Matakuliah
Tahun
Versi
: S0494/Pemrograman dan Rekayasa Struktur
: 2005
:0
Pertemuan #13
Metoda Cholesky
1
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa
akan mampu :
• Mahasiswa mampu menghitung solusi
persamaan simultan menggunakan
metoda Cholesky
• Mendesain program solusi persamaan
simultan yang cocok dengan penggunaan
Metoda Half Bandwidth yaitu dengan
dengan Metoda Cholesky
2
Outline Materi
•
•
•
•
Umum
Decomposition
Forward Substitution
Backward Substitution
3
UMUM
Masalah dalam
Analisis Struktur
Solusi P = K X
1. Melibatkan matriks
dengan ukuran
besar.
2. Memori komputer
terbatas
Sifat unik Matriks
kekakuan struktur :
Metoda Solusi
Persamaan L:inier yang
cocok dan efisien
Simetris dan
definit positif
METODA CHOLESKY
4
Metoda Cholesky
•
Solusi Persamaan Linier dengan Metoda
Cholesky melibatkan proses berikut :
1. Decomposition
2. Forward Substitution
3. Back Substitution
5
Decomposition
j=1:
d1 = k11
j = 2, … n :
u ij  k ij
i = t + 1, …, j – 1
i 1
uij  kij   uˆ ki u kj
k 1
t = max {1, j – m }
Elemen D dan dapat ditempatkan pada dengan cara overwriting K.
Dengan demikian dalam proses dekomposisi ini elemen kij digantikan
oleh uij kemudian digantikan kembali oleh . Sedangkan elemen kjj
digantikan oleh dj.
6
Forward & Backward Substitution
FORWARD SUBSTITUTION :
y i  Qi 
i 1
 uˆ ki y k
, i  1,...,n; k  1
k 1 m
BACKWARD SUBSTITUTION :
y i i m
qi 

uˆ ik q k , i  n,...,1; k  n
d i k i 1

7
Contoh Solusi Metoda Cholesky
Selesaikan Persamaan Linier berikut :
 2  1 0 0   q1  0
 1 2  1 0  q  1

  2    
 0  1 2  1 q 3  0

   
 0 0  1 1  q 4  0
8
Solusi : Dekomposisi (1)
j=1
d1 = k11 = 2
2  1



2

1



2  1


1


j = 2 ; t = j – m =1
u12 = K12 = -1, uˆ12 
u12
1

d 12
2
d 2  K 22  uˆ12 u12 
3
2
2  12

3

2





1

2  1

1 
9
Solusi : Dekomposisi (2)
j = 3 ; t = j – m =2
u23 = K23 = -1, uˆ 23
u 23
2


d2
3
d 3  K 33  uˆ 23 u 23 
4
3
2  12

3

2



 23
4
3



 1

1 
j = 4 ; t = j – m =3
u34 = K34 = -1,
uˆ 34 
u 34
3

d3
4
d 4  K 44  uˆ 34 u34  14
2  12
 d 1

 
3
2
3


2
3
4



3
4

 
1

4 
 
uˆ12
d2
uˆ 23
d3



uˆ 34 

d4 
10
Solusi : Forward Substitution
y i  Qi 
i 1
 uˆ ki y k
, i  1,...,n; k  1
k 1 m
y1  Q1  0
y 2  Q 2  uˆ12 y1  1
y 3  Q3  uˆ 23 y 2 
y 4  Q 4  uˆ 34 y 3 
2
3
1
2
11
Solusi : Backward Substitution
y i i m
qi 

uˆ ik q k , i  n,...,1; k  n
d i k i 1

y4
q4 
2
d4
y3
q3 
 uˆ 34 q 4  2
d3
y2
q2 
 uˆ 23 q 3  2
d2
y1
q1 
 uˆ12 q 2  1
d1
12