SEBARAN NORMAL GANDA
(The Bivariate Normal Distribution)
1
2
2xσ
σ
1

f(x,y) = x y
e-q/2 ; -~ < x < ~,
Dengan x > 0 ; y > 0 dan –1 < 
<1
 x    y     y    
1  x   

 

  2  

q=

 

2
2
1-   
2
x
x 
x
y
y
  x   y    y  
Sifat-sifat :
f(x,y) merupakan fkp bersama
x ~ N (x, x2) dan y ~ N(Y, Y2)
 adalah koefisien korelasi X dan Y
Maka f(x,y) merupakan fkp
normal ganda
fl(x) = f(x,y) dy
(1-2)q =_(1-2)
= + (1-2)
Dengan b =y+  (x - x)
 fl(x) =
dy
*)
(y/x) = E(y/x) = y + (x-x)
dan

2
 y x

  1 
2
y
2

(x/y) = E(X/y) = x + (y-y)
2(X/y) = 2x (1-2)
Fungsi pembangkit momen untuk
bivariate normal
~ ~ t xt y
1
2
e
M(t1 t2) = -~ ~
f(x,y) dx dy
~
~
t x
t y y

 dx


e
f
(
x
)
e
f
dy
= -~ 1 -~
x

untuk semua t1, t2  R
t 1x  t 2 y
M(t1 t2)= E e
1

2








2 t t  y


2
x
2



t  1   


  x 1 2 

y


y
y

x
t   t  x  2
   t  t   
2 y 2 
x 1 2  
2
2
x
x


M(t1t2) =
e
M(t1t2) =

e
 x2 t 2  2   t t   2 t 2
1
x y12
y 2
 t  t 
x1
y 2
2
Jika  = 0  M(t1t2) = M(t1,0) M(0,t2)
X dan Y bebas stokhastik jika =0
M(t1t2) =M(t1,0)M(0,t2)







2
Dalil
Misalkan X dan Y menyebar normal
ganda dengan rata-rata 1 dan 2
variansi (ragam) 12 dan 22 serta
koefisien korelasi 
Maka X dan Y bebas stokhastik jika
dan hanya jika  = 0
X & Y bebas stokhastik   = 0