SAMPLING CLUSTER DAN SAMPLING ACAK

V ( Y ) untuk sampling acak :
Untuk Ni = N
n
N
=
dan ni = n = m
M
Rataan sampel dari n = m n unit sampling (unit sekunder)

m n
M N
1
1
Y    yij
Y  mn   yij merupakan
N
i1 j1
i1 j1
taksiran tak bias untuk
Sampling Cluster dipandang sebagai
sampling acak berukuran m n dari
Populasi berukuran M N sehingga
MN  mn S 2
MN
mn
2
V ( ) =
dengan
Y


M N
2
1
2
S 
  yij  Y
MN  1i1 j1
M N
Y  1   yij  Y
MN
MN i1 j1
Varians sampling cluster = V (  ) ;
Y
 N  N  N , N  n  n 
i
M
m
 i
2
2
S
S
V ( Y ) = M  m 1b  N  n 2i

M
m
N
mn
3


M
2
1
2
y

Y
 i
S1b
2
N (M  1) i1

MN - 1 S2 1  ( N  1) 
2
N (M  1)
2  (N  1) (MN  1) S2 (1 ρ)
S2i
M(N  1)
N
 MN - 1S2 (1  )
MN
dengan
ρ
E(yij  Y )(yik  Y )
E(yij  Y )2
= koefisien
korelasi intra
cluster
4


V( Y )  V( Y
) 1 (n - 1)ρ
cl
acak
Jika m n << M N :
 N  n M  mn M  m n
N  n 
V(
Y cl )  V( Y acak )  N  (M  1) N   M  1 N (N  1)  N  ρ


Jika n << N dan m << M

2
M
N

1
S
1 0  (n - 1) ρ
V( y ) 
mn
cl
MN
2
S

1  (n  1) ρ
mn

 V (y
) 1  (n - 1) ρ
acak

s
Taksiran V (
)=
bila  = 0,
Y cl mn


M << M, n << n << 5N
Alokasi Optimal
C1 = biaya pemilihan unit primer
C2 = biaya pemilihan unit sekunder
C = C1m + C2 m n

2
2
S
S
Minimumkan V( Y)  M  m 1b  N  n 2i
M
m
N mn
Fungsi Lagrange :
F = V (  ) +  (c1m + c2mn - c) diperoleh
Y
2
C
S
2
1
2i
n 
nop 
C2
2  ( 2 N)
S1b
S2i
C1
C2
S2i2
2  ( 2 N)
Sib
S2i
6
Nn 1
N
Bila n << N
s

2
2
S
S
V( Y )  M  m 1b  2i
M
m
mn
Dengan Lagrage diperoleh
nop 
C1
C2
S2i2
Sib2
nop dan m dinyatakan dengan  = koefisien korelasi
op
intraclass.
2  MN  1 S2 1  (N  1) ρ
S1b
2
N (M  1)
MN  1
S2i2  MN S2 1- ρ
Kedua varians ini dapat didekati dengan
7


MN  1 S2 1  (N - 1) ρ
2
N M
 1 S2 1 (N - 1) ρ
N
2  MN S2 1 - ρ 
S2i MN
2  2  1 S2 1  (N - 1) ρ  1 S2 (1  ρ)
S1b S2i N N
N
S1b2 






 1 S2 1  (N - 1) ρ - 1  
N
 1 S2 Nρ  S2ρ dan diperoleh
N
nop 
C1 S2 (1  )

C2
S2
C1 (1  )
,
C2

8
Taksiran Proporsi
Pada proporsi nilai peubah diamati bernilai 1 atau 0.
Untuk sampling cluster dua tahap
1 bila unit populasi ada di C
=
Yij
0 bila unit populasi berada di C’
i = 1, 2, … , M;
j = 1, 2, … , Ni
P = proporsi unit populasi yang masuk C
1 Ni
P   y ij
N j 1
1 M Ni
1 M Nij
P    y ij  
N i 1 j 1
N i 1 Ni
1 M
  NiPi
N i 1
Ni
y
ij
j 1
9

Taksiran Proporsi =
P
(m, ni, i =1, 2, … , m) sampel cluster dua tahap dari
populasi
(M, Ni, i =1, 2, … , M) maka

M
P
Nm
m
1
N
P
,
P


i i
i
ni
i 1
ni
 yij 
j 1
yi
, y ij  0 atau 1
ni
Hal khusus
N
(i) jika Ni  M  N
, maka

P
M
m
Np

MNm
i 1
i
1 m
  pi
m i 1
(ii) jika
dan
pi 
N
Ni 
N
M
n
ni 
n
m
maka
yi
n

1
P 
m
dan
m
p
i 1
i
10

m
1
y

mn
i 1
i
Persamaan

1
m
y


mn
i 1

n
P
j 1
ij
M
Ni pi

Nm
dapat diuraikan dalam 4 komponen :
m
N p
i
merupakan taksiran total untuk m unit primer
i
i 1
1
m
M
m
M
Nm
m
N p
i
i
merupakan taksiran rataan per cluster
i
merupakan taksiran total untuk M unit primer
i 1
m
N p
i
i 1
m
N p
i
i 1
i
merupakan taksiran proporsi P
11
Jika
N
1
Ni  , maka
M
m
m
N p
i
i
i 1
akan lebih kecil dari rataan per cluster
Varians
Varians

 
V y 
 
 

P  V P 
 
1 m
1 N m
:m  Ni pi  m M  pi
i 1


V P 
 
=
=

diperoleh dari
varians V y 
 
 
1  2 N - m Sb2 M M 2 Ni  ni Si2 
M

  Ni
2 
N 
M m m i 1
Ni ni 
1
N2
 2 M - m Sb2 M 1
 M

M m m N2

Ni  ni Si2 

N

Ni ni 
i 1
M
2
i
12

N  NM

2
1 M
S 
 Yi  y
M  1 i 1
Y
Pi  i atau Yi  Ni Pi dan
Ni
2
b
Y 1 M
N 1 M
Y    Yi 
 Yi  N P
M M i 1
M N i 1

1 M
2
Sb 
 NiPi  N P
M  1 i 1
1 Ni 
2

Si 
 Yij  Y i 


Ni  1 j 1 


2
2
1
Ni Pi Qi , Qi  1  Pi
Ni  1
2

Mm
1 M
M
 

V Y   V P  
N
P
N
P


i
2
mN 2
  MM  1 N m i 1
 
 

Hal khusus
Jika m = n maka

 1
V P   2
  N
Ni2 Ni  ni  Pi Qi

Ni  1
ni
i 1
M
Ni2 Ni  ni  Pi Qi

Ni  1
ni
i 1
M
13
Jika
N  Ni 
N
n
dan n  ni 
M
m
2
Mm 1 M
Nn 1 M

Pi  P 
V P  
Pi Qi


M N  1 m n i 1
  MM  1 m i 1




Taksiran Varians P  V P 
 




2
Mm 2 1 M
M

V P  
N
N
P

N
P

 ii
m i 1
m N2
  MM  1
Taksirannya =
 
V P 
 


Ni2 Ni  ni  PiQi
2 N  1 n
i 1
i
i
M

2
2
  1  2 M  m sb M m Ni  ni si 
 

V P   V Y   2  M
 
M m m i 1 Ni ni 
 
  N 
 
2
m
m



1 m   
1
1
 Y i  Y  , Y i  Ni p i , Y   Y i   NiPi
s 


m  1 i1 
m i1
m i1

2
b
1 m 
1 m


N
p

N
P

 i i m
i i

m  1 i1 
i 1

2
2
1 ni 
  1 n p q , q  1  p
s 
y

y

 ij i  n  1 i i i i
i
n i  1 j1 
i
2
i
14
2
1  2 Mm 1 1 m 
1 m


V  P   2 M
N
P

N
P


 i i m  i i  
M
m
m
1
N
 

i 1 
i 1

M m 2 Ni  n i 1 1
 Ni N n n  1 n i p i qi 
m i1
i
i
i

N
n
Ni   N , ni   n
M
m
Taksiran P menjadi
Bila
Bila
nN
maka


2
m
Nn 1 1
   Mm 1 1 m
V P  
pi qi
 Pi  P  N M m n - 1
M m m - 1 i 1
 
i 1


M m
1 m
1 m n
P
Ni Pi   yi 
yij



Nm i 1
m i 1
mn i 1 j 1

m
1
  Mm
V P  
pi  p

M mm - 1 i 1
 



2
 
n
 
Ni  N , ni  n 
dan m  M, V  P 
m
 

m
m
M

m
1
1
N

n
1
1
2
 pi  p  
Vˆ Pˆ 
pi qi


M m m  1 i 1
N M mn  1 i 1
15
karena
m
1
 0 dan
0
M
M
maka

m
1
 
V P  
pi  p

  mm  1 i 1



2
16