1. Lösungen zu den Übungsbeispielen (Stabprobleme) 1.1 Lösung: Zweidimensionales Stabproblem Elementknotenzuordnung Das Problem1 ist bezüglich Geometrie, Belastung und geometrischer Randbedigungen symmetrisch zur x-Achse. Daher wird in der Rechnung, wie in der oberen Hälfte von Bild 1.1 ausgeführt, nur der obere Teil der Stabstruktur betrachtet. Bild 1.1. Elementeinteilung und Reaktionskräfte Dieser Teil wird in drei Stabelemente eingeteilt. Die Ausnutzung der Symmetrie hat zur Folge, daß dem Element 2 nur die halbe Querschnittsfläche von A2 zugeordnet wird und in den Knoten 2 und 3 nur F1 /2 bzw. F2 /2 im FE-Modell angesetzt wird. Die Tabelle 1.1 enthält die Elementknotenzuordnung, die Orientierungswinkel ϕ der Stäbe sowie die Querschnittsflächen A. Steifigkeitsmatrizen Die Steifigkeitsmatrizen werden nach (6.11) auf der S. 105 aufgestellt: 1 Die Aufgabenstellung ist auf der S. 110 zu finden. 2 1. Lösungen zu den Übungsbeispielen (Stabprobleme) Tabelle 1.1. Elementknotenzuordnung Element Knoten 1 Knoten 2 ϕ 1 1 2 −45◦ ◦ 2 2 3 0 3 3 4 45◦ u1 v1 u2 1 −1 −1 1 1 1 1 −1 −1 u3 v3 u4 1 1 −1 −1 K1 = −1 1 1 K3 = −1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 sin(ϕ) √ - 21 2 1 2 0 √ 2 cos(ϕ) √ 1 2 2 1 2 v2 1 √ u2 1 1 u1 −1 v1 ; K 2 = 0 −1 −1 u2 1 v2 0 A 2 1 2 2 v2 u3 v3 0 −1 0 0 0 0 1 u2 0 v2 (1.1) 0 u3 0 0 0 v3 v4 −1 u3 −1 v3 1 u4 1 (1.2) v4 Die Zeilen und Spalten sind mit den Freiheitsgraden der Knoten der Elemente durchnumeriert. Gesamtsteifigkeitsmatrix Die Gesamtsteifigkeitsmatrix wird direkt erstellt, so wie es auf der S. 92 und folgende beschrieben ist: 1.1 Lösung: Zweidimensionales Stabproblem 1 −1 −1 1 0 0 0 0 = R Fx1 −1 −1 1 0 0 0 1 1 −1 0 0 0 1 1 + 1 −1 + 0 −1 0 0 −1 −1 + 0 1 + 0 0 0 0 0 −1 0 1 + 1 0 + 1 −1 0 0 0 0 + 1 0 + 1 −1 0 0 0 −1 −1 1 0 0 0 −1 −1 1 0 0 0 0 −1 −1 1 1 3 u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 Fy1 F1 2 R Fy2 F2 2 R Fy3 R Fx4 R R Fy4 (1.3) Die Anteile der einzelnen Elemente sind durch Klammersymbole gekennzeichnet: Element 1: · · ·; Element 2: · · ·; Element 3: · · ·. Verformungen Die Knoten 1 und 4 geben die Auflager wieder, so daß gilt: u1 = v1 = u4 = v4 = 0. Aus Symmetriegründen können die Knoten 2 und 3 keine vertikalen Verschiebungen ausführen. Somit kann man schreiben: v2 = v3 = 0. Als zu bestimmende Größen bleiben damit u2 und u3 übrig. Das zur Ermittlung dieser Verschiebungen gehörige Gleichungssystem erhält man, indem in dem voranstehenden Gleichungssystem die Zeilen und Spalten 1, 2, 4, 6, 7, 8 gestrichen werden. Es bleibt folgendes Untergleichungssystem übrig: 1 2 2 −1 u2 0, 667 u 2 = 2 ⇒ = 3 = (1.4) 5 −1 2 u3 1 u3 0, 833 6 Schnittgrößen Die Schnittgrößen ergeben sich aus dem Produkt der Einzelsteifigkeitsmatrix × Verformungsvektor (K i i u = iF ): 4 1. Lösungen zu den Übungsbeispielen (Stabprobleme) 1 −1 K 1 1 u = −1 1 −1 −1 1 1 1 1 −1 −1 − 23 0 1 −1 0 23 = −1 23 23 1 0 − 23 1 Fx1 1 Fy1 = 1 Fx2 1 Fy2 1 = F (1.5) 1 0 2 K 2 u = −1 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 0 2 3 − 61 0 0 0 = 0 56 16 0 0 0 2 Fx2 2 Fy2 = 2 Fx3 2 Fy3 2 = F (1.6) 1 −1 1 −1 −1 1 −1 1 1 1 K 3 3 u = −1 −1 −1 5 6 5 6 −1 0 56 = 1 0 − 56 1 0 − 56 3 Fx3 3 Fy3 = 3 Fx4 3 Fy4 3 = F (1.7) Auflagerreaktionen Die Auflagerreaktionen lassen sich auf zweierlei Weise berechnen. Zum einen lassen sie sich mit Hilfe der Schnittgrößen aus der Kraftrandbedingung (wesentliche Randbedingung) ermitteln. Diese besagt, daß die äußeren Kräfte mit den inneren Kräften (Schnittgrößen) im Gleichgewicht stehen (s. (5.29) bis (5.31)). Aus den Schnittgrößen für Element 1 bzw. Element 3 erhält man die Auflagerreaktionen für Knoten 1 und Knoten 4: 1 Fx1 1 Fy1 = − 23 2 3 = R Fx1 R Fy1 ; 3 Fx4 3 Fy4 = − 56 − 56 = R Fx4 R Fy4 (1.8) Aus den Schnittgrößen für Element 1 und Element 2 erhält man die Auflagerreaktion für Knoten 2 und aus den Schnittgrößen für Element 2 und Element 3 erhält man die Auflagerreaktion für Knoten 3: 1.1 Lösung: Zweidimensionales Stabproblem 1 Fy2 + 2Fy2 2 Fy3 + 3Fy3 = − 32 + 0 0+ 5 6 = − 32 5 6 = 5 R Fy2 (1.9) R Fy3 Zum anderen lassen sich die Auflagerreaktionen aus der Beziehung: K g u = F berechnen: 1 −1 −1 1 0 0 0 0 −1 1 1 −1 0 0 0 0 0 −1 1 2 −1 −1 0 0 0 1 − 56 −1 1 0 0 0 0 0 0 −1 0 2 1 −1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 −1 1 −1 −1 −1 1 1 − 23 1 −1 0 2 3 2 1 3 2 0 − 23 5 = 1 6 0 56 5 0 −6 1 0 0 −1 0 = R Fx1 Fy1 R 1 2 R Fy2 1 R Fy3 R Fx4 R Fy4 (1.10) In der unteren Hälfte von Bild 1.1 sind die Auflagerreaktionen vorzeichenrichtig dargestellt.
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