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Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide
structure : approches des procédures partagées et
monolithiques
Soyibou SY 2
IRMA, Université de Strasbourg
CIMPA 2011
Université Cheikh Anta Diop de Dakar
Dakar, 8, avril, 2011
2. Travail en collaboration avec Cornel Marius MUREA
Soyibou SY 3
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
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Plan de l’exposé
1
2
Présentation des équations modèles
Approche des procédures partagées
Analyse de la stabilité
Algorithmes implicite et semi-implicite
Résultats numériques
Interaction fluide structure dans l’anévrisme cérébral
Modèle de Saint-Venant Kirchhoff pour la structure
Algorithme de Newton
Résultats numériques
3
Approche monolithique
Approximation des équations de la structure
Approximation des équations du fluide
Formulation monolithique du problème couplé
Résultats numériques
4
Conclusion et perspectives
Soyibou SY 4
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Présentation des équations modèles
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Configurations géométriques
A
B
Σ1
S
Ω
Γ0
F
Ω0
D
A
C
B
Γt
C
Σ1
F
Ωt
Σ3
Σ3
Σ2
D
Σ2
Figure: Configuration initiale (à gauche) et intermédiaire (à droite).
Soyibou SY 5
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Présentation des équations modèles
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Elasticité linéaire
Trouver u = (u1 , u2 )T : ΩS × [0, T ] −→ R2 tel que
ρS
∂2u
− ∇ · σ S (u)
∂t 2
u
σ S (u)nS
u(X, 0)
∂u
(X, 0)
∂t
=
fS ,
dans ΩS × (0, T )
=
=
=
0,
sur ΓD × (0, T )
0,
sur ΓN × (0, T )
0
u (X),
dans ΩS
=
u̇0 (X),
dans ΩS
où
σ S (u) = λS (∇ · u) I2 + 2µS ǫS (u) , et ǫS (u) =
avec
ΓD = [AB] ∪ [CD],
Soyibou SY 6
1
T
∇u + (∇u)
2
ΓN = [DA].
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Présentation des équations modèles
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Transformation ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian)
b F un domaine de référence fixe et soit At , t ∈ [0, T ] une famille de
Soit Ω
transformations, telle que
b F , A t (Ω
b F ) = ΩF .
At (b
x) = x, ∀ b
x∈Ω
t
On définit la vitesse du domaine ϑ par
∂At
∂At
ϑ(x, t) =
(b
x) =
A−1
t (x)
∂t
∂t
et la dérivée ALE en temps de la vitesse du fluide par
∂b
v
∂v (b
x, t).
(x, t) =
∂t bx
∂t
La relation entre la dérivée Eulérienne et la dérivée ALE est
∂v ∂v
+ (ϑ · ∇)v.
=
∂t bx
∂t
Soyibou SY 7
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Présentation des équations modèles
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Equations de Navier-Stokes en cadre ALE
Trouver v = (v1 , v2 )T : ΩFt −→ R2 et p : ΩFt −→ R telles que
∂v +
((v
−
ϑ)
·
∇)
v
− 2µF ∇ · ǫF (v)
ρF
∂t bx
+∇p
=
fF ,
∇·v
σ F nF
σ F nF
=
=
=
0,
dans ΩFt × (0, T )
hin ,
sur Σ1 × (0, T )
hout ,
sur Σ3 × (0, T )
v
v(X, 0)
=
=
0,
sur Σ2 × (0, T )
0
v (X),
dans ΩF0 .
où
σ F (v, p) = −pI2 + 2µF ǫF (v) avec ǫF (v) =
Soyibou SY 8
dans ΩFt × (0, T )
1
∇v + (∇v)T .
2
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Conditions de couplage
1
Continuité des vitesses
v(X + u(X, t), t) =
2
∂u
(X, t),
∂t
sur Γ0 × (0, T ).
Egalité des contraintes
(σ F nF )(X+u(X,t),t) = −(σ S nS )(X,t) ,
Soyibou SY 9
sur Γ0 × (0, T ).
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Interaction fluide structure dans l’anévrisme cérébral
Analyse de la stabilité
Algorithmes implicite et semi-implicite
Résultats numériques
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Formulation faible des équations de la structure
Soit
o
n
2
WS = wS ∈ H 1 ΩS
; wS = 0 sur ΓD .
Trouver u ∈ WS tel que :
Z
Z
∂2u
ρS 2 · wS dX + aS u, wS =
f S · wS dX
∂t
S
S
Ω
Ω
Z
S
S S
S
S
σ n · w ds, ∀ w ∈ W ,
+
Γ0
où
aS u, wS =
Z
ΩS
λS (∇ · u) ∇ · wS dX + 2µS
Soyibou SY 10
Z
ΩS
ǫS (u) : ǫS wS dX,
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Analyse de la stabilité
Algorithmes implicite et semi-implicite
Résultats numériques
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Formulation faible des équations du fluide
WF = {wF ∈ (H 1 (ΩFt ))2 ; wF = 0 sur Σ2 } et Q F = L2 (ΩFt ).
Trouver v ∈ WF et p ∈ Q F telles que :
Z
Z
∂v F
ρF (((v − ϑ) · ∇) v) · wF dx + aF (v, wF )
·
w
dx
+
ρF
F
F
∂t
Ωt
Ωt
b
x
Z
Z
F
F
F
f · w dx +
+bF (w , p) + bF (v, q) =
σ F nF · wF dS
F
Ωt
Γt
Z
Z
+
hin · wF ds +
hout · wF ds, ∀ wF ∈ WF , q ∈ Q F ,
Σ1
où
aF (v, wF ) = 2µF
Σ3
Z
ΩFt
ǫ (v) : ǫ wF dx,
Soyibou SY 11
bF (v, q) = −
Z
(∇ · v) qdx.
ΩFt
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Formulation faible du problème couplé
Si wS = wF ◦ Tu sur Γ0 . Alors
Z
Z
σ S nS · wS ds +
σ F nF · wF dS = 0.
Γ0
Γt
∂u
Trouver (v, p, u) ∈ WF × Q F × W S , avec v(X + u(X, t), t) =
(X, t) sur
∂t
Γ0 × [0, T ] tels que
Z
Z
∂v F
·
w
dx
+
ρF (((v − ϑ) · ∇) v) · wF dx + aF (v, wF )
ρF
∂t bx
ΩFt
ΩFt
Z
∂2u
F
+bF (w , p) + bF (v, q) +
ρS 2 · wS dX + aS u, wS
∂t
S
Z
Z
ZΩ
Z
F
F
S
S
=
f · w dx +
f · w dX +
hin · wF ds +
hout · wF ds,
ΩFt
ΩS
Σ1
Σ3
pour tout (wF , q, wS ) ∈ WF × Q F × W S , avec wF (X + u(X, t), t) = wS (X, t).
Soyibou SY 12
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Résultats numériques
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Définitions
b F = ΩF le domaine de référence fluide et Γn l’interface.
Ω
n
1
Vitesse du domaine fluide :
∆bx ϑn = 0, dans ΩFn ,
2
F
4
ϑn = vn , sur Γn .
Application ALE discrète :
Atn+1 : Ωn −→ R2 ,
3
ϑn = 0, sur ∂ΩFn r Γn ,
x1 , b
x2 ) = (b
x1 + ∆tϑn1 , b
x2 + ∆tϑn2 ).
Atn+1 (b
On définit ΩFn+1 = Atn+1 (ΩFn ) et Γn+1 = Atn+1 (Γn ). Le Jacobien de Atn+1 est
∂ϑn ∂ϑn
∂ϑn2 ∂ϑn1 1
2
JAtn+1 = 1 + ∆t(∇bx · ϑn ) + (∆t)(∆t)
.
·
−
·
∂b
x1 ∂b
x2
∂b
x1 ∂b
x2
On définit : T = Atn ◦ Atn−1 · · · ◦ At1 , Γn = T(Γ0 ) et
b
vn+1 (b
x) = vn+1 (x),
bn+1 (b
p
x) = pn+1 (x),
Soyibou SY 13
x) ∈ ΩFn+1 .
∀b
x ∈ ΩFn , x = Atn+1 (b
x) ∈ ΩFn+1 .
∀b
x ∈ ΩFn , x = Atn+1 (b
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Formulation faible discrète du problème couplé
un+1 − un−1
cF × Q
bF × W S; b
bn+1 , un+1 ) ∈ W
sur Γ0
Trouver (b
vn+1 , p
vn+1 ◦ T =
n
n
2∆t
tels que
Z h n+1
i
b
v
1
F
b F db
bF )
x + aF (b
vn+1 , w
vn+1 · w
ρ
x)b
vn+1 + δ(b
+ ((vn − ϑn ) · ∇bx )b
∆t
2
F
Ωn
Z n+1
u
− 2un + un−1 S
bF , p
bn+1 ) + bF (b
b) + ρS
· w dX
+bF (w
vn+1 , q
∆t 2
ΩS
Z
vn
b F db
+aS (θun+1 + (1 − 2θ)un + θun−1 , wS ) = ρF
·w
x
ΩFn ∆t
Z
Z
Z
Z
n+1
n+1
F
n+1
S
F
b
b db
b ds +
b F ds,
+
f
·w
x+
ḡ
· w dX +
hin · w
hn+1
out · w
ΩFn
ΩS
Σ1
Σ3
c F , wS ∈ W S avec wS = w
bF.
bF ∈ W
b F ◦ T sur Γ0 et q
b∈Q
Pour tous w
n
n
Soyibou SY 14
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Théorème de stabilité
Théorème
Soit ΩFn ⊂ R2 un domaine borné. Si
Z
(vn · nF )|b
vn+1 |2 ≥ 0 et 1/4 ≤ θ ≤ 1/2,
Σ1 ∪Σ3
alors il existe C > 0 indépendante de ∆t telle que
un+1 − un 2
vn+1 )k2L2 (ΩFn ) + ρS ρF kvn+1 k2L2 (ΩF ) + 2µF ∆tkǫbx (b
2 S + X n+1
n+1
∆t
L (Ω )
u1 − u0 2
h
v1 )k2L2 (ΩF ) + ρS ≤ exp(T ) ρF kv1 k2L2 (ΩF ) + 2µF ∆tkǫbx (b
2 S + X1
0
1
∆t
L (Ω )
S
2
F
2
+C max kf (t)kL2 (ΩF ) + max kf (t)kL2 (ΩS ) + max khin (t)k2L2 (Σ1 )
t
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
i
+ max khout (t)k2L2 (Σ3 ) .
t∈[0,T ]
un+1 − un vn+1 )kL2 (ΩFn ) , De plus les quantités kvn+1 kL2 (ΩFn+1 ) , ∆tkǫbx (b
2 S et
∆t
L (Ω )
n+1
X
sont bornés.
Soyibou SY 15
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Algorithmes implicite et semi-implicite
Résultats numériques
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Idées de la preuve du théorème
b F = 2∆t b
b = −2∆t p
bn+1 et wS = un+1 − un−1 .
On pose w
vn+1 , q
1
F
ρ
Z
ΩFn
i
1
b F db
x
vn+1 + δ(b
+ ((vn − ϑn ) · ∇bx )b
x)b
vn+1 · w
∆t
2
hb
vn+1
≥ ρF kvn+1 k2L2 (ΩF
n+1 )
+ ρF kb
vn+1 k2L2 (ΩFn ) .
2
aS (θun+1 + (1 − 2θ)un + θun−1 , un+1 − un−1 ) = X n+1 − X n ,
où
X n = θaS (un , un ) + (1 − 2θ)aS (un , un−1 ) + θaS (un−1 , un−1 ).
De plus
X n+1
=
+
4θ − 1 h
2
1 − 2θ 2
Soyibou SY 16
as (un+1 , un+1 ) + aS (un , un )
aS (un+1 + un , un+1 + un ).
i
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Résultats numériques
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Preuve du théorème fin
On pose
n+1 − un 2
n+1 2
Su
F
(b
v
)k
+
ρ
+
2µ
∆tkǫ
2 S + X n+1
b
x
L2 (ΩFn )
n+1 )
∆t
L (Ω )
φn = ρF kvn+1 k2L2 (ΩF
et
ρS u1 − u0 2
v1 )k2L2 (ΩF ) +
g0 = ρF kv1 k2L2 (ΩF ) + 2µF ∆tkǫbx (b
2 S + X1
0
1
2
∆t
L (Ω )
1
+T C2 max kf F k2L2 (ΩF ) + S max kf S k2L2 (ΩS )
t
ρ t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
+C ′ max khin k2L2 (Σ1 ) + C ′ max khout k2L2 (Σ3 ) .
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
Alors φ0 ≤ g0 . On conclut par le lemme discret de Gronwall.
Soyibou SY 17
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Résultats numériques
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Décomposition modale pour la structure
Pour tout i ∈ N∗ , ∃! λi > 0 et ∃! φi ∈ WS , solution de
Z
Z
aS φ i , w S = λi
ρS φi · wS dX, ∀wS ∈ WS avec
ΩS
ρS φi · φj dX = δij .
ΩS
Connaissant qin−1 et qin , trouver qin+1 tel que
qin+1 − 2qin + qin−1
+ λi,h θqin+1 + (1 − 2θ)qin + θqin−1
(∆t)2
Z
=
θf S,n+1 + (1 − 2θ)f S,n + θf S,n−1 · φi dX
ΩS
+θαin+1
+ (1 − 2θ)αin + θαin−1 ,
Z
où θ ∈ 0, 1 2 et αi (t) =
σ S nS (t) · φi d s.
Γ0
unh (X)
=
m
X
qin φih (X),
∀X ∈ ΩS .
i=1
Soyibou SY 18
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Algorithmes implicite et semi-implicite
Résultats numériques
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Algorithme implicite pour le problème couplé
Supposons que αn−1 , αn ∈ Rm et qn−1 , qn ∈ Rm sont connus.
Etape 1. Résoudre par BFGS en partant de αn , le problème
αn+1 ∈ arg minm J(α),
α∈R
où la fonction coût J est calculée comme suit :
i) Résoudre le problème structure.
obtenir qn+1 , où αn+1 a été remplacé
Pm Pour
n+1 i
n+1
par α. On obtient u
= i=1 qi φ .
ii) Construire le maillage fluide Thn+1 , qui dépend du déplacement un+1 .
iii) Résoudre le problème fluide sur Thn+1 , avec égalité de vitesses à l’interface,
pour obtenir vn+1 et p n+1 .
Z
iv) Calculer βi (t) = −
σ F nF (X+u(X,t),t) · φi d s, ∀ i = 1, . . . , m.
Γ0
v) On définit la fonction coût J(α) = 1/2kα − βk2Rm .
Etape 2. Sauver Thn+1 , un+1 , vn+1 et p n+1 obtenus à Etape 1.
Soyibou SY 19
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Algorithmes implicite et semi-implicite
Résultats numériques
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Algorithme semi-implicite pour le problème couplé
Supposons que ΩFn , vn , un , un−1 sont connus.
Etape 1. Cacluler la vitesse ϑn du domaine fluide.
Etape 2. Assemblage et factorisation LU de la matrice du problème fluide.
Etape 3. Résoudre sur le maillage Thn par BFGS en partant de αn , le problème
i) Soit
αn+1 ∈ arg minm J(α).
α∈R
Pm
αi φi les forces de contraintes à l’interface.
Pm
ii) Résoudre la structure, avec i=1 αi φi à l’interface pour obtenir un+1 .
i=1
iii) Résoudre le fluide sur Thn , avec la condition d’égalité des vitesses à
b
l’interface, pour obtenir
vn+1 et b
p n+1 .
Z
σ F nF (X+u(X,t),t) · φi d s, ∀ i = 1, . . . , m.
iv) Calculer βi (t) = −
Γ0
v) On définit la fonction coût : J(α) = 1/2kα − βk2Rm .
Etape 4. qn−1 ← qn , qn ← qn+1 , αn−1 ← αn , αn ← αn+1 , etc.
Soyibou SY 20
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Analyse de la stabilité
Algorithmes implicite et semi-implicite
Résultats numériques
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Paramètres physiques et numériques
Paramètres physiques
g
g
Fluide L = 6 cm et H = 1 cm, viscosité µ = 0.035 cm·s
, densité ρF = 1 cm
3,
T
f F = (0, 0)T , hout = (0, 0) et
(
T
103 (1 − cos(2πt/0.025)), 0 , x ∈ Σ1 , 0 ≤ t ≤ 0.025
hin (x, t) =
T
(0, 0) ,
x ∈ Σ1 , 0.025 ≤ t ≤ T .
g
g
S
S
= 1.1 cm
= (0, 0)T
Structure hS = 0.1 cm, E = 3 · 106 cm·s
2 , ν = 0.3, ρ
3, f
S
E
ν E
, µS =
.
et λS =
(1 − 2ν S )(1 + ν S )
2(1 + ν S )
Paramètres numériques
• Simulations effectuées avec FreeFem++ pour T = 0.1 s, N = 100, ∆t = 0.001 s
et θ = 0.3.
• Maillages de référence : ntF=1250, nvF=696 et ntS=60, nvF=62.
• Les éléments finis : pression et déplacements P1 et vitesses P1 + bubble.
• Pour m = 3 (modes propres) on a λ1,h = 7018.91, λ2,h = 50500, λ3,h = 193418.
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Algorithmes implicite et semi-implicite
Résultats numériques
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Comparaison de solutions
0.14
0.3
semi-implicit
implicit
semi-implicit
implicit
0.25
0.1
vertical displacement (cm) at L/2
vertical displacement (cm) at L/4
0.12
0.08
0.06
0.04
0.02
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
-0.05
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
time (s)
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
time (s)
Figure: Déplacements verticaux calculés par les algorithmes semi-implicite et
implicite quand ∆t = 0.001s aux points de l’interface x1 = L/4 (à gauche),
x2 = L/2 (à droite).
Soyibou SY 22
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Analyse de la stabilité
Algorithmes implicite et semi-implicite
Résultats numériques
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Solutions pour différents ∆t et temps CPU
0.14
0.3
dt=0.0005
dt=0.0010
dt=0.0025
dt=0.0005
dt=0.0010
dt=0.0025
0.25
vertical displacement (cm) at 2L/4
vertical displacement (cm) at L/4
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.2
0.15
0.1
0.05
0.02
0
0
-0.05
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0
time (s)
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
time (s)
Figure: Déplacements verticaux quand ∆t = 0.001s, ∆t = 0.0005s,
∆t = 0.0025s aux points x1 = L/4 (à gauche ) et x2 = L/2 (à droite) à l’interface.
∆t
0.0005
0.0010
0.0025
N
200
100
40
CPU-semi-implicite
14 mn 48 s
8 mn 30 s
3 mn 27 s
CPU-implicite
187 mn 47 s
92 mn 30 s
36 mn 24 s
CPU−imp
CPU−semi
12.95
11.12
11.08
Table: Temps CPU en fonction de ∆t, pour m = 3, ntF = 1250 et nvF = 696.
Soyibou SY 23
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Temps CPU (suite)
m
3
7
10
CPU-semi-implicite
8 mn 30 s
21 mn 44 s
29 mn 54 s
CPU-implicite
92 mn 30 s
227 mn 53 s
304 mn 22 s
CPU−imp
CPU−semi
11.12
10.62
10.30
Table: Temps CPU en fonction de m, pour ∆t = 0.001 s, N = 100, ntF = 1250
et nvF = 696.
nv
696
1632
2664
nt
1250
3052
5046
h
0.16
0.11
0.08
CPU-semi-implicit
8 mn 30 s
19mn 48 s
33 mn 50 s
CPU-implicit
92 mn 30 s
226 mn 42 s
415 mn 23 s
CPU−implicit
CPU−semi
11.12
11.62
12.39
Table: Temps CPU en fonction de la taille du maillage h, pour ∆t = 0.001 s,
N = 100 et m = 3.
Soyibou SY 24
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Approche des procédures partagées
Interaction fluide structure dans l’anévrisme cérébral
Analyse de la stabilité
Algorithmes implicite et semi-implicite
Résultats numériques
23/45
Simulations
Approche des procédures partagées
1
Cas où les deux extremités de la structure sont fixes :
semi_meshFLST100.mpg
semi_vitFL100.mpg
semi_presFL100.mpg
semi_vitST100.mpg
2
Cas où l’extremité droite de la structure est libre :
free_meshFLST100.mpg
free_vitFL100.mpg
free_presFL100.mpg
free_vitST100.mpg
Soyibou SY 25
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Approche des procédures partagées
Interaction fluide structure dans l’anévrisme cérébral
Modèle de Saint-Venant Kirchhoff
Algorithme de Newton
Résultats numériques
24/45
Configuration géométrique
Γ
1
Σ
Γ
1
Γ
0
Γ
1
Σ
Σ
0
Σ
Σ
0
2
Σ
2
Σ
0
Γ0
2
Σ
1
3
Figure: Configuration géométrie de l’anévrisme.
Soyibou SY 26
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Modèle de Saint-Venant Kirchhoff
Algorithme de Newton
Résultats numériques
Approche des procédures partagées
Interaction fluide structure dans l’anévrisme cérébral
25/45
Elasticité non linéaire (modèle de St-Venant Kirchhoff)
Trouver u = (u1 , u2 )T : ΩS × [0, T ] −→ R2 tel que
ρS
∂2u
−∇·
∂t 2
I2 + ∇u ΣS (u)
=
u =
I2 + ∇u Σ nS =
S
u(X, 0)
∂u
(X, 0)
∂t
fS ,
0,
0,
dans ΩS × (0, T )
sur Γ0 × (0, T )
sur Γ1 × (0, T )
=
u0 (X),
dans ΩS
=
u̇0 (X),
dans ΩS
où
ΣS = λS (E11 (u) + E22 (u)) I2 + 2µS E (u) ,
et
1
T
T
∇u + (∇u) + (∇u) ∇u .
2
(σ F nF )(X+u(X,t),t) ω(X, t) = −( I2 + ∇u ΣS nS )(X,t) , sur Σ0 × (0, T ).
E (u) =
Soyibou SY 27
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Modèle de Saint-Venant Kirchhoff
Algorithme de Newton
Résultats numériques
Approche des procédures partagées
Interaction fluide structure dans l’anévrisme cérébral
26/45
θ-schéma et Méthode de Newton
Trouver un+1 ∈ WS tel que
Z
n+1
− 2un + un−1
S u
ρ
· wS dX
(∆t)2
ΩS
+θaS un+1 , wS + (1 − 2θ)aS un , wS + θaS un−1 , wS
Z
=
θf S,n+1 + (1 − 2θ)f S,n + θf S,n−1 · wS dX
S
ZΩ
+
θFS,n+1 + (1 − 2θ)FS,n + θFS,n−1 · wS d s,
Γ0
∀ wS ∈ WS .
On calcule
d aS
u, wS h =
du
2 Z
X
i,j=1
d
ΩS
Soyibou SY 28
h
i
I2 + ∇u ΣSij
du
(u) h
∂wiS
dX.
∂xj
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Approche des procédures partagées
Interaction fluide structure dans l’anévrisme cérébral
Modèle de Saint-Venant Kirchhoff
Algorithme de Newton
Résultats numériques
27/45
Algorithme de Newton
Etape 0. k = 0 et un+1,0 = un . On génére un+1,k pour k = 1, 2, . . .
Etape 1. Trouver hk solution du système linéaire
Z
hk
d aS n+1,k S k
ρS
· wS dX +
u
,w h
2
(∆t)
du
ΩS
Z
un+1,k − 2un + un−1
· wS dX
=
ρS
2
(∆t)
S
Ω
+θaS un+1,k , wS + (1 − 2θ)aS un , wS + θaS un−1 , wS
Z
−
θf S,n+1 + (1 − 2θ)f S,n + θf S,n−1 · wS dX
S
ZΩ
−
θFS,n+1 + (1 − 2θ)FS,n + θFS,n−1 · wS d s, ∀wS ∈ WS .
Γ0
Etape 2. Si hk est petit, alors on arrête.
Etape 3. Poser un+1,k+1 = un+1,k − hk ; k ← k + 1 ; aller à Etape 1.
Soyibou SY 29
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Approche des procédures partagées
Interaction fluide structure dans l’anévrisme cérébral
Modèle de Saint-Venant Kirchhoff
Algorithme de Newton
Résultats numériques
28/45
Paramètres physiques et numériques
1
Le fluide :
Σ1 et Σ3 (L = 3 cm), Σ2 = 2 segments (L = 5 mm)+ un arc (D= 3 mm),
Σ0 = un arc (D= 6 mm) + 2 segments (L= 5 mm)+ deux petits arcs.
La viscosité µ, la densité ρF et les forces f F hout , hin sont les mêmes que la
section précédente.
2
La structure :
Γ0 = 2 segments (L = 3 mm), Γ1 = un arc (D = 6, 6 mm)+ 2 petits arcs.
Le module de Young E , la constante de Poisson ν, la densité ρS , les forces f S
et les constantes de Lamé λS et µS sont les mêmes que dans la section
précédente.
3
Paramètres numériques
T = 0.1 s, ∆t = 0.001 s, N = 100 et θ = 0.3.
Maillages de référence, ntF=1615, nvF=881 et ntS=60 et nvS=62.
P1 pour le déplacement et la pression et P1 b pour les vitesses.
Soyibou SY 30
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Modèle de Saint-Venant Kirchhoff
Algorithme de Newton
Résultats numériques
Approche des procédures partagées
Interaction fluide structure dans l’anévrisme cérébral
29/45
Composantes normales des forces à l’interface
200
"courbe_force_inlet.data"
"courbe_force_upper.data"
"courbe_force_outlet.data"
150
Wall stress (dynes/cm2)
100
50
0
-50
-100
-150
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
time (s)
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Figure: Les composantes normales des forces en trois points de l’interface
Soyibou SY 31
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Approche des procédures partagées
Interaction fluide structure dans l’anévrisme cérébral
Modèle de Saint-Venant Kirchhoff
Algorithme de Newton
Résultats numériques
30/45
Simulations
Anévrisme cérébral
anev_nl_Pin700_meshFLST100.mpg
anev_nl_Pin700_vitFL100.mpg
anev_nl_Pin700_presFL100.mpg
anev_nl_Pin700_vitST100.mpg
Soyibou SY 32
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Approche monolithique
Simulations
31/45
Discrétisation en temps des équations
Formulation faible
Formulation monolithique
Algorithme
Résultats numériques
Modèle discret du fluide
On utilise les définitions de la partie I pour la vitesse du maillage ϑn , la vitesse
b
vF ,n+1 et la pression b
p F ,n+1 du fluide.
Trouver b
vF ,n+1 : ΩFn → R2 et b
p F ,n+1 : ΩFn → R telles que
F ,n+1
F ,n+1
b
v
− vF ,n
n
F
F ,n
ρ
− 2µF ∇ · ǫ b
vF ,n+1
+ v −ϑ ·∇ b
v
∆t
+∇b
p F ,n+1 = bf F ,n+1 , dans ΩF
n
∇·b
vF ,n+1 = 0, dans ΩFn
bF ,n+1 ) · nF = hn+1
σ F (b
vF ,n+1 , p
in , sur Σ1
F F ,n+1
F ,n+1
F
b
σ (b
v
,p
) · n = hn+1
out , sur Σ3
b
vF ,n+1 = 0, sur Σ2
vF (X , 0) = v0 (X ), dans ΩF0 .
Soyibou SY 33
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Approche monolithique
Simulations
32/45
Discrétisation en temps des équations
Formulation faible
Formulation monolithique
Algorithme
Résultats numériques
Modèle discret de la structure et conditions à l’interface
On note uS , u̇S et üS le déplacement, la vitesse et l’accélération de la structure.
Trouver uS,n+1 , u̇S,n+1 , üS,n+1 : ΩS0 → R2 telles que
ρS üS,n+1 − ∇ · σ S (uS,n+1 )
uS,n+1
σ S (uS,n+1 )nS
u(X , 0)
= f S,n+1 ,
= 0,
= 0,
dans ΩS0
sur ΓD
sur ΓN
= u0 (X ),
dans ΩS0
u̇S,n+1 = u̇S,n + ∆t[(1 − δ)üS,n + δüS,n+1 ],
avec δ = 1/2
h 1
i
uS,n+1 = un + ∆t u̇S,n + (∆t)2
− θ üS,n + θün+1 .
2
Conditions à l’interface
b
vF ,n+1 ◦ T = u̇S,n+1 ,
F
F ,n+1
(σ (b
v
F ,n+1
b
,p
sur Γ0 × (0, T ], avec T = Atn ◦ Atn−1 · · · ◦ At1 .
F
)n ) ◦ T = −σ S (uS,n+1 )nS ,
Soyibou SY 34
sur Γ0 × (0, T ].
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Discrétisation en temps des équations
Formulation faible
Formulation monolithique
Algorithme
Résultats numériques
Approche monolithique
Simulations
33/45
Formulation faible des équations du fluide
F
b F = L2 (ΩF ).
cF = w
b F = 0 sur Σ2 et Q
b ∈ (H 1 (ΩFn ))2 ; w
Soit W
n
n
n
F
,n+1
F
F
,n+1
F
c
b
Trouver b
v
∈ Wn et b
p
∈ Qn telles que
Z
Z
F ,n+1 F
b
vF ,n+1
bF +
b
ρF
·w
ρF
vF ,n − ϑn · ∇ b
v
·w
∆t
ΩFn
ΩFn
Z
Z
F ,n+1
bF b
bF
p
+ 2µF
−
∇·w
vF ,n+1 : ǫ w
ǫ b
−
Z
Z
ΩFn
σF n
Γn
ΩFn
bF ) =
LF ( w
Z
ρF
ΩFn
ΩFn
F
b F ),
b F = LF ( w
·w
b(∇ · b
q
vF ,n+1 ) = 0,
vF ,n
bF +
·w
∆t
Z
ΩFn
cF
bF ∈ W
∀w
n
bF.
∀b
q∈Q
n
bf n+1,F · w
bF +
Soyibou SY 35
Z
Σ1
bn+1 · w
bF +
h
in
Z
Σ3
bn+1 · w
bF .
h
out
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Approche monolithique
Simulations
34/45
Discrétisation en temps des équations
Formulation faible
Formulation monolithique
Algorithme
Résultats numériques
Formulation faible des équations de la structure
Soit W S = wS ∈ (H 1 (ΩS0 ))2 ; wS = 0 sur ΓD .
Trouver u̇S,n+1 ∈ W S telle que
Z
2ρS S,n+1
u̇
· wS + 2θ∆t aS (u̇S,n+1 , w)
ΩS0 ∆t
Z
− (σ S nS ) · wS = LS (wS ), ∀wS ∈ W S ,
Γ0
où
et
aS (u, w) =
Z
Z
h
i
λS (∇ · u)(∇ · w) + 2µS ǫ(u) : ǫ(w)
ΩS0
Z
Z
2ρS S,n
u̇ · wS +
ρS üS,n · wS − aS (uS,n , wS )
ΩS0
ΩS0 ∆t
ΩS0
1
−∆t(1 − 2θ)aS (u̇S,n , wS ) − (∆t)2
− 2θ aS (üS,n , wS ).
2
LS (wS ) =
f S · wS +
Soyibou SY 36
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Discrétisation en temps des équations
Formulation faible
Formulation monolithique
Algorithme
Résultats numériques
Approche monolithique
Simulations
35/45
Définitions et remarques
1
2
3
4
5
6
Le domaine global, Ωt = ΩFt ∪ ΩSt ∪ Γt .
On définit : v : Ωt → R2 , u : Ωt →(R2 et ü : Ωt → R2 .
S
1, sur Ωt
et
Fonctions caractéristiques : χΩSt =
0, ailleurs
n
n
χΩFt = 1 − χΩSt .
n
Maillage : −△ϑ̃ = 0, sur Ωn , ϑ̃ = 0 sur ∂Ωn \ Γn , ϑ̃ = vn , sur Γn .
La pression globale, p : Ωt −→ R telle que p = p F sur ΩFt , la valeur de p sur
ΩSt n’a pas de signification physique. On reviendra sur ce point.
b n = L2 (Ωn ).
cn = w
b ∈ (H 1 (Ωn ))2 ; w
b = 0 sur ΓD ∪ Σ2 et Q
Les espaces, W
Remarque
Les vitesses et les fonctions testes sont globalement continues sur Ωn . Ainsi la
condition de continuité des
est automatiquement satisfaite.
Z vitesses à l’interface
Z
S S
F F
cn .
b+
b = 0, ∀ w
b ∈W
Egalité des contraintes,
(σ n ) · w
σ n ·w
Γn
Γn
Soyibou SY
37
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Approche monolithique
Simulations
36/45
Discrétisation en temps des équations
Formulation faible
Formulation monolithique
Algorithme
Résultats numériques
Formulation monolithique
cn × Q
b n telle ques
bn+1 ) ∈ W
Trouver (b
vn+1 , p
Z
Z
b
n
vn+1
b
b+
vn+1 · w
vn − ϑ̃ · ∇ b
·w
χΩFn ρF
χΩFn ρF
∆t
Ωn
Ωn
Z
Z
Z
2ρS n+1
n+1
F
n+1
b b
b +
b
b
−
χΩFn (∇ · w)
p
+ 2µ
χΩFn ǫ b
v
: ǫ (w)
χΩSn
v
·w
∆t
Ωn
Ωn
ZΩn
cn
b + 2θ∆tãS (b
b = L̃F (w)
b + L̃S (w),
b ∀w
b ∈W
χΩSn ρS (vn · ∇)b
vn+1 · w
vn+1 , w)
+
Ωn
Z
bn,
b(∇ · b
χΩFn q
vn+1 ) = 0, ∀b
q∈Q
Ωn
Remarque
Si la solution du système monolithique ci-dessus est suffisamment régulière, alors la
condition de l’égalité des contraintes à l’interface est satisfaite au sens faible.
Soyibou SY 38
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Approche monolithique
Simulations
36/45
Discrétisation en temps des équations
Formulation faible
Formulation monolithique
Algorithme
Résultats numériques
Formulation monolithique
cn × Q
b n telle ques
bn+1 ) ∈ W
Trouver (b
vn+1 , p
Z
Z
b
n
vn+1
b
b+
vn+1 · w
vn − ϑ̃ · ∇ b
·w
χΩFn ρF
χΩFn ρF
∆t
Ωn
Ωn
Z
Z
Z
2ρS n+1
b b
b +
b
b
−
χΩFn (∇ · w)
p n+1 + 2µF
χΩFn ǫ b
vn+1 : ǫ (w)
v
·w
χΩSn
∆t
Ωn
Ωn
Ωn
Z
cn
b + 2θ∆tãS (b
b = L̃F (w)
b + L̃S (w),
b ∀w
b ∈W
+
χΩSn ρS (vn · ∇)b
vn+1 · w
vn+1 , w)
Ωn
Z
bn,
b(∇ · b
χΩFn q
vn+1 ) = 0, ∀b
q∈Q
Ωn
Remarque
Si la solution du système monolithique ci-dessus est suffisamment régulière, alors la
condition de l’égalité des contraintes à l’interface est satisfaite au sens faible.
38. Travail en collaboration avec Cornel Marius MUREA
Soyibou SY 39
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Approche monolithique
Simulations
37/45
Discrétisation en temps des équations
Formulation faible
Formulation monolithique
Algorithme
Résultats numériques
Système linéaire global
Le système global équivalent au système



 
v
L
A BT 0
 B
0 0   pF  =  0  ,
0
0
0 0
pS
Z
b, ǫ = 10−6 a été ajouté pour obtenir p S = 0 sur ΩSn .
b
p n+1 q
Le terme ǫ

A
 B
0
Ωn
T
B
ǫM F
0


 
v
0
L
ǫM F
0   pF  =  0  ,
0
0
pS
ǫM S
0
ǫM S
Z
= ǫ
πj πi
Ωn
1≤i,j≤nS
.
Remarque
Si on approche p par des fonctions éléments finis globalement continues, on
obtient p S = 0 sur les sommets des triangles de ΩSt \ Γt et p = p F sur ΩFt ∪ Γt .
Soyibou SY 40
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Discrétisation en temps des équations
Formulation faible
Formulation monolithique
Algorithme
Résultats numériques
Approche monolithique
Simulations
38/45
Algorithme
On suppose qu’on connait Ωn , vn , un , ün .
n
Etape 1. Calculer la vitesse ϑ̃ du domaine.
bn+1 .
Etape. Résoudre le système linéaire par GMRES sur Thn . On obtient b
vn+1 et p
n+1
b̈
bn+1 et l’accélération u
à partir de
Etape 3. Calculer le déplacement u
n
n
n+1
n
2
b
vn+1
u
= u + (∆t) 1/2 − 2θ ü + ∆t(1 − 2θ)v + 2θ∆t b
b̈n+1 = 2/∆t b
u
vn+1 − vn − ün .
Etape 4. Construire le maillage Thn+1 comme image de Thn par :
n
Tn (b
x) = b
x + ∆t ϑ̃ (b
x)χΩFn (b
x) + (b
un+1 (b
x) − un (b
x))χΩSn (b
x).
Sauver Tn+1 et vn+1 , p n+1 , un+1 , ün+1 donnés par
vn+1 (x) = b
vn+1 (b
x),
un+1 (x) = b
vn+1 (b
x),
p n+1 (x) = b
p n+1 (b
x),
b̈
ün+1 (x) = u
Soyibou SY 41
n+1
(b
x),
∀b
x ∈ Ωn et x = Tn (b
x)
∀b
x ∈ Ωn et x = Tn (b
x).
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Approche monolithique
Simulations
39/45
Discrétisation en temps des équations
Formulation faible
Formulation monolithique
Algorithme
Résultats numériques
Parmètres et Temps CPU monolithique (CPUm )
Paramètres physiques et numériques
On utilise les mêmes paramètres physiques comme dans la partie I.
Les tests numériques sont faits avec FreeFem++.
On fixe δ = 0.5, θ = 0.3, ∆t = 0.001 s et N = 100.
Maillage de référence nt=2426 et nv=1305.
Eléments finis, P1 b pour les vitesses, P1 pour les pressions, les
déplacements et accélérations et P0 pour les fonctions caratéristiques.
Temps CPU monolithique
nsFS
80
100
120
nt
2426
3916
5039
nv
1305
2070
2649
global Dof
8767
14042
18016
CPUm
5 mn 25 s
7 mn 18 s
11 mn 34 s
Table: Temps CPU en fonction du nombre de segments sur l’interface nsFS, où
les degrés de libérté sont donnés par : Dof = 2(nv + nt) + nv = 3nv + nt.
Soyibou SY 42
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Approche monolithique
Simulations
40/45
Discrétisation en temps des équations
Formulation faible
Formulation monolithique
Algorithme
Résultats numériques
Compatibilité des maillages à l’interface
Figure: Maillage global (en haut), les maillages séparés (en bas).
Soyibou SY 43
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Discrétisation en temps des équations
Formulation faible
Formulation monolithique
Algorithme
Résultats numériques
Approche monolithique
Simulations
41/45
Comparaison des temps CPU
Le problème de la structure est traité par la méthode de décomposition modale,
avec m = 3 et la matrice fluide n’est factorisée qu’une seule fois durant les
itérations de BFGS.
• Temps CPU en fonction de nsFS.
nsSF
80
100
120
ntF
2106
3538
4582
nvF
1144
1880
2422
ntS
320
378
452
nvS
242
291
348
DofF
7644
12716
16430
DofS
484
582
696
CPUpp
10 mn 49 s
15 mn 57 s
21 mn 06 s
CPUpp /CPUm
1.99
2.18
1.82
• Temps CPU en fonction de m pour nsFS = 80
m
3
7
10
CPUpp
10 m 49 s
27 m 47 s
41 m 07 s
CPUpp /CPUm
1.99
5.12
7.59
Soyibou SY 44
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Approche monolithique
Simulations
42/45
Simulations
Algorithme monolithique
vitFL100_mono.mpg
presFL100_mono.mpg
Soyibou SY 45
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Conclusions et Perspectives
43/45
Conclusions
1
Procédures partagées :
Un problème d’optimisation est résolu par BFGS pour satisfaire les
conditions de reccordement à l’interface.
Durant les itérations de BFGS, le maillage fluide reste fixe et la matrice
fluide n’est factorisée qu’une seule fois.
Un résultat de stabilité en temps de l’algorithme est démontré.
L’interaction fluide structure dans l’anévrisme cérébral est étudiée.
2
Approche monolithique :
Un algorithme semi-implicite monolithique basé sur un couplage
vitesse-pression est présenté.
La condition de continuité des vitesses à l’interface est satisfaite et celle
de l’égalité des contraintes à l’interface est vérifiée de manière faible.
Le maillage global, qui est la reunion des maillages fluide et structure ne
passe pas à travers les triangles.
Le temps CPU est réduit quand on utilise cette approche monolithique.
Soyibou SY 46
Algorithmes semi-implicites pour l’interaction fluide structure :
Conclusions et Perspectives
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Perspectives et Références
1
Approche monolithique et analyse de la stabilité dans le cas d’un modèle non
linéaire pour la structure.
2
Validation des algorithmes et extension des résultats en dimension 3.
Références
1
Soyibou SY and Cornel. Marius. MUREA, A stable time advancing scheme for
solving fluid-structure interaction problem at small structural displacements.
In Comput. Meth. Appl. Mech. Eng., 198 (2008), pp. 210-222, ( DOI :
10.1016/j.cma.2008.07.010).
2
C. M. Murea, S. Sy, A fast method for solving fluid-structure interaction
problems numerically. Int. J. Numer. Meth. Fluids, 60 (2009), no. 10,
1149-1172, ( DOI : 10.1002/fld.1931).
3
S. Sy, C.M. Murea, Algorithm for solving fluid-structure interaction problem
on a global moving mesh, Proceedings of IV European Conference on
Computational Mechanics, Paris, France, May 16-21, 2010
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Merci pour votre attention !
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