Matakuliah
Tahun
Versi
: R0262/Matematika
: September 2005
: 1/1
Pertemuan 13
Integral
1
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa
akan mampu :
• Menghitung isi benda putar, panjang
kurva, luas permukaan benda putar
• Menghitung panjang kurva/busur, luas
permukaan benda putar
• TIK – 13
2
Outline Materi
• Panjang kurva busur
• Luas permukaan benda putar
3
Isi Benda Putar
•
Panjang suatu kurva terhadap sumbu x
b
S= 
a
•
2
 dy 
1 +   . dx
 dx 
Panjang suatu kurva terhadap sumbu y
2
 dx 
S =  1 +   . dy
p
 dy 
q
4
12
Contoh : Tentukan panjang garis pada y 
x 1
5
antar x = 0 dan x= 5.
Jawab :
( 5,13 )
y
1
(0,1)
12
x 1
5
  12  2 
S   1  
  dx
0
  5  
5
5
13

x
5 0
 13
5
• Panjang suatu kurva dalam persamaan
parameter
t
2
S= 
 )2 + (y
 )2 . dt
(x
t
1
• Panjang suatu kurva dalam koordinat polar

S= 

2
 dr 
r +
 . d
 d 
2
6
• Pembuktian keliling lingkaran
S = 2R
Jawab:
x2 + y 2 = r2
x = r cos t ; y = r sin t
dimana 0  r  2 
dx
 r sin t
dt
dy
 r cos t
dt
7
Maka :
2
S 
r 2 sin2 t  r 2cos 2 t dt
0
2
  rdt
0
 2r
8
Luas Permukaan Benda Putar
• Luas permukaan benda putar dari suatu kurva
yang diputar terhadap sumbu x
2
 dy 
L = 2   Y 1 +   . dx
a
 dx 
b
Contoh : Tentukan luas benda putar pada
y  x yang dibatasi 0  x  4 mengelilingi 26x.
9
y
Jawab : y  x
1

y 
y x
2 x
1
L  2  x . 1 
dx
4x
0
4
X
4
   4x  1 dx
0
3
3

  2 2 
 17  1 
6

 36,18
10
• Luas permukaan benda putar dari suatu kurva
yang diputar terhadap sumbu y
2
 dx 
L = 2   x 1 +   . dy
p
 dy 
q
Contoh : Tentukan luas permukaan yang dibentuk
x  a2  y 2 dibatasi  a  y  a mengelilingi 26 y
11
Jawab :
y
x  a2  y 2
a
X
dx
 x   y a 2  y 3
dy
-a
12