Materi Pokok 16
FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN PEUBAH ACAK
KONTINU KHUSUS

Fungsi Pembangkit Momen Sebaran Seragam
Fungsi kepekatan seragam (Uniform)
 1
,a  x  b
f (x)  b  a
0
, x lainnya
Fungsi pembangkit momennya
tb
ta
e
e
E (e tx ) 
, t  0 dan
t (b  a)
E (e tx )  1, t  0
Fungsi pembangkit momen = Mx (t) = E (etx)
1
M x t   E x  , untuk t  0
 
III
M x t   E x 3 , untuk t  0
II
M x t   E x 2 , untuk t  0
1
Pada fungsi pembangkit momen peubah acak seragam M x t 
diperoleh dengan menggunakan
1
1
e x  1  X  X 2  X 3  .......
2!
3!
1
1
e tb  1  tb  tb 2  tb 3  .......
2!
3!
1
1
2
ta


e  1  ta 
ta  ta 3  .......
2!
3!
ab
μ  M x 0 
dan
2
I
σ 2  M x 0  - M x 0  


II

1
2

b - a 2

12
Fungsi Pembangkit Momen Peubah Acak Eksponensial
Fungsi Kepekatan Eksponensial
1 - x θ
, 0x
f x    θ e
0
, x lainnya
Fungsi Pembangkit Momennya
 tx 1 - x
tx
M x t   E e   e . e θ dx
0
θ
 

 θe
1 
- - t  x
θ 
0
-
θ
e
dx
1 
- - t  x 
θ  
1
-t
θ
1
1
M x t  
,t
1 - θt
θ


0
I
μ  E X   M x 0   θ dan
σ 2  M x 0  - M x 0 


II
σ2  θ2
I
2

Fungsi Pembangkit Momen Peubah Acak Gamma
Fungsi Kepekatan Gamma
 α -1 - x β
e
x
, 0x
f x   
α
τ α  β

, x lainnya
0
dan α  0, β  0
Fungsi Pembangkit Momennya
 
M x t   E e tx
 tx
 e
0


0
.
xα -1 e
-x
τ α  β
β
α
- 1 - t  x
xα -1 e  β 
dx
dx
Substitusikan (1/ - t) x = y diperoleh:
Mx  t  
1
1
,t
1 - t  

I
  E X   M x 0    dan
 2  M x 0 - M x 0 


II
I
2
 2   2

Fungsi Pembangkit Momen Peubah Acak Khi-Kuadrat
Fungsi kepekatan peubah acak Khi-Kuadrat
 ν 2 -1 -x 2
e
 x
, 0x
ν
f x    ν
τ
2 2
2

0
, x lainnya
 
dan ν  1, 2, ......
Peubah acak X yang menyebar secara Khi-Kuadrat disingkat
X12 (). Peubah acak ini adalah bentuk khusus dari peubah acak
Gamma dengan  = 2 dan  = /2 dimana  adalah bilangan
bulat positif.
Fungsi Pembangkit Momennya
   0
M x t   E e

tx
e tx
 2 2
τ ν
ν
x
ν -1 -x
2 e 2
dx
2
Dengan menggunakan fungsi pembangkit momen p.a.Gamma
M x t  
1
1 - βt 
α
, tanpa menyelesai kan integral
Fungsi pembangkit momen peubah acak Khi-Kuadrat
M x t  
1
1 - 2t 
ν
1
dan
2
 2  2  ν dan
μ  E X   M x 0   ν
 2  22  2ν
σ2  ν

Fungsi Pembangkit Momen Sebaran Normal
Fungsi kepekatan peubah acak normal
 x - μ 2 
1
f x  
exp ,- x 
2
σ 2π
 2σ 
Fungsi pembangkit momennya
 
M x t   E e tx
 x - μ 2 
e tx

exp dx
2 
-  σ 2π
 2σ 

M x t 

 


Gunakan kesamaan


 
x -2 μσ t xμ  x- μσ t
2



1
 1
exp - 2 x 2 - 2 μ  σ 2 t x  μ 2 dx
σ 2π
 2σ
2
2
2

2
2μ 2 t - σ 4 t 2
sehingga
 2μμ 2 t  σ 4 t 2   1
 1
2






M x t   exp 
exp
x
μ

σ2t


 dx
2
2


 2σ

2σ

 σ 2π
2 2
 2μμ 2 t  σ 4 t 2 

σ
t 



M x t   exp 
 exp  μt 
2


2
2σ






2 2

σ
t 
M x t   μ  σ 2 t exp  μt 
dan

2 

I


2 2

σ
t 

2

M x t   μ  σ t  σ exp  μt 


2 

maka
II
2 2
I
E X   M x 0   μ
2
Var X   M x 0  - M x 0   μ 2  σ 2 - μ 2  σ 2


II
I