Matakuliah
Tahun
Versi
: R0262/Matematika
: September 2005
: 1/1
Pertemuan 9
Integral
1
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa
akan mampu :
• Membuktikan rumus-rumus integral tak
tentu dari fungsi aljabardan trigonometri
• TIK – 9
2
Outline Materi
• Menyelesaikan integral dengan substitusi
trigonometri
3
Menyelesaikan Integral dengan
Substitusi Trigonometri
Cara ini digunakan untuk menyelesaikan soal-soal
yang mengandung bentuk :
a 2 - x2 ,
a 2 + x2 ,
x2 - a 2
4
1) Bentuk : 
a2 - x 2 dx
x
 sin 
a
x  a . sin 
a
x
dx
 a . cos 
d
dx  a . cos 
a2 - x 2
 cos 
a

a 2 - x2
a 2 - x 2  a. cos 
5
• Maka :
2
2
a
a

x
dx

a
cos

cos  d


 a2  cos2  d
2
cos
 1
2
a 
d
2
1 2 1
x
x
 a   sin 2  arcsin  arcsin 
2  2
a
a
6
• Atau :
x
 cos 
a
x  a . cos 
a 2 - x2
a
dx
 a . (-sin  )
d
dx  -a . sin 
a2 - x 2
 sin 
a
a 2 - x 2  a. sin 

x
7
• Maka :
2
2
a

x
dx    a sin  a sin d

   a 2 sin2  d
1  cos 2
 a 
d
2
1 2
1

2
  a   sin 2 
2 
2

2
1 2
x 1
x 
2
 a  arc cos  sin (arc 2  cos ) 
2 
a 2
a 
8
2) Bentuk : 
a2  x 2 dx
x
 tg 
a
x  a . tg 
a
2
- x
2
x
dx
 a . sec 2 
d
dx  a . sec 2 
a2 + x 2
 sec 
a

a
a 2 + x 2  a . sec 
9
• Maka :
2
2
2
a

x
dx

a
sec


asec
 d


 a2  sec 3  d
 _ _ _ _ gunakan rumus reduksi
10
• Atau :
x
 cotg 
a
x  a . cot g 
a 2 - x2
a
dx
 a . (-cosec 2 )
d
dx  - a . cosec 2
a2 + x 2
 cosec 
a

a 2 + x 2  a . cosec 
x
11
• Maka :
2
2
2
3
a

x
dx

a
cosec
  d


 _ _ _ _ gunakan rumus reduksi
12
3) Bentuk : 
x 2  a2 dx
x
 cosec 
a
x  a . cos ec
x
a
dx
 a . (-cosec  . cot g  )
d
dx  -a . cosec  . cot g d
x 2 - a2
 cotg 
a

x 2 - a2
x 2 - a 2  a. cotg 
13
• Maka :
2
2
2
2
x

a
dx

a
cotg
  cosec  dx


 a 2  cos ec  cosec 2  - 1




 a 2  cos ec 3 - cosec  d
____
14
• Atau :
x
 sec 
a
x  a . sec 
x
x 2 - a2
dx
 a . (sec  . tg  )
d
dx  a . sec  . tg  d
x 2 - a2
 tg 
a

a
x 2 - a 2  a. tg 
15
• Maka :
2
2
2
2
x

a
dx

a

tg
 sec  d


 a 2  sec  sec 2   1 d



 a 2  sec 3  d -  sec  d
____

16