中小學數學教材教法
義守大學師資培育中心
溫武男
[email protected]
數學教師



學科專業知識---數學
教育專業知識
學科教學知識(Pedagogical Content Knowledge ;
PCK)
課程:九年一貫數學課程綱要、教科
書、參考書、教案…
評量:總結性評量、形成性評量
教學目標
認知
技能
情意



認知目標:例如.能了解正方形的性質
技能目標:例如.能用直尺丈量出一枚50元硬
幣的直徑
情意目標:例如.願意與同學分享成功解題的
技巧
中小學數學科教材教法
John A. Van De Walle 著
張英傑 周菊美 合譯
(Elementary and Middle School Mathematics
Teaching Developmentally ,五南,2005)
第二章 探索「做數學」的涵義



數學是樣式和次序的科學
數學依靠邏輯作為它的事實標準,把觀察模擬
與實驗當作是發現事實的方法
<500個新生500個櫃子>
學校數學的傳統觀點

在傳統教室中，教師代表了在數學上無所不知的
來源。

「教學」一般包含著教師指示兒童如何去做指定
的課業。在這種環境下，學生的注意力必須在教
師身上，而不是在數學的原理上；這堂課的焦點，
主要是得到答案，學生又依賴教師去判定他們的
答案是否正確。

兒童接受每一個問題，一定有一個預先決定的解
法。的確有一些兒童精於學習規則，接連地在獲
得好成績之下穩定成長，但是對於最好的思考者
而言，這些並不是必須的。

傳統的教學系統鼓勵規則的學習，而對實際地做
數學卻僅僅提供了一點點的機會。
數學是樣式(pattern)與次序(order)的科學

發現與探究如此的樣式與次序，並使它發生意義
就是數學的全部。
例如:當兩個奇數相乘，結果仍是奇數，但若相同的
這兩數相加或相減，結果是偶數。

規律樣式存在於我們周遭的每一樣事物，這個世
界充滿了樣式與次序:在自然、藝術、建築與音樂
之中。樣式與次序也處於商業、科學、醫藥、製
造業與社會學之中。

數學發掘了次序，使它發生了意義，而且以一種
迷人的方式的特質，運用它來改善我們的生活與
擴展我們的知識。學校必須以這個發現的歷程，
開始並幫助兒童。

反覆的訓練在傳統的測驗上可能產生短期的
效果，但是長期的影響是使得國民樂於去承
認她們不會做數學的藉口

想像一下在一個數學教室中，小學生做數學
的情形。你將用什麼動詞來描述課室中的活
動?
探索(explore) 表現(represent) 解釋(explain)
調查(investigate) 公式化(formulate) 推測(predict)
臆測(conjecture) 發現(discover)
解決(solve)
建構(construct)
辯解(justify)
證實(verify)
發展(develop)
描述(describe)
使用(use)

這些科學動詞指出了「產生意義」(make
sense) 與「發掘道理」(figuring out)的歷程

在教室中做數學是每天發生的事情，學生得
到授意的訊息:「你能對這個產生意義─你有
能力去做數學。」
在數學中最基本的想法是使數學有感覺能
產生意義!

每天，學生必須經驗數學產生意義這件事

學生必須去相信他們是有能力使數學產生意義
的。

教師必須停止灌輸式的教學，並開始讓學生學
習使數學產生意義。

最後，教師必須相信所有的學生。

傳統數學教室中「聆聽、複製、記憶和反覆
訓練」的對比，這些是被動的活動。

它們意味著零風險與很少的主動；做數學則
必須採取努力和主動

對幼童而言，一個優質的探索，是幫助她們
開始去看出事實是如何被關聯，並藉由觀察
來面對它們
紫色的最好機會

三個學生正快速地旋轉二個輪盤以「得到紫色」
(可任意地旋轉先紅後藍，或是先藍後紅)。她們
可能選擇旋轉每個輪盤1次或是選擇其中的一個
轉輪2次。瑪莉選擇旋轉A輪盤2次;約翰選擇選轉
B輪盤2次;然後蘇珊選擇先旋轉A輪盤，然後是B
輪盤，誰最有機會得到一個紅色和一個藍色的呢?

在教室中，解答本的現成效益，或者教師提
供解法與證明正確答案是正確的，都是對兒
童傳達了一個清楚的訊息:關於「做數學」，
是「你的工作要去發現老師已經知道的答案」

但在教室外面，在需要解決問題的現實世界
中，沒有擁有答案的教師，也沒有解答本。
做數學應包括決定一個答案是否正確?並且
答案為什麼如此?
特技演員、祖母與伊文老狗
這個問題是利用以下的訊息，去發現誰是拔河比賽第三回合
的勝利者。
第一回合:一邊是四位特技演員，每一位的力量相同。另一
邊五位街坊的老祖母，每一位都力量相同。比賽結果是平
手。
第二回合:一邊是伊文(一隻老狗)。可能的伊文對抗兩個老祖
母與一位特技演員，結果又是不分勝負。
第三回合:伊文和三位老祖母在一邊，而四個特技演員在另
外一邊。
誰嬴得第三回合?
2+3+1>2+3
2+3->4
披薩:小的、中的、大的

披薩常常是以小的、中的與大的三種尺寸來販售─通常是測量
披薩的直徑，當然價錢也因三種尺寸而不同。你可曾想過，最
好的是購買大披薩嗎?

義大利披薩專賣店販售販售小的、中的、與大的披薩。小披薩
直徑是9英吋，而中披薩的直徑是12英吋、大披薩的直徑是15
英吋。一個純起司口味的小披薩，專賣店定價$6元，中披薩一
個定價$9元，大批薩一個定價12$元。這些價格公平嗎?

1. 關於價格的標定，測量哪裡將會最貼切呢?圓周、面積、半
徑或是直徑?為什麼?

2. 針對義大利披薩專賣店披薩價格的公平性，請用你的結果寫
成一個報告。

當學生做數學時，提供一個鼓勵他們冒險與期待
參與的環境作為每日的基礎，將變成令人興奮的
企圖。
(learn better, more fun)

對於以答案為導向或是教師直接灌輸的環境，感
到不適應的學生，將可開始發展出她們的自信心。
學生能說得更多，分享更多的想法，提供建議，
而且挑戰或辯護別人的想法。
(everybody count)
第3章 在數學中發展理解

建構主義理論(constructivism)，建議孩子們
在發展自我理解的過程中一定要積極參與。

建構主義讓我們洞察關於孩子們如何學習數
學和引導我們使用以學生為本位的教學策略。

建構主義者完全植基於心理學的認知學派。

建構主義反對孩子們是白紙的觀點，認為孩
子們無法吸收教師表達的想法，而是自己知
識的創造者。

建構主義的基本原則：孩子們建構自己的知
識。事實上所有人隨時都在建構或對他們感
知的事情下定義思考。如同你讀到以上這些
文字時，你正為它們下定義。

我們用來建構理解的工具，是我們已經存在
的想法，我們已有的知識。

我們用來建構理解的材料，可能是我們所看
到、聽到或者現實環境中觸摸到的元素，有
時這些材料是自己的思維和想法。提供的努
力必須是積極和反省的思考。

一個想法的建構，對每一個不同的學習者來
說都是不同的，即使在相同的環境或教室。

建構知識對學習者來說是極其主動、積極努
力。

數學的想法無法被灌輸到消極的學習者身上，
孩童必須產生積極學習的心理。

建構知識需要反思、完全將活躍的思考或心理工
作放在一個想法上。

反思(reflective thought)意指透過過濾既有的想法，
以找到似乎是最有用、有意義的新想法。

整合的網路，或者認知的基模(cognitive schema)，
都是建構知識的產品和工具，使用工具能夠建構
額外的新知識。

孩子們很少隨便回答問題，他們的答案往往
是按照他們的個人觀點或者按照他們對情況
給定意義的知識。


建構主義是關於我們如何學習的理論，如果
這理論正確，就是所有學習如何發生與我們
是如何教無關。
死記硬背學習是「薄弱的建構」(weak
construction)


理解(understanding)定義為一個概念，用現
存概念透過質化和量化作關聯的測量。理解
取決於適當想法的存在以及新關聯的創造
個人的理解方法是他沿著連續區存在。(p. 54)


Hiebert 和Carpenter(1992)提到「網路」
(webs)相互關聯的想法。在這個相互連接的
連續區末端的理解將稱作「關係性理解」
(relational understanding)。
死記學習的知識，幾乎都屬於工具性的理解。


理解是質和量連結的測量，一個新概念用現
存概念的連結。
在概念網路中有越多的連結，就代表瞭解越
好。
關係理解的好處







內在獎勵
強化記憶
較少背誦
有助於學習新概念和程序
增進解題能力
自我生成
改善態度和信念
數學知識的類型


概念性知識
程序性知識

數學的概念性知識(conceptual knowledge)
是由內部建構的邏輯關係和心中已有觀念所
組成的網路知識的一部分。

這也是Piaget所謂的邏輯數學知識（logicomathematical knowledge)

數學的程序性知識（procedural
knowledge)是規則的知識，是我們用來完
成例行數學工作的步驟，同時也是表徵數學
的符號。

為了理解模型所代表的概念，你必須在大腦
中有那種概念（即關係）。

如果沒有，你也就不瞭解結合關係和模型。
這就是為什麼一些模型在老師看來意義豐富，
而學生卻領悟不到。

對新概念來說，模型和測試可起同樣的作用

模型可被視為「思考者玩具」（thinker toys)

如果我們把模型視為「思考者玩具」或「談
論者玩具」，我們可發現三種用途，有助於
發展式的教學：

１. 幫助學生發展新概念或關係。

２. 幫助學生連結概念與符號。

３. 評量學生的理解。
不恰當的模型使用方法

最常見的模型使用錯誤見於老師命令學生
「跟我這樣做」。

模型使用指導過多會自然導致這樣的結果，
小孩把他們當作找到答案的工具，而不是思
考玩具。

發展式教學法(a developmental approach)
1. 小孩建立他們自己的知識和理解，我們不能把
觀念灌輸給被動學習者。
2. 每個學習者的知識和理解是獨特唯一的，和其
他人不一樣。
3. 反省性思考是有效學習的一個重要因素。
4.有效教學是以學生為中心。
<數學日誌>
有效教學的策略







1. 塑造數學環境
2. 設計有用的數學課業
3. 建立合作學習小組
4. 使用模型和計算器作為思考工具
5. 鼓勵對談和寫作
6. 要求學生解釋回饋資訊
7. 積極聆聽
塑造數學環境 (p. 69)



我們不能簡單地告訴學生怎樣思考或形成什
麼習慣。
思考的過程和習慣是長時間才能形成的學習
社群之規範。
「塑造學生能自由表達數學觀點的氣氛是老
師的中心任務，也是發展學生數學功力
(mathematical power) 」
設計有用的數學課業 (p. 70)

設計的課業或問題應吸引學生，其任務應基
於所學過的知識，學生能猜出與任務相關的
概念。
鼓勵對談和寫作

對談使談話者主動涉入。

要求學生評論他人或對他人的話做出反應時，
他同樣不得不思考，將他人觀點與自己的相
比較。

解釋或討論時的思考就是真正的學習。
鼓勵對談和寫作

寫作是每一問題都需要的，它不但幫助學生
整理思想，也使學生專注一種觀念和準備解
釋。

Countryman(1992)：說「寫作者是在省思、
推敲和總結以前所發生的事」。
(數學日誌)
要求學生解釋回饋資訊

要求學生為他們的回饋進行解釋和論證，會
對學生的數學觀點和數學能力看法有積極影
響。

這樣做也會增加學生的信心和自我價值。
積極聆聽

要促進思考就應以學生為中心，而不是以老
師為中心。

仔細聆聽要求我們相信學生的想法。

你理解小孩，他們能感覺到並能做出相應的
反應。
第4章 透過解題教學

好的問題將整合許多主題，且包含有意義的
數學。
<格列佛遊小人國遊記>

傳統上，教師教完數學，學生練習一段時間，
然後期待學生使用新學到的技能或想法來解
題。

這種「教學說明-然後-練習解題」形式的困
難是，解題從學習的過程中被分離出來。

學生已經期待教師告訴他們解題規則，不太
可能去解還沒教過的題目。
用問題來教學的價值

1. 解題將學生注意的焦點放在概念和培養感覺。

2. 解題發展「數學功力」(mathematical power)。

3. 解題發展學生的信念：他們有做數學的能力，
數學是有意義的。

4. 解題提供學習進展評量的資料，用來作為教學
上的決定，幫助學生成功，並告知家長。

5. 充滿很多樂趣!
課程編排三部曲

1.教學之前

2.教學過程：給學生一個機會去做而不要引
導，讓學生用自己的想法而不是遵循一定的
規則。信任他們的能力。

3.教學之後
問題

在費妮的家具行中，費妮已經對所有的家具
標示價錢，而價錢是高於原價的20%。為了
要有好的銷售，她告訴員工降低價錢的10%
來賣。費妮將會得到10%的利潤嗎？或比
10%還多？解釋你的答案。

讚美有時會帶有審判的意味，
Schwartz(1996)建議可以不要直接讚美或評
論，而是繼續將問題再延伸。
<你的讚美不一定是對的>

養成對所有答案都要做解釋的習慣，則當你要
求學生對答案做解釋時，他們將不會因為老師
的提問而認為自己的答案是錯的。

試著去支持孩童的想法而不要批評他的回答。
「有沒有人有不一樣的想法，或是要給丹尼爾
一些意見？」所有的孩童都應聽到教師與對
「聰明的學生」所做相同的反應。

教師應塑造會有想要請別人幫忙的氣氛。
我到哪裡去找時間涵蓋所的事情？

數學知識是比課程標準所陳述的條列式目標之內容有
更多的連結和整合。

如果我們分別聚焦在表列上的每一個項目上，則重要
觀點的想法和連結(所瞭解的精華)是不可能發展出來
的。

如果學生沒有保留概念，我們花太多的時間在重教上

如果我們之前的時間能花在幫助學生發展有意義的概
念網路連結，將大大地徹底降低重教的需求，長期而
言，時間是足夠的。
策略和過程目標


解題策略(strategies)是指處理完全特別獨立
的特定主題或解決問題上可確認的方法。
策略的目標在整個解題的階段所扮演的是：
瞭解題意、解決問題和回顧答案及其解法。
後設認知

後設認知(meta-cognition)是指有意識的監控
(意識到事情要如何做以及為什麼這樣做)和
調整你自己的思考過程(選擇做某事或決定做
改變)。
態度傾向


傾向(disposition)指的是學生擁有關於數學
的態度及其信念。
態度的目標



1. 在能力上增加自信與信念
2. 期待去嘗試及堅持
3. 享受做數學的快樂
關注態度目標

一個建立在對所有的學生高度期待和尊重每
一個學生的想法的教室環境，要達到此態度
目標：




1. 建立成功
2. 讚美努力和冒險
3. 傾聽所有的學生
4. 對特別的學生提供特別的成功機會
第五章 建立教學評量
評量應該是教學與學習有用的工具。
 如果沒有蒐集到學生的技能、理解和個人
對數學處理方式之資訊，教師將無從指導
學生。

四階段循環轉變
計畫評量
設定清楚目標
蒐集證據
使用結果
使用多樣方法
做決定
詮釋證據
做推論
數學標準

評量應該反應所有學生需要知道與能夠去做
的數學。
學習標準

評量應該強化數學的學習。
平權標準


公平、公正的評量重視每一位學生獨一無二
的特性、經驗及其專門知識技能。
評量的平等建立在對所有學生的高數學標準，
包括那些有特別需要的學生。
開放標準

學生必須知道，什麼是他們被期待的，以及
他們能如何展示自己已學到了什麼。
評量的四項目及其結果
促進成長
監控學生進展
修訂課程
評鑑課程
評量目的
評價學生成就
認知成就
做教學決定
改善教學
整合教學與評量

在教室中實質的改變，若沒有同時地改變與
整合教學與評量，是不能達成的。如果教師
的評量方法還是聚焦在回憶和封閉性回答的
項目上，教學是注定要失敗的。學生會很快
地學習到，什麼是有價值的 ﹖就是「得到答
案」而已。
教學與評量的配合

相反的—從事「傳統的」直接講述教學的老
師，對評量的作業卻要求開放式解題，要求
不曾有過經驗的孩童去示範操作數學的功力。
學生已習慣於在數學課中被告知如何去做每
一件事，當面對新奇解題的作業，將可理解
地會抱怨:「你從沒有告訴我們如何去做這些
題目 ﹗」
評量表
評量表(rubric)是老師對一特別群體的學
生或一特別的數學作業所設計或採用的
一個架構。
 一個評量表包含三到六個等第的量尺，作為
實作表現的評比，而不是去計數多少個項目
是對的或錯的。

美國匹茲堡公立學校發展出新的評量計畫

4 優良的 : 全部達成。

3 熟練的 : 基本上達成。

2 邊緣的 : 部份達成。

1 不符合要求的 : 幾乎沒有達成。
四等第量表
4優良的:全部達成
已獲得
證據顯示學生基本
上已達成目標的概
念。
符合作業內容、過程和品質要求
的策略及其執行。能有效溝通，
但可能有小錯誤。
3熟練的:基本上達成
能夠完成工作，已有些微回饋。
雖然有小錯誤，但教師相信學生
以瞭解可達成目標。
2邊緣的:部份達成
尚未獲得
證據顯示學生有重
大誤解、不正確概
念或程序或未參與
活動。
部分工作完成，但缺乏暸解的證
據或有不暸解的證據直接補救教
學，是必須的。
1不符合要求的:幾乎沒有
達成
有企圖去工作，也有些數學知識
，完成片斷工作，但很少或幾乎
沒有成功。
學生自我評量

Stenmark(1989)發現「有能力與意願去評量
他們自己的進展與學習，是學生能發展的最
大天賦……數學功力是伴隨著我們知道多少，
做什麼可以學得更多的知識而來的。」
有效晤談的建議






1.當你傾聽孩子的說話，請接受與保持中
立。
2.避免提示或引導孩子。
3.默默地等候。
4.不打岔。
5.與其使用命令句不如使用提問句。
6.避免直接確認一個為了確認的請求。
第二十三章 適合所有兒童的數學教學

在1989年，NCTM建立了《學校數學的課程
和評鑑標準》( Curriculum and Evaluation
Standards for School Mathematics ) ，在
2000年公佈《學校數學的原則和標準》
( Principles and Standards for School
Mathematics ) ，明確表示所有學生都可以
學習數學。
「每個兒童」包含:





1. 各種族之成員，包含優勢或弱勢族群。
2. 身體有無障礙的學生。
3. 男性或女性。
4. 貧窮或富有。
5. 在學校或數學方面成功或失敗者。
今日課堂的多樣性

1.有學習問題的學生。

2.不同文化背景之學生。

3.女學生。

4.數學能力好的學生。
挑戰傳統信念
為了符合所有小孩的需求，我們必須改變我
們長久以來對數學課程及兒童如何學習數學
的假設。
 改變對數學課程的想法
我們對數學的觀念總以為它是充滿規則，也
是以計算為主的課程。這觀念讓我們限制了
學生的天才和能力。重要的是理解、推理思
考和解決問題的能力。

改變兒童如何學習數學的想法

傳統上，數學教學把內容分解成一小塊一小
塊，每一個部份都解釋、驗證、然後練習直
到熟練，才繼續下一步。當主導的問題解決
和概念，而不是技巧時，老師發現組成不同
能力之組合是有用的。
與其被教室中學生的多樣性打敗，不如討論
合班模式的好處 :




1. 正常學生成為成為特殊之學生模範。
2. 特殊學生也常會提供特別的挑戰問題及另
外解決的方式，能激勵班上所有學生。
3. 所有學生能對個別差異有認知，並學習尊
重。
4. 所有學生，不只是正常的，也都能有學習
數學及挑戰的機會。
比馬龍效應

學生會因為我們的期望而變得更好或更壞。
有兩項因素影響著低社會經濟者和弱勢族群，
一為老師對這群小孩能力的看法，二為同儕
團體的影響。
謝謝您的聆聽﹗