Materi Pokok 21
SEBARAN PEUBAH ACAK KONTINU KHUSUS 1

Sebaran (Fungsi) Kepekatan Normal
Sebaran Normal adalah sangat penting dalam penggunaan
statistika karena banyak hasil pengukuran mempunyai sebaran
normal. Peubah acak X mempunyai sebaran normal
= X ~ N (, 2), didefinisikan,
 (X - μ) 2 
1
f (x) 
exp 
,- x 

2
σ 2π
 2σ 
dengan  = nilai tengah dan 2 = ragam (varians) peubah acak X
Z = (X - ) / adalah peubah acak normal baku dengan nilai
tengah nol dan ragam Z = 1, Z ~ N (0, 1)

I   
1
2π
e
-Z
2
2
dz  1, Buktikan
(Petunjuk I2 = 1, gunakan p. a. X dan Y sebagai peubah acak
normal baku).

Fungsi Pembangkit Momennya

M x t    - σ
 x - μ 2 
exp dx
2 
2π
 2σ 
e tx
 x - 2 μ  σ t  x  μ2dx

 - σ 12π exp -
2
1
2σ 2
2
 2μ 2 t  σ 4 t 2 
1 2 2

M x t   exp 

exp
μt

σ t
2
2

2σ



Turunan pertama terhadap t





M x t   μ  σ 2 t exp μt  12 σ 2 t 2 dan
1
Turunan kedua terhadap t


 
M x t   μ  σ t  σ exp μt 
11
2
2
2
σ2 t 2
2

sehingga E X   M 0  μ dan
x
2
11
1
Var X   M x 0 - M x 0  μ 2  σ 2 - μ 2  σ 2


1
Fungsi sebarannya:  z   P Z  z   -
z
1
2π
e
-u
2
2
du
 (z) = dapat ditentukan dengan menggunakan tabel normal baku.

Sebaran Seragam dan Eksponensial
Peubah acak X dipilih secara acak pada selang
[a, b], - < a< b <  menyebar secara seragam dengan fungsi
kepekatan:
 b 1- a , a  x  b
f x   
0 , x lainnya
Fungsi sebarannya adalah
F x   P X  x   a b 1- a dx
x
x -a

, untuk a  x  b
b-a
0 , x  a

F x    xb -- aa , a  x  b

1 , x  b
Fungsi Pembangkit Momennya:
  
M x t   E e

a
a
tx

tx
e
f x  dx
-
e tx
e tb - e ta
dx 
,t0
b-a
t b - a 
 e tb - e ta , t  0
M x t    t  b - a 
, t0
1
2 b2
2!
t2 a2
2!
e tb  1  tb  t
e  1  ta 
ta
3 3
4 b4
4!
t4 a4
4!
 t 3!b  t

t3 a3
3!


 .....
 .....




etb - eta  t b - a   12 t 2 b 2 - a 2  16 t 3 b 3 - a 3  241 t 4 b 4 - a 4

1
1 2 2
1 3  b4 - a 4 
2
  .....
M x t   1  t a  b   t a  ab  b  t 
2
6
24  b - a 


1
1 2
1 2  b4 - a 4 
2
  .....
M x t   a  b   t a  ab  b  t 
2
3
8  b-a 

1

4
4


1 2
1
b
a
2
  .....
M x t   a  ab  b  t 
3
4  b-a 
1
ab
E X   M x 0  
2

11

2
σ  M x 0  - M x 0 


1 2
2
ab 2
 a  ab  b -  2 
3
11
2

1

2


b-a
σ2 
12

Sebaran (Fungsi) Kepekatan Eksponensial
Fungsi kepekatan eksponensial peubah acak X:
1 -x θ
f X   e , 0  x  
θ
Fungsi sebarannya:
, -x0
0
F X   
-x
θ
1 - e , 0  x  
Median = m diperoleh dengan
F m   0, 5
1- e
-m
θ
 0, 5
m  - θ ln 0, 5  θ ln 2
Fungsi Pembangkit Momennya:
-x
 tx
tx
1
M x m   E e  0 e θ  e θ dx
 

b
 e
lim  1θ
b 0
-1 - θt  x
-1 - θt x
θ
dx
b
 e
θ
1
 
 lim 
b 
1 - θt  1 - θt

0
1
dengan t 
θ
1
11
θ
2θ 2
Mx 
dan M x t  
2
1 - θt 
1 - θt 3
sehingga
μ  M x 0   θ
1
2
σ  M x 0  - M x 0   2θ 2 - θ 2  θ 2


2
11
1

Sebaran (Fungsi) Kepekatan Gamma
Sebaran Eksponensial adalah kasus khusus dari Sebaran Gamma.
Sebaran (Fungsi) Kepekatan Gamma didasarkan suatu fungsi
Gamma

τα   0 y
α -1
-y
e  dy untuk α  0

τα   α - 1 0 y
α-2
τα   α - 1 τ α - 1
 α - 1 !
τ1  1
τ12   π
-y
e  dy untuk α  1
Peubah acak kontinu X mempunyai sebauh sebaran Gamma
dengan parameter  dan , bila fungsi kepekatannya diberikan
 1
f x    β α τ  α  x
 0
α -1
e
-x
β
,
x0
,
x lainnya
dimana  > 0, dan  > 0
Bila  = 1 maka f (x) merupakan fungsi f (x) merupakan fungsi
eksponensial:
1 - xβ
f x   e , x  0
β
Fungsi Kepekatan Gamma
-x
1
α -1
f x   α
x e β , mempunyai sifat bahwa f x   0 dan
β τα 



0

0
f x  dx  1
-x
1
α -1
β
x dx  β dx sehingga
x
e
,
substitusi
y

β
β α τα 
1  α -1 -y
τ α 
y
e
dy

1

0
τα 
τ α 
Fungsi Pembangkit Momennya
-x
 tx
1
tx
α -1
β
M x t   E e  α
e
dx
 e x
0
β τα 
 
 α -1
1
 α
e
 x
0
β τα 
1 
- - t  x
β 
dx
β
1 
Substitusi  - t  x  y, dx 
dy
1 - βt
β 

1
α -1 -y
1
M x t  
y
e dy

α 0 τ α 
1 - βt 
1
-α


M x t  

1
βt
1 - βt α
M x t   αβ 1 - βt  -α -1
1
M x t   αβ 2 α  11 - βt 
11
-α - 2
μ  E X   M x 0   αβ
1
σ 2  M x 0  - M x 0 


11
1
2
 αβ 2 α  1 - α 2 β 2  α 2 β 2  αβ 2 α 2 β 2
σ 2  αβ 2

Sebaran (Fungsi Kepekatan) Beta
Suatu peubah X dikatakan menyebar secara Beta bila fungsi
kepekatannya
 x α - 1 1 - x  β - 1 , 0  x  1
f x    B α, β 
 0
, x lainnya
dengan α, β  0
B α, β   fungsi Beta
B α, β   0 u
1 - u  β - 1 du
τ α  τ β 
B α, β  
τ α  β 
1
α -1
α
μ  E X  
αβ
σ2 
αβ
2
α  β  α  β  1
Gunakan E X 
k