歐幾里得之窗
--從平行線到超空間的幾何
學故事
Ｅｕｃｌｉｄ‘ｓ Ｗｉｎｄｏｗ：
Ｔｈｅ Ｓｔｏｒｙ ｏｆ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ
ｆｒｏｍ Ｐａｒａｌｌｅｌ Ｌｉｎｅｓ
ｔｏ Ｈｙｐｅｒｓｐａｃｅ
兩千四百年前，亞里斯多德站在
海濱，觀察到:好像所有的船隻
都是船身先消失，然後才是桅杆
和船帆。
但是：在平坦的地表上，船隻應
該會先愈變愈小，最後才縮小成
一點消失在視線之外，難道不是
這樣嗎？
推論：地球表面應該是彎曲的。
透過幾何之窗，人們可以觀察到
整顆地球的龐大結構。
數個世紀以來，在許多天才人物與幾
何學的協助下，人類得以向邊際以外
的地方凝視。
Ｑ：如何證明空間中的任何事物？
Ｑ：我們怎麼曉得自己身在何處？
Ｑ：空間是彎曲的嗎？
Ｑ：這個世界有多少個維度
（dimensions）？
Ｑ：幾何學該如何解釋宇宙的秩序
和一統性？
上述疑問孕育出世界歷史中五次革
命性的幾何變革。
第一部分
空間是什麼？
幾何學如何開始成為描述宇宙
的工具？引領人們進入現代文
明。
空間觀念演進的第一次革命----抽象化觀念的誕生與證明的構想。
空間的概念始於位置的概念，源
自埃及人與巴比倫人所稱的「大
地測量」，希臘文是geometry。
希臘人首先從對石塊與砂礫的簡
單敍述開始發展幾何學，抽離出
點、線、面的觀念。
早在歷史記載以前，人類便已發
展出數數、計算、課稅。
1960年中非薩伊Ishango出土的
一根距今八千年的小骨頭，一端
嵌有一小片石英，骨頭另一端切
割出三道刻痕，這可能是最早出
現的一種數量記錄工具。
運算概念的發展較慢，得植基於
一定程度的數字抽象觀念。
兩個蘋菓－＞ 2
兩個柳丁－＞ 2
2 = 2 ?
2 + 2 = 4 ?
抽象化觀念的演進，大約成形於
西元前6000年，每年六月，尼羅
河水開始暴漲，漫過河床，為四
周鄉野鋪上一層肥沃的泥土。十
月河水退卻乾涸，到次年雨季前，
連續八個月的乾季則可分成耕耘
季和收成季。農業生活成為埃及
曆法與埃及人生活的基礎。
到了西元前3500年，埃及的工藝
與鑄鐵等小型工業已經十分精通，
文字與書寫亦已發展出來。
因為徵稅的緣故，發展出幾何學。
理論上，法老王擁有全部的土地
和財產，政府根據每年河水氾濫
的高度和人民持有土地面積來計
算地稅。
因此，埃及人發明了一種雖然麻煩，
但頗為精準的面積計算方式，適用於
正方形、長方形和梯形。
若要計算圓面積，埃及人利用邊長等
於直徑8/9的正方形來估算。
換句話說，他們以256/81（或3.16）
代替π值。（誤差約為百分之0.6）
金字塔的建造
想像在西元前2580年，你要建造
一座，底部方形，各面呈三角，
高度約146公尺的金字塔。由每
塊重量超過兩公噸的巨石堆疊而
成，而可用的測量工具只有木頭
和繩子。
「拉繩夫」
直角三角形的斜邊hypotenuse，
希臘文為「用力拉緊」之意。
西元前2000年到1700年間，波斯
灣以北的非閃族民族，併吞鄰族，
建立巴比倫帝國。其數學系統，
比埃及人複雜得多。
埃及數學
蘭德(Rhind)紙莎草手卷與莫斯
科紙莎草手卷(Moscow Papyrus)
年代約中國夏商之交。長各六公
尺，上頭記載了數十至上百道例
題，包括四則、分數、比例、簡
單幾何體的面積和體積計算等。
巴比倫數學
亞述地區出土的幾百座泥版，內容
有參考用的數表、教科書，及其他
關於巴比倫數學思考的材料。
巴比倫的工程師在挖掘運河前，計
算運河的梯形橫截面面積，計算需
移走的土壤量，需多少人力工時才
能完成整個工程。
巴比倫的金融借貸採用甚至是複利
制。
巴比倫人未發明方程式，所有計算
都表述成文字敘述。
＜目前已知最早使用加號的文件為
1481年的日耳曼手稿＞
巴比倫人與埃及人應該都已經知道
畢達哥拉斯定理 (Pythagorean
theorem)。
巴比倫人記載的三數組有「3、 4、
5 」、 「5、 12、 13」、…
「3456、 3367、 4825」、…
可推斷:巴比倫人至少具備初等數
論的能力。
雖然，埃及人和巴比倫人都曉得
畢氏定理，郤都沒見到一般式
a2+b2=c2。
因此，對他們來說，斜邊邊長到
底是一個精確數目還是一個約略
的估計呢？
古希臘人對下列問題頭痛不已：
假設一正方形邊長為一單位，對
角線有多長？
埃及人和巴比倫人並不以為意。
採用六十進位制的巴比倫人計算
至第三位數，換算至十進位為
1.4142129。
畢達哥拉斯時代的希臘人明白此
數無法寫成整數或小數。
出生約於西元前640年的泰利斯，
幾乎是全世界公認最早的科學家
或數學家。
他經商致富，對知識有著無限的
渴望，遊歷巴比倫，學習天文科
學與數學，將這些知識傳回希臘。
他成功地預測西元前585年的日
蝕。
埃及人擁有建造金字塔的專門技
術，卻不知道如何測量金字塔的
高度。泰利斯利用經驗事實推導
出初等幾何原理，運用相似三角
形的性質向埃及人示範金字塔高
度的測量與計算，也利用類似的
方法測量船隻在海上的距離。
希臘人尊稱泰利斯為「七位聖
哲 」之一，認為他們是全世界
最有智慧的七個人。
泰利斯為幾何學的系統化工作踏
出了第一步。他首先證明了幾世
紀之後歐幾里得在＜幾何原本＞
中所收集的那一類幾何定理。泰
利斯了解，想要確知事情之間的
真實因果關係，必須建立規則，
所以他也創造了最早的邏輯推論
體系。
他是最早去思考空間圖形全等觀
念的人：平面上有兩個圖形，如
果能夠移動和旋轉其中一個，使
其與另一個重疊，則兩個圖形可
視為全等。
把相等的觀念從數目延伸到空間
圖形，是空間數學化的一大躍進。
這牽涉到同質性(homogeneity)的
假設，即圖形在移動時既不會扭
曲也不會改變大小。但在任何空
間，包括我們生存的物理空間中，
這種假設都不是正確的。
泰利斯強調，透過觀察與推理，
人們理當能夠解釋自然界中所有
的現象。他推導出革命性的結論，
認為自然是遵循固定的法則運行。
在數學的領域中，有關這個世界
的結論應該透過規則來確認，而
非猜測與觀察。
泰利斯也提出物理空間的觀念：
儘管世界上的物質具有如此巨大
的多樣性，但本質上卻應該是同
樣的東西。
「什麼是基本的東西？」泰利斯
居位在海洋城市，直覺告訴他可
能是水。泰利斯的學生，阿納克
西曼德(Anaximander)認為人類
應是從魚這種低等動物演化而來。
泰利斯老時，遇到歐幾里得幾何
學最重要的先驅人物：畢達哥拉
斯(Pythagoras)。
畢達哥拉斯十八歲時，到里斯伯
島(Lesbos)拜訪費雷西底
(Pherecydes)。費雷西底學習過
腓尼基的神祕經書，將靈魂不朽
與輪迴轉世的觀念傳入希臘，畢
達哥拉斯的宗教哲學觀即是以此
為基石。
二十歲時，前往米利都，遇到泰
利斯。可以確知的是，他對這個
年輕的天才產生了重大的影響。
泰利斯辭世多年後，畢達哥拉斯
仍常獨坐家中，為這位離開人世
的遠見人物吟唱讚詩。
所有古代關於這次會面的記載都
表示：泰利斯送給畢達哥拉斯一
句勉勵忠告，要他前往埃及。
在埃及的幾何物體都是物理實體：
直線是拉繩夫拉緊的繩子或者田
地的邊緣；矩形是一小塊土地的
範圍或石塊的一個平面；而空間
則是泥土、 土壤和空氣。
把浪漫和比喻的想法帶入數學領
域的不是埃及人，而是希臘人：
空間對希臘人而言可以是一種數
學的抽象觀念，同樣重要的是，
這種抽象觀念可以應用到各種不
同的情況。“知識是可以相互應
用的。”
傳說，一天畢達哥拉斯路過鐵匠
鋪時，聽到不同錘子敲打鐵鉆發
出的聲響，開始思考。用弦線進
行實驗，發現調和數列以及振動
弦線與發出音高之間的關係。後
人常視此為歷史上以實證方式發
現自然法則的首例。
畢達哥拉斯的和聲律代表了人類
第一次用數學名詞來描述物理世
界的里程碑。
畢氏數學的許多複雜內容都是來
自畢達哥拉斯和其追隨者所發現
的許多數值類型。例如：「正方
形數」（square number)與三角
形數。
畢達哥拉斯覺得正方形數和三角
形數的性質十分神奇。比方說(a)
第二個正方形數4等於前兩個奇
數的和：1+3。第三個正方形數9
等於前三個奇數的和：1+3+5，
以此類推。
(b)正方形數都等於連續奇數的
和。
(C)三角形數同樣也是所有包括
奇偶數在內的連續數目和。
(d)正方形數和三角形數彼此關
聯；只要把三角形數和前一個或
後一個三角形數相加，即可得到
正方形數。
畢氏定理也一樣，看起來十分神
奇。要用幾何方法證明畢氏定理，
所需的唯一計算就是正方形面積
等於邊長的平方。