Matakuliah
Tahun
: I0184 – Teori Statistika II
: 2009
REGRESI
Pertemuan 19
Materi Pokok 19
REGRESI
1. Metode Kuadrat Terkecil
 Bila ada n titik:
(x1, y1), (x2, y2), …., (xn, yn) dan polinomial berderajat m
p x 
m
 
k0
βk x k
akan ditentukan 0, 1, …., m.
Metode kuadrat terkecil meminimumkan fungsi L dengan
n
L 
i 1
yi - px i 
2
Teorema 23.1
Misalkan n buah titik (x1, y1), (x2, y2), …., (xn, yn); garis
lurus
n
y = 0 + 1 x, meminimumkan
2
L   yi - β 0  β1 x i  2
Bina Nusantara University
i 1


Maka β1 
β0
n
n



yi -   x i    yi 
 i  1   i  1  dan
2
n
n
n   x12  -   x i 
 i 1
  i 1 
n
n  xi
i 1
n
 yi
 i 1
n
- β1 
i 1
xi
 y - β1 x
n
Definisi sisaan (residual)
Misalkan 0 dan 1 adalah koefisien kuadrat terkecil dari
yˆ  β 0 nilai
β1 x x tertentu
contoh (x1, y1), (x2, y2), …., (xn, yn). Untuk
dikenal sebagai nilai ramalan y dan untuk I = 1, …., n, beda
yi - yˆ i  yi - β 0  β1 x i  disebut sisaan (residual)
Bina Nusantara University
3
2. Model-model Nonlinear
a. Regresi Eksponensial
Hubungan antara dua peubah dinyatakan oleh fungsi
eksponensial
y = 0 e1x
Bentuk ini dapat dilogaritmakan menjadi
Ln y = ln 0 + 1 x
yang merupakan bentuk hubungan linear antara ln y
dan x. Dengan
metode
kuadrat
terkecil diperoleh
n
n
n
n  x i ln yi -   x i    ln yi 
 i 1   i 1

β1  i  1
2
n
n
n  x i 2 -   x i 
 i 1 
i 1
Bina Nusantara University
ln β 0
n

 i 1
ln
n
yi - β1 
i 1
n
xi
4
b. Regresi Logaritmik
Model Kurvilinear
y = 0 x I
Logaritmakan bentuk ini menjadi
Log y = log 0 + 1 log x,
berarti log y mempunyai bentuk hubungan linear dari:
β1 
n
n 
i 1
log β 0
Bina Nusantara University
n
n



log x i . log yi -   log x i    log yi 
 i 1
  i 1

n
n 
i 1
n

 i 1
log
2  n
log x i -  
 i 1


n
yi - β1 
i 1
log x i 

2
log x i
n
5
c. Regresi Logistik
Regresi logistik merupakan model pertumbuhan yang
banyak
diterapkan
menganalisis
pertumbuhan
organisme, pertumbuhan ekonomi.
Model regresi logistik adalah
L
y
dengan β 0 , β1 dan L adalah konstanta
β0  β1 x
1 e
Bentuk ini menggambarkan bentuk kurva S,
melinearkan model regresi logistik dengan mencari
x
kebalikannya
1 1  e β0  β1menjadi
L

, maka  1  e β0  β1 x
y
L
n
L-y
 e β0  β1 x
y
Bina Nusantara University
6
 L - y
 L - y
ln
  β 0  β1 x sehingga ln

 y 
 y 
mempunyai bentuk hubungan linear dengan x
xi
480
690
900
1100
1320
1530
yi
0,3
4,6
15,6
33,4
44,4
45,7
diperoleh yˆ 
48
1  e7,91 - 0,0076 x
(lihat case 11,2,5, larsen)
Bina Nusantara University
7
Data untuk regresi eksponensial = y = 0 e1x
Chip
Tahun
X = Sandi
Y = Transistor Per
8080
1975
0
4500
8086
1978
3
29000
80286
1982
7
90000
80386
1985
10
229000
80486
1989
14
1200000
Pentium
1993
18
3100000
Pentium Pro
1995
20
5500000
(Lihat case study 11.2.3, Larsen)
Bina Nusantara University
8
Hasil dugaan model regresi eksponensial:
Y = 7247,189 e 0,343 x atau y = 7247,189 (2 0,495 x)
Data untuk regresi logaritmik: y = 0 x 1
xi
360
165
21
23
11
18
18
150
45
45
18
yi
90
105
21
26
14
28
21
105
68
75
46
(Lihat case study 11.2.4, Larsen)
Regresi Logaritmik diperoleh :
yˆ  5,42 x
Bina Nusantara University
0,56
9
Model - model Kurvilinea r :
a. Bila y  β 0 eβ1 x maka ln y linear dengan x.
b. Bila y  β 0 x

β1
maka log y linear dengan log x.

c. Bila y  L 1  e β0  β1 x maka ln
 linear dengan x.
L-y
y
1
1
d. Bila y 
maka linear dengan x.
β 0  β1 x
y
e. Bila y 
x
1
1
maka linear dengan .
β 0  β1 x
y
x
f. Bila y  1 - e
Bina Nusantara University
β
-x 0
β1
 1 
maka ln ln 
 linear dengan ln x.
1 - y 
10