1
CHAPITRE I : POLYNÔMES SUR UN ANNEAU
QUELCONQUE
Ce chapitre présente les définitions et les propriétés algébriques des polynômes
sur un anneau quelconque. C’est aussi l’occasion d’étudier plusieurs algorithmes
fondamentaux, en particulier l’algorithme d’Euclide.
1. Généralités
1. Premières définitions
On se donne n lettres X1 , . . . , Xn et un anneau A unitaire et commutatif, dans ce
contexte les lettres X1 , . . . , Xn sont appelées indéterminées ou variables.
Remarque
Dans cet ouvrage un anneau est toujours supposé unitaire, l’unité étant notée 1*.
Dans tout ce chapitre, sauf mention expresse du contraire, un anneau est toujours
supposé commutatif.
Les polynômes en les variables X1 , . . . , Xn à coefficients dans A sont par définition
les sommes formelles
X
ai1 ,...,in X1 i1 · · · Xn in ,
i1 ,...,in ≥0
où les coefficients ai1 ,...,in appartiennent à A, et pour lesquels un nombre fini
des ai1 ,...,in sont non nuls. Chaque produit ai1 ,...,in X1 i1 · · · Xn in est appelé un
terme du polynôme. L’ensemble de ces polynômes est noté A[X1 , . . . , Xn ].
Exemple
Pour A = Z, l’expression F = 1 + X1 + 2X12 − 3X1 X2 − 5X3 est un polynôme en
X1 , X2 et X3 , qui comporte cinq termes non nuls.
Cas particulier : Un polynôme de la forme ai1 ,...,in X1 i1 · · · Xn in , qui comporte
au plus un coefficient non nul, est appelé un monôme.
* Pour éviter des trivialités nous supposons toujours 1 6= 0, mais sans le rappeler
ultérieurement.
2
On a une injection naturelle
a 7−→ aX10 · · · Xn0
de A dans A[X1 , X2 , . . . , Xn ] qui permet d’identifier A à un sous-ensenble
de A[X1 , . . . Xn ] ; ce monôme est noté a, et appelé une constante. En particulier
les polynômes 0 et 1 sont des constantes.
Pour un polynôme
X
P =
ai1 ,...,in X1 i1 · · · Xn in ,
i1 ,...,in ≥0
on appelle support de P et on note Supp P le sous-ensemble
Supp P = {(i1 , . . . , in ); ai1 ,...,in 6= 0}
de N n . Par définition, il s’agit d’un ensemble fini. Pour l’exemple ci-dessus, on a
Supp F = {(0, 0, 0), (1, 0, 0), (2, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}.
2. Operations élémentaires sur A[X1 , X2 , . . . , Xn ]
Considérons deux polynômes P et Q de A[X1 , . . . Xn ], donnés respectivement par
X
X
P =
ai1 ,...,in X1 i1 · · · Xn in
et
Q=
bi1 ,...,in X1 i1 · · · Xn in ,
et soit a un élément de A.
On définit les opérations
X
P +Q=
(ai1 ,...,in + bi1 ,...,in ) X1 i1 · · · Xn in ,
i1 ,...,in ≥0
X
a·P =
(a · ai1 ,...,in ) X1 i1 · · · Xn in
i1 ,...,in ≥0
et “le produit de Cauchy”
P ·Q=
X³
k
X
ai bj X
k
´
,
i, j ; i+j=k
où, pour simplifier les notations, nous avons posé
i = (i1 , . . . , in ),
j = (j1 , . . . , jn ),
i + j = (i1 + j1 , . . . , in + jn ), . . .
et
X i = X1 i1 · · · X1 i1 , . . .
abréviations qui seront utilisés dans toute la suite.
L’addition et le produit par un scalaire sont particulièrement simples, ils
s’effectuent terme à terme. La formule du produit de Cauchy est plus compliquée,
mais c’est une conséquence des relations X m · X n = X m+n et des propriétés de
distributivité.
On vérifie facilement que
Supp(P + Q) ⊆ Supp P ∪ Supp Q,
Supp(λ · P ) ⊆ Supp P
1. GÉNÉRALITÉS
3
et
Supp (P · Q) ⊆ Supp P + Supp Q,
où, pour deux parties E et F de N n , on pose
E + F = {i + j ; i ∈ E, j ∈ F }.
Ces inclusions montrent en particulier que ces opérations donnent bien pour résultat
un polynôme. Souvent, pour simplifier les notations, nous poserons P Q = P · Q et
de même aQ = a · Q.
Propriétés
On a clairement :
P + Q = Q + P,
(commutativité)
P + (Q + R) = (P + Q) + R,
P + 0 = 0 + P,
(associativité)
(existence d’un élément neutre),
ce qui montre que (A[X1 , . . . , Xn ], +, 0) est un groupe abélien.
La multiplication interne (le produit de Cauchy, encore parfois noté P ×Q) possède
les propriétés élémentaires suivantes :
P Q = QP,
(commutativité)
P (QR) = (P Q)R,
(associativité)
P (Q + R) = P Q + P R,
P · 1 = 1 · P = P,
(distributivité)
(existence d’un élément neutre).
Seule l’associativité n’est pas évidente, sa vérification est laissée en exercice au
lecteur. Ceci montre que (A[X1 , . . . , Xn ], +, ×, 0, 1) est un anneau commutatif
unitaire. L’injection canonique A → A[X1 , . . . , Xn ] est un morphisme d’anneaux.
Exemple
Si P = 1 + X12 − X1 X2 et Q = 2 − X1 + X12 X2 alors
P Q = (1 + X12 − X1 X2 )(2 − X1 + X12 X2 )
= 2 − X1 + X12 X2 + 2X12 − X13 + X14 X2 − 2X1 X2 + X12 X2 − X13 X22
= 2 − X1 + 2X12 − 2X1 X2 + 2X12 X2 − X13 − X13 X23 + X14 X2 .
Considérons enfin la multiplication externe (a, P ) 7→ a·P . Elle possède les propriétés
suivantes
0 · P = 0,
1 · P = P,
a · (P + Q) = a · P + a · Q,
(a + b) · P = a · P + b · P,
(ab) · P = a · (b · P ),
dont la vérification est immédiate.
Ceci montre que (A[X1 , . . . , Xn ], +, ·, 0, 1) possède une structure de module sur
l’anneau A (si A = K est un corps, il s’agit tout simplement d’un K–espace
vectoriel). L’injection canonique A → A[X1 , . . . , Xn ] est clairement un morphisme
de A–modules.
4
Muni des trois opérations précédentes, A[X1 , . . . , Xn ] est une A–algèbre, et le
polynôme constant P = 1 est l’élément unité de cette algèbre. L’injection canonique
A → A[X1 , . . . , Xn ] est aussi un morphisme de A–algèbres.
Remarque
Si m est un entier, avec 1 ≤ m < n, on a un isomorphisme naturel entre anneaux
de polynômes en plusieurs variables
A[X1 , . . . , Xm ] [Xm+1 , . . . , Xn ] ∼ A[X1 , . . . , Xn ].
Cette remarque est très importante pour le codage informatique des polynômes en
plusieurs variables. Elle permet de définir de manière récursive les structures de
données qui codent ces objets.
3. Notions de degré
Si P est un polynôme non nul en X1 , . . . , Xn (c’est-à-dire, un polynôme dont au
moins un des coefficients est non nul),
X
P =
ai X i ,
on définit le degré total de P par la formule
deg (P ) = max{i1 + · · · + in ; ai 6= 0} ,
et le degré partiel de P par rapport à Xj est défini par
deg Xj (P ) = max{ij ; ai1 ,...,in 6= 0},
pour simplifier, on le note aussi parfois deg j (P ).
Une convention utile est de poser
deg (0) = deg Xi (0) = −∞,
avec la règle
n + (−∞) = −∞
pour tout n ∈ N ∪ {−∞}, et bien sûr
max{n, −∞} = n.
Si P et Q sont deux polynômes non nuls, les propriétés suivantes ont lieu
•
si deg (P ) 6= deg (Q), alors
P + Q 6= 0 et
©
ª
deg (P + Q) = max deg (P ), deg (Q) ,
•
si deg (P ) = deg (Q) et P + Q 6= 0, alors
©
ª
deg (P + Q) ≤ max deg (P ), deg (Q) ,
•
si P Q 6= 0 , alors
deg (P · Q) ≤ deg (P ) + deg (Q) .
1. GÉNÉRALITÉS
5
Avec la convention précédente les deux relations ci-dessus ont aussi lieu pour
P + Q = 0 ou, respectivement, pour P Q = 0.
Exemple
Si P = 2 + X12 + X1 X2 + X1 X32 + X1 X22 X3 , on a deg P = 4 du fait que P contient
le terme X1 X22 X3 , dont le degré est maximal. On a deg 3 P = 2 car P contient le
terme X1 X32 , de degré maximal par rapport à la troisième variable X3 .
Un argument facile conduit à la relation
©
ª
P + Q 6= 0 =⇒ deg (P + Q) ≤ max deg P, deg Q .
Attention, il n’y a pas toujours égalité, par exemple, si
P = 1 + X + X 2,
on a
De même,
Q = 1 − X2
©
ª
deg (P + Q) = deg (2 + X) = 1 < max deg P, deg Q = 2.
©
ª
deg j (P + Q) ≤ max deg j P, deg j Q .
Si a ∈ A, P ∈ A[X1 , . . . Xn ] avec a · P 6= 0 alors, clairement,
deg (a · P ) ≤ deg P.
Attention, il n’y a pas toujours égalité, par exemple, si A = Z/4Z et P = 1 + 2X,
alors 2 · P = 2 et, dans ce cas on a
deg (2 · P ) = 0 < deg P = 1.
Evidemment, si A est intégre, il y a toujours égalité.
Dans le cas du produit de Cauchy, on a l’inégalité
deg (P Q) ≤ deg P + deg Q.
En effet, nous avons vu que
Supp(P Q) ⊆ Supp P + Supp Q,
et on a
©
ª
deg P = max i1 + · · · + in ; (i1 , . . . , in ) ∈ Supp P ,
©
ª
deg Q = max j1 + · · · + jn ; (j1 , . . . , jn ) ∈ Supp Q ,
d’où l’on déduit facilement le résultat.
Attention, cette fois encore, il n’y a pas toujours égalité, par exemple, si A = Z/4Z
et P = 1 + 2X, alors on a P 2 = 1 et
deg (P 2 ) = 0 < deg P + deg P = 2.
Par contre, nous verrons bientôt que si A est intégre, alors il y a égalité.
L’inégalité
deg j (P Q) ≤ deg j P + deg j Q
se démontre de manière analogue, mais plus simple.
6
4. Cas d’un anneau intègre
Un anneau est appelé un anneau intègre — ou encore parfois un domaine d’intègrité
— lorsque le produit de deux éléments quelconques non nuls de A n’est jamais nul.
Quand A est intègre, nous avons les résultats suivants.
PROPOSITION 1.1. — Si A est un anneau intègre, alors l’anneau de polynômes
A[X1 , . . . Xn ] est aussi un anneau intègre. De plus, si P et Q sont deux polynômes
non nuls appartenant à A[X1 , . . . Xn ], alors
deg (P · Q) = deg (P ) + deg (Q) ,
ainsi que
deg j (P · Q) = deg j (P ) + deg j (Q),
pour
1 ≤ j ≤ n.
Démonstration
Nous sommes d’abord amenés à définir une première relation d’ordre sur N n , la
relation d’ordre lexicographique — qui correspond à l’ordre d’un dictionnaire. Si on
note ≤ cette relation, on pose i = (i1 , . . . , in ) ≤ (j1 , . . . , jn ) = j si, et seulement
si,
½
soit i = j,
soit ∃h, 0 ≤ h < n, i1 = j1 , . . . , ih = jh , ih+1 < jh+1 .
Comme d’habitude, il est clair que cette relation est à la fois réflexive et antisymétrique. Contentons-nous de vérifier sa transitivité. Supposons pour cela i ≤ j
et j ≤ k. Si i = j ou j = k, on a évidemment i ≤ k. On peut donc supposer
i < j < k et soient alors h et l, tels que 0 ≤ h, l < n et
i1 = j1 , . . . , ih = jh , ih+1 < jh+1 ,
j1 = k1 , . . . , jl = kl , jl+1 < kl+1 ,
il est alors clair qu’il existe m, avec 1 ≤ m ≤ h < n, tel que
i1 = k1 , . . . , im = km , im+1 < km+1
ce qui montre que i < k, ce qu’il fallait démontrer.
A partir de là, on définit un second ordre (strict) sur N n , par

Pn
Pn
 soit
k=1 ik <
k=1 jk ,
i ¿ j ⇐⇒
Pn
Pn

soit
i
=
k
k=1
k=1 jk et i < j (ordre lexicographique).
Cette fois encore, seule la transitivité mérite d’être démontrée. Supposons donc
Pn
Pn
Pn
Pn
i ¿ j et j ¿ k. Si h=1 ih < h=1 jh , comme de plus h=1 jh ≤ h=1 kh , on a
Pn
Pn
Pn
Pn
bien i ¿ k. De même si h=1 jh < h=1 kh , comme h=1 ih ≤ h=1 jh , on a
Pn
Pn
Pn
encore i ¿ k. Par contre, si h=1 ih = h=1 jh = h=1 kh , la conclusion résulte
de la transitivité de l’ordre lexicographique. Ce qui achève la vérification.
On peut aussi noter que ¿ est une relation d’ordre strict totale sur N n .
2. DIVISION EUCLIDIENNE
7
Soient d et d0 les degrés respectifs des polynômes P et Q. Alors
P = ai X i + P1 ,
Q = bj X j + Q1 ,
avec ai 6= 0 et bj 6= 0 ,
où le polynôme P1 (respectivement Q1 ) ne contient que des coefficients d’indices
plus petits que i pour l’ordre ¿ (respectivement d’indices plus petits que j pour
cet ordre). Alors on voit que
P · Q = ai bj X i+j + R,
avec ai bj 6= 0,
où le polynôme R ne contient que des coefficients d’indices plus petits que i + j
pour l’ordre ¿ . Ainsi, le produit P Q est non nul et vérifie
deg (P · Q) = deg (X i+j ) = d + d0 .
Pour la seconde relation de l’énoncé, on se ramène aussitôt au cas d’une seule
variable, la démonstration est alors semblable à la précédente, mais beaucoup plus
simple, les détails sont laissés au lecteur.
Remarque
Pour démontrer seulement l’intégrité de l’anneau A[X1 , . . . , Xn ] lorsque A est
lui-même intègre, en raisonnant par récurrence sur n on est ramené au cas d’une
seule variable et la démonstration est alors plus simple que la précédente.
Remarque
Pour l’ordre lexicographique, on voit aussitôt que ∀k ∈ N n on a l’équivalence
i ≤ j ⇐⇒ i + k ≤ j + k. De même pour l’ordre strict ¿ .
2. Division euclidienne
1. Polynômes unitaires
Si P = a0 + · · · + am X m est un polynôme en une variable avec am différent
de zéro, alors am est appelé coefficient dominant de P ; parfois, le coefficient
dominant de P est noté lc (P ). [Cette terminologie trouve son origine en Analyse :
le comportement à l’infini d’un polynôme à coefficients réels est déterminé par
son coefficient “dominant”.] Quand lc(P ) = 1, le polynôme P est dit unitaire (en
anglais monic).
Remarque
Si P est unitaire et Q non nul, nous avons toujours
deg (P · Q) = deg (P ) + deg (Q) .
Démonstration
Si p est le degré de P et q celui de Q alors le coefficient de X p+q dans le produit
P Q est égal à 1 · lc(Q) = lc(Q), qui est non nul.
8
2. Division euclidienne, définition
THEOREME 2.1. — Soient F et G deux polynômes de A[X], avec G unitaire.
Alors il existe deux polynômes uniques Q et R tels que
F = QG + R
avec R = 0
ou
deg R < deg G.
Démonstration
Existence : Raisonnons par récurrence sur n = deg F .
Si n < deg G ou pose G = 0 et R = F . Sinon, supposons que
F = aX n + termes de plus petit degré.
On constate alors que le polynôme
F − aX n−m G,
où m désigne le degré de G, a un degré inférieur à n. Grâce à l’hypothèse de
récurrence, on peut donc écrire
F − aX n−m G = GQ1 + R1 ,
avec R1 = 0
ou
deg R1 < deg G .
D’où le résultat cherché en posant Q = aX n−m + Q1 et R = R1 .
Unicité : Supposons que F , G, Q et R vérifient une relation comme dans l’énoncé
et que l’on ait en outre
F = Q1 G + R1
avec R1 = 0
ou
deg R1 < deg G,
alors
Q1 G + R1 = QG + R ,
ce qui implique
(Q1 − Q) G = R − R1 .
Comme G est unitaire, calculant le degré de chaque membre, la remarque ci-dessus
montre que nécessairement Q1 = Q. La relation R1 = R s’ensuit.
Remarque
Ce résultat s’applique en particulier lorsque l’anneau A est lui-même un anneau de
polynômes, ceci en utilisant l’isomorphisme déjà signalé entre A[X1 , X2 , . . . , Xn ]
et (A[X1 , X2 , . . . , Xn−1 ])[Xn ].
Le polynôme R défini par le Théorème 2.1 est appelé reste de la division de F
par G, tandis que Q est appelé le quotient de cette division.
Le Théorème 2.1 admet la généralisation suivante, dont la preuve est immédiate.
COROLLAIRE 2.2. — Soient F et G deux polynômes de A[X], le coefficient
dominant du polynôme G étant inversible dans l’anneau A, alors il existe deux
polynômes uniques Q et R tels que
F = QG + R
avec R = 0
ou
deg R < deg G.
2. DIVISION EUCLIDIENNE
9
Remarque
La démonstration de l’existence de Q et R donnée plus haut fournit un algorithme
de calcul.
Exemple
Si 2X 4 − 3X 2 + X − 1 et G = X 2 − X + 1, en “posant” la division comme à l’école
primaire on obtient
F = (2X 2 + 2X − 3)G + (−4X + 2).
Le tableau de cette division peut être présenté ainsi :
¯ 2
¯X − X + 1
2X 4 − 3X 2 + X − 1
2X 3 − 5X 2 + X − 1
2X 2 + 2X − 3
− 3X 2 − X − 1
− 4X + 2
Remarque
Si deg F ≥ deg G alors la démonstration du Théorème 2.1 montre que le degré du
quotient vaut
deg Q = deg F − deg G.
3. Le cas d’un corps
Dans la suite, la lettre K désignera toujours un corps (commutatif). Quand
l’anneau A est un corps K, l’énoncé du Théorème 2.1 et sa preuve sont simplifiés.
Dans ce cas il suffit en fait, d’après le corollaire, de supposer que le polynôme G
est non nul.
La relation F = QG + R est équivalente à un système linéaire de d + 1 équations
en d + 1 inconnues, qui sont les coefficients des polynômes indéterminés Q et R. Le
système homogéne associé est simplement QG + R = 0. Par l’argument ci-dessus,
portant sur l’unicité, la seule solution est Q = R = 0. Nous avons donc affaire
à un système de Cramer : il admet une solution et une seule. Cependant, la
démonstration du Théorème 2.1 possède l’avantage de conduire à un algorithme
simple pour la division.
Rappel
Un système linéaire “carré” a toujours une solution et une seule si, et seulement
si, le système linéaire homogène associé ne possède que la solution nulle (théorème
de Cramer).
L’existence de la division euclidienne fournit aussi le résultat suivant (comme dans
le cas de l’anneau Z des entiers rationels).
THEOREME 2.3. — Soit I un idéal de K[X], alors il existe un polynôme P tel
que I = P · K[X].
10
Démonstration
Si l’idéal I est réduit à {0}, alors prendre P = 0.
Si I est non nul, soit P un élément de I de degré minimal et soit F un élément
quelconque de I. Considérons R le reste R de la division euclidienne du polynôme
F par P , on vérifie alors facilement que le polynôme R appartient à l’idéal I. Par
définition de P , nous avons R = 0. Donc F est un multiple du polynôme P .
Un idéal I de l’anneau A, qui est égal à l’ensemble xA des multiples d’un certain
élément x, est appelé un idéal principal, un tel élément x est alors appelé un
générateur de l’idéal I. Tout autre générateur de I est égal à ux, où u est n’importe
quel élément inversible de A. Ici, si I = P · K[X], alors tout générateur de I est
égal to λP , où λ est un élément quelconque non nul du corps K. Nous écrirons
souvent I = (P ) au lieu de I = P · K[X]. Plus généralement l’idéal engendré par
une famille finie de polynômes F1 , . . . , Fr sera noté (F1 , . . . , Fr ).
Un anneau dont tout idéal est principal est appelé anneau principal.
Un anneau A est dit euclidien s’il existe une fonction ϕ : A∗ → N telle que si a,
b ∈ A, avec b 6= 0, alors il existe q et r ∈ A tels que
a = bq + r,
avec r = 0 ou bien ϕ(r) < ϕ(b).
Une telle fonction ϕ est parfois appelée un stathme euclidien.
Nous avons alors le résultat suivant qui généralise le théorème précédent et dont la
démonstration est identique à celle de ce théorème.
THEOREME 2.4. — Tout anneau euclidien est principal.
Démonstration
Soit I un idéal non nul de A et soit a ∈ I avec a 6= 0 et ϕ(a) minimal. [Rappelons
que tout ensemble non vide de N possède un élément minimal.] Soit maintenant
x ∈ I quelconque. On peut écrire x = aq + r avec r = 0 ou bien ϕ(r) < ϕ(a). Il est
clair que r ∈ I, on a donc nécessairement r = 0 et x = aq.
Exemples
1) Comme nous l’avons vu, K[X] est euclidien en prenant ϕ(F ) = deg F .
2) L’anneau Z est euclidien pour ϕ(a) = |a|. En effet, on sait bien que si si a, b ∈ Z,
avec b 6= 0, alors il existe q et r ∈ Z tels que
a = bq + r,
avec 0 ≤ r < |b|.
3) Si A = Z[i] = {a + ib ; a, b ∈ Z} désigne l’anneau des entiers de Gauß, le lecteur
pourra facilement vérifier que cet anneau est euclidien pour ϕ(z) = |z|, où |z|
désigne le module du nombre complexe z. [On vérifie que la propriété ci-dessus
considérée pour l’exemple 2 a encore lieu dans le cas présent. On pourra donner
une démonstration géométrique dans le plan complexe.]
2. DIVISION EUCLIDIENNE
11
4. Division euclidienne, conséquences
Le fait que tout idéal de K[X] est principal, conduit à l’existence d’un p.g.c.d.,
avec la relation de Bézout, et l’existence d’une division euclidienne conduit à un
algorithme d’Euclide pour le calcul du p.g.c.d.
THEOREME 2.5. — Soit A un anneau principal. Si a1 , . . . , ar ∈ A sont donnés,
non tous nuls, il existe d ∈ A non nul tel que
(i) d divise a1 , . . . , ar ,
(ii) si d0 ∈ A divise a1 , . . . , ar , alors il divise aussi d,
(iii) il existe u1 , . . . ur ∈ A tels que
u1 a1 + · · · ur ar = d,
cette dernière relation est appelée relation de Bézout.
Démonstration
Soit I = {x1 a1 + · · · xr ar ; x1 , . . . , xr ∈ A} l’idéal de A engendré par a1 , . . . , ar .
Du fait que les ai ne sont pas tous nuls, on a I 6= {0}. Comme A est un anneau
principal, il existe d ∈ A non nul tel que I = dA = {dx; x ∈ A}, un tel élément d
est appelé un générateur de A.
Comme I contient chacun des ai , on a ai = da0i , avec a0i ∈ A, pour i = 1, . . . , r,
ainsi d est un diviseur commun à tous les ai . Donc (i) a bien lieu.
Par définition de I, il existe des éléments u1 , . . . ur de A tels que u1 a1 +· · · ur ar = d,
donc la propriété (iii) est vraie.
Montrons enfin la propriété (ii). Supposons que d0 divise chacun des ai , alors
ai = d0 bi , avec bi ∈ A, pour i = 1, . . . , r, et ainsi
d = u1 a1 + · · · ur ar = d0 (u1 b1 + · · · ur br ).
Donc d0 divise d. On dit que d est un p.g.c.d. de a1 , . . . , ar et on écrit
d = p.g.c.d.(a1 , . . . , ar ).
Remarque
Si d0 est un pgcd de a1 , . . . , ar alors il existe u ∈ A tel que d0 = ud avec u inversible
dans A. De façon générale, un élément inversible d’un anneau A est appelé une
unité de A.
Exercice
Montrer que les seules unités de Z sont +1 et −1. Et montrer que les unités de
K[X] sont les polynômes constants non nuls.
CORROLAIRE 2.6. (Bachet de Méziriac) — Si a1 , . . . , ar ∈ Z sont non tous
nuls, il existe d entier rationnel non nul tel que
(i) d divise a1 , . . . , ar ,
(ii) si un entier d0 divise chacun des ai alors il divise d,
12
(iii) il existe u1 , . . . ur ∈ Z tels que
u1 a1 + · · · ur ar = d.
De plus d est unique au signe près. (En général, on choisit d > 0, il est alors
unique.)
CORROLAIRE 2.7. (Bézout) — Si F1 , . . . , Fr ∈ K[X], où K est un corps, sont
des polynômes non tous nuls, il existe D ∈ K[X], polynôme non nul, tel que
(i) D divise F1 , . . . , Fr ,
(ii) si D1 ∈ K[X] divise chacun des Fi alors il divise D,
(iii) il existe U1 , . . . Ur ∈ K[X] tels que
U1 F1 + · · · Ur Fr = D.
De plus D est unique à multiplication près par un élément λ ∈ K ∗ , en particulier
si on impose à D d’être unitaire alors il est unique.
CORROLAIRE 2.8. — Soit A un anneau principal. Si a1 , . . . , ar ∈ A sont
donnés, non tous nuls, alors on a p.g.c.d.(a1 , . . . , ar ) = d, si, et seulement si, d est
un diviseur commun à tous ces ai et si de plus il existe des éléments u1 , . . . , ur ∈ A
vérifiant
u1 a1 + · · · ur ar = d.
En particulier, on a
p.g.c.d. (a1 , . . . , ar ) = 1,
si, et seulement si, il existe des éléments u1 , . . . ur ∈ A tels que
u1 a1 + · · · ur ar = 1.
Démonstration
Le fait que la condition soit nécessaire constitue un cas particulier du Théorème 2.5.
Réciproquement si d est un diviseur commun aux ai tel qu’il existe des éléments
u1 , . . . ur ∈ A tels que
u1 a1 + · · · ur ar = d,
alors tout diviseur commun à tous les ai doit diviser d, ce qui prouve bien que dans
ce cas on a p.g.c.d. (a1 , . . . , ar ) = d.
Définition. — Des éléments a1 , . . . , ar , non tous nuls, d’un anneau sont dits
premiers entre eux lorsque p.g.c.d. (a1 , . . . , ar ) = 1. On dit aussi premiers entre eux
dans leur ensemble.
5. Algorithme d’Euclide dans un anneau euclidien
Considérons a et b ∈ A non nuls, où A est un anneau euclidien pour une certaine
fonction ϕ. [Si, par exemple, b = 0 alors il est clair que p.g.c.d.(a, b) = a, on
peut donc supposer a et b non nuls.] Avec l’algorithme d’Euclide que nous allons
présenter, il est possible de calculer un p.g.c.d. d de a et b et aussi des éléments u,
v ∈ A tels que ua + vb = d.
2. DIVISION EUCLIDIENNE
13
Sans restreindre la généralité, on peut supposer ϕ(a) ≥ ϕ(b) (si tel n’est pas le cas,
on échange a et b, ce qui ne modifie pas le pgcd). On travaille avec des triplets
Ti = (ri , ui , vi ) définis récursivement par
T0 = (a, 1, 0),
T1 = (b, 0, 1)
et si T0 , T1 , . . . Ti sont connus, on effectue la division euclidienne de ri−1 par ri ,
soit
ri−1 = qi ri + ri+1 , avec ri+1 = 0 ou ϕ(ri+1 ) < ϕ(ri )
et si ri+1 est nul on s’arrête, sinon on pose Ti+1 = Ti−1 − qi Ti ; ce qui équivaut à
l’ensemble des trois relations

 ri+1 = ri−1 − qi ri ,
ui+1 = ui−1 − qi ui ,

vi+1 = vi−1 − qi vi .
Comme les ϕ(ri ) constituent une suite d’entiers ≥ 0 strictement décroissante, il
existe un indice t tel que rt 6= 0 et rt+1 = 0.
Nous allons démontrer les deux affirmations suivantes
(1)
rt divise a et b
et
(2)
ut a + vt b = rt .
Pour démontrer (1) montrons, par récurrence décroissante, que rt divise rt−1 , rt−2 ,
. . . , r1 et r0 . Du fait que rt+1 = 0, on voit que rt divise rt−1 . Supposons que l’on
sache que rt divise les nombres rt−1 , . . . , ri , alors, pour l’indice i − 1 on a
ri−1 = ri+1 + qi ri ,
donc rt divise aussi ri−1 . Les cas particuliers i = 0 et i = 1 montrent que rt est un
diviseur commun à a et b. On pose d = rt .
Démontrons maintenant (2). Cette propriété est vraie pour i = 0 et i = 1 puisque
r0 = a = 1 · a + 0 · b = u0 a + v0 b,
et
r1 = b = 0 · a + 1 · b = u1 a + v1 b.
On procède cette fois par récurrence croissante sur i. On suppose ceci vrai jusqu’à
l’indice i, et on considère l’indice i + 1.
Par hypothèse
ui−1 a + vi−1 b = ri−1 ,
et
ui a + vi b = ri ,
où
ri+1 = ri−1 − qi ri , ui+1 = ui−1 − qi ui , vi+1 = vi−1 − qi vi .
14
Calculons :
ui+1 a + vi+1 b − ri+1 = (ui−1 − qi ui )a + (vi−1 − qi vi )b − ri−1 + qi ri
= (ui−1 a + vi−1 b − ri−1 ) − qi (ui a + vi b − ri )
= 0 − qi · 0 = 0,
ce qui achève la preuve du raisonnement par récurrence. Le cas particulier i = t
donne
ut a + vt b = d.
Le Corollaire 2.8 ci-dessus montre alors que l’on a
d = p.g.c.d. (a, b).
La table suivante montre le calcul du p.g.c.d. des entiers 1812 et 1572.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
r
1812
1572
240
132
108
24
12
0
u
1
0
1
−6
7
−13
59
v
0
1
−1
7
−8
15
−68
1
6
1
1
4
2
q
Nous voyons que p.g.c.d.(1812, 1572) = 12, et que
59 × 1812 − 68 × 1572 = 12.
Autre exemple : Dans l’anneau A = Q[X] calculons le pgcd des polynômes
F = X 3 + 1 et G = X 2 + 2X + 1. On a le tableau
i
0
1
Ri
F
G
Ui
1
0
Vi
0
1
Qi
X −2
2
3X + 3
3
0
1
−X + 2
(X + 1)/3
Ce qui montre que
X +1=
¢
1¡
F + (−X + 2)G = p.g.c.d. (F, G).
3
2. DIVISION EUCLIDIENNE
15
Remarques
1) L’algorithme d’Euclide permet le calcul du pgcd de a et b sans factorisation de
a ou b. Cette remarque est particulièrement importante si a et b sont de “grands”
entiers (disons > 10100 ), dans ce cas la factorisation est pratiquement impossible.
2) L’algorithme d’Euclide est “peu coûteux”, il est facile de voir que le nombre N
d’opérations nécessaires pour a > b > 0 entiers vérifie N = O(Log a).
3) Le “pire” des cas pour Z correspond à deux nombres de Fibonacci consécutifs
(théorème de Lamé). Rappelons que la suite des nombres de Fibonacci date de
1202 et qu’elle est définie par
F0 = 0,
F1 = 1 et
Fn = Fn−1 + Fn−2
pour
n ≥ 2.
Ainsi (Fn ) = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .). Calculons par exemple le
pgcd de a = F12 = 144 et b = F11 = 89.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
ri 144 89 55 34 21 13 8
5
3
2
1
0
ui
1
0
1
vi
0
1
-1 2 -3 5 -8 13 -21 34 -55
1
1
qi
-1 2 -3 5 -8 13 -21 34
1
1
1
1
1
1
1
2
En procédant par récurence sur n, on vérifie facilement la formule (dite de Binet),
³ √ ´n ³ √ ´n
1+ 5
− 1−2 5
2
√
Fn =
.
5
Ce qui montre que Fn “a une croissance exponentielle” et permet de vérifier la
majoration N = O(Log a) indiquée dans la seconde des remarques ci-dessus.
6. Pseudo-division
La division euclidienne n’est pas toujours possible dans A[X] :
Exemple
Prenons A = Z, F = X 3 + 1 et G = 2X + 1 et essayons d’écrire
F = X 3 + 1 = QG + R = (aX 2 + bX + c)(2X + 1) + d,
a, b, c, d ∈ Z
alors, en comparant les coefficients de X 3 on aboutit à la relation 1 = 2a, qui est
impossible pour a entier.
On étend la division euclidienne de la façon suivante.
THEOREME 2.9. — Soient F et G deux polynômes à coefficients dans un
anneau intègre A, de degrés respectifs d et d0 , et soit b le coefficient dominant du
polynôme G. Posons δ = max{d − d0 + 1, 0}. Alors il existe des polynômes uniques
Q et R, tels que
bδ F = Q G + R,
avec R = 0
ou
deg R < deg G.
16
Démonstration
La démonstration est une généralisation immédiate de la preuve du Théorème 2.5.
Le remplacement du polynôme F par bδ · F permet exactement d’effectuer la
division. On peut raisonner par récurrence sur l’entier δ, les détails sont laissés au
lecteur.
L’unicité provient du fait que A est supposé intègre.
Exemple
Reprenons les polynômes F = X 2 + 1 et G = 2X + 1 de l’exemple précédent. Alors
b = 2, δ = max{3 − 1 + 1, 0} = 3 et on vérifie facilement que
8(X 3 + 1) = (4X 2 − 2X + 1)(2X + 1) + 7.
Les polynômes Q et R définis dans le théorème sont respectivement appelés le
pseudo-quotient et le pseudo-reste de la pseudo-division de F par G. La remarque
suivante sera utile plus tard.
COROLLAIRE 2.10. — Soient F et G deux polynômes à coefficients dans un
anneau intègre A. Si P est un polynôme de A[X] qui divise à la fois F et G, alors
P divise aussi le pseudo-reste de la division de F par G.
Démonstration
C’est une conséquence immédiate de la relation bδ F = Q G + R qui définit la
pseudo–division.
Conséquence
Pour A intègre, dans A[X] on peut donc définir une extension de l’algorithme
d’Euclide en utilisant la pseudo-division.
Exercice
Démontrer que Z[X] n’est pas principal. [Considérer l’idéal engendré par X et 2.]
Même question pour l’anneau K[X, Y ]. [Considérer l’idéal engendré par X et Y .]
3. Le théorème chinois
1. Cas des entiers
Commençons par le cas particulier simple où l’anneau A est égal à Z. L’énoncé est
alors le suivant.
THEOREME 3.1. — Soient m et n deux entiers positifs premiers entre eux et
soient a et b deux entiers quelconques, alors il existe x ∈ Z tel que
½
x ≡ a (mod m),
x ≡ b (mod n).
De plus, l’entier x est déterminé de façon unique modulo le produit mn.
3. LE THÉORÈME CHINOIS
17
Démonstration
Puisque m et n sont premiers entre eux, d’après Bézout, il existe u et v entiers tels
que
um + vn = 1.
Considérons alors l’entier
x = bum + avn.
On a
x ≡ avn ≡ a
(mod m)
et
x ≡ bum ≡ b (mod n),
donc x vérifie bien les conditions souhaitées.
Soit maintenant x0 une autre solution, alors
x ≡ x0
(mod m)
et
x ≡ x0
(mod n).
Ainsi, m et n divisent x0 − x. Comme m et n sont premiers entre eux, d’après le
théorème d’Euclide-Gauß (que nous démontrerons plus loin), il en résulte que le
produit mn divise la différence x0 − x. D’où la deuxième assertion.
Donnons une seconde démonstration (abstraite) de ce théorème. On considère
l’application naturelle
ϕ : Z → Z/mZ × Z/nZ
défine par
ϕ(x) = (x mod m, x mod n).
Il est clair que ϕ est un morphisme d’anneaux. Son noyau est
Ker ϕ = {x ∈ Z ; x mod m = 0 et x mod n = 0},
donc, d’après le théorème d’Euclide-Gauß, on a
Ker ϕ = mnZ.
D’où un morphisme injectif
ψ : Z/mnZ → Z/mZ × Z/nZ.
Enfin, comme les ensembles Z/mnZ et Z/mZ × Z/nZ possèdent tous deux mn
éléments, l’application ψ est un isomorphisme. Nous laissons au lecteur le soin de
démontrer que l’existence de cet isomorphisme ne fait que traduire le théorème
chinois.
Exemple
Résoudre le système
½
x ≡ 5 (mod 11),
x ≡ 8 (mod 17).
18
Par l’algorithme d’Euclide
i
0
1
2
3
4
5
r
17
11
6
5
1
0
u
1
0
1
−1
2
v
0
1
−1
2
−3
1
1
1
5
q
donc
(−3) × 11 + 2 × 17 = 1,
relation de la forme um + vn = 1 avec m = 11 et n = 17. Les formules vues plus
haut conduisent à prendre
x = bum + avn = (−33) × 8 + 34 × 5 = −264 + 170 = −94
et on a bien
½
−94 = −99 + 5 ≡ 5 (mod 11),
−94 = −102 + 8 ≡ 8 (mod 17).
Autre choix possible : x = −94 + 11 × 17 = 93.
2. Forme générale
Nous allons maintenant donner une version générale du théorème chinois. Le lemme
suivant nous sera alors utile.
LEMME 3.2. — Soit A un anneau et soient I, I1 , . . . , In des idéaux de A qui
vérifient I + Ik = A pour 1 ≤ k ≤ n. Alors, nous avons
I + I1 ∩ · · · ∩ In = A.
Démonstration
Nous avons seulement à démontrer que l’élément 1 appartient à l’ensemble
I + I1 ∩ · · · ∩ In . Par hypothèse, il existe des éléments ak ∈ I, bk ∈ Ik tels
que ak + bk = 1, pour 1 ≤ k ≤ n, et donc
1=
n
Y
(ak + bk ) =
k=1
n
X
k=1
ak
Y
(ah + bh ) + b1 · · · bn ∈ I + I1 ∩ · · · ∩ In .
h6=k
D’où le résultat.
THEOREME 3.3. — Soient A un anneau et I1 , . . . , In des idéaux de A tels que
Ih + Ik = A si 1 ≤ h < k ≤ n. Alors on a l’isomorphisme
A/(I1 ∩ · · · ∩ In ) ∼
n
Y
k=1
(A/Ik ) .
3. LE THÉORÈME CHINOIS
19
Avant de démontrer ce théorème, nous allons en énoncer les deux conséquences les
plus importantes.
COROLLAIRE 3.4. — Soient m1 , m2 , . . . , mr des entiers ≥ 2, deux à deux
premiers entre eux, et soient a1 , . . . , ar des entiers quelconques. Alors il existe un
entier x tel que
x ≡ aj (mod mj ), pour j = 1, . . . , r.
De plus, un tel x est déterminé de façon unique modulo le produit m1 · · · mr .
Démonstration
On applique le théorème ci-dessus au cas où A = Z, Ij = mj Z pour j = 1, . . . , r.
La relation de Bézout montre alors que
Ih + Ik = Z,
pour 1 ≤ h < k ≤ r.
Et la conclusion résulte enfin de l’égalité I1 ∩ · · · ∩ Ir = (m1 . . . mr )Z.
COROLLAIRE 3.5. — Soit K un corps et soient P1 , P2 , . . . , Pr ∈ K[X] des
polynômes, deux à deux premiers entre eux, et soient G1 , . . . , Gr des polynômes
quelconques. Alors il existe F ∈ K[X] tel que
F ≡ Gj
(mod Pj ),
pour j = 1, . . . , r.
De plus, un tel polynôme F est déterminé de façon unique modulo le
produit P1 · · · Pr .
Démonstration
On applique cette fois le théorème précédent au cas où A = K[X], Ij = Pj A pour
j = 1, . . . , r. A ceci près, la démonstration est identique à celle du Corollaire 3.4.
Passons maintenant à la démonstration du théorème chinois.
Généralisant le cas où A = Z, nous considérons le morphisme naturel
n
Y
ϕ : A −→
(A/Ik ).
k=1
Il est clair que son noyau est égal à l’intersection I1 ∩ · · · ∩ In .
Il ne reste plus qu’à montrer que l’application ϕ est surjective. Choisissons des
éléments quelconques a1 , . . . , ar de A, nous devons montrer qu’il existe un élément
x de A vérifiant x ≡ ak (mod Ik ) pour 1 ≤ k ≤ n. Nous allons donner deux
démonstrations de ce fait.
1o)
Méthode de Lagrange
Soit k un indice, 1 ≤ k ≤ n. Comme étape préliminaire, on résoud d’abord les
systèmes particuliers
εi ≡ δij (mod Ij ),
pour 1 ≤ i ≤ n, où — comme d’habitude — δij désigne le célèbre symbole de
Kronecker :
½
1, si i = j,
δij =
0, sinon.
20
Par linéarité, cette étape préliminaire conduit ensuite facilement au résultat
général, en effet, il est facile de vérifier que la valeur
x=
n
X
ai εi
i=1
est bien une solution du système donné dans l’énoncé
x ≡ aj
(mod Ij ),
pour 1 ≤ j ≤ n.
Pour effectuer l’étape préliminaire, on peut aussi remarquer qu’il suffit de considérer
le cas i = 1, c’est à dire de résoudre le système
½
1 (mod I1 ),
ε1 ≡
0 (mod Ij ), pour 2 ≤ j ≤ n.
On applique le Lemme 3.2 avec les changements de notations suivants : r 7→ n − 1,
I 7→ I1 , I1 7→ I2 , . . . , Ir 7→ In . Nous voyons alors que l’on a la relation
\
I1 +
Ih = A;
h≥2
il existe donc un élément
ε1 ∈
Y
Ih ,
h≥2
tel que 1 − ε1 ∈ I1 . Et on a bien
½
1 (mod I1 ),
ε1 ≡
0 (mod Ij ),
2o)
pour 2 ≤ j ≤ n.
Méthode de Newton
On raisonne cette fois par récurrence sur n. Le cas n = 1 est trivial. Supposons
que n est ≥ 2 et que nous avons trouvé un élément x0 de A qui vérifie
x0 ≡ ak
(mod Ik ) pour 1 ≤ k < n .
Soit εn défini comme ci-dessus, on vérifie aussitôt que
x = x0 + εn (an − x0 )
est une solution de notre problème.
Remarque
La méthode de Newton possède deux avantages sur celle de Lagrange. Si on ajoute
une contrainte, il n’est pas nécessaire de reprendre les calculs, ce qui est par contre
le cas pour la méthode de Lagrange. De plus, à tout instant on utilise un nombre
minimal des idéaux Ij , d’où des calculs plus simples (et plus stables dans le cas
numérique).
3. LE THÉORÈME CHINOIS
21
COROLLAIRE 3.6. — Soit A un anneau et soient I1 , . . . , In des idéaux de cet
anneau. Alors, les assertions suivantes sont équivalentes :
Qn
(i)
A∼
k=1 (A/Ik ).
(ii)
Il existe e1 , . . . , en dans A tels que
eh 2 = eh
et
e1 + · · · + en = 1 et
eh ek = 0 ,
1 ≤ h < k ≤ n,
Ik = (1 − ek )A ,
1 ≤ k ≤ n,
où la notation λA désigne l’ensemble des éléments λx, où x parcourt A.
(iii)
Les idéaux considérés vérifient
Ih + Ik = A
si
1≤h<k≤n
et
I1 ∩ · · · ∩ In = {0} .
Démonstration
(i) =⇒ (ii) : Si ϕ est l’isomorphisme indiqué dans (i), nous n’avons qu’à prendre
ek = ϕ−1 (δ1k , . . . , δnk ) .
La vérification est facile, et laissée au lecteur.
(ii) =⇒ (iii) : Un élément e de A tel que e2 = e est appelé un idempotent de cet
anneau. Comme 1 − eh appartient à Ih et que eh = eh (1 − ek ) appartient à Ik ,
nous obtenons Ih + Ik = A si h 6= k. De plus,
r
Y
(1 − ek ) = 1 − (e1 + · · · + er ) = 0 =⇒ I1 ∩ · · · ∩ In = {0} .
k=1
(iii) =⇒ (i) : Appliquer directement le Théorème 3.3 dans le cas particulier où
I1 ∩ · · · ∩ In = {0}.
On en déduit le résultat classique suivant, comme cas particulier du théorème
chinois.
THEOREME 3.7. (polynôme d’interpolation de Lagrange) — Soit K un corps,
soient x0 , x1 , . . . , xn des éléments deux à deux distincts de K, et soient y0 , y1 ,
. . . , yn des éléments quelconques de K. Alors il existe un polynôme F et un seul
appartenant à K[X], de degré au plus égal à n et tel que
F (xi ) = yi ,
pour 0 ≤ i ≤ n.
Il est donné par la formule
F = y0
(X − x1 )(X − x2 ) · · · (X − xn )
(X − x0 )(X − x2 ) · · · (X − xn )
+ y1
+ ...
(x0 − x1 )(x0 − x2 ) · · · (x0 − xn )
(x1 − x0 )(x1 − x2 ) · · · (x1 − xn )
22
Démonstration
On applique le Théorème 3.3 avec A = K[X], I0 = (X −x0 )A, . . . , In = (X −xn )A.
Le fait que Ih + Ik = A pour h 6= k résulte de la relation évidente
X − xk
X − xh
−
= 1.
xk − xh
xk − xh
Le théorème conduit à l’isomorphisme
K[X]/(X − x0 ) · · · (X − xn )A ∼
n
Y
K[X]/(X − xj )A.
j=0
Ainsi, le morphisme naturel
ϕ : K[X] →
n
Y
K[X]/(X − xj )A
j=0
est surjectif, il existe donc G ∈ K[X] tel que
G ≡ yj
(mod X − xj ) pour 0 ≤ j ≤ n.
En effet, par division euclidienne,
G = cj + Qj (X − xj ),
où cj ∈ K et Qj ∈ K[X],
ce qui implique clairement
G(xj ) = yj .
[On a utilisé le fait que, par définition, G(xj ) désigne la “valeur” de G(X) quand
on substitue xj à X.] Ensuite, par division euclidienne, on peut écrire
G = Q(X − x0 )(X − x1 ) · · · (X − xn ) + F
avec F = 0 ou deg F ≤ n. D’où l’existence de F puisque F (xj ) = G(xj ) pour
0 ≤ j ≤ n. L’unicité de F résulte du fait que le noyau de ϕ est égal à l’idéal
(X − x0 ) . . . (X − xn )A.
Pour démontrer la dernière assertion (formule de Lagrange), on voit d’abord que
le polynôme donné vérifie bien F (xj ) = yj pour 0 ≤ j ≤ n et qu’il est de degré au
plus égal à n. Puis on conclut grâce à l’unicité de F .
Exemples
1) Méthode de la sécante
On considère une fonction f continue définie dans un intervalle [a, b] de la droite
réelle et vérifiant f (a)f (b) < 0. On cherche à trouver une valeur approchée d’une
solution ξ ∈ [a, b] de l’équation f (ξ) = 0. On remplace pour cela la¡ courbe¢ de
la fonction
¡
¢f par la droite D passant par les deux points A = a, f (a) et
B = b, f (b) , la “sécante”. L’équation de la droite D est donc de la forme y = F (x)
où F est un polynôme de degré un qui vérifie F (a) = f (a) et F (b) = f (b). D’après
le théorème, on a
X −a
X −b
+ f (b)
.
F = f (a)
a−b
b−a
3. LE THÉORÈME CHINOIS
23
L’intersection entre D et l’axe des x fournit alors une approximation pour ξ donnée
par la résolution en X de l’équation F = 0, soit
af (b) − bf (a)
x=
.
f (b) − f (a)
2) Méthode de Műller
On considère une fonction f comme dans l’exemple précédent. On remplace cette
fois la¡ courbe ¢de la fonction
f¢ par une ¡parabole
¡
¢ P passant par les trois points
A = a, f, (a) , B = b, f (b) et C = c, f (c) , où c est un certain point de
l’intervalle ]a, b[. L’équation de P est donc de la forme y = F (x) où F est
un polynôme de degré au plus deux qui vérifie F (a) = f (a), F (b) = f (b) et
F (c) = f (c). D’après le théorème, on a
(X − b)(X − c)
(X − a)(X − c)
(X − a)(X − b)
+ f (b)
+ f (c)
.
(a − b)(a − c)
(b − a)(b − c)
(c − a)(c − b)
La méthode de Newton permet un calcul plus pratique de F . Pour trouver P
passant par les points A, B et C on pose a priori
F = f (a)
F = α + β(X − a) + γ(X − a)(X − b),
avec α, β et γ éléments inconnus de K. En écrivant les conditions en ces trois
points, on obtient successivement les relations
F (a) = f (a) = α,
F (b) = f (b) = α + β(b − a),
F (c) = f (c) = α + β(c − a) + γ(c − a)(c − b),
ce qui correspond à un système linéaire triangulaire en α, β et γ dont la résolution
est presque immédiate : on trouve d’abord trivialement α = f (a) puis
f (b) − f (a)
,
b−a
¡
¢
f (c) − f (a) − (c − a) f (b) − f (a)/(b − a)
γ=
(c − a)(c − b)
f (c) − f (a)
f (b) − f (a)
=
+
.
(c − a)(c − b) (a − b)(c − b)
β=
Par exemple, pour f (x) = x3 − 2, a = 0, b = 1 et c = 2 on obtient
α = −2,
β = 1,
γ = 2;
d’où
F = −2 + X + 2X(X − 1) = −2 − X + 2X 2 .
L’un des points d’intersection entre la parabole P et l’axe des x fournit alors une
approximation pour la racine ξ. Nous laissons au lecteur, en guise d’exercice, le
calcul explicite de la solution en X de l’équation
F = 0 appartenant à l’intervalle
√
]a, b[. Ici on trouve la valeur approchée (1 + 17)/4 = 1.2807 . . . alors que la valeur
exacte est 21/3 = 1.25921 . . .
Le polynôme d’interpolation de Lagrange se généralise au polynôme d’interpolation
d’Hermite, que nous présentons dans son cadre le plus large et qui apparaı̂t aussi
comme un cas particulier d’application du théorème chinois.
24
THEOREME 3.8. (polynôme d’interpolation d’Hermite, version générale
formelle) — Soit K un corps et soient x1 , . . . , xk des éléments deux à deux distincts
de K, soient m1 , . . . , mk des entiers positifs, on pose n = m1 + · · · + mk − 1. On
se donne k polynômes quelconques F1 , . . . , Fk ∈ K[X] avec deg Fj < mj pour
1 ≤ j ≤ k. Alors, il existe un polynôme F et un seul ∈ K[X], de degré au plus
égal à n et tel que
F ≡ Fj
mod (X − xj )mj ,
pour 1 ≤ j ≤ k.
Démonstration
On applique à nouveau le Théorème 3.3 avec A = K[X], mais avec cette fois les
choix suivants
I1 = (X − x1 )m1 A, . . . , Ik = (X − xk )mk A.
Pour démontrer que l’on a Ih + Ik = A pour tout h 6= k, d’après Bézout il suffit de
vérifier que les polynômes (X − xh )mh et (X − xk )mk sont premiers entre eux. On
conclut alors comme dans le théorème précédent.
Le fait que les polynômes (X − xh )mh et (X − xk )mk sont premiers entre eux pour
tout xh 6= xk est un cas particulier de la Proposition ci-dessous.
PROPOSITION 3.9. — Soient a et b deux éléments d’un anneau A tels qu’il
existe deux éléments u et v ∈ A vérifiant
au + bv = 1.
Alors, pour tout couple d’entiers m et n positifs, les éléments am et bn sont
premiers entre eux.
Démonstration
Soient donc a, b, u, v ∈ A tels que au + bv = 1. Alors on a
(au + bv)m+n−1
m−1
m+n−1
X µn + m − 1¶
X µn + m − 1¶
j m+n−1−j
=
a b
+
aj bm+n−1−j
j
j
j=0
j=m




m+n−1
m−1
X¡
X ¡
¢
¢
n+m−1 j m−1−j  n
n+m−1 j−m m+n−1−j  m
b +
a
b
a
=
a b
j
j
j=0
j=m
= U am + V bn = 1.
On voit donc que am et bn sont premiers entre eux.
COROLLAIRE 3.10. — Soient a et b deux éléments distincts d’un corps K,
alors, pour tout couple d’entiers m et n positifs, les polynômes (X −a)m et (X −b)n
sont premiers entre eux.
4. FACTORISATION
25
Démonstration
On applique le Lemme 3.2 au cas où A = K[X] en faisant les substitutions
a 7→ X − a et b 7→ X − b. Noter que, les polynômes X − a et X − b vérifient bien
une relation de Bézout.
Profitons de cet interlude pour démontrer plusieurs résultats dans la même veine
que la Proposition 3.9.
PROPOSITION 3.11. — Soit A un anneau principal et soient x1 , . . . , xn et
y ∈ A tels que p.g.c.d.(xi , y) = 1 pour 1 ≤ i ≤ n. Alors les éléments x1 · · · xn et y
sont premiers entre eux.
Démonstration
L’hypothèse implique (relation de Bézout) qu’il existe des éléments ui et vi de A
tels que
ui xi + vi y = 1,
pour 1 ≤ i ≤ n. Alors
n
Y
1=
(ui xi + vi y) = (u1 · · · un ) x1 · · · xn + V y.
i=1
On voit donc que x1 · · · xn et y sont premiers entre eux.
PROPOSITION 3.12. (théorème d’Euclide-Gauß) — Soit A un anneau
principal et soient a, b et c ∈ A tels que a divise bc et p.g.c.d. (a, b) = 1 alors a
divise c.
Démonstration
L’hypothèse implique (Bézout) qu’il existe des éléments u et v de A tels que
ua + vb = 1.
D’autre part, bc = ad pour un certain d ∈ A. Donc
c = c(ua + vb) = a(uc) + v(bc) = a(uc + db),
ce qui montre que a divise c.
PROPOSITION 3.13. (théorème d’Euclide-Gauß) — Soient b et c deux
éléments premiers entre eux et appartenant à un anneau principal A et soit a
un élément de A divisible à la fois par b et par c. Alors l’élément a est divisible par
le produit bc.
Démonstration
L’hypothèse implique (Bézout) qu’il existe des éléments u et v de A tels que
ub + vc = 1. D’autre part, a = a0 b = a00 c, donc
a = aub + avc = a00 ubc + a0 vbc,
ce qui montre que a est bien divisible par bc.
26
4. Factorisation
Dans cette Section, A est un anneau intègre. Un élément x non nul de A est dit
irréducible si, et seulement si, l’anneau quotient A/xA est un anneau intègre.
Exemple
Dans Z, les éléments irréductibles sont les nombres ±p, où p est un nombre premier
[c’est-à-dire que p est > 1 et qu’il n’admet que 1 et lui-même comme diviseurs],
comme on le vérifie aussitôt. Un entier n > 1 non premier est dit composé.
En particulier, un polynôme P appartenant à K[X] est irréducible si, et seulement
si, l’anneau quotient K[X]/(P ) est un anneau intègre, ce qui impose à P de ne pas
être constant. Un polynôme non constant et non irréducible est dit réducible.
Remarque
Soit A un anneau intègre, on voit aussitôt qu’un polynôme unitaire de degré un
est toujours irréductible.
Définition. — Deux éléments x et y de A sont dits associés si, et seulement si,
il existe un élément inversible u de A (i.e. une unité de A) tel que x = uy.
En particulier, deux polynômes F et G appartenant à A[X] sont associés si, et
seulement si, il existe une unité u de l’anneau A telle que F = u G.
Exemple
Dans l’anneau Z les unités sont ±1, dans K[X] ce sont les constantes non nulles.
Dans le cas d’un anneau A principal, grâce à la relation de Bézout, nous avons le
résultat suivant.
PROPOSITION 4.1. — Soit A un anneau principal et soit x un élément de A,
alors il y a équivalence entre :
(i)
x est irréductible,
(ii)
tout diviseur de x est soit une unité, soit associé à x,
(iii)
l’anneau quotient A/xA est un corps.
Démonstration
i) =⇒ ii) : On raisonne par l’absurde, c’est immédiat.
ii) =⇒ iii) : On suppose que x vérifie ii) et on considère y ∈ A non divisible par x,
c’est à dire dont la classe ȳ modulo xA n’est pas nulle. Alors le pgcd de x et de y
est un diviseur de x et ce n’est pas x (sinon ȳ = 0) donc x et y sont premiers
entre eux. D’après Bézout, il existe u et v appartenant à A tels ux + by = 1. Dans
l’anneau quotient A/xA ceci s’écrit ūȳ = 1, donc ȳ est inversible et cet anneau est
bien un corps.
iii) =⇒ i) : C’est trivial.
COROLLAIRE 4.2. — Dans Z les éléments irréductibles sont les ±p, avec p
premier. De plus, si p ∈ N est un nombre premier, alors l’anneau quotient Z/pZ
est un corps, que l’on note souvent Fp .
4. FACTORISATION
27
Remarque
Dans Z tout nombre a non nul admet un diviseur premier : prendre un diviseur
positif de a qui est minimal.
COROLLAIRE 4.3. — Un polynôme P de K[X] est irréducible si, et seulement
si, le degré de P est positif (c’est-à-dire, P n’est pas constant) et si P ne possède
aucun diviseuur Q tel que 0 < deg (Q) < deg (P ). De plus, si P ∈ K[X] est un
polynôme irréductible, alors l’anneau quotient K[X]/(P ) est un corps.
Remarque
Tout polynôme F de K[X] de degré positif admet un diviseur irréducible : prendre
un diviseur de F de degré positif minimal.
Cette remarque et la précédente se généralisent de la façon suivante.
PROPOSITION 4.4. — Soit A un anneau principal, et soit a un élément non
nul de A qui n’est pas une unité, il existe alors un élément p irréductible de A qui
divise a.
Démonstration
Soit a un élément de A comme dans l’énoncé. Considérons la famille F des idéaux
propres (c’est-à-dire différents de A) de A qui contiennent a. Par hypothèse l’idéal
aA appartient à F, qui n’est donc pas vide. Si on considère une suite croissante
maximale d’éléments de F alors son union I est de toute évidence un idéal propre
de A qui contient a. Puisque A est principal, I est engendré par un élément p
de A, qui divise A. On voit aussitôt que supposer p réductible conduit à une
contradiction. D’où le résultat. [Le lecteur averti aura noté que ce raisonnement
utilise l’axiome de Zorn.]
Comme dans le cas des entiers, et en utilisant toujours la relation de Bézout, dans
un anneau principal tout élément se décompose de façon unique en un produit
d’éléments irréductibles. L’énoncé précis est le suivant.
THEOREME 4.5. — Soit A un anneau principal et soit a un élément non nul
de A. Alors il existe une unité u de A, un entier k ≥ 0 ainsi que des éléments p1 ,
. . . , pk de A, irréductibles, deux à deux non associés et tels que
a=u
k
Y
pri i ,
avec ri ≥ 1 pour 1 ≤ i ≤ k.
i=1
De plus, si
a=v
l
Y
q j sj ,
avec sj ≥ 1 pour 1 ≤ j ≤ l,
j=1
où v est une unité, l un entier ≥ 0 et les qj des éléments irréductibles de A deux
à deux non associés, alors on a k = l et il existe une permutation σ de l’ensemble
{1, . . . , k} telle que
sσ(i) = ri
et
qσ(i) est associé à pi
pour i = 1, . . . , k. Par abus de langage, on parle d’unicité de la factorisation.
28
Démonstration
L’existence de la factorisation peut se démontrer en utilisant un argument analogue
à celui de la preuve de la proposition précédente. Supposons que la famille F des
idéaux principaux non nuls bA qui n’admettent pas de factorisation soit non vide
(sinon, on a gagné). Considérons alors une chaı̂ne croissante maximale d’idéaux de
F. Comme plus haut, l’union de ces idéaux est un idéal principal, disons cA, de
A. Par hypothèse, tout idéal de A contenant strictement cA est engendré par un
élément admettant une factorisation. Du fait que c n’admet pas de factorisation,
il n’est pas irréductible. On peut donc écrire c = dd0 , où dA et d0 A contiennent
strictement cA. Il en résulte que d et d0 admettent une factoirisation ; donc aussi c.
Contradiction. [Bien sûr, si A = Z ou A = K[X], il suffit d’un argument beaucoup
plus élémentaire : on raisonne respectivement par récurrence sur |a| ou sur le
degré.]
Passons à la preuve de l’unicité. Supposons donc que l’on ait deux décompositions
k
Y
a=u
pri i ,
avec ri ≥ 1 pour 1 ≤ i ≤ k,
i=1
et que
a=v
l
Y
q j sj ,
avec sj ≥ 1 pour 1 ≤ j ≤ l,
j=1
comme dans l’énoncé. Une première application de la Proposition 3.11 montre
que p1 est nécessairement associé à l’un des qj , disons à q1 , quitte à changer la
numérotation des qj . La même proposition permet ensuite de montrer que r1 = s1 .
On est ainsi ramené à une relation plus courte de la forme
u
k
Y
pri i = w
i=2
l
Y
qj sj ,
j=2
où w est une unité et les ri , sj sont positifs. On peut donc raisonner par récurrencce
sur k. D’où le résultat.
COROLLAIRE 4.6. — Soit a un entier rationnel non nul. Alors il existe un
entier k ≥ 0 et des nombres premiers p1 , . . . , pk deux à deux distincts tels que
a=±
k
Y
pri i ,
avec ri ≥ 1 pour 1 ≤ i ≤ k.
i=1
De plus, si
a=±
l
Y
q j sj ,
avec sj ≥ 1 pour 1 ≤ j ≤ l,
j=1
où l est un entier ≥ 0 et les qj des nombres premiers deux à deux distincts, alors
on a k = l et il existe une permutation σ de l’ensemble {1, . . . , k} telle que
sσ(i) = ri
pour i = 1, . . . , k.
et
qσ(i) = pi
5. FONCTIONS POLYNÔMES
29
COROLLAIRE 4.7. — Soit K un corps et soit F un polynôme non nul
appartenant à K[X]. Alors il existe un élément u ∈ K, un entier k ≥ 0 et des
polynômes P1 , . . . , Pk irréductibles deux à deux non associés de K[X] tels que
F =u
k
Y
Piri ,
avec ri ≥ 1 pour 1 ≤ i ≤ k.
i=1
De plus, si
l
Y
F =v
Qj sj ,
avec sj ≥ 1 pour 1 ≤ j ≤ l,
j=1
où v ∈ K, l est un entier ≥ 0 et les Qj des polynômes irréductibles de K[X] deux
à deux non associés, alors on a k = l et il existe une permutation σ de l’ensemble
{1, . . . , k} telle que
sσ(i) = ri
et
Qσ(i) est associé à Pi
pour i = 1, . . . , k.
Remarques
1) Un anneau intègre A pour lequel le théorème précédent est vrai est appelé
anneau factoriel. On peut démontrer que si A est un anneau factoriel alors A[X]
l’est aussi. Par exemple, Z[X], Z[X1 , . . . , Xn ], K[X1 , . . . , Xn ] sont donc factoriels.
Nous ne démontrerons pas ce résultat dans ce cours.
2) Si A est un anneau factoriel et si a et b sont deux éléments non nuls de A dont
on connaı̂t une factorisation,
a=u
k
Y
pri i ,
avec ri ≥ 0 pour 1 ≤ i ≤ k.
pi si ,
avec si ≥ 0 pour 1 ≤ i ≤ k,
i=1
et
k
Y
b=v
i=1
où u et v sont des unités et les pi des éléments irréductibles de A deux à deux non
associés, alors “le” pgcd de a et b est défini et vérifie
p.g.c.d. (a, b) =
k
Y
ptii ,
avec ti = min{ri , si } pour 1 ≤ i ≤ k.
i=1
De même le ppcm de a et b est défini et vérifie
p.p.c.m.(a, b) =
k
Y
i
pm
i ,
avec mi = max{ri , si } pour 1 ≤ i ≤ k.
i=1
Exercice (Euclide)
Montrer que si A = Z ou K[X] alors A contient une infinité d’éléments
irréductibles. [Indication : si p1 , p2 , . . . , pn sont des éléments irréductibles,
considérer p1 p2 · · · pn + 1.] Généraliser ce résultat au cas où A est un anneau
principal infini.
30
5. Fonctions polynômes
1. Définitions
Soit F un polynôme dans X1 , . . . , Xn à coefficients dans un anneau A, et soit
X
F =
ai1 ,...,in X1 i1 . . . Xn in ,
et soit B un anneau dont A est un sous-anneau. Alors, nous définissons la fonction
polynôme
Fe : B n −→ B
par
Fe(b1 , . . . , bn ) =
X
ai1 ,...,in b1 i1 . . . bn in .
Nous disons que nous avons substitué la valeur bi à la variable Xi et, pour simplifier
les notations, nous écrirons souvent F (b1 , . . . , bn ) au lieu de Fe(b1 , . . . , bn ). On dit
aussi que F (b1 , . . . , bn ) est la valeur du polynôme F au point (b1 , . . . , bn ).
Les propriétés suivantes sont évidentes
e
Fg
+ G = Fe + G,
e
Fg
· G = Fe · G,
ag
· F = a · Fe, si a ∈ A.
Attention : L’application F 7→ Fe n’est pas toujours injective, par exemple, si
A = Z/2Z, pour le polynôme F = X 2 − X on a Fe(a) = 0 pour tout élément a ∈ A.
Mais, pour A[X], l’application F 7→ Fe est injective lorsque A est un anneau intègre
infini (voir le corollaire du Théorème 5.6 ci-dessous). Ainsi, quand A est un anneau
intègre infini, on peut confondre sans inconvénient un polynôme F ∈ A[X] et sa
fonction polynôme associée Fe : A → A.
2. Racines d’un polynôme
Si F ∈ A[X], un élément a of A est appelé racine de F si F (a) = 0. Nous disons
encore que a est un zéro du polynôme F .
PROPOSITION 5.1. — Soit F un polynôme à coefficients dans un anneau A
et soit a un élément de A. Alors le reste de la division euclidienne de F par le
polynôme X − a est égal à F (a).
En particulier, l’élément a est une racine de F si, et seulement si, le polynôme
X − a divise le polynôme F .
Démonstration
Si le résultat de la division euclidienne de F par X − a est F = (X − a) Q + b, où
b appartient à A, la substitution de X par a donne b = F (a).
Donc, par définition, a est une racine de F si, et seulement si, F (a) est égal à zéro.
D’où la seconde assertion.
5. FONCTIONS POLYNÔMES
31
Le résultat d’algèbre abstraite suivant nous sera utile plus tard.
THEOREME 5.2. — Soit F ∈ K[X] un polynôme à coefficients dans un
corps K, alors il existe un corps L dont K est un sous-corps tel que F admette au
moins une racine dans le corps L. [On dit parfois que L est un corps de rupture du
polynôme F .]
Démonstration
Il est clair qu’il suffit de démontrer le résultat pour un facteur irréductible P de F .
Nous savons alors que l’anneau quotient K[X]/(P ) est un corps, que l’on notera
L, dont K est de toute évidence un sous-corps. Si x ∈ L désigne l’image de X par
le morphisme naturel ϕ : K[X] → K[X]/(P ), on a la relation
¡
¢
P (x) = ϕ P (X) = 0.
D’où le résultat.
Exemples
1) Prenons K = R et F = X 2 + 1, qui est irréductible sur R. On trouve
L = R/(X 2 + 1) qui correspond au corps C des nombres complexes : si on note i
l’image de X, alors i2 + 1 = 0.
2) Prenons maintenant K = Q le corps des rationnels et le polynôme F = X 2 − 2
qui est irréductible sur le √
corps Q. On √
trouve L = Q/(X 2 − 2) qui correspond au
corps quadratique réel Q[ 2] = {x + y 2 ; x, y ∈ Q}.
COROLLAIRE 5.3. — Soit F ∈ K[X] un polynôme non constant à coefficients
dans un corps K, alors il existe un corps L dont K est un sous-corps tel que F soit
égal à un produit de facteurs linéaires dans L. [On dit parfois que L est un corps
de décomposition du polynôme F .]
Démonstration
On raisonne par récurrence sur le degré de F en appliquant le théorème. Le détail
de la démonstration ne présente aucune difficulté.
3. Multiplicité d’une racine
Si F ∈ A[X], un élément a de A est appelé racine d’ordre k de F si le polynôme F
est divisible par (X − a)k mais pas par (X − a)k+1 ; si k ≥ 1, nous disons que k
est la multiplicité de la racine a, ou encore l’ordre du polynôme F au point a. Pour
k > 1 on dit que a est une racine multiple du polynôme. (Par la Proposition 5.1,
cette terminologie est cohérente avec celle de la section précédente.)
L’ordre d’une racine peut être caractérisé par le résultat suivant.
PROPOSITION 5.4. — Soit F un polynôme à coefficients dans A et soit a un
élément de A. Alors a est une racine d’ordre k de F si, et seulement si, il existe un
polynôme G à coefficients dans A tel que
F = (X − a)k G et
G(a) 6= 0 .
32
Démonstration
Si a est une racine d’ordre k de F , alors (X − a)k divise F . Soit G le quotient. Si
l’élément a était une racine de G, alors (X − a)k+1 diviserait le polynôme F , donc
G(a) est non nul. La réciproque est évidente.
COROLLAIRE 5.5. — Soit A un anneau quelconque et soit F ∈ A[X] un
polynôme non nul. Alors toute racine de F dans A a un ordre au plus égal au degré
de F .
Démonstration
Comme (X − a)k est unitaire, la relation F = (X − a)k G implique deg F =
k + deg G. D’où la conclusion.
Plus généralement, la proposition a la conséquence suivante.
THEOREME 5.6. — Soit A un anneau intègre et soit F ∈ A[X] un polynôme
non nul. Alors la somme des multiplicités des racines de F appartenant à A est au
plus égale au degré de F . Donc, en particulier, le nombre de racines de F est au
plus égal au degré de F .
Démonstration
Considérons un polynôme F non nul et à coefficients dans A. Soit a une racine
de F et soit m sa multiplicité. On a donc F = (X − a)m G avec G(a) 6= 0 et
m ≤ deg F . Si b est une autre racine de F et n sa multiplicité, alors
0 = F (b) = (b − a)m G(b),
et comme A est intègre, on a G(b) = 0, donc b est racine de G. De manière plus
précise, (X − b)n divise F = (X − a)m G et on a vu que (X − a)m et (X − b)n sont
premiers entre eux, ce qui implique l’existence de polynômes U et V ∈ A[X] et
d’un élément c non nul de A tels que
U · (X − a)m + V · (X − b)n = c.
[Appliquer Bézout dans K[X], où K est le corps des fractions de A, et
multiplier cette relation par “un dénominateur commun” c pour obtenir une
relation
dans A.
Autre preuve plus directe : en développant la relation
¡
¢m+n−1
(X −a)−(X −b)
= (b−a)m+n−1 on voit qu’il existe U et V ∈ A[X] tels que
U (X − a)m + V (X − b)n = (b − a)m+n−1 , donc (b − a)m+n−1 G = U F + V (X − b)n G
si bien que le produit (b − a)m+n−1 G est divisible par (X − b)n , d’où le fait que
(X − b)n divise G pourvu que b − a ne soit pas un diviseur de zéro dans A.]
En multipliant la relation précédente par G, on voit que (X − b)n divise c G, donc
aussi G. Ainsi b est une racine d’ordre n de G.
Soient plus généralement a1 , . . . , ak des racines de F de multiplicités respectives
égales à r1 , . . . , rk . Grâce à k − 1 applications du raisonnement précédent, nous
voyons que le polynôme F peut s’écrire
r
rk
F = (X − a1 ) 1 · · · (X − ak )
H(X) ,
5. FONCTIONS POLYNÔMES
33
où H est un polynôme à coefficients dans A. D’où l’inégalité
r1 + · · · + rk ≤ deg (F ) ,
qui prouve le résultat.
COROLLAIRE 5.7. — Si A est un anneau intègre infini et si F ∈ A[X]
s’annule pour tout a appartenant à A, alors le polynôme F est égal à zéro. En
d’autres termes, lorsque A est un anneau intègre infini, l’application F 7→ Fe est un
morphisme injectif, qui permet donc d’identifier F et la fonction Fe : A → A.
Exemple
Si on prend l’anneau A = Z/6Z et que l’on considère le polynôme F = X 3 − X,
on vérifie aussitôt que F s’annule en tout point de A. Le Théorème 5.6 n’est donc
plus vrai si on ne suppose pas A intègre.
4. Dérivées et racines, formule de Taylor
Si F = a0 + a1 X + · · · + am X m , la dérivée (formelle) du polynôme F est définie
par la formule
F 0 = a1 + 2a2 X + · · · + mam X m−1 .
Cette dérivation possède les propriétés usuelles :
(F + G)0 = F 0 + G0 ,
(F G)0 = F 0 G + F G0 ,
(a F )0 = a F 0 ,
si a ∈ A.
Démonstration
Seule la seconde propriété n’est pas complètement immédiate, démontrons-là.
Comme l’application (F, G) 7→ (F · G)0 de A[X] × A[X] dans A[X] est bilinéaire
[ce qui signifie qu’elle est additive par rapport à chacune des variables et que
(aF · G)0 = (F · aG)0 = a(F · G)0
pour tout a ∈ A], il suffit de vérifier cette formule lorsque F et G sont tous deux
des monômes unitaires, disons F = X m et G = X n . On a alors, à gauche
(X m+n )0 = (m + n)X m+n−1 ,
et à droite
(X m )0 · X n + X m · (X n )0 = mX m−1 · X n + X m (nX n−1 ) = (m + n)X m+n−1 ,
d’où le résultat.
PROPOSITION 5.8. — Si a ∈ A est une racine multiple de F ∈ A[X] alors
F (a) = F 0 (a) = 0 et réciproquement.
34
Démonstration
¡
¢
Si F = (X − a)2 G alors F 0 = (X − a) 2G + (X − a)G0 , d’où la partie directe.
Réciproquement, si F (a) = F 0 (a) = 0 alors F est de la forme F = (X − a)G avec
F 0 = (X − a)G0 + G,
si bien que F 0 (a) = 0 implique G(a) = 0. Ainsi G = (X − a)H et F = (X − a)2 H,
ce qui montre que a est bien une racine multiple de F .
De façon plus générale, pour k ≥ 0, on pose
F {0} = F,
F {1} = F 0
et si F = a0 + a1 X + · · · + an X n alors
n µ ¶
X
j
{k}
F
=
aj X j−k
k
j=k
pour k ≥ 1 ; et on appelle parfois F {k} l’hyperdérivée d’ordre k de F .
On vérifie alors aussitôt que, pour tout k ≥ 0 on a
(F + G){k} = F {k} + G{k} ,
(aF ){k} = aF {k} ,
pour tout a ∈ A. On a aussi (“règle de Leibnitz”)
k µ ¶
X
k
{k}
(F · G)
=
F {j} · G{k−j} ,
j
j=0
dont la démonstration est laissée en exercice au lecteur. [Raisonner en utilisant,
comme plus haut, la bilinéarité de l’application (F, G) 7→ (F · G){k} .]
Dans le cas d’une variable la formule de Taylor peut s’énoncer comme suit.
THEOREME 5.9. — Soit A un anneau et soit F ∈ A[X] un polynôme de degré
au plus n. Si Y est une nouvelle variable (qui commute avec X), alors F (X + Y )
vérifie la relation, appelée formule de Taylor,
F (X + Y ) = F (X) + Y F {1} (X) + Y 2 F {2} + · · · + Y n F {n} (X) .
Démonstration
Les deux membres de la formule précédente sont linéaires par rapport à F , en
particulier en raison de la linéarité des applications F 7−→ F {k} . Il suffit donc de
prouver le résultat quand F = X m , pour m ≤ n. Dans ce cas, on a à gauche
m µ ¶
X
m
m
F (X + Y ) = (X + Y ) =
Y k X m−k ,
k
k=0
et à droite
X
m
+ mY X
m−1
µ ¶
m
+
Y 2 X m−2 + · · · + Y m ,
2
d’où la conclusion.
COROLLAIRE 5.10. — Soit A un anneau et soient a un élément de A et
F ∈ A[X] un polynôme de degré n. Alors
n
X
F (X) =
(X − a)k F {k} (a) .
k=0
5. FONCTIONS POLYNÔMES
35
Démonstration
Cette formule s’obtient en effectuant les substitutions X 7→ a et Y 7→ X − a dans
le théorème précédent.
COROLLAIRE 5.11. — Un élément a de A est racine d’ordre k d’un polynôme
F ∈ A[X] non nul si, et seulement si, on a les relations
F (a) = . . . = F {k−1} (a) = 0
et F {k} (a) 6= 0.
Démonstration
Ceci résulte facilement du Corollaire 5.10 ci-dessus puisque ce résultat montre que
le polynôme (X − a)h divise F (X) si, et seulement si, on a la suite de relations
F (a) = . . . = F {h−1} (a) = 0.
Nous avons besoin d’introduire une définition. Soit A un anneau, considérons le
morphisme naturel ϕ de Z dans A défini complètement par le fait qu’il envoie
1 ∈ Z sur l’unité de l’anneau A. Soit nZ le noyau de ϕ, alors n est appelée la
caractéristique de l’anneau A et donc Z/nZ est isomorphe à l’image de ϕ dans A.
En particulier, si A est de caractéristique zéro, l’ensemble Z des entiers rationnels
s’identifie à un sous-anneau de A. Si A est intègre alors Z/nZ est aussi intègre, ce
qui montre que la caractéristique d’un anneau intègre est soit zéro, soit un nombre
premier p ; en particulier, la caractéristique d’un corps est soit zéro, soit un nombre
premier p.
Dans le cas d’un corps de caractéristique zéro, la formule de Taylor montre que
l’ordre d’une racine peut être caractérisé par la dérivation.
Nous devons d’abord revenir à la définition des dérivées usuelles. Pour k ≥ 0, on
pose
F (0) = F, F (1) = F 0
et si F = a0 + a1 X + · · · + an X n alors
F
(k)
= (F
(k−1) 0
) =
n
X
j(j − 1) · · · (j − k + 1)aj X j−k
j=k
pour k ≥ 1 ; et on appelle F (k) la dérivée d’ordre k de F . Alors, pour tout k ≥ 0
on a
(F + G)(k) = F (k) + G(k) ,
(aF )(k) = aF (k) ,
pour tout a ∈ A. On a aussi (“règle de Leibnitz”)
k µ ¶
X
k
(k)
(F · G) =
F (j) · G(k−j) .
j
j=0
36
Toutes ces formules se déduisent aussitôt de celles concernant les hyperdérivées,
compte-tenu de la relation évidente
F (k) = k! F {k} ,
qui s’écrit aussi
1 (k)
F ,
k!
lorsque A = K est un corps de caractéristique zéro, ce qui — joint au Corollaire 5.11
ci-dessus — donne aussitôt le résultat suivant.
F {k} =
COROLLAIRE 5.12. — Soit F ∈ A[X] un polynôme non nul et soit a ∈ A,
anneau de caractéristique zéro. Alors a est une racine d’ordre k de F si, et
seulement si, on a les relations
F (a) = . . . = F (k−1) (a) = 0
et F (k) (a) 6= 0.
De la même manière on peut aussi reformuler la formule de Taylor et le
Corollaire 5.10 ci-dessus en termes de dérivées.
COROLLAIRE 5.13. — Soit K un corps de caractéristique zéro et soit
F ∈ K[X] un polynôme de degré au plus n. Si Y est une nouvelle variable
(qui commute avec X), alors F (X + Y ) vérifie la relation, appelée formule de
Taylor,
1
1
F (X + Y ) = F (X) + Y F {1} (X) + Y 2 F (2) + · · · + Y n F (n) (X) .
2
n!
COROLLAIRE 5.14. — Soit K un corps de caractéristique zéro et soient a un
élément de K et F ∈ K[X] un polynôme de degré n. Alors
n
X
1
F (X) =
(X − a)k F (k) (a) .
k!
k=0
Maintenant que nous avons introduit les notions de dérivées, nous pouvons donner
une version usuelle du théorème d’interpolation d’Hermite. Ce théorème, ainsi
que le théorème d’interpolation de Lagrange, joue un rôle important en Analyse
Numérique et en CAO (conception assitée par ordinateur), domaines où l’on
cherche souvent à remplacer des fonctions compliquées par des approximations
plus faciles à calculer.
THEOREME 5.15. (polynôme d’interpolation d’Hermite, version générale) —
Soit K un corps et soient x1 , . . . , xk des éléments deux à deux distincts de K,
soient m1 , . . . , mk des entiers positifs, on pose n = m1 + . . . + mk − 1. On se donne
des valeurs
y1,0 , . . . , y1,m1 −1 , y2,0 , . . . , y2,m2 −1 , . . . , yk,0 , . . . , yk,mk −1 .
Alors, il existe un polynôme F ∈ K[X] et un seul, de degré au plus égal à n et tel
que
F {j} (xi ) = yi,j , pour 1 ≤ i ≤ k et 0 ≤ j < mk .
5. FONCTIONS POLYNÔMES
37
Démonstration
Pour 1 ≤ i ≤ k posons
Fi = yi,0 + yi,1 (X − xi ) + · · · + yi,mi −1 (X − xi )mi −1 .
On applique alors la version formelle du théorème d’Hermite avec ce choix des Fi .
Le fait que le polynôme F donné par ce théorème soit bien une solution de notre
problème résulte directement de la formule de Taylor.
Dans le cas habituel d’un corps de caractéristique zéro l’énoncé s’écrit comme suit.
COROLLAIRE 5.16. (polynôme d’interpolation d’Hermite, version classique)
— Soit K un corps de caractéristique zéro et soient x1 , . . . , xk des éléments
deux à deux distincts de K, soient m1 , . . . , mk des entiers positifs, on pose
n = m1 + · · · + mk − 1. On se donne des valeurs z1,1 , . . . , z1,m1 , z2,1 , . . . , z2,m2 ,
. . . , zk,1 , . . . , zk,mk . Alors, il existe un polynôme F et un seul appartenant à K[X],
de degré au plus égal à n et tel que
F (j−1) (xi ) = zi,j ,
pour 1 ≤ i ≤ k et 1 ≤ j ≤ mk .
Exemples
1) Méthode de Newton
On considère comme plus haut (méthode de la sécante et méthode de Műller)
une fonction f continue et dérivable définie dans un intervalle [a, b] de la droite
réelle et vérifiant f (a)f (b) < 0. On cherche à trouver une valeur approchée d’une
solution ξ ∈ [a, b] de l’équation f (ξ) = 0. On¡ remplace
¢ cette fois la courbe de la
fonction f par la droite T tangente au point a, f (a) à la courbe Γ représentant
f . L’équation de la droite T est donc de la forme y = F (x) où F est un polynôme
de degré un qui vérifie F (a) = f (a) et F 0 (a) = f 0 (a). On a
F = f 0 (a)(X − a) + f (a).
L’intersection entre T et l’axe des x fournit alors une approximation pour ξ donnée
par la résolution en X de l’équation F = 0, soit
x=a−
f (a)
.
f 0 (a)
Par exemple, pour f (x) = x2 − 2 et a = 3/2 on trouve
3 1/4
17
−
=
= 1,4166666 . . .
2
3
12
√
alors que la solution exacte est 2 = 1,414213562373095048 . . .. Mais, évidemment,
on peut réitérer ce processus avec x comme nouveau point de départ et on trouve
alors
577
= 1,414215 . . .
x1 =
408
qui est une approximation bien meilleure que la précédente.
x=
38
2) Méthode de “Műller-Newton”
On considère une fonction f comme dans l’exemple précédent. On remplace
cette ¡fois la courbe
de¡ la fonction
f par une parabole P passant par les points
¢
¢
A = a, f (a) , B = b, f (b) et tangente en A à la courbe Γ représentant f .
L’équation de P est donc de la forme y = F (x) où F est un polynôme de degré au
plus deux qui vérifie
F (a) = f (a),
F (b) = f (b) et
F 0 (a) = f 0 (a).
On cherche F sous la forme
F = α + β(X − a) + γ(X − a)2
et on trouve
α = f (a),
β = f 0 (a)
puis
γ=
f (b) − f (a) f 0 (a)
−
.
(b − a)2
b−a
On peut remarquer que ces formules se déduisent de celles de la méthode de
Műller en faisant tendre c vers a et en passant à la limite dans les expressions
correspondantes.
Par exemple, pour f (x) = x3 − 2, a = 1 et b = 2 on trouve
α = −1,
β = 3,
γ = 4;
d’où
F = −1 + 3(X − 1) + 4(X − 1)2 = 4X 2 − 5X.
L’intersection entre T et l’axe des x fournit alors une approximation pour ξ, à
savoir ξ ≈ 5/4 alors que ξ = 1.259921 . . .. On peut ensuite reprendre ce processus
avec par exemple avec a = 5/4 et b = 1. . .
6. Polynômes quadratfrei
Dans cette section, K est un corps (commutatif) quelconque.
1. Définitions et généralités
Soit K un corps et soit F un polynôme non nul à coefficients dans K. Nous disons
que F est sans facteur carré ou encore quadratfrei (en anglais squarefree) si F ne
possède que des racines simples dans tout corps contenant K.
Soit F 0 la dérivée du polynôme F . Si F et F 0 sont premiers entre eux, alors la
relation de Bézout pour ces deux polynômes s’écrit
UF + V F 0 = 1,
elle montre que F et F 0 ne possèdent aucune racine commune et donc que F n’a
que des racines simples. En d’autres termes F est quadratfrei.
6. POLYNÔMES QUADRATFREI
39
Pour démontrer la réciproque, on raisonne par l’absurde. Si F et F 0 ne sont pas
premiers entre eux alors soit a ∈ L, extension convenable de K, une racine du
pgcd de ces deux polynômes. Posons D = X − a. Alors F = DH dans L[X]
et F 0 = H + DH 0 , ce qui montre H(a) = 0 et donc que D divise H. Ainsi
D2 = (X − a)2 divise F , qui n’est donc pas quadratfrei.
Nous avons donc démontré la première partie du résultat suivant.
PROPOSITION 6.1. — Soit F un polynôme non constant, à coefficients dans
un corps K. Alors F est quadratfrei si, et seulement si, F est premier avec sa
dérivée. De plus, le polynôme G = F/ g.c.d. (F, F 0 ) est toujours quadratfrei. Enfin,
si la dérivée F 0 est non nulle et si de plus p.g.c.d. (F, F 0 ) 6= 1, alors G est un
facteur non trivial de F .
Démonstration
Il ne reste plus qu’à démontrer la seconde partie de cette proposition. Supposons
que F admette dans un certain corps L, contenant K, la décomposition
F = λP1e1 · · · Pkek
où les Pi sont des polynômes linéaires unitaires à coefficients dans L, deux à deux
distincts, avec les ei ≥ 1. Alors la dérivée de F est de la forme
F 0 = λP1e1 −1 · · · Pkek −1 R
et le polynôme P1e1 −1 · · · Pkek −1 divise le pgcd Q de F et F 0 . De manière précise
R=
k
X
ei P1 · · · Pi−1 Pi+1 · · · Pk ,
i=1
et le quotient F/Q divise le produit P1 · · · Pk ; ainsi ce quotient est un polynôme
quadratfrei. La dernière affimation est facile à vérifier.
2. Cas de la caractéristique zéro
Quand K est de caractéristique zéro, la formule précédente pour R montre qu’aucun
des polynômes Pi ne divise le polynôme R. Dans ce cas nous avons donc
Q := p.g.c.d.(F, F 0 ) = P1 e1 −1 · · · Pk ek −1
et
F/Q = P1 · · · Pk .
3. Cas de caractéristique non nulle
Supposons maintenant que K soit de caractéristique p > 0. Alors la formule
donnant le polynôme R montre que le polynôme Pi divise R si, et seulement si,
l’entier p divise l’exposant ei .
Si p ne divise pas tous les exposants ei , alors, par exemple, il divise les
premiers exposants e1 , . . . , eh mais ne divise aucun des eh+1 , . . . , ek , pour un
certain indice h, avec 0 ≤ h < k. Dans ce cas, F 0 est non nul et le pgcd Q de F et
F 0 vaut
Q = P1 e1 · · · Ph eh Ph+1 eh+1 −1 · · · Pk ek −1 .
•
40
Et donc
F/Q = Ph+1 · · · Pk .
Le cas où p divise tous les exposants ei ne se produit que si la dérivée F 0
P
du polynôme F est nulle. Si tel est le cas, et si F =
ai X i alors p divise chaque
indice i pour lequel ai est non nul. Soit pe la plus grande puissance de p telle
que pe divise le pgcd des entiers i pour lesquels ai est non nul. Alors e ≥ 1 et le
polynôme F peut s’écrire
•
e
F = H(X p ),
H ∈ K[X] .
Réciproquement, si le polynôme F est donné par une telle formule, où l’exposant
e est ≥ 1, alors sa dérivée F 0 est bien nulle.
Cette étude nous conduit à la définition suivante. Nous dirons qu’un corps est
parfait si, ou bien il est de caractéristique zéro, ou bien il est de caractéristique
p > 0 et alors tout élément x de K est de la forme y p .
Considérons maintenant le cas où K est un corps parfait de caractéristique p > 0.
Soit alors F donné par la formule précédente. Du fait que l’on est en caractéristique
p, si a, b, . . . sont des éléments de K on a
(a + b + · · ·)p = ap + bp + · · ·
et, plus généralement
e
e
e
(a + b + · · ·)p = ap + bp + · · ·
[Utiliser la formule du binôme de Newton et noter que les coefficients du binôme
qui apparaissent sont divisibles par p, à l’exception du premier et du dernier.]
Cette remarque a la conséquence suivante, si F est de la forme
F = a0 + a1 X p + a2 X 2p + · · · + ak X pk
et si a0 = bp0 , a1 = bp1 , . . . , ak = bpk alors
F = (b0 + b1 X p + b2 X 2 + · · · + bk X k )p .
Ceci permet, en raisonnant par récurrence sur e, de montrer que, dans un corps
parfait K, la formule
e
F = H0 (X p ) , H0 ∈ K[X],
conduit à l’existence d’un polynôme H ∈ K[X] tel que
e
F = Hp .
Cette étude conduit au résultat suivant.
PROPOSITION 6.2. — Soit K un corps parfait et soit F ∈ K[X] non constant
tel que F 0 = 0. Il existe alors un entier e ≥ 1 et un polynôme H ∈ K[X] tels que
e
F = Hp ,
où p > 0 est la caractéristique de K, avec H 0 6= 0. En particulier, un polynôme
F ∈ K[X] irréductible est nécessairement quadratfrei.
6. POLYNÔMES QUADRATFREI
41
Démonstration
Nous avons démontré ce résultat à l’exception de la dernière assertion. Soit donc
F ∈ K[X] irréductible, K étant un corps parfait. Si F 0 6= 0, du fait que F est
irréductible on a p.g.c.d.(F, F 0 ) = 1, donc F est quadratfrei. Si F 0 = 0, la première
assertion de l’énoncé conduit à une contradiction.
Remarque
Si K = Fp (Y ) et F (X) = Y X p − 1, alors F 0 = 0, cependant F est irréductible
sur K (Démonstration : exercice).
4. Algorithme de décomposition en un produit de polynômes quadratfrei
Dans cette section on considère des polynômes à coefficients dans un corps K,
dont la caractéristique est notée p (donc p = 0 ou un nombre premier). Soit F
un polynôme non constant de K[X]. Pour obtenir une décomposition de F en un
produit de polynômes quadratfrei, on peut procéder comme suit :
(i)
Calculer la dérivée F 0 de F .
(ii)
Si F 0 6= 0, calculer le pgcd Q de F et de F 0 . Alors, si Q = 1, le
polynôme F est quadratfrei. Sinon, F = QR, où R est quadratfrei et vérifie
0 < deg R < deg F ; alors, appliquer la procédure au polynôme Q. . .
(iii)
Si F 0 = 0, et s’il est possible de calculer un polynôme H ∈ K[X] tel
que
e
F = H p , e ≥ 1, H 0 6= 0;
alors, appliquer la procédure au polynôme H. . .
Remarque
Nous rediscuterons de l’étape (iii) dans un prochain chapitre, lorsque K est un
corps fini.
Exemple
Appliquons l’algorithme précédent au polynôme
F = X 3 + 4X 2 + 5X + 2.
On a
F 0 = 3X 2 + 8X + 5,
et on vérifie que
9F = (3X + 4)F 0 − 2(X + 1),
et que X + 1 divise F 0 [on a F 0 (−1) = 0]. Ceci montre que
Q := p.g.c.d.(F, F 0 ) = X + 1.
D’où la décomposition en produit de polynômes quadratfrei
F = (X + 1) · (X 2 + 3X + 2).