Materi Pokok 14
FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN P.A. DISKRIT KHUSUS

Fungsi Pembangkit Momen Peubah Acak Binomial
Fungsi peluang binominal
n x
f (x)    p (1  p) n  x , x  0, 1, 2, ..., n
x
Fungsi Pembangkit Momennya:
n tx  n  x
tx
M x (t)  E e   e   p (1  p) n  x
x 0
x
n n
    (pe t ) x (1  p) n  x
x 0  x 
 

 (1 - p)  pe
 ,  t  
t n
Turunan pertama M x x  pada t  M x t ;
1

M x t   n 1 - p   pe t
1
1
 pe  dan
n -1
t
untuk t  0, M x 0   nρ  μ  E X 
1
Turunan kedua M x t ;
1

M x t   n n - 1 1 - p   pe
11
t
 pe 
n-2
t 2

 n 1 - p   pe t
 
untuk t  0, M x 0   n n - 1 p 2  np  E X 2 ,
11
 
sehingga ragam σ 2  E X 2 - μ 2
 n n - 1 p  np - np 
2
 np - 1 - p 
2
 pe 
n -1
t
 
M x t   E e tx   e tx f x  dan
x
M x t    e tx f x 
1
x
M x t    x 2 e tx f x  sehingga untuk t  0, menjadi
11
x
M x 0    x f x   E x   μ
1
x
 
M x 0    x 2 f x   E x 2
11
x

Fungsi Pembangkit Momen Peubah Acak Bernoulli
Fungsi Peluang Bernoulli:
f x   px 1 - p  1 - x , x  0,1
Fungsi Pembangkit Momennya:
    e p 1 - p 
  pe  1 - p 
 1 - p   pe   1 - p   pe
M x t   E e
1
1
tx
tx
x
1- x
x0
t x
1- x
x0
t 1
t
M x t   1 - p   pe t
M x t   pe , untuk t  0, M x 0   p  E x 
1
t
1
 
M x t   pe , untuk t  0, M x 0   p  E x 2
11
t
11
1

σ  M x 0  -  M x 0  2  p - p 2  p 1 - p 


Sebaran Bernoulli adalah bentuk khusus dari sebaran Binomial
untuk n = 1
2
11

Fungsi Pembangkit Momen Peubah Acak Binomial Negatif
Fungsi Peluang P. A. Binomial Negatif:
 x - 1 r x - r
f x   
 p 2 , x  r, r  1
 r -1
Fungsi Pembangkit Momennya:
 x - 1 x
M x t   E e   e 
 p 1 - p  x - r
x-r
 r -1
t r  tx  x - 1
 pe  e 
 1 - p e t x - r
x-r
 r -1
 
tx


 

tx
pe 
t r
1 - 1 - p e 
t

t


,
1
p
e
 1 atau t  - ln 1 - p 
r
  1 - 1 - p  e  , turunanny a
t   pe  - r  1 - 1 - p  e  - 1 - p  e  
r pe  pe  1 - 1 - p  e 
 r pe  1 - 1 - p  e 
M x t   pe
1
Mx
t r
t -r
t r
t -r - 1
t
r -1
t
t -r
t
t r
t -r - 1
untuk t  0, μ  E x   M x 0  menjadi
1
r
r - r -1


M x 0  rp p   μ
1
p
Turunan kedua M x t  adalah
11
  - r - 1 1 - 1 - p e  - 1 - p e  
r pe  pe  1 - 1 - p  e 
M x t   r pe
11
2
t  r -2
t r
t r -1
t
t - r -1
t
M x 0   r r  1 p r p -r -2 1 - p   r 2 p r -1
11
 rp-2 1 - p r  1  rp  rp-2 r  1 - p 

r  1 - p   E x 2 , sehingga
p2
2


r

1
p
r
σ2 
-
p2
r2
σ  2
p
2
r 1 - p 

2
p
p2

Fungsi Pembangkit Momen Peubah Acak Geometri
Fungsi peluang P. A. Geometri:
f x  p 1 - p 
x -1
, x  1, 2, 3, .....
Fungsi Pembangkit Momennya:
    e p 1 - p 
 pe  1 - p  e 
M x t   E e
t
tx


tx
x 1
t
x -1
x 1
pe t
pe t
M x t  

t
1 - 1 - p  e
1 - 2e t
x -1
Turunan pertama terhadap t

M x x   1 - 1 - p  e
1


pe  1 - 1 - p  e
t
pe t 1 - 1 - p  e t  1 - p  e t
M x x  
1


t -1
1 - 1 - p e 

t -2

1 - p  e t
t
pe

t 2
pe t
1 - 1 - p e 
t 2
,
Turunan keduanya adalah

M x x   1 - 1 - p  e
11

t -2

pe  2 - 1 - p  e
t
1 2 1 - p  p  2 - 2p 2 - p
M x 0  

 2
2
2
p
p
p
p
11

t -3
1 - p  e t
t
pe

2
2-p 1
σ  M x 0   M x 0   2 - 2


p
p
2
11
1
1- p 2
σ  2  2
p
p
2

Fungsi Pembangkit Momen Peubah Acak Poisson
Fungsi Peluang Poisson:
e -λ λ x
f x  
, x  0, 1, 2, .....
x!
Fungsi Pembangkit Momennya:
-λ x

e
λ
tx
tx
M x t   E e   e 
x 0
x!
 
e
λe 
t x
-λ 

x0
M x t   e - λ e
λe t
x!
e
λ  e t - 1




Turunan pertamanya
M x t   λe t  e
1
λ  e t - 1 


untuk t  0, μ  E x   M x 0   λ
1
turunan keduanya
 
M x t   λe
11
t 2
 e
λ  e t - 1 


 λe t e
λ  e t - 1 


untuk t  0, E x   M x 0   λ 2  λ
11
2
σ2  M x 0  - M x 0 


11
1
σ2  λ 2  λ - λ 2  λ
2