Materi Pokok 22
SEBARAN STATISTIK URUTAN (ORDER STATISTICS)

Fungsi kepekatan n Peubah Acak Urutan
Misalkan X1, X2, …, Xn merupakan contoh acak dari suatu
sebaran kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f(x) > 0 untuk
a<x<b
Bila Y1 = nilai urutan pertama dari Xi
Y2 = nilai urutan kedua dari Xi
.
.
.
Yn = nilai urutan terbesar dari Xi
Maka a < Y1 < Y2 < …< Yn < b
Merupakan urutan nilai dari kecil ke besar
Y1 = nilai terkecil (minimum)
Yn = nilai urutan terbesar (maksimum)
Fungsi kepektan peluang dari Y1, Y2, Y …, Yn adalah
q (y1, y2, … yn) = (n!) f(y1) f(y2) … f(yn)
untuk a < y1 < y2 < …< yn < b dan
nol untuk selain a < y1 < y2 <… < yn < b
Untuk n=3
Fungsi kepekatan gabungan X1, X2, X3 adalah f (x1, x2,x3) = f (x1)
f (x2) f (x3).
Perhatikan bahwa P (a< X1 = X2 < b, a < X3 < b) =
b b x2
   f
a b x2
x1  f x 2  f x 3  dx1 dx 2 dx 2  karena f x1  dx1  0
Urutan yang mungkin terjadi ada 6 kemungkinan sebagai berikut
A1 = {(x1, x2, x3) ; a < x1 < x2 < x3 < b},
A2 = {(x1, x2, x3) ; a < x2 < x1 < x3 < b},
A3 = {(x1, x2, x3) ; a < x1 < x3 < x2 < b},
A4 = {(x1, x2, x3) ; a < x2 < x3 < x1 < b},
A5 = {(x1, x2, x3) ; a < x3 < x1 < x2 < b},
A6 = {(x1, x2, x3) ; a < x3 < x2 < x1 < b},
3! = 6. ;
1
Perhatikan fungsi
Y1 = nilai minimum dari x1, x2, x3
Y2 = nilai pertengahan dari x1, x2, x3
Y3 = nilai maksimum dari x1, x2, x3
Merupakan transformasi satu-satu A1, A2,…, A6 ke dalam
himpunan B = {(y1, y2, y3) ; a < y1 < y2 < y3 < b} dengan fungsi
inversnya x1 = y1, x2 = y2, x3 = y3.
Untuk titik A1 yaitu dan untuk A2 = x1 = y2, x2 = y1, x3 = y3
dengan matriks Jacob sebagai berikut:
1 0 0
0 1 0
J1  0 1 0  1 dan J 2  1 0 0  - 1
0 0 1
0 0 1
Fungsi kepekatan peluangnya :
q y1 , y 2 , y3   J1 f y1  f y 2  f y3   J 2 f y 2  f y1  f y3  
 J 6 f y3  f y 2  f y1  , a  y1  y 2  y3  b
 3! f y1  f y 2  f y3  , a  y1  y 2  y3  b
 0, untuk lainnya
Bentuk umum fungsi kepekatan gabungan
g (y1, y2, …, yn) = (n!) f (y1) f (y2) … f (yn),
untuk a < y1 < … < yn < b
= 0, untuk lainnya

Fungsi kepekatan peluang nilai maksimum = Yn
Fungsi peluang gabungan Y1, Y2, …, Yn = g (y1, y2, …, yn) =
n! f (y1) f (y2) ….f (yn), untuk a < y1 < y2 <…< yn < b
gn (yn) = fungsi kepekatan marginal Yn.
g n y n  



y3
a
yn

a
yn

a
yn

a



y4 y3 y2

a

a
y4 y3

a

a
y4 y3

a

a
F y 2  f y 2  dy 2

a
n! f y n  dy1 dy 2  dy n - 1
y2

n!   f y n  dy1  f y 2   y n  dy 2  dy n - 1
a

n! F y 2  f y 2   f y n  dy 2  dy n - 1

F y3  2

karena F a   0
2

F y n  n - 1
g n y n   n!
f y n 
n - 1!
 n F y n  n - 1 f y n  , a  y n  b
 0, untuk nilai y n lainnya

Fungsi kepekatan peluang nilai minimum = Y1
Fungsi kepekatan peluang gabungan
g(y1, y2, …, yn) = n! f(y1) f(y2) …f(yn)
maka fungsi kepekatan peluang marginal nilai minimum Yi,
dengan a < y1 < b adalah
g1 y1   

b

b

b

b
y1 yn - 3 yn - 2 yn - 2
b

b

b
y1 yn - 3 yn - 2
Ingat 
b
yn - 2
n! f y1  f y 2   f y n  dy n - 1  dy 2
n! f y1  f y 2   f y n - 1  1 - F y n - 1  dy n - 1  dy 2
1 - F y n - 1  F y n - 1  dy n - 1

1 - F y n - 1 
-
2 b
2

1 - F y n - 1  2

,
2

 yn - 2
g1 y1     
b
b
y1
yn - 3
n! f y1   f y n - 2

1 - F y n - 2  2

dy
2
n - 2  dy 2
g1 y1   n 1 - F y1  n - 1 f y1  , a  y1  b
 0, y1 lainnya
Ingat

x

a
1 - F ω
β -1

1 - F y  β
f ω  dω 
,β  0
β
Fungsi kepekatan peluang urutan Yk
g k y k   
g k y k  
yk
a
y2 b
 
a yk


b
yn - 1
n! f y1  f y 2   f y n  dy n 
dy k  1 dy1  dy k - 1
n!
F y k  k  1 1 - F y k  n - k F y k 
k - 1! n - k !
untuk a  y k  b
 0, y k lainnya

Fungsi kepekatan peluang sambung dua urutan
Bila Yi < Yj, maka


yi y e y j
yi
b
b
g ij yi , y j      
n! f
 
a a a
yj- 2 yj
yn - 1
y1 
f y n  dy n  dy j  1 dy j - 1  dyi  1 dy1  dyi - 1
g ij yi , y j  

n!
i - 1!  j - i - 1! n - j!
x F yi  i - 1 F yi  - F yi  j - i - 1 1 F yi  n - 1 f yi  f y j 
untuk a  yi  y j  b
dan nol untuk nilai lainnya
Materi Pokok 23
TRANFORMASI PEUBAH ACAK DENGAN
FUNGSI PAMBANGKIT MOMEN

Fungsi Pembangkit Momen Fungsi Peubah Acak
Misalkan X1, X2, …,Xn merupakan contoh acak dari suatu
sebaran dengan fungsi kepekatan peluang f(x) dan fungsi
kepekatan peluang gabungan X1, X2, …,Xn adalah h
(x1,x2,…,xn) untuk Y1 = u1 (X1, X2, …,Xn) dan akan dicari g(y1)
yang merupakan fungsi kepekatan peluang Y1.
Bila fungsi pembangkit momen bagi Y1 ada maka untuk peubah
acak kontinu dapat ditulis
My t   E
 
e ty1
 ty
 e 1

g y1  dy1
Dan jika fungsi pembangkit momen bagi Y1 terlihat merupakan
fungsi pembangkit momen tertentu maka dengan sendirinya
fungsi kepekatan peluang bagi Y1 dapat ditentukan.
Contoh 1
Ambil peubah acak X1 dan X2 bebas dan mempunyai fungsi
masa peluang sama yaitu:
x
f x   , x  1, 2, 3
6
 0, x lainnya
Cari sebaran peluang Y = X1 + X2
Untuk X1 =1, 2, 3, dan X2 = 1, 2, 3 maka nilai Y = 2, 3, 4, 5, 6
dan sebaran peluang Y dengan mudah dilihat dalam tabel sebaran
peluang gabungan:
f (x1, x2)
X1
X2
1
2
3
1
1
36
2
36
3
36
2
2
36
4
36
6
36
3
3
36
6
36
9
36
Sehingga sebaran peluang Y = X1 + X2 adalah:
y
2
3
4
5
6
g (y)
1
36
4
36
10
36
12
36
9
36
Cara dengan menggunakan fungsi pembangkit momen dapat
dilakukan tanpa merinci sebaran peluang gabungannya.
Fungsi pembangkit momen Y = My(t)

  
M y t   E e ty . E e t x1  x 2   karena x1 dan x 2 bebas
M y t   E e ty  E e t x1  x 2 
E
   E e 
e tx1
tx 2
1 t 2 2t 3 3t
 e  e  e
6
6
6
2
2
3 
1
M y t    e t  e 2t  e3t 
6
6 
6
1
4
10
12
9
 e 2t  e3t  e 4t  e5t  e 6t
36
36
36
36
36
Fungsi massa peluang bagi Y adalah g(y) =
1
36 , y  2
 4
 , y3
 36
 10 , y  4
g( y )  
 36
12
 , y5
 36
9
 , y6
36
0 , y lainnya
Contoh 2
Ambil X1 dan X2 peubah acak bebas dengan sebaran masing2
2
masing normal = N ( 2 , 1 ) dan N ( 2 ,  2 ) carilah fungsi
kepekatan peluang g(y) bila Y = X1 - X2 dengan fungsi
pembangkit momen

Fungsi pembangkit momen Y = M (t)



 E e . e

 E e . E e
M t   E e t x1  x 2 
tx1
tx1
 tx 2
 tx 2
Karena X1 dan X2 bebas
 
E e tx1
2

2

t


 exp  1 t  1
2 



 
E e tx 2
2 

2 t 2 

 exp   2 t 
2 



Ganti t dengan –t untuk memperoleh

E e
 tx 2

2 2

σ
t 
2

 exp  μ 2 t 


2


2 2
2 2


σ
t
σ
t 
1
2



M t   exp μ1t 
exp  μ 2 t 




2
2






2
2


σ

σ
2
1
2
 exp  μ1  μ 2  t 
t 


2




Jadi Y ~ N μ1  μ 2 ; σ12  σ 2 2

Teorema 1.
Ambil X1, X2,…,X3 sebagai peubah acak saling bebas dan secara
berturut-turut memiliki sebaran normal N (1, 12), N (1, 22),
… dan N (n, n2).
Peubah acak Y = k1 X1 + k2 X2 + …. + kn Xn dengan k1, k2, ….,
kn adalah konstanta real akan menyebar secara normal dengan
nilai tengah k1 1 + k2 2 + …. + kn n dan ragam k12 12 + k22
22 + …. + kn2 n2
Jadi peubah acak
n
n

Y ~ N   k i μ i ,  k i 2 σ i 2 
 i 1

i 1
Buktinya dengan menggunakan fungsi pembangkit momen
My (t) = M (t)
M t   E exp t k1 X1  k 2 X 2    k n X n 

 


 E e tk1 X1 E e tk 2 X 2  E e tk n X n




n
ki2 μi2 t 2 

exp k i μ i  t 

II
2


i 1

 n k 2 μ 2  t 2 

i
i  
 n



i 1
 exp   k i μ i  t 

2

 i  1



n
n

Jadi Y ~ N  k i μ i ,  k i 2 μ i 2 
i  1

i 1
Teorema 2.
Jika X1, X2, …., Xn adalah peubah acak bebas dengan fungsi
pembangkit momen Mi(t), i = 1, 2, 3, …., n maka fungsi
pembangkit momen
n
Y   a i Xi
i 1
dengan a1, a2, …., an adalah real konstan maka
n
M y t    M i a i t 
i 1
Fungsi pembangkit momen Y = My (t)

  
 E e ta1 X1  E e ta 2 X 2 ..... E e ta n X n 
M y t   E e ty  E e t a1 X1  a 2 X 2  ....  a n X n 
M y t   M1 a1t  M 2 a 2 t   M n a n t  , jadi
n
M y t   Π M i a i t 
i 1
Corollary (Akibat Logis)
Jika X1, X2, …., Xn hasil pengamatan contoh acak dengan fungsi
pembangkit momen M(t) maka
a) Fungsi pembangkit momen
n
Y 
i 1
n
Xi adalah M y t   Π M t   M t n
i 1
b) Fungsi pembangkit momen
n
n
n 1
 t    t 
X     X i adalah M x t   Π M    M  
i 1
i 1  n 
 n    n 
Teorema 3.
Jika X1, X2, …., Xn merupakan peubaha cak yang saling bebas
dan masing-masing menyebar Khi-Kuadrat dengan derajat bebas
r1, r2, …., rn maka peubah acak Y = X1 + X2 + ….+ Xn menyebar
Khi-Kuadrat dengan derajat bebas (r1 + r2 + ….+ rn) atau
2
Y ~ X1 (r1 + r2 + ….+ rn)
Teorema 4.
Ambil X1, X2, …., Xn sebagai contoh acak berukuran n dari
suatu populasi yang menyebar normal N (, 2) maka peubah
2
acak
n x -μ
Y  

i 1  σ 
menyebar secara Khi-Kuadrat dengan derajat bebas n.