Matakuliah
Tahun
Versi
: I0224/Analisis Deret Waktu
: 2007
: revisi
Pertemuan 23-24
Penaksiran parameter model
1
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa
akan mampu :
Memilih parameter model analisis deret waktu
2
Outline materi
• Cara penaksiran
• Nilai awal parameter model AR an MA
3
• Model ARIMA(0,1,1)
• (1-B) Xt = (1- θ1 B) et
• Pendugaan parameter θ1 dilakukan
dengan cara coba-coba
• Meminimumkan jumlah kuadrat sisa
(galat)
• Perbaikan secara iteratif
4
Proses AR(p)
• Untuk proses autoregresif pada orde p,
persamaan Yule-Walker didefinisikan sebagai
• p1 = Φ1 + Φ2 ρ1+ … + Φp ρp-1
• ρ2 = Φ1 ρ1 + Φ2 + … + Φp ρp-2
• …….
• ………….
• ρp = Φ1 ρp-1 + Φ2 ρ2 + … + Φp
• ρp = autokorelasi untuk lag-p
• Φp = koefisien AR
5
AR(1)
• ρ1 = Φ1
• Nilai parameter ρ1 tidak diketahui
• Nilai Φ1 ditaksir dengan r1 (koefisien
auokorelasi dengan lag-1 periode)
6
AR(2)
• ρ1 = Φ1 + Φ2 ρ1
• ρ2 = Φ1 ρ1 + Φ2
•
• ρ1 dan ρ2 tidak diketahui, ditaksir dengan r1
dan r2
7
• Penduga dari hubungan
Φ1= r1(1-r2)/(1-r12)
Φ2= r2 – r12/(1-r12)
• r1= autokorelasi lag-1
• r2= autokorelasi lag-2
8
Proses MA(q)
• Autokorelasi proses MA(q) dapat dinyatakan dalam
bentuk
•
- θ1 + θ1 θk+1 + … θq-k θq
ρk = -------------------------------------1 + θ12 + … + θq2
Nilai taksiran pendahuluan diperoleh dari koefisien
autokorelasi dari data hasil pengamatan
9
MA(1)
• ρ1 = - θ1 / (1 + θ12 )
• Dengan mensubstitusi r1 untuk ρ1 akan diperoleh
persamaan kuadratik
• θ12 + (1/r1) θ1 + 1 = 0
• θ1 harus terletak di atara -1 dan +1
10
• Misalkan koefisien autokorelasi r1=0.4
maka persamaan menjadi
• θ12 + (1/0.4) θ1 + 1 = 0
• θ12 + 2.5 θ1 + 1 = 0
• θ1 memiliki dua nilai -0.5 dan -2.
• Nilai yang diambil θ1 = -0.5
11
MA(2)
•
- θ1 + (1-θ2)
ρ1= -----------------1 + θ12 + θ22
•
- θ2
ρ2 = -----------------1 + θ12 + θ22
• ρ1dan ρ2 disubstitusi dengan r1 dan r2
12
• Dalam MA(2) terdapat dua parameter yang tidak
diketahui dengan dua persamaan
• Penyelesaiannya tidak selalu mudah
• Box-Jenkins memberikan tabel dan grafik untuk
mengatasi penaksiran
13
MA(3)
•
- θ1 + θ1 θ2 + θ 2 θ3 )
ρ1= --------------------------1 + θ1 2 + θ2 2 + θ3 2
•
- θ2 + θ1 θ2
ρ2= --------------------------1 + θ1 2 + θ2 2 + θ3 2
•
- θ3
ρ3= --------------------------1 + θ1 2 + θ2 2 + θ3 2
Autokorelasi digunakan untuk menduga ρk, ,parameter lain diduga
dengan proses iterasi
14
Xt
Xt-1
Xt-2
1
47.0
2
49.2
47.0
3
58.3
49.2
47.0
4
82.0
58.3
49.2
5
95.5
82.0
58.3
6
104.4
95.5
82.0
7
71.6
104.4
95.5
8
53.9
71.6
104.4
9
75.5
53.9
71.6
10
69.4
75.5
53.9
11
56.3
69.4
75.5
12
45.2
56.3
69.4
45.2
56.3
45.2
15
• Dari data tersebut diperoleh koefisien autokorelasi
• r1=0.56 dan r2=-0.13
• Koefisien autokorelasi tersebut dapat digunakan
untuk menduga proses AR(1), AR(2), MA(1) dan
MA(2)
16
Rangkuman
• Penaksiran parameter model dihasilkan nilai
penyimpangan peramalan yang minimum
17
18
19
20
21
Rangkuman
22