Matakuliah
Tahun
: I0204 - Model Linier
: 2009/2010
MODEL NOT-FULL RANK
Pertemuan 15 & 16
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa
akan mampu menerangkan fungsi parameter linear yang dapat diduga
dalam model not full rank
3
Outline Materi
• Fungsi parameter yang dapat diduga dalam model not full rank
4
Model Not Full Rank
• Bagi model not full rank ada banyak solusi bagi B, sehingga B tidak
bersifat unik dan
• E(B) = E(S- X’ y)
= S- X’ X β
= H β tidak sama dengan β , sehingga bukan penduga tak bias bagi
β.
5
Model Linier yij= Łi + εij
•
•
•
•
•
•
Y11= 1 Ł1+ 0 Ł2 + ε11
Y12= 1 Ł1+ 0 Ł2 + ε12
Y13= 1 Ł1+ 0 Ł2 + ε13
Y21= 0 Ł1+ 1 Ł2 + ε21
Y22= 0 Ł1+ 1 Ł2 + ε22
Y23= 0 Ł1+ 1 Ł2 + ε23
6
Penulisan dalam matrik
Y1
1
Y1
2
Y1
3
Y2
1
Y2
y
2
=
1 0
ε11
1
ε12
0
+ ε13
1 0
Ł1
0
1
Ł2
0
1
ε22
0
1
ε23
X
ε21
β
ε
y23
7
Matrik X’X Full Rank
• X’X = 3 0
0 3
X’y = Σ y1i
Σ y2i
Parameter diduga dengan
Ł1 = 1/3 Σ y1i
Ł2 = 1/3 Σ y2i
8
Model Linier yij=μ + Łi + εij
•
•
•
•
•
•
Y11= μ +1 Ł1+ 0 Ł2 + ε11
Y12= μ +1 Ł1+ 0 Ł2 + ε12
Y13= μ +1 Ł1+ 0 Ł2 + ε13
Y21= μ + 0 Ł1+ 1 Ł2 + ε21
Y22= μ + 0 Ł1+ 1 Ł2 + ε22
Y23= μ + 0 Ł1+ 1 Ł2 + ε23
9
Penulisan Dalam Matrik
X0 x1 x2
Y11
1
Y12
1 1
Y13
1
1 0
ε11
0
ε12
1 0
u
1 0
1
Ł1
Y22
1 0
1
Ł2
y23
1
Y21
=
ε13
ε21
+
ε22
ε23
0 1
y
X
β
ε
Suatu kelemahan segera terlihat. Karena adanya
ketidakbebasan kolom X0 = X1+ X2 dalam matriks
X.
X'X akan singular sehingga persamaan normalnya
tidak mempunyai jawaban atau solusi yang khas.
10
Solusi Tak Khas
• Agar dapat diperoleh suatu penduga parameter yang bersifat
unik/khas diperlukan adanya syarat ikatan.
• Syarat ikatan : Σ Łi = 0
• Dengan syarat ikatan tersebut bagaimana bentuk X’X ?
11
Persamaan Normal
•
•
•
•
•
X’X β = X’y
6 u +3 Ł1+ 3 Ł2 = Σ yij
3 u + 3 Ł1
= Σ y1.
3 u + 3 Ł2
= Σ y2.
Syarat Σ Łi = 0 , maka
6 u = Σ yij  u = 1/6 Σ yij
u+ Ł1 = 1/3 Σ y1.
u + Ł2 = 1/3 Σ y2.
12
Parameter Yang Dapat Diduga
•
•
•
•
Parameter yang dapat diduga
Parameter u
Parameter u + Ł1
Parameter u + Ł2
13
• Reparameterisasi model
• Reparameterisasi model dapat dilakukan sehingga diperoleh matrik
X’X full rank
• Misal y21=u + Ł2 + ε21 menjadi
y21 = (u + Ł1)+ (Ł2 - Ł1) + ε21
14
Bagaimana Parameter Model Berikut Dapat Diduga ?
•
•
•
•
•
•
Y11= μ +1 Ł1+ 0 Ł2 + 0 Ł2 + ε11
Y12= μ +1 Ł1+ 0 Ł2 + 0 Ł2 + ε12
Y21= μ +0 Ł1+ 1 Ł2 + 0 Ł2 + ε21
Y22= μ + 0 Ł1+ 1 Ł2 + 0 Ł2 + ε22
Y31= μ + 0 Ł1+ 0 Ł2 + 1 Ł2 + ε31
Y32= μ + 0 Ł1+ 0 Ł2 + 1 Ł2 + ε32
15
•
•
•
•
•
Tentukan
Matrik rancangan X
Tentukan X’X
Periksa apakah X’X full rank ?
Tentukan syarat ikatan agar X’X menjadi full rank
16
• Parameter apa saja yang dapat diduga ?
• Bagaimana penduganya ?
• Tentukan persamaan normalnya, maka akan diperoleh penduga
parameternya !
17
• Penduga parameter model not full rank, memerlukan syarat ikatan
18