces quadratiques associées à aijkh
et Aijkh sont définies positives
aijkh Xij Xkh ≥ 0
Aijkh Xij Xkh ≥ 0
(= 0 ssi Xij = 0)
52
Les mathématiciens extrapolent en coercivité :
∃ α > 0 tel que aijkh Xij Xkh ≥ αXij Xij ∀X = Xt
Exercice 1 Dans le cas de l’élasticité classique, montrer qu’on a bien la
coercivité et calculer les α correspondants
8.5
Résolution en élasticité
8.5.1
La formulation générale développée antérieurement (déplacement) : problème
bien posé
A/ Si les déplacement imposés à la frontière empêchent
mouvement gloPtout−
→
bal du solide celà implique l’existence et l’unicité de
et u .
B/ Problème de Neumann (statique) : Il n’y a que des efforts imposés à la
→
frontière, on aura unicité de −
u qu’à un champs de moment près.
−→
−
→
→ −−−→
−
→
g(M 0 ) = g(M ) + Ω ∧ M M 0 ⇐⇒ εij (−
g)=0
On a cependant unicité du champ des contraintes. Mais il y aura toujours
une condition d’intégrabilité à écrire à priori. Le tenseur {τ } du à des actions
extérieures doit être nul.
Z
Z
→
−
→
−
→
−
f dx +
F ds = 0 égalité des résultantes du tenseur
Ω
Γ
→
−−→ −
OM ∧ f dM +
Z
Ω
Z
−→ −
→
→
−
OP ∧ F dP = 0 égalité des moments
Γ
C/ les situations intermédiaires
8.5.2
Résolution en contrainte (cas statique)
σij,j + fi = 0, σkj nj = Fk sur ΓFl
D
Uad
= { τ tenseur symètriques, ”réguliers” τij,j + fi = 0, τkj nj = Fk sur ΓFk }
3
On peut dans le cas simple trouver à priori des tenseurs de Uad
.
Quel est le tenseur des solutions ?
3
Soit τ ∈ Uad
ν
1+ν
τij − τll δij
∆ij =
E
E
53
∆ij est candidat pour être le tenseur des déformations linéaires : on doit
→
u
pouvoir résoudre 12 (ui,j + uj,i ) = ∆ij d’où la condition d’existence pour −
∆(∆ij ) + ∆ll,ij − (∆il,lj + ∆jl,li ) = 0
Si cette relation est vérifiée, alors ∆ij = εij (u), τij = σij solution.
En posant
1+µ
ν
∆ij =
τij − τll δij
E
E
Ce qui implique la relation de Beltrami ci dessous
∆τij +
1
ν
τll,ij +
δij (fk,k ) + fi,j + fj,i = 0
1+ν
1+ν
En l’absence de force volumique
∆τij +
1
τll,ij = 0
1+ν
Dans tout les cas si τij est un polynôme du premier degré en xi alors ∆ij et
donc les relations de compatibilité sont identiquement satisfaites.
54
Chapitre 9
Hyperélasticité (thermo
élasticité semi classique)
9.1
Définition
Milieu hyperélastique : milieu qui a une mémoire selective. Il ne se
se souvient que de son état initial ou natuel. Il est caractérisé par les coordonnˆ’ees de Lagrange a; x = ϕ(a, t) d’habitde ϕ(a, t − s), ∀s
Dissipation : La dissipation intrinsèque est nulle, φi la dissipation ther←−−
→
mique est définie par la loi de Fourier −
q = −KgradT ; K est le tenseur de
conduction thermique.
Une relation linéaire entre un vecteur et un vecteur est appelée renseur.
9.2
Traduction de la définition précédante
. Inconnues cinématique L, Lαβ = 12 (uα,β + uβ,α − ui,α ui,β )
. Paramétres thermodynamique : θ = T − T0
. Le potentiel naturel est Ψ(θ, L) = e − T s2
Φ1 = σij εij (v) − ρ
∂Ψ dLαβ
=0
∂Lαβ dt
quelque soit l’évolution cinématique et thermique du milieu.
dL
(L̇αβ = dtαβ )
relation à admettre :le taux d’energie spécifique du au efforts éxecuter peut
55
s’écrire de deux manière au moins
dL
X
sαβ dtαβ
σij εij (v)
=
, S = JG
Gt , sαβ = JGαi σij Gβj
ρ
ρ0
α
J = detF, Giα = ∂a
∂xi
S tenseur des contraintes de Piola-Khirschoff (purement Lagragien)
Φ1 = (
∂Ψ
ρ
sαβ − ρ
)L̇αβ = 0 ∀ L̇αβ
ρ0
∂αβ
s − αβ = ρ0
Φ2 = −
∂Ψ
L̇αβ
∂αβ
−
→
q −−→
T,i T,j
≥0
gradT = κij
T
T
κij définie positif
σij = il est aussi appelé tenseur de conductivité thermique : pour le cas
isotrope, on a κij = kδij = κji
On introduit W0 = ρ0 Ψ :énergie de déformation.
dΨ = −sdT + $
∂Ψ
∂Ψ
s=−
=−
∂T
∂θ
9.3
Thermo élasticité semi-classique
9.3.1
Hypothèse des petits déformations
L ' E(u)
P
Hypothèse de linéarité : S '
W (θ, εij (u)) = ρ0 Ψ(θ, εij (u)) énergie de déformation
dΨ = −sdθ + Πij dεij (u)
σij = ρ0
∂ψ
∂W
=
∂εij (u)
∂εij (u)
Pour construire le Ψ on commencera par se souvenir qu’en milieu adiabatique
ou isotherme, on a σij = aijkh εkh (u)
En θ = 0
∂W
[0, εij ] = aijkh εkh (u)
∂εij (u)
56
1
W (0, εij ) = aijkh εij εkh (u)
2
En effet
∂W
1
(0, εij ) = aijkh [δip δjq εkh (u) + εij (u)]
∂εpq
2
1
1
= apqkh εkh (u) + aijpq εij (u)
2
2
il y a donc symétrie des aijkh . On a donc
∂W
[0, εij ] = aijpq εij (u)
∂εij (u)
On se propose de représenter le comportement par
1
W (θ, εij (u)) = aijkh εij (u)εkh (u) + bij θεij (u) + γθ2
2
σpq =
∂W
1
[0, εpq ] = apqkh εkh (u) + bpq θ
∂εpq (u)
2
∂ψ
1 ∂W
1
=−
= − bij (u) + 2γθ
∂θ
ρ ∂θ
ρ0
1
εij (u) = [ui,j + uj,i ]
2
de
ρ = σij εij (u) − qi,i + r
dt
La dissipation thermique est gérée par la loi de Fourrier
−−→
−−→
→
−
q = −KgradT = −Kgradθ le solide chauffé se dilate
9.3.2
Interprétation des coefficients de W
a) aijkh : coefficient de dilatation
b) Si on inverse la loi de comportement on a : si Akhpq σpq = εkh (u)+Akhpq bpq θ
avec Akhpq inverse des akhpq alors
dilatation adiabatique
εkh (u) =
Akhpq σpq
| {z }
def ormation purement mecanique
57
−
z }| {
Akhpq bpq θ
αkh = Akhpq bpq θ = tenseur des dilatations thermique.
bpq = −apqij αij
c) γ? On cherche à relier γ à la chaleur spécifique à déformation constante :
cε =
∂e
∂
∂ψ
∂s
=
(ψ + T s) =
+s+
∂T
∂T
∂θ
∂T
dψ = −sdθ +
s=
9.4
∂ψ
dεij
∂εij
∂2ψ
∂W
∂W
∂ψ ∂s
,
= − 2 , or W = ρψ,
=
= 2γθ
∂θ T
∂T
∂T
∂θ
∂2ψ
ρ0 cε
ρ0 c ε
= 2γ; γ = −
'−
2
∂T
2T
2T0
Thermoélasticité classique
H3 = homogènéité
H4 = isotropie : l’une est souvent conséquence de l’autre.
εij (u) =
1+ν
ν
σij − δij σll + αθδij
E
E
σij = λεll (u)δij + 2µεij (u) − 3καθδij
Ces deux équations permettent d’écrire la loi de comportement. 3κ = 3λ+2µ
9.4.1
Problème de thermoélasticité classique
Conservation de la masse
→
ρ = ρ0 (1 − div −
u ), ρ ' ρ0 (HP P )
conservation de la quantité de mouvement
ρ
ρ
∂ 2 ui
− σij,j = fi
∂t2
∂ 2 ui
∂
∂uk
−
[aijkh
+ bij θ]
2
∂t
∂xj
∂xk
58
de
= σij εij (u) − qi,i + τ
dt
∂θ
qi = −Kij
∂xj
∂e
∂ψ
∂θ
∂s
ρ
= ρ0 [
+s +T ]
∂t
∂t
∂t
∂t
∂
∂θ
∂θ
−
(Kij
) + 3καεij (V )(θ + T0 ) = r
ρ0 c ε
∂t ∂xi
∂xj
Pour un solide, εij (V ) est négligeable
ρ
ρ0 c ε
∂θ
∂θ
)=r
(Kij
∂t
∂xj
équation de la chaleur
ρ
∂ 2 ui
∂
∂uk
[kijkh
+ bij θ] = fi
−
2
∂t
∂xj
∂xk
(1)
∂θ
∂
∂θ
[aij
] = fi (2)
−
∂t ∂xi
∂xj
Conditions aux limites associées à (2) θ = g sur ΓD Dirichlet
ρcε
→
→
−−
q .−
n = d sur ΓN (3) N eumann
∂θ
+Kij
d sur ΓN
(4) Dirichlet
∂xj .ni
→
→
−−
q .−
n = k(θext − θ) sur ΓF condition de F ourier (5)
∂θ
nj + hθ = hθExt
Kij
∂xj
Si ΓD , ΓN , ΓF sont complémentaire, alors le problème est bien posé.
Quand θ est connu, on rapporte dans (1)
ρ
∂ 2 ui
∂
∂uk
−
[kijkh
] = fi + bij θ = fi∗
2
∂t
∂xj
∂xk
ul = Ul sur ΓUl
σij = Fi = aijkh
aijkh
∂uk
nj + bij θnj
∂xk
∂uk
nj = Fi − bij θnj = Fi∗
∂xk
59
sur ΓFi
9.5
Application : Modélisation du problème
de thermo-élasticité
La modélisation est essentiellement basée sur le principe de conservation
de la masse, de la quantité de mouvement et des lois générales de la thermoélasticité comme les lois de comportement.
Considérons un domaine Ω0 inclus dans un grand domaine D0 au repos qui
subit un choc. Les domaines se déforment donc au cours du mouvement et à
l’instant t ils deviennent Ωt ⊂ Dt . voir figure 9.1
a = (a1 , a2 , a3 ) est un point de Ω et est repéré à l’instant t par x =
(x1 , x2 , x3 ) dans Ωt . Soit donc ~u = (u1 , u2 , u3 ) le champ de déplacement (la
déformation) :
ui (a, t) = xi − aα δiα .
9.5.1
Conservation de la masse et de la quantité de
mouvement
Soient ρ et ρ0 les masses volumiques dans les états déformés et non
déformés ; ρ0 est donné.
La loi de conservation de la masse donne directement
Z
Z
ρdx =
ρ0 dx ∀ Ω ⊂ D
Ωt
Ω
Par changement de variables on aboutit à :
Z
Z
¯
ρ det(1 + ∇u)da =
ρ0 da
Ω
Ce qui donne
Ω
¯ =ρ ∀Ω ⊂ D
ρ det(1 + ∇u)
0
(9.1)
La conservation de la quantité de mouvement donne
ρ
dV
¯ + f~
= div σ̄
dt
¯ est le tenseur des contraintes et V est défini par V =
où σ̄
dx
dt
=
d
(~u +a)
dt
Pour la modélisation de l’élasticité linéaire on suppose que :
60
=
d~
u
.
dt
après le choc
D0
Ω0
Dt
Ωt
Fig. 9.1 – Domaines avant et après le choc
61
– les perturbations restes petites (petites déformations)
– les transformations sont linéaires (hypothèses de petites déformations)
Ces deux hypothèses entraı̂nent que si on note par T la déformation définie
par T (D0 ) = Dt et par F sa transformation inverse on a
F(~u + a) = F(a)
donc
D0 ' Dt
Ceci nous permet de dire que
d2~u
d ∂~u
dV
= 2 = (
+ (V.∇)u)
dt
dt
dt ∂t | {z }
=0
=
∂2u
∂u
+ (V.∇)
2
∂t
| {z ∂t}
=0
D’où finalement
∂ 2~u
¯ + f~ dans D0
ρ0 2 = div σ̄
∂t
En développement l’expression (9.1) on a :
(9.2)
ρ(1 + divu + .|. {z
. . .}. ) = ρ0
nonlinéaire
Ce qui donne finalement
div~u =
9.5.2
ρ0 − ρ
dans D0
ρ
(9.3)
Lois gérerales de la thermo-élasticité linéaire classique
Supposons que Ω est un milieu homogène. Les lois d’états(lois de comportement) de la thermo-élasticité classique sont données par(pour un milieu
élastique et isotrope c’est à dire lorsque λ et µ ne dépendent plus de la
position x)
σij = λεkh δij + 2µεij − 3Kαθδij , 1 ≤ i, j ≤ 3
62
σij désigne les composantes du tenseur des contraintes. Le terme −3Kα correspond aux contraintes d’origine purement thermique, εij les composantes
du tenseur des déformations linéarisées
1
εij = (ui,j + uj,i )
2
λ et µ les coœfficients de Lamés et K le module de rigidité à la compression, θ = T − T0 désigne la température du milieu. Pour des informations
supplémentaires, on peut consulter [35, 32, 25].
En injecant directement l’expression de σij dans l’équation (9.2) nous obtenons :
∂ 2 ui
ρ0 2 = σij,j + fi , i = 1, 2, 3
∂t
Dans le cas homogène, les coœfficients λ et µ ne dépendent pas de x donc
on a
∂θ
δij
σij,j = λεkh,j δij + 2µεij,j − 3Kα
∂xj
D’où
ρ0
∂ 2~u
− µ∆~u − (λ + µ)grad(div(~u)) + 3kαgradθ =
∂t2
f~ Ω × (0, +∞)
Ici θ désigne la température à l’intérieur de l’enceinte. Nous supposerons aussi
∂
par la suite qu’on est en régime stationnaire (permanent) ie ∂t
= 0. Ce qui
donne finalement
−µ∆~u − (λ + µ)grad(div(~u)) + 3Kαgradθ =
f~ Ω
(9.4)
Cette équation sera couplée avec une condition au bord de Dirichlet ou de
Neumann. La température θ intervenant dans (9.4) est solution de l’équation
de Laplace avec une condition de Neumann non homogème sur le bord.
9.6
Un mot sur la Visco élasticité linéaire
Comme pour l’élasticité, la viscoélasticité linéaire se situe dans le cadre
d’un découplement thermique (évolutions isothermes) et d’une théorie des
petites perturbations permettant en particulier de ne faire intervenir que le
63
tenseur des déformations linéari‘ées et ses dérivées par rapport au temps ; de
plus la loi qui relie l’histoire des contraintes à l’histoire des déformations est
linéaire (voir par exemple Gurtin- Sternberg, Duvaut-Lions).
Une classe relativement large de matériaux viscoélastiques peut être représentée
par une loi de comportement de type ”taux” c’est à dire :
σij +
n1
X
(l) ∂
Aijkh
l=1
n
2
l
σkh X
(l) ∂ εkh
=
a
ijkh
∂tl
∂tl
l=0
l
où les σ et ε sont identiquement nuls pour t < 0 et où les coefficients A(l) et a(l)
doivent être déterminés expérimentalement. Dans la plupart des applications,
on se contente même d’une loi du type :
sigmaij + Aijkh
dσkh
(0)
(1) dεkh
= aijkh εkh + aijkh
dt
dt
Ce modèle simplifié permet en effet de rendre compte relativement bien des
comportements de fluage (évolution des déformations lorsqu’à partir de l’instant t = 0, on applique une charge constante que l’on retire éventuellement en
t1 ) et en relaxation (évolution des contraintes sous déformation constante imposée à partir de t = 0) de certains hauts polymères. Pour écrire les équations
de mouvement, on procède comme dans le paragraphe précédent :
on considère l’hypot‘èse des petites perturbations et l’hypothèse de la linéarité.
Conservation de la masse
→
ρ = ρ0 (1 − div −
u ), ρ ' ρ0 (HP P )
conservation de la quantité de mouvement
ρ
∂ 2 ui
− σij,j = fi
∂t2
Ensuite on remplace σij par son expression.
Pour plus d’informations notamment, sur les matériaux à mémoire courte ou
longue, des cas particuliers de milieux isotropes cf par exemple R. DAUTRAY
et J.L.L LIONS Vol 1.
Et pour ce qui sont des types de conditions aux limites et conditions initiales,
on peut se référer aux chapitres 7 et 8.
64
Chapitre 10
ELECTROMAGNETISME
10.1
Introduction
1. Définition de l’électromagnétisme : postulat de départ :
L’électomagnétisme s’ı́ntéresse aux inter-actions entre toutes les particules de l’espace.
→
−
→
−
f~(P ) = q{ E (P ) + ~v ∧ B (P )}
(10.1)
→
−
où B définit un axe de rotation
f (M ) : force exercée sur la particule en M
→
−
E (P ) : champ électrique volt par mètre
→
−
B (P ) induction magnétique (densité surfacique de flux magnétique)
q est lié à P : charge électrique de la particule.
2. Définition et relation de base valable dans le vide
vide : au sens matière non condensée
(a) champ électrique E0 crée en un point M par une charge immobile
q et situés en P.
−−→
→
−
q PM
E 0 (M ) =
(10.2)
4πε0 |P M |3
ε0 : constante diélectrique du vide ; ε0 =
10−9
36π
Farad/mètre
(b) Champ élelectrique E~v crée en M par une charge q située en P et
65
animée d’une vitesse ~v rectilige ~v = v~k
E~v (M ) = (1 −
2
v 2 1/2
~k)~k + (1 − v )−1/2 (E0 − (E0 .~k)~k) (10.3)
)
(E
.
0
c2
c2
c vitesse de la dans le vide ∼ 3.108 m/s
(c) Induction magnétique B~v crée en un point M par une charge q
située en P et animée d’une vitesse rectiligne ~v = v~k
→
−
−
→
~v (P ) ∧ E ~v (M )
B (M ) =
c2
(10.4)
→
−
(d) champ électrique E crée en un point M par une densité volumique
de charge ρ(x)
Z
→
−
ρ(ξ)(ξi − xi )~ki
1
dξ
(10.5)
E (x) =
4πε0 Ω
|ξ − x|3
3. Définition et relation valables dans la matière
Tout ce qui précède reste valableà condition de tenir compte de toutes
les charges(les charges de polarisation et celles d’aimentation)
→
−
→
−
(a) Approximation de E v̄ et B v̄ :
2
Dans un conducteur, ~v est de l’ordre du cm/s =⇒ vc2 est négligeable
→
−
→
−
devant 1 donc E ~v 6= E 0
−−→
−
→
µ0 ~v (P ) ∧ P M
B ~v (M ) =
q
4π
|P M |3
µ0 =
1
ε0 c 2
(10.6)
(10.7)
µ0 : perméabilité magnétique du vide∼ 4π10−7 H/m, H : Henry
(b) Intensité du courant I dans un conducteur
La matière contient des ions positifs et des ions négatifs. L’intensité du courant dans un conducteur est la quantité de charges
qui traverse la section droite d’un conducteur par unité de temps.
L’intensité est exprimée en ampère.
Remarque 19 En électromagnétisme les grandeures canoniques
sont L : longueur, T : temps, M : la masse I : l’intensité.
66
(c) Densité du courant
I
(10.8)
S
Le vecteur courant va prendre en compte la direction du mouvement des charges.
~
J(x)
= ρ(x)~v
(10.9)
J=
La variation d’intensité est
~
~ ndS = J.dS
dI = J.~
(10.10)
Remarque 20 Sur les dimensions des grandeurs introduites dimJ =
L−2 .I
dimρ = L−3 .T.I
dimq = T.I
~ = LM T −2 T −1 I −1 = LM T −3 I −1 (votl/m)
dimE
~ = L−1 M −1 T LM T −3 I −1 = M T −2 I −1 (tesla)
dimB
dimε0 = T IL−2 L−1 M −1 T 3 I = T 4 M −1 I 2 L−3 (f arad/m)
dimµ0 = LM T −2 I −2 (Henry/m)
~0 =
E
1
q P~M
, µ0 = 2
2
4π0 |P M |
c ε0
10.2
Lois générales de l’électromagnétisme
10.2.1
Introduction
Loi de conservation de l’électricité
Relation entre J~ et ρ
Equation de Maxwell
→ −
−
→
Les inconnues principales sont E et B
10.2.2
Conservation de l’électricité
Soit D un domaine arbitraire de R3 , ρ la densité volumique de charges.
Z
Z
~ ndS
Q=
ρdv, φ =
J.~
D
∂D
67
Loi de conservation :
La totalité des charges à travers ∂D est exactement compensée par la variation de la charge totale.
d
Q+φ=0
dt
Z
Z
d
~ t).~ndS ∀ D ⊂ R3
ρ(x, t)dv +
J(x,
dt D
∂D
∂ρ
+ div J~ = 0
∂t
Il peut y avoir un terme source mais il n’est pas naturel.
10.2.3
(10.11)
Equation de Maxwell en électrostatique
Première équation de Maxwell
électrostatique : étude des systèmes de charges microscopiquement immobiles.
→
−
B =0
(10.12)
C’est la première équation de Maxwell en électrostatique. J~ = ρ~v .
Premier théorème de Gauss : 2eme equation de Maxwell
Z
−−→
−
→
q(P )
PM
φ=
E .~ndS =
.~ndM
4πε0 ∂D |P M |3
∂D
Z
−−→ 1
q(P )
−
grad(
).~ndS
4πε0 ∂D
|P M |
q
si P ∈ Ḋ
ε0
φ=
0 si non
Z
où D0 désigne l’intérieur de D.
R −
R
→
Dans le cas d’une distribution volumique ∂D E .~ndS = D
→ ρ
−
div E =
ε
ρ
ε0
donc
(10.13)
C’est une relation valable dans le vide ou dans la matière en remplaçant ρ
par ρt otal . C’est la deuxième équation de Maxwell de l’électromagnétisme.
68
Introduction d’un potentiel scalaire
Z
~ τ dS = − q
E.~
4πε
C
Z
1
grad
.~τ dS = −
|P M |
C
Z
dV
C
C désigne un contour fermé.
V (M ) =
q
1
grad
4πε
|P M |
(10.14)
V est le potentiel électrique.
−−→
−
→
E = −gradV
(10.15)
V est défini à une constante près.
−→ ~ ~
rotE = 0
(10.16)
C’est la troisième équation de Maxwell
Relation de discontinuité
N12 = normale
−
→
φ∂D ( E ) =
Z
D1
ρ1
dx +
ε0
Z
D2
ρ2
dx +
ε0
Z
Σ
ρS
dx
ε0
ρS = densité surfacique de charge
ρJ = densité volumique de charge ; J = 1, 2
Z
Z
→ −
−
→
→
−
→ −
−
→
→
−
→
−
φ∂D1 ( E ) + φ∂D2 ( E ) = φ∂D ( E ) +
E 1 . N 12 dS −
E 2 . N 12 dS
Σ
Σ
Z
Z
ρ1
ρ2
=
dx +
dx
D1 ε0
D2 ε0
Z
→
ρS
~2 − E
~ 1 )−
=⇒ {(E
N 12 − }dS = 0 ∀ D coupantΣ
ε0
Σ
→
−
→ −
−
→
ρS
( E 2 − E 1 ) N 12 =
(10.17)
ε0
Soit π un plan qui coupe D1 , D2 et Σ
Ω1 = π ∩ D 1
Ω2 = π ∩ D 2
Ω = Ω1 ∪ ω2 ∪ Γ; Γ = π ∩ Σ ∩ D
69
−
→
E .~τ dS =
Z
∂Ω
Z
Z
Z
−
→
~ 2 .~τ dS
E .~τ dS−
overrightarrowE1 .~τ dS+
E
Z
−
→
E .~τ dS+
Γ1
∂Ω2
∂Ω1
Γ2
où τ : vecteur tangent à Γ.
En appliquant le théorème de l’intégrale nulle on a :
→
−
→
−
( E 1 − E 2 ).~τ
→
−
[ E .~τ ] = 0
(10.18)
∀ ~τ tangent à Γ.
Equation de l’électrostatique
Soit Ω un domaine occupé par des charges macroscopiques immobiles.
− ~
→
B = 0, dans Ω
(
→
−
div E = ερ0
→
−→−
rot E = ~0
(10.19)
(10.20)
→ −−→
−
⇒ −∆ E = grad ερ0 sur tout interface.
→
−
→ −
−
→
ρS
( E 1 − E 2 ). N 12 =
ε0
(10.21)
→
−
[ E .~τ ] = 0 ∀~τ
(10.22)
Problème en V :
−−→
→
−
E = −grad V
− ~
→
B =0
−−→
→
−
E = −grad V
ρ
∆V =
ε0
(10.24)
∂V2
∂V1
ρS
−
=−
∂N12 ∂N12
ε0
(10.26)
[V ]Σ = 0
(10.27)
(10.23)
(10.25)
L’équation (10.21) devient
L’équation (10.22) devient
70
10.2.4
Equation de Maxwell en magnétostatique
Définition
∂ρ
=0
∂t
(10.28)
div J~ = 0
(10.29)
Le régime est établi
Conservation de l’électricité
Deuxième théorème de Gauss
−−→
−
→
µ0 ~v (P ) ∧ P M
q
B (M ) =
4π
|P M |3
Bi (x) =
µ0 εijk vj (ξ)(xk − ξk )
q
4π [(xl − ξl )(xl − ξl )]3/2
=−
1
µ0
qεijk .vj (ξ)( ),k
4π
r
r2 = (xl − ξl )(xl − ξl )
2rr,k = 2(xk − ξk ),
k
r,k = xk −ξ
r
→
−
1
µ0
div B = Bi,i = − qεijk .vj (ξ)( ),ki = 0
4π
r
~ =0
div B
(10.30)
~ défini à un
=⇒ l’existence d’un potentiel vecteur c’est à dire il existe A
gradient près tel que
→
−
→ −→−
→
−→−
B = rot A = rot A 0
(10.31)
−
−
→
~0 = A
~ + grad(f ) où f est un potentiel scalaire quelconque.
à condition que A
71
Théorème d’Ampère :deuxième équation de Maxwell
→
−
La circulation de B le long d’un circuit fermé quelconque C est à la fois
la somme algébrique des intensités qui traversent la surface s’appuyant sur
ce circuit.
Z
Z
→
−
~ ndS
B .~τ dS = µ0 (ΣI − ΣI) = µ0 J.~
C
Σ
→
−→−
(rot B − µ0 J)~n.dS ∀Σ
Z
⇐⇒
Sigma
→
−→−
rot B = µ0 J~
(10.32)
C’est la deuxième équation de Maxwell. Ce qui implique
−−→
~ − ∆A
~ = µ0 J~
graddiv A
~ = 0 (Jauge de Coulom) on a
Si on choisit f telle que div A
~ = µ0 J~
−∆A
(10.33)
→
−
→
−
→
−
( B 2 − B 1 ) ∧ N 12 = −J~Σ
(10.34)
Relation de discontinuité
C’est une condition tangentielle.
→−
−
→
[ B . N ]Σ = 0
(10.35)
C’est sur la composante normale.
Recapitulation de la magnétostatique

→
−
div B = 0



→
 −→−
rot B = µ0 J~
→
−

div E = ερ0


 −→−
→
rot E = ~0
→−
−
→
[ B .N ] = 0
72
(10.36)
(10.37)
→
−
→
−
→
−
( B 2 − B 1 ) ∧ N 12 − J~Σ
(10.38)
J~Σ est la densité superficielle ou surfacique de courant éventuellement présent
sur Σ.
→
−
[ E .~τ ]Σ = 0
(10.39)
→
−
→ −
−
→
ρS
(10.40)
( E 2 − E 1 ). N 12 =
ε0
→ −→ ~
−
Il existe un potentiel vecteur définit à un gradient près tel que B = rotA
−→
→ −→ ~
−
~∗ = A
~+−
A
gradϕ entraine B = rotA
~ = µ0 Jtotal Jauge de Coulomb div A
~=0
−∆A
10.2.5
Equations de Maxwell non stationnaire
→ →
−
−
~
Les inconnues sont ρ, E , B et J.
Théorème d’Ampère généralisé
∂ρ
+ div J~ = 0
∂t
→
−→−
Remarque 21 rot B = µ0 J~ n’est plus possible quand div J~ 6= 0
On cherche α
~ telque
→
−→−
rot B = µ0 (J~ + α
~)
total
Il faut que div J~total = −div~
α = − ∂ρ∂t
→
−
→
−
→
−
∂ρtotal
∂
∂E
On sait que ρtotal
=
div
E
donc
=
ε
(div
E
)
donc
α
~
=
ε
0
0
ρ
∂t
∂t
∂t
→
−
→
∂
E
−→−
rot B = (J~total + ε0
)
∂t
(10.41)
Phénomème d’induction
→
−
→
∂B
−→−
rot E = −
∂t
→ ρtotal
−
div E =
ε0
→
−
div B = 0
73
(10.42)
(10.43)
(10.44)
~ et V
Relation entre le potentiel A
→ −→ ~
−
→
−→ −
~
B = rotA =⇒ rot( E + ∂∂tA ) = 0 donc il existe un potentiel scalaire tel
que
~ −−→
→
−
∂A
− gradV
(10.45)
E =−
∂t
−−→
−→ −
→
~∗
A
~∗ = A
~+−
− grad(V − ∂f
Soit A
gradf E = − ∂∂t
∂t
On doit alors à A∗ associer
V∗ =V −
∂f
∂t
(10.46)
De la relation (10.42) onus obtenons
~ −−→
−
→
∂A
E =−
− gradV
∂t
→
−
−→ ~
De la relation (10.21) on a B = rotA
De la relation (10.41) on a
→
−
−−→
→ −→−→ ~
∂E
−→−
~ − ∆A
~
) = graddiv A
rot B = rotrotA = µ0 (Jtotal + ε0
∂t
∂
~ − ∆V =
div A
De la relation (10.43) on a − ∂t
∆V −
ρtotal
ε0
1 ∂2V
∂
~ + 1 ∂V ] − ρtotal
=
−
[div
A
c2 ∂t2
∂t
c2 ∂t
ε0
~ −−→
1 ∂2A
~ + 1 ∂V ) − µ0 J~total
= grad(div A
2
2
c ∂t
c2 ∂t
~ + 12 ∂V = 0 c’est la Jauge de Lorentz.
On choisit f tel que div A
c ∂t
~−
∆A
=∆−
1 ∂2
D’Alembertient, c2 = (µ0 ε0 )−1
c2 ∂t2
ρtotal
ε0
~ = µ0 J~total
−A
−V =
74
10.3
Equations de Maxwell généralisées(Lois
générales+lois de comportement particulières)
10.3.1
Polarisation électrique
ρtotal = ρext +
ρP
|{z}
(10.47)
liéàlapolarisation
→ ρext + ρP
−
div E =
ε0
On (introduit) pose alors P~ vecteur de polarisation défini par
−div P~ = ρP
(10.48)
→
−
div(ε0 E + P~ ) = ρext
On pose
→ ~
~ = ε0 −
D
E +P
(10.49)
~ est l’induction ĺectrique.
D
10.3.2
Densité d’aimantation et champ magnétique
div J~ = −
En reportant dans
on a
∂ρtotal
∂ρext ∂ρP
=−
−
∂t
∂t
∂t
→
−
→
∂E
−→−
~
rot B = µ0 [J + ε0
]
∂t
→
→
−
−→−
rot
B
∂
E
∂ρext
∂ P~
div J~ = div(
− ε0
)=−
+ div
µ0
∂t
∂t
∂t
On introduit J~ext défini par
div J~ext = −
75
∂ρext
∂t
(10.50)
densité de courant de conduction.
−
→
−
−→→
rot B
∂E
∂ P~
div[
− ε0
− J~ext −
]=0
µ0
∂t
∂t
~ tel que
Il existe M
→
→
−
−→−
rot B
∂ P~
∂E
−→ ~
− ε0
− J~ext −
= rotM
µ0
∂t
∂t
On pose
∂ P~
∂t
C’est la densité de courant due à à la variation du système.
Jp =
J~a = J~ext + J~P + J~a
Loi linéaire :
Di = εij Ej εij = ε0 δij + Pij
Bi = µij Hj µij = µ0 δij + Mij
Ji = σij Ej σij est le tenseur de conduction.
Loi isotrope Pij = πδij
Mij = µδij
σij = σδij
76
(10.51)
(10.52)
Chapitre 11
Modèles de réaction diffusion
et d’évolution de tumeurs
Il est clair que bâtir un modèle mathématique d’un phénomène biologique
n’est pas une fin en soi. Il est clair également que l’utilsation d’un tel modèle
ne palliera en aucune façon une connaissance biologique insuffisante.
Il permettra de faire quelques pas sur le chemin de cette connaissance, le premier de ces apports étant de permettre de rassembler et de formaliser tout
ce que l’on sait sur ce sujet en un système sous des hypothèses rigoureuses.
Dans la suite de ce chapitre nous allons introduire un paramètre σ qui est interprété comme un élément nutitif, un nombre de cellules, un nombre d’espc̀es
etc .
11.1
Modélisation des équations réaction diffusion
Donnons à présent l’équation vérifiée par la concentration d’élement nutritif σ.
Soit S une surface quelconque englobant un volume V. L’équation de la
conservation générale permet d’écrire que le taux de change de la quantité
de matières dans le volume V est égal au taux de flux à travers la surface S
plus la matière créée dans V. Donc,
Z
Z
Z
d
σ(x, t)dv = − J.n.ds + f.dv
dt V
S
V
77
où J est le flux de matière et f représente la source de matière (f est une
fonction de σ, x et t) et n le vecteur normal extérieur. Appliquant le théorème
de la divergence l’intégrale de surface et supposant que les hypothèses de
dérivation sous le signe somme sont remplies la dernière équation devient :
Z
∂σ
+ ∇J − f (σ, x, t)]dv = 0, pour tout V ⊂ Ωt
[
V ∂t
Puisque V est quelconque, l’équation de conservaton de σ devient :
∂σ
+ ∇J = f (σ, x, t) dans Ωt
∂t
Cette équation a lieu en général pour un flux de transport J .
Pour une diffusion classique, nous avons
J = −D∇σ (loi de Darcy)
D représente ici la diffusion qui selon les cas D peut être une matrice de
diffusion ou un coefficient de diffusion.
Pour une diffusion classique on a :
∂σ
= f + ∇(D∇σ)
∂t
D est une fonction de x et σ et f une fonction de x, σ et t avec
σt =
∂σ
∂t
Pour f = −σ (f est la source de matière qui correspond ici aux cellules de
la tumeur est supposée égale l’opposé de la concentration d’élément nutritif
qui détermine la prolifération des cellules malades de la tumeur)) et D = 1,
ou la matrice identité, on a la relation
∂σ
= f + ∇(D∇σ)
∂t
devient
∂σ
− ∇2 σ + σ = 0
∂t
où ∇2 = ∆ Donc nous aboutissons ici à la relation
∂σ
− ∆σ + σ = 0 (1.2)
∂t
78
Remarque 22 1) Le terme source f dans un contexte écologique pourrait
représenter le processus de naissance et de mort et σ la densité de la population. Par exemple pour un cas de croissance
f = rσ(1 −
σ
)
K
où r est le taux de reproduction linéaire et K est la capacité de production
de l’environnement. Par conséquent on
∂σ
σ
= rσ(1 − ) + ∇(D∇σ)
∂t
K
Lorsque D est une constante, cette équation est connue sous le nom de
Fischer- Kolmogoroff.
2) Modèles pour la dispersion animale
Les modèles de réaction diffusion sont une base raisonnable pour étudier la
dispersion et l’invasion des animaux et des insectes.
Lorsque qu’il y a augmentation de la diffusion due l̀a pression de la popula> 0. Exemple D(σ) = D0 ( σσ0 )m avec m > 0 et D0
tion, D = D(σ) avec dD(σ)
dσ
et σ0 sont des constantes strictement positives.
On peut considérer σ comme un vecteur et D représentera une matrice de
diffusivité.Cette situation est rencontrée lorsqu’on étudie plusieurs bactéries,
espèces ou ĺéments qui interagissent.
3) Il est aussi interessant de coupler les modèles de éactions diffusion avec des
modèles de compétition ou de proie prédateur ou aussi des modèles d’évolution
de maladie dans une population cf modélisation avec les EDO.
11.2
Modélisation mathématique de tumeurs
Nous commençons par décrire le modèle mathématique de l’évolution
d’une tumeur sur un domaine arbitraire .Pour plus d’informations cf par
exemple les travaux de Greenspan [62], [63].
Il est important de noter que les équations type réaction diffusion
sont à considérer dans cette modélisation. Et s’il s’agit des tumeurs
du cerveau D est considéré comme une constante par morceaux
i e D prend une constante dans chaque substance (grise, blanche).
Les cellules de la tumeur se prolifèrent avec un taux qui dépend de la concentration d’élement nutritif σ.
79
Soit v le volume occupé par les cellules de la tumeur
Z
v=
dx
ωt
ωt est un élement de volume du dmaine de référence Ωt La variation du
volume est égale au taux de prolifération,
dv
= s(σ)∀ωt ⊂ Ωt
dt
ce qui est équivalent d’après la conservation de la masse, à :
→ dv
−
= s(σ) dans Ωt
div V =
dt
−
→
où V est la vitesse d’ensemble des cellules de la tumeur et s(σ) est le taux
de prolifération. Nous supposons que le mouvement des cellules obeit à la loi
→
−
de Darcy dans un milieu poreux ; ce qui donne une expression de V
−
→
V = −k(x)∇p
où k(x) est une matrice décrivant les caracréristiques de la porosité, p est la
pression qui apparait sous l’effet des mouvements des cellules de la tumeur
−
→
et V le vecteur vitesse du mouvement d’ensemble de ces cellules, ce qui
implique
div(−k(x)∇p) = s(σ) dans Ωt
Lorsque le milieu poreux est homogène, on peut supposer que k(x) = In (In
est la matrice identité d’ordre n). Nous supposons que le taux de prolifération
s = s(σ) est une fonction linéaire de σ notamment
s(σ) = µ(σ − σ̃)
alors dans ce cas on a :
−4p = µ(σ − σ̃) dans Ωt
(1.1)
σ̃ est un seuil de concentration d’élément nutritif des cellules de la tumeur.
Désormais nous notons Ωt par Ω(t).
80
Notant le bord de Ω(t) par ∂Ω(t) = Γ(t), nous prenons les conditions proposées par Friedman et Bazaly cf [49] sur le bord pour σ et p :
σ = σ sur Γ(t)
(1.3)
p = γκ sur Γ(t)
(1.4)
où σ est une concentration nutritive (des cellules) constante à l’extérieur de
la tumeur, κ (que nous noterons par H dans la suite) est la coubure moyenne
de Γ(t) , et γ une constante positive . L’équation (1.4) permet de dire que la
pression est égale à la tension superficielle (cf [49]).
En outre nous
supposerons que la frontière Γ(t) bouge avec une vitesse Vn qui est la
composante normale d’une certaine vitesse V0 donnée. Ce qui donne une
condition surdéterminée
Vn = −
∂p
sur Γ(t)
∂n
(1.5)
Finalement, nous définissons les conditions initiales :
Ω(0) est donné, et σ|t=0 = σ0 dans Ω(0)
(1.6)
Donc en résumé, notre problème sera un problème à frontière libre présenté
comme suit : Trouver p, σ et Ω(t) tels que :


 ∆p = −µ(σ − σ̃) dans Ω(t)


σt − ∆σ + σ = 0 dans Ω(t)



∂p
− ∂n
= Vn
sur ∂Ω(t)
(1)
p
=
γH
sur ∂Ω(t)




σ=σ
sur ∂Ω(t)



σ(0, x) = σ0
dans Ω(0)
avec
σt =
81
∂σ
∂t
Bibliographie
[1] Paul Germin, Mécanique des Mileux Continus, Masson Paris 1962, 1973.
[2] E. Jolivet, Introduction aux modèles mathématiques en Biologie, Masson
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