NILAI HARAPAN
(HARAPAN MATEMATIK)
Jika X1, X2, X3, …, Xn
merupakan peubah acak diskrit
dengan fungsi probabilitas p(x)  0,
atau X1, X2, …, Xn merupakan
peubah acak kontinu dengan fungsi
kepekatan probabilitas f(x)  0,
maka nilai harapan dari peubah
acak tersebut dapat ditulis sebagai
berikut
n
E ( X )   x. p( x), untuk.. X .. peubah..acak..diskrit
x 0

E ( X )   x. f ( x)dx,.untuk.. X .. peubah..acak ..kontinu

Sifat-sifat untuk nilai harapan
Jika a konstanta, maka
n
  a p(xi ) = a , x diskret
i=1
E(a) = 

 a f(x) dx = a , x kontinu

 -
Mis
x
0
1 2
3
P(x)
1/3 ½ 0
1/6
Nilai harapan untuk fungsi
g(x) = (x-1)2 adalah
3
E[( X  1) 2 ]   ( x  1) 2 p ( x)
0
 ( 1) 2 p (0)  (0) 2 p (1)  (1) 2 p ( 2)  ( 2) 2 p (3)
1
1
1
 (1).( )  (0).( )  (1).( 0)  ( 4).( )
3
2
6
1
Jika X merupakan peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan
peluang
f(x) = 1/3 x2, -1 < x < 2
= 0 untuk selainnya,
1. Nilai harapan untuk fungsi
g(x) = 2x – 1 adalah
(2 x  1) x
E[ g ( X )]  E[( 2 x  1)]  
dx
3
1
2
2
1
3
3
2
  (2 x  x )dx 
3 1
2
2
2. Nilai harapan untuk fungsi
h(x) = 3x + 2 adalah
(3 x  2) x 2
1
E[h( x)]  E[(3x  2)]  
dx   (3x 3  2 x 2 )dx
3
3 1
1
2
2
1 3 4 2 32
1 3 4 2 3 3
2
4
 { x  x ]1}  [ (2)  (2)  (1)  (1)3 ]
3 4
3
3 4
3
4
3
95

36
 2e -2x , x > 0
f ( x) =  0
, x  0

Nilai harapan untuk peubah acak
X adalah E(X), yang dapat
diperoleh sebagai berikut


0

0
0

0
E ( X )   x. f ( x).dx   x.2.e 2 x dx   x.0.dx   2 x.e 2 x dx  0
Contoh : (Lihat Materi Pendukung)
Dalil :
Misalkan X suatu peubah acak
diskrit dengan fungsi probabilitas
p(x), maka nilai harapan dari
suatu fungsi g(x) adalah
E[g( x)]   g( x).p( x ),........ ...untuk .. semua .. nilai..x
x
Dalil :
Misalkan X suatu peubah acak
kontinu dengan fungsi
kepekatan probabilitas f(x),
maka nilai harapan dari suatu
fungsi g(x) adalah

E[ g ( x )] 
 g ( x). f ( x)dx

Contoh :
Misalkan X merupakan suatu
peubah acak diskrit dengan fungsi
probabilitas p(x), maka untuk
konstanta a dan b dapat ditulis
sebagai berikut :
n
  b xi p(xi ) = b E(X) , x diskret
i=1
E(bX) = 

 b x f(x) dx = b E(X) , x kontinu
 

E (a + bX) = a + b E(X)
Jika g(x) merupakan fungsi
peubah acak X maka nilai
harapan dari g(x) adalah
 n
 g(x i ) p(x i ) , x diskret
 i =1
E g(X)  =  
 g(x) f(x) dx , x kontinu


- 
Contoh :
Misalkan X merupakan peubah
acak diskrit dengan ruang
sampel A = {x; x = 0, 1, 2, 3, 4}
dan misalkan P(A) = A p(x),
di mana
4!
p( x ) 
( 21 ) 4 ..... untuk ..x  A,...maka... jika.. diambil
x!.( 4  x )!
A 1  { x;.. x  0,1}
4! 1 4 4! 1 4 5
( ) 
( )  ...dan
0!.4! 2
1!.3! 2
16
4
(0)4! 1 4 (1).4! 1 4 (2).. 4! 1 4 (3).. 4! 1 4 ( 4).. 4! 1 4
E( X)   x..p( x ) 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
( )
0!.4! 2
1!.3! 2
2!.2! 2
3!.1! 2
4!.0! 2
x 0
kita.. dapat.. menentukan .......... ..P( X  A 1 ) 
Misalkan X merupakan peubah
acak diskrit dengan fungsi
probabilitas p(x)>0 sebagai
berikut
x ..e  
p( x ) 
...untuk ..x  0,1,2,3,......... ......
x!
Maka.. nilai.. harapan.. bagi.. peubah. .acak.. X.. adalah
x ..e  
0 ..e  
1..e  
2 ..e  
E( X)   x..p( x )  x.
(0)
 (1)
 ( 2)
 .......... .  
x!
0!
1!
2!
x 0
x 0
E( X)  

