Ecole CIMPA-INRIA-UNESCO-ALGERIE, Tlemcen 10-22 Mai 2008
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`
propos des estimations a posteriori
A
Soit X un espace de Banach, et A une application continue de X dans X.
el´
eresse `
etisation de l’´
Pour un ´
ement f de X, on s’int´
a la discr´
equation :
Trouver u dans X tel que
A(u) = f.
δ : paramètre positif
On consid´
ere le probl`
eme :
Trouver uδ dans Xδ tel que
Aδ (uδ ) = fδ ,
o`
u Xδ est un sous­espace de dimension finie de X, Aδ une approximation
de A et fδ une approximation de f dans Xδ .
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Estimations a priori
�u − uδ �X ≤ F (δ, u) + H(δ, f ).
La quantit´
e F (δ, u) est en g´
en´
eral une puissance de δ multipli´
ee par une
a la r´
e de u (la plupart
certaine norme de u, elle fait donc appel `
egularit´
du temps inconnue).
=⇒
prouve la convergence de la m´
ethode.
Estimations a posteriori
�u − uδ �X ≤ G(δ, fδ , uδ ) + K(δ, f ).
La quantité G(δ, fδ , uδ ) peut se calculer explicitement une fois la solution
ete uδ calcul´
discr´
ee.
=⇒
Permet de v´
erifier des crit`
eres de s´
ecurit´
e.
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Application de base : adaptation de maillages
�u − uδ �X ≤ G(δ, fδ , uδ ) + K(δ, f ).
��
�1
2 2
Si l’on suppose que la quantit´
e G(δ, fδ , uδ ) s’´
ecrit c
u les ηk sont
k ηk , o`
es “locales” (li´
a des sous­domaines de petites tailles),
des quantit´
ees `
les ηk forment une famille d’indicateurs d’erreur.
Crit`
ere d’optimalit´
e
: Une famille d’indicateurs d’erreur (ηk )k est opti­
male s’il existe des constantes c1 et c2 indépendantes de δ telles que
�u − uδ �X ≤ c1
��
�1
2
ηk 2 + K1(δ, f ),
k
ηk ≤ c2 �u − uδ �Xk + K2k (δ, f ),
o`
u Xk d´
esigne l’espace des restrictions des fonctions de X `a
a` un domaine
de petite taille.
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Lorsque la famille d’indicateurs d’erreur est optimale, on peut penser
que les ηk forment une bonne carte de l’erreur
Stratégie d’adaptation :
η : moyenne des ηk .
Lorsque un des ηk est sup´
erieur `
a η, on raffine le maillage dans le sous­
domaine correspondant à cet ηk .
Sous des hypoth`
eses convenables et pour un maillage initial fix´
e, on
peut prouver la convergence de la méthode.
W. Dörfler
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Autre application : discr´
etisations multi­´
etapes
Dans un grand nombre de cas, la discr´
etisation fait appel `
a un ou plu­
emes interm´
eme discret
sieurs probl`
ediaires (non discrets) avant le probl`
final. On peut cependant calculer des indicateurs d’erreur ne dépendant
que de la solution discrète.
Le but de l’analyse a posteriori est alors d’optimiser tous les param`
etres
es `
etisation.
li´
a la discr´
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Une application r´
ecente : couplage automatique de mod`
eles
Dans un grand nombre de cas, la discr´
etisation du mod`
ele complet –
non linéaire ou tridimensionnel ou faisant intervenir plusieurs centaines
d’inconnues – dans tout le domaine est trop complexe. L’analyse a
eterminer les parties du domaine o`
posteriori permet de d´
u l’on peut
discr´
ele simplifi´
etiser un mod´
e sans augmenter l’erreur globale.
M. Braack, A.Ern
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Principales restrictions et limitations :
� Estimations en norme de l’´
energie
� Indicateurs essentiellement de type résidu
etisations principalement par ´
ements finis
� Discr´
el´
� Maillages isotropes
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Les estimations de base
. Indicateurs par résidu, . Indicateurs par résidu et problèmes locaux,
. Extension au problème de Stokes.
Travail de B. Metivet et R. Verfürth
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Indicateurs par r´
esidu
Le probl`
eme mod`
ele que l’on consid`
ere ici est l’´
equation de Laplace.
Ω : polygone ou poly`
edre `
a fronti`
ere lipschitzienne.
⎧
⎪
⎨ −Δu = f
dans Ω,
⎪
⎩
u = 0
sur ∂Ω,
Ce probl`
eme admet la formulation variationnelle ´
equivalente suivante
Trouver u dans H01(Ω) tel que
∀v ∈ H01(Ω),
a(u, v) =
�
Ω
f (x)v(x) dx,
o`
u la forme a(·, ·) est d´
efinie par
a(u, v) =
�
Ω
grad u · grad v dx.
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∀v ∈ H01(Ω),
a(u, v) =
�
Ω
f (x)v(x) dx.
‘ Le lemme de Lax­Milgram entraı̂ne que
Le probl`
eme variationnel admet une solution unique u dans H01(Ω). En
outre, cette solution vérifie
�u�H 1(Ω) ≤ c �f �H −1(Ω),
o`
u c est la constante de Poincar´
e–Friedrichs, donc ne d´
epend que de
la g´
etrie de Ω.
eom´
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(Th)h : famille r´
eguli`
ere de triangulations de Ω par des triangles ou des
t´
etra`
edres, au sens usuel que
• Pour tout h, Ω est l’union des ´
ements de Th,
el´
el´
• Pour tout h, l’intersection de deux ´
ements distincts de Th est soit
ot´
vide soit un sommet soit un cˆ
e entier soit une face enti`
ere de ces
el´
deux ´
ements,
• Le quotient hK /ρK du diam`
etre hK d’un ´
el´
ement K de Th par le
diam`
etre ρK de son cercle inscrit ou de sa sph`
ere inscrite est inf´
erieur
egal `
epend ni de K ni de h.
ou ´
a une constante σ qui ne d´
h :plus grand diam`
etre des ´
el´
ements K de Th.
Xh0 =
�
�
1
vh ∈ H0 (Ω); ∀K ∈ Th, vh |K ∈ P�(K) .
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Le probl`
eme discret est construit par la m´
ethode de Galerkin.
Trouver uh dans Xh0 tel que
∀vh ∈ Xh0,
a(uh, vh) =
�
Ω
f (x)vh(x) dx,
Il admet une solution unique.
Estimations d’erreur a priori : Si la solution u appartient `
a H s+1(Ω),
0 ≤ s ≤ �,
|u − uh|H 1(Ω) ≤ c hs �u�H s+1(Ω).
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Les indicateurs d’erreur par r´
esidu
EK : ensemble des cˆ
ot´
es (d = 2) ou faces (d = 3) d’un ´
el´
ement K de Th
qui ne sont pas contenues dans ∂Ω.
hK : diam`
etre d’un ´
el´
ement K de Th.
he : longueur ou diam`
etre d’un ´
el´
ement e de EK .
fh : approximation de la donnée f dans
Zh =
�
�
2
gh ∈ L (Ω); ∀K ∈ Th, vh |K ∈ Pm(K) .
Pour tout ´
el´
ement K de Th, l’indicateur d’erreur ηK est d´
efini par
1 � 21
ηK = hK �fh + Δuh�L2(K) +
he � [∂nuh] �L2(e).
2 e∈E
K
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1 � 21
ηK = hK �fh + Δuh�L2(K) +
he � [∂nuh] �L2(e).
2
e∈E
K
Indicateur par r´
esidu : Si l’on supprime les indices h dans cette d´
efinition,
tout s’annule.
L’indicateur d’erreur est tr`
es facile `
a calculer une fois que la solution
discrète uh est connue.
Par exemple, lorsque � est ´
egal `
a 1, m est le plus souvent choisi ´
egal `
a
0, et
1
1
1 � 12
ηK = hK mes(K) 2 |fh |K | +
he mes(e) 2 | [∂nuh]|e|.
2 e∈E
K
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Pourquoi ?
´
Equation
du r´
esidu :
L’´
equation du r´
esidu s’obtient en “appliquant” le probl`
eme continu `
a
l’erreur u − uh.
Pour tous v dans H01(Ω) et vh dans Xh0,
a(u − uh, v) = a(u − uh, v − vh)
=
� ��
K∈Th
K
f (x)(v − vh)(x) dx −
�
grad uh · grad (v − vh) dx,
K
d’où
a(u−uh, v) =
� ��
K∈Th
K
(fh +Δuh)(x) (v−vh)(x) dx +
1 �
−
2 e∈E
K
�
�
e
K
(f −fh)(x) (v−vh)(x) dx
�
[∂nuh](τ ) (v − vh)(τ ) dτ .
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La majoration de l’erreur a posteriori
L’ellipticit´
e de a(·, ·) entraˆıne
�u − uh�H 1(Ω) ≤ c
a(u − uh, v)
.
v∈H01 (Ω) �v�H 1 (Ω)
sup
D’apr`
es l’´
equation du r´
esidu, par in´
egalit´
e de Cauchy–Schwarz,
a(u − uh, v) ≤
� ��
�
�fh + Δuh�L2(K) + �f − fh�L2(K) �v − vh�L2(K)
K∈Th
1 �
+
�[∂nuh]�L2(e)�v − vh�L2(e) .
2 e∈E
�
K
On prend vh ´
egal `
a l’image de v par l’op´
erateur de r´
egularisation de
Clément.
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Outil de base : op´
erateur de Cl´
ement
Cet op´
erateur Rh est d´
efini sur des fonctions non r´
eguli`
eres (en par­
ticulier non continues) `
a valeurs dans Xh0 et poss`
ede des propri´
et´
es
d’approximation locale.
Pour toute fonction v de H01(Ω),
�v − Rhv�L2(K) ≤ c hK �v�H 1(Δ ),
K
o`
u ΔK d´
esigne l’union des ´
el´
ements de Th dont l’intersection avec K
est non vide,
�v − Rhv�L2(e) ≤
1
c h2
e �v�H 1 (Δe ) ,
o`
u Δe d´
esigne l’union des ´
el´
ements de Th dont l’intersection avec e est
non vide,
La constante c est difficile `
a ´
evaluer et d´
epend grandement du pa­
ram`
egularit´
etre de r´
e σ.
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a(u − uh, v) ≤ c
� �
K∈Th
�
�
hK �fh + Δuh�L2(K) + �f − fh�L2(K) �v�H 1(Δ )
K
1 � 12
+
he �[∂nuh]�L2(e)�v�H 1(Δe) .
2 e∈E
�
K
plus encore une in´
egalit´
e de Cauchy–Schwarz.
Th´
eor`
eme. Il existe une constante c ind´
ependante de h telle qu’on ait
la majoration d’erreur a posteriori suivante
�u − uh�H 1(Ω) ≤ c
� � �
K∈Th
2 + h2
�f − f �2
ηK
h L2 (K)
K
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�� 12
.
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Une majoration pour chaque indicateur d’erreur
´
Equation
du r´
esidu :
a(u − uh, v) =
� ��
K∈Th
K
(fh + Δuh)(x) v(x) dx +
�
(f − fh)(x) v(x) dx
K
1 �
−
2 e∈E
K
�
e
�
[∂nuh](τ ) v(τ ) dτ .
Pour tout K dans Th, on choisit v ´
egal `
a `
a vK , avec
vK = (fh + Δuh) ψK
sur K
vK = 0
sur Ω \ K.
o`
u ψK d´
esigne la fonction bulle sur K,
�(fh + Δuh
1
) ψ2
2
�
K L2 (K) ≤ |u − uh |H 1 (K) |vK |H 1 (K) + �f − fh �L2 (K) �vK �L2 (K) .
On utilise alors des in´
egalit´
es inverses sur chaque K.
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Outil de base : in´
egalit´
es inverses
Soit r un entier ≥ 0. Les in´
egalit´
es inverses se d´
emontrent par passage `
a
el´
ef´
ace `
equivalence de normes sur une espace
l’´
ement de r´
erence, grˆ
a l’´
de dimension finie.
Pour tout polynôme v de Pr (K),
1
2
ψ
c �v�L2(K) ≤ �v K �L2(K) ≤ c� �v�L2(K),
et
|v�H 1(K) ≤ c h−1
K �v�L2 (K) .
La constante c d´
epend encore du param`
etre de r´
egularit´
e
σ mais est
a ´
evaluer.
plus facile `
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�(fh + Δuh
1
) ψ2
2
�
K L2 (K) ≤ |u − uh |H 1 (K) |vK |H 1 (K) + �f − fh �L2 (K) �vK �L2 (K) .
a Pmax{m,�−2}(K), donc que vK
Puis on note que fh + Δuh appartient `
appartient à Pmax{m,�−2}+d+1(K).
�
�
hK �fh + Δuh�L2(K) ≤ c |u − uh|H 1(K) + hK �f − fh�L2(K) .
=⇒ Une majoration du premier terme de ηK .
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Pour tout K dans Th et e in EK , si K � d´
esigne l’autre ´
el´
ement de Th qui
egal `
contient e, on choisit v ´
a ve, avec
ve = Le,κ([∂nuh] ψe)
sur κ ∈ {K, K �}
ve = 0
sur Ω \ (K ∪ K �).
o`
u ψe d´
esigne la fonction bulle sur e.
Le,κ : op´
erateur de rel´
evement des polynˆ
omes de P�−1+d(e) s’annulant
sur ∂e en des polynômes sur κ s’annulant sur ∂κ \ e, construit par trans­
formation affine `
a partir d’un op´
erateur L� similaire sur le triangle de
r´
erence.
ef´
1
�([∂nuh] ψe2 �2
L2 (e)
≤ |u−uh|H 1(K∪K �)|ve|H 1(K∪K �) +�f −fh�L2(K∪K �)�ve�L2(K∪K �)
+ �fh + Δuh�L2(K∪K �)�ve�L2(K∪K �).
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Outil de base : in´
egalit´
es inverses (bis) plus
Les r´
esultats suivants se d´
emontrent encore et toujours par passage `
a
el´
ef´
l’´
ement de r´
erence,
Pour tout polynôme v de Pr (e),
1
ψ2�
c �v�L2(e) ≤ �v e L2(e) ≤ c� �v�L2(e).
et pour tout polynôme v de Pr (e) s’annulant sur ∂e,
�Le,κv�L2(κ) + he |Le,κv |
H 1(κ) ≤
1
h2
1
c h2
e �v�L2 (e) .
�
e �[∂nuh ]�L2 (e) ≤ c |u−uh |H 1 (K∪K � ) +hK �f −fh �L2 (K∪K � ) +hK �fh +Δuh �L2 (K∪K � )
=⇒ Une majoration du second terme de ηK .
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Th´
eor`
eme. L’estimation suivante est v´
erifi´
ee pour chaque indicateur
ηK , K ∈ Th, et pour une constante c indépendante de K et de h :
�
ηK ≤ c |u − uh|H 1(ω ) +
K
�
κ⊂ωK
�
hκ �f − fh�L2(κ) ,
o`
u ωK d´
esigne l’union soit des triangles partageant au moins un cˆ
ot´
e
avec K (d = 2), soit des t´
edres partageant au moins une face avec
etra`
K (d = 3).
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Conclusions
• Aux termes portant sur la donn´
ee pr`
es, l’erreur est ´
equivalente `
a la
��
�1
2
2
quantit´
e
equivalence ind´
ependantes
K∈Th ηK , avec des constantes d’´
de h.
c1
�� � �
�
� 1
2 2 − h �f − f �
ηK
h L2 (Ω) ≤ �u − uh �H 1 (Ω)
K∈Th
≤ c2
��
� �
2
ηK
�1
2
�
+ h �f − fh�L2(Ω) .
K∈Th
Estimations parfaitement optimales.
• Les indicateurs d’erreur sont faciles `
a calculer d`
es que l’on connaˆıt
la solution discrète.
• La dernière estimation est locale.
Permet une strat´
egie d’adaptativit´
e tr`
es simple.
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Cas de conditions aux limites de Dirichlet non homog`
enes
⎧
⎪
⎨ −Δu = f
dans Ω,
⎪
⎩
u = g
sur ∂Ω,
Ce probl`
eme admet la formulation variationnelle ´
equivalente suivante
Trouver u dans H 1(Ω) tel que
u=g
sur ∂Ω,
et que
∀v ∈ H01(Ω),
a(u, v) =
�
Ω
f (x)v(x) dx.
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Xh =
�
�
1
vh ∈ H (Ω); ∀K ∈ Th, vh |K ∈ P�(K) .
Le probl`
eme discret s’´
ecrit
Trouver uh dans Xh tel que
uh = gh
sur ∂Ω,
et que
∀vh ∈ Xh0,
a(uh, vh) =
�
Ω
f (x)vh(x) dx,
a l’espace des traces de Xh sur ∂Ω et est en g´
en´
eral
o`
u gh appartient `
´
egal `
a l’interpol´
e de Lagrange de g.
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Les indicateurs d’erreur sont d´
efinis exactement comme pr´
ec´
edemment :
1 � 12
ηK = hK mes(K) |fh |K | +
he mes(e) | [∂nuh]|e|.
2 e∈E
K
L’analogue des estimations pr´
ec´
edentes s’´
ecrit maintenant
�u − uh�H 1(Ω) ≤ c
� � �
K∈Th
�
2 + h2 �f − f �2
ηK
h L2 (K)
K
ηK ≤ c |u − uh|H 1(ω ) +
K
�
κ⊂ωK
�� 21
+ c� �g − gh�
.
1
H 2 (∂Ω)
�
hκ �f − fh�L2(κ) ,
31
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Cas de conditions aux limites de Neumann
⎧
⎪
⎨ −Δu = f
dans Ω,
⎪
⎩ ∂ u=k
n
sur ∂Ω,
On suppose que
�
Ω
f (x) dx +
�
∂Ω
k(τ ) dτ = 0.
Ce probl`
eme admet la formulation variationnelle ´
equivalente suivante
Trouver u dans H 1(Ω) ∩ L2
0 (Ω) tel que
∀v ∈ H 1(Ω) ∩ L2
0 (Ω),
a(u, v) =
�
Ω
f (x)v(x) dx +
�
∂Ω
k(τ )v(τ ) dτ,
o`
u L2
esigne l’espace
0 (Ω) d´
L2
0 (Ω) =
�
v ∈ L2(Ω);
�
Ω
�
v(x) dx = 0 .
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Le probl`
eme discret s’´
ecrit
Trouver uh dans Xh ∩ L2
0 (Ω) tel que
∀vh ∈ Xh ∩ L2
0 (Ω),
a(uh, vh) =
�
Ω
f (x)vh(x) dx +
�
∂Ω
k(τ )vh(τ ) dτ,
b : ensemble des cˆ
EK
ot´
es (d = 2) ou faces (d = 3) d’un ´
el´
ement K de Th
qui sont contenues dans ∂Ω.
kh : approximation de la donn´
ee k qui appartient `
a Pm(e) pour tout e
b , K ∈T .
dans EK
h
Pour tout ´
el´
ement K de Th, l’indicateur d’erreur ηK est d´
efini par
1
�
1 � 12
he � [∂nuh] �L2(e) +
he2 � kh − ∂nuh�L2(e).
ηK = hK �fh + Δuh�L2(K) +
2 e∈E
b
K
e∈EK
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33
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Pourquoi ?
´
Equation
du r´
esidu :
� ��
a(u−uh, v) =
K∈Th
K
(fh +Δuh)(x) (v−vh)(x) dx +
1 �
−
2 e∈E
K
+
� ��
b
e∈EK
�
e
�
K
(f −fh)(x) (v−vh)(x) dx
[∂nuh](τ ) (v − vh)(τ ) dτ
(kh − ∂nuh)(τ ) (v − vh)(τ ) dτ +
e
�
e
(k − kh)(τ ) (v − vh)(τ ) dτ
��
On a les estimations
�u − uh�H 1(Ω) ≤ c
� � �
K∈Th
�
2 + h2 �f − f �2
ηK
h L2 (K) +
K
ηK ≤ c |u − uh|H 1(ω ) +
K
�
2
he �k − kh�L
2 (e)
�� 12
b
e∈EK
�
κ⊂ωK
hκ �f − fh�L2(κ) +
�
1
h2
�
e �k − kh �L2 (e) .
b
e⊂EK
34
.
.
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Indicateurs par r´
esidu et probl`
emes locaux
L’id´
ee est maintenant d’´
evaluer le r´
esidu par la r´
esolution de probl`
emes
discrets locaux qui peuvent être munis de conditions aux limites soit de
type Neumann soit de type Dirichlet (sur un domaine l´
erement plus
eg`
grand).
Problèmes de Neumann locaux
Pour tout ´
el´
ement K de Th,
�
�
Xh(K) = vK ∈ PL(K); vK = 0 aux coins de K et sur ∂Ω ∩ K ,
o`
u L est ´
egal `
a sup{� + d − 1, m + d + 1}.
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35
Ecole CIMPA-INRIA-UNESCO-ALGERIE, Tlemcen 10-22 Mai 2008
Trouver uK dans Xh(K) tel que
∀wK ∈ Xh(K),
�
K
grad uK . grad wK dx
=
�
K
(fh + Δuh)(x)wK (x) dx
1 �
−
2 e∈E
�
K
e
[∂nuh](τ )wK (τ ) dτ.
N est d´
Pour tout ´
el´
ement K de Th, l’indicateur d’erreur ηK
efini par
N = |u |
ηK
K H 1 (K) .
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36
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Proposition. On a les estimations
N ≤ η ≤ c� η N .
c ηK
K
K
Démonstration :
N , on choisit dans le probl`
1) Pour majorer ηK
eme de Neumann local vK
´
egal `
a uK , ce qui donne
1
� [∂nuh] �L2(e)�uK �L2(e).
2
Puis on utilise les in´
egalit´
es de Poincar´
e–Friedrichs g´
en´
eralis´
ees, dues
au fait que les fonctions de Xh(K) s’annulent aux sommets de K et
prouv´
a l’´
ement fini de r´
erence :
ees par passage `
el´
ef´
≤ �fh + Δuh�L2(K)�uK �L2(K) +
|u K | 2
H 1 (K)
∀wK ∈ Xh(K),
�wK �L2(K) ≤ c hK |wK |H 1(K)
et
�wK �L2(e) ≤
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1
c h2
e |
wK |H 1 (K) .
37
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2) Pour majorer ηK , on choisit dans le problème de Neumann local wK
successivement ´
egal aux restrictions `
a K de vK , puis ´
egal de ve pour
tout e dans EK .
Rappel : Par exemple, vK = (fh + Δuh) ψK .
emes in´
es inverses que pr´
edemment.
plus les mˆ
egalit´
ec´
N est parfaitement ´
Chaque indicateur ηK
equivalent `
a ηK . Donc on a la
même majoration de l’erreur globale par
� �
�1
n
2
(ηK ) 2
K∈Th
N
plus des termes portant sur les donn´
ees et la mˆ
eme majoration de ηK
en fonction de l’erreur locale.
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38
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Probl`
emes de Dirichlet locaux
Pour tout ´
el´
ement K de Th,
Xh0(K) =
�
�
1
vK ∈ H0 (ωK ); ∀κ ⊂ ωK , vK |κ ∈ PL(κ) .
0
Trouver u0
K dans Xh (K) tel que
∀wK ∈ Xh0(K),
�
ωK
grad u0K
. grad wK dx
=
� �
κ⊂ωK
κ
(fmh + Δuh)(x)wK (x) dx
1 �
−
2 e∈E
K
�
e
[∂nuh](τ )wK (τ ) dτ.
D est d´
Pour tout ´
el´
ement K de Th, l’indicateur d’erreur ηK
efini par
D = |u0 |
ηK
K H 1 (K) .
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39
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Proposition. On a les estimations
D ≤c
ηK
�
ηκ
et
D.
ηK ≤ c� ηK
κ⊂ωK
D´
emonstration : Dans le probl`
eme de Dirichlet local, on choisit suc­
cessivement wK
1) ´
egal `
a u0
emes in´
egalit´
es de Poincar´
e–Friedrichs
K (plus exactement les mˆ
g´
eralis´
ec´
en´
ees que pr´
edemment),
egal aux restrictions `
2) ´
a ωK de vK puis de ve pour tout e dans EK (plus
encore et toujours les mˆ
egalit´
emes in´
es inverses).
Les
des
D ont des propri´
indicateurs ηN
et´
es parfaitement ´
equivalenes `
a celles
N.
ηK
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40
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Probl`
emes locaux r´
eduits
Les r´
esultats pr´
ec´
edents sont encore valables si on remplace Xh(K) par
�
� (K ) = Vect
X
h
{ψK w, w ∈ Psup{�−2,m}(K)},
�
∪e∈EK {Le,K (ψe w)|K , w ∈ P�−1(e)} ,
et Xh0(K) par
�0(K) = Vect
X
h
�
{ψK w, w ∈ Psup{�−2,m}(K)},
�
∪e∈EK {Le,ωK (ψe w), w ∈ P�−1(e)} .
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41
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Par exemple, pour � = 1 et m = 0,
dim Xh(K) = 7
en dimension 2
� (K) = 4
dim X
h
et
31
en dimension 3,
en dimension 2
et
5
en dimension 3.
Les indicateurs par probl`
emes locaux r´
eduits sont donc beaucoup moins
chers `
emes locaux. Toutefois leur
a calculer que les indicateurs par probl`
a des probl`
emes plus compliqu´
eaires,
extension `
es, par exemple non lin´
s’av`
uteuse que pour les indicateurs par r´
ere nettement plus coˆ
esidu.
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42
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Indicateurs pour le probl`
eme de Stokes
Ω : polygone ou poly`
edre `
a fronti`
ere lipschitzienne.
⎧
⎪
−ν Δu + grad p =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
div u = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
u =
0
f
dans Ω,
dans Ω,
sur ∂Ω.
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43
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Formulation variationnelle ´
equivalente
Trouver (u, p) dans H01(Ω)d × L2
0 (Ω) tel que
∀v ∈ H01(Ω)d,
ν
�
Ω
grad u . grad v dx −
∀q ∈ L2
0 (Ω),
�
Ω
�
Ω
(div v)(x)p(x) dx = < f , v >,
(div u)(x)q(x) dx = 0.
Pour tout f dans H −1(Ω)d, ce problème admet une solution unique.
Requiert ellipticité + condition inf­sup.
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44
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Rappel :
Soit X et M deux espaces de Hilbert et b(·, ·) une forme bilin´
eaire conti­
nue sur X × M .
Les deux propri´
es suivantes sont ´
et´
equivalentes :
(i) Il existe une constante β > 0 telle que
∀q ∈ M,
b(v, q)
≥ β �q�M .
v∈X �v�X
sup
(ii) L’op´
erateur B d´
efini de X dans M � par
∀v ∈ X, ∀q ∈ M,
�Bv, q� = b(v, q),
est un isomorphisme de l’orthogonal de son noyau sur M �, et la norme
de son inverse est ≤ β −1.
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45
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Xh ⊂ H01(Ω)d
Mh ⊂ L2
0 (Ω).
et
Le problème discret
Trouver (uh, ph) dans Xh × Mh tel que
∀vh ∈ Xh,
ν
�
Ω
grad uh . grad vh dx −
∀qh ∈ Mh,
�
Ω
�
Ω
(div vh)(x)ph(x) dx = < f , vh >,
(div uh)(x)qh(x) dx = 0.
Une condition inf­sup liant Xh et Mh est n´
ecessaire pour que le probl`
eme
discret soit bien pos´
e et aussi pour obtenir des majorations d’erreur a
priori.
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46
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Les indicateurs d’erreur par r´
esidu
Pour tout ´
el´
ement K de Th, l’indicateur d’erreur ηK est d´
efini par
ηK = hK �fh + νΔuh − grad ph�L2(K)d
1 � 1
+
he2 � [ν ∂nuh − phn] �L2(e)d + �div uh�L2(K),
2 e∈E
K
o`
u fh est une approximation de f dans Zhd.
Indicateur par r´
esidu : Si l’on supprime les indices h dans cette d´
efinition,
tout s’annule.
L’indicateur d’erreur est tr`
es facile `
a calculer une fois que la solution
discrète (uh, ph) est connue.
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47
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Pourquoi ?
´
Equations
du r´
esidu :
Pour tous v dans H01(Ω) et vh dans Xh0,
ν
�
Ω
grad (u − uh) . grad v dx −
=
� ��
K∈Th
K
�
Ω
(div v)(x)(p − ph)(x) dx
(fh + Δuh − grad ph)(x) · (v − vh)(x) dx
+
�
(f − fh)(x) · (v − vh)(x) dx
K
�
�
1 �
[∂nuh − phn](τ ) · (v − vh)(τ ) dτ .
−
2 e∈E e
K
Pour tout q dans L2
0 (Ω),
�
Ω
(div (u − uh)(x)q(x) dx = −
�
Ω
(div uh)(x)q(x) dx.
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48
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Et apr`
es ?
R. Verfürth
On pose, avec U = (u, p) et V = (v, q),
A(U, V ) = ν
�
Ω
grad u . grad v dx −
�
Ω
(div v)(x)p(x) dx −
�
Ω
(div u)(x)q(x) dx.
Le problème continu :
Trouver U dans Y = H01(Ω)d × L2
0 (Ω) tel que
∀ V ∈ Y,
A(U, V ) = < f , v > .
Le problème discret :
Trouver Uh dans Yh = Xh × Mh tel que
∀ Vh ∈ Yh,
A(Uh, Vh) = < f , vh > .
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49
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´
Equation
du r´
esidu : Pour tout V dans Y et vh dans Xh0,
A(U − Uh, V ) =
� ��
K∈Th
K
(fh + Δuh − grad ph)(x) · (v − vh)(x) dx
+
−
�
(f − fh)(x) · (v − vh)(x) dx
K
�
1 �
2 e∈E
K
e
[∂nuh − phn](τ ) cot (v − vh)(τ ) dτ
�
+
K
�
(div uh)(x)q(x) dx .
Le probl`
eme de Stokes admet une solution unique pour tout (f , g) dans
H −1(Ω)d × L2(Ω)/IR. Comme (ii) implique (i),
La forme A(·, ·) vérifie la condition inf­sup
∀U ∈ Y,
A(U, V )
≥ β �U �Y .
V ∈Y �V �Y
sup
50
Ecole CIMPA-INRIA-UNESCO-ALGERIE, Tlemcen 10-22 Mai 2008
On applique cette in´
egalit´
e inf­sup avec U remplac´
e par U − Uh, puis on
utilise l’op´
ement.
erateur de Cl´
Th´
eor`
eme. On suppose que Xh contient l’espace
�
vh ∈ H01(Ω)d; ∀K ∈ Th,
�
d
vh|K ∈ P1(K) .
Il existe une constante c indépendante de h telle qu’on ait la majoration
d’erreur a posteriori suivante
|u − uh|H 1(Ω)d + �p − ph�L2(Ω) ≤ c
� � �
K∈Th
2 + h2 �f − f �2
ηK
h L2 (K)
K
�� 12
.
Ne nécessite aucune condition inf­sup entre Xh et Mh.
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Ecole CIMPA-INRIA-UNESCO-ALGERIE, Tlemcen 10-22 Mai 2008
Pour tout K dans Th, on choisit successivement dans l’équation du
résidu,
1) V ´
egal `
a (vK , 0) et vh ´
egal `
a 0, avec
vK = (fh + Δuh − grad ph) ψK
sur K
vK = 0
sur Ω \ K,
2) pour tout e dans EK , V ´
egal `
a (ve, 0) et vh ´
egal `
a 0, avec
ve = Le,κ([∂nuh − phn] ψe)
sur κ ∈ {K, K �}
ve = 0
sur Ω \ (K ∪ K �),
3) V ´
egal `
a (0, qK ) et vh ´
egal `
a 0, avec
qK = div uh
sur K
qK = 0.
sur Ω \ K.
Puis on utilise les mˆ
emes in´
egalit´
es inverses que pr´
ec´
edemment.
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52
Ecole CIMPA-INRIA-UNESCO-ALGERIE, Tlemcen 10-22 Mai 2008
Th´
eor`
eme. L’estimation suivante est v´
erifi´
ee pour chaque indicateur
ηK , K ∈ Th, et pour une constante c indépendante de K et de h :
�
ηK ≤ c |u − uh|H 1(ω )d + �p − ph�L2(ω ) +
K
K
�
κ⊂ωK
�
hκ �f − fh�L2(κ)d .
• On obtient les mˆ
ems propri´
et´
es d’optimailt´
e que pour l’´
equation de
Laplace.
• Les indicateurs d’erreur sont faciles à calculer.
• L’´
evaluation des indicateurs par probl`
emes locaux n´
ecessite des
emes locaux r´
probl`
eduits (et une condition inf­sup entre chaque paire
d’espaces locaux).
Fatma Zohra Nouri, LMA-Université Badji Mokhtar, Annaba (Algérie)
53
Ecole CIMPA-INRIA-UNESCO-ALGERIE, Tlemcen 10-22 Mai 2008
•
´
Equations
de Navier–Stokes
J. Pousin, J. Rappaz
R. Verfürth
Aucune difficult´
e particuli`
ere.
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135
Ecole CIMPA-INRIA-UNESCO-ALGERIE, Tlemcen 10-22 Mai 2008
Données : viscosité ν = 10−2 et vitesse tangentielle sur bord gauche
non nulle.
ε = 0, 14 × 10−2
[uh,vh],ph -- Navier-Stokes
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136
Ecole CIMPA-INRIA-UNESCO-ALGERIE, Tlemcen 10-22 Mai 2008
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