Sampling Ganda Untuk Taksiran
Peubah xi berkorelasi dengan yi. Peubah xi
digunakan menaksir rataan Y
dengan menggunakan sampling ganda. Pada sampling
pertama berukuran n’ diukur peubah xi. Pada sampel
kedua, suatu subsampel acak berukuran n  n'  n'
k
diukur kedua peubah xi dan yi, k ditetapkan terlebih dahulu.
Dengan penaksiran regresi rataan Y
ylr  y  x ' x 
dimana
ditaksir dengan ylr
1 n'
x '   xi
n' i 1
1 n
x   xi
n i 1
1 n
y   yi
n i 1
2
n
b
 y
i 1
i
 y  x i  x 

n
s yx
 x  x 
Prosedur Sampling Ganda Untuk Penaksiran
Regresi
i 1
Populasi
Rataan Y
2
s xx
i
Sampel I
ukuran n’
x1,x2,….xn’
Rataan = x '
Sampel II
n  n ' 
n'
k
0   1
x1 , y1 ......xn , yn 
3
n'
n
Taksiran Y  ylr  y  b x ' x,
Taksiran regresi :
-Sampling tunggal
ylr  y  bx  x 
ylr  y  bx ' x 
-Sampling ganda
 ( ylr ) 
Sy
n
2
1     
2
2
Sy
2

Sy
2
n'
N
2
2 1 
21 
 S y 

 
n' N 
 n
Perbandingan sampling ganda dengan sampling
tunggal.
2
2
2
   ( ylr ) 
Sy
n
1     
2
2
Sy
n'

Sy
N
4

Sy
n
2

Sy
n
2
1     
2
2
Sy
2
dan C  cn  c'n'
n'
dimana
c = biaya sampling per unit tahap kedua.
c’ = biaya sampling per unit tahap pertama
 min  S y
 c1   
c' 
2
2
c
2
 S
2
2
y
N
Jika semua dana digunakan pada sampel tunggal tanpa koreksi
regresi maka sampel tunggal tersebut berukuran
C
n
dan varians
rataan
Sy
c
2
c 2
 y  S y 
C
N
5
 c1   
c' 
2
Sy
2
2
C
 S
2
2
2
c 2 Sy
 Sy 
N C
N
y
Taksiran Regresi Pada Sampel Ganda Untuk
Regresi
Jika
1
n
  ylr  
diabaikan maka   ylr  = varians taksiran, diberikan
Sy
2
1     
2
2
Sy
2

Sy
2
n
n'
N
dengan
taksiran varians sampel ˆ  ylr 
ˆ ylr     ylr  
s y. x
n
2
s y  s y. x
2

n'
2

sy
2
N
6
Jika ukuran sampel II kecil dan
1
n
tidak dapat diabaikan maka taksiran varian sampel acak :
2
2
2
2


s

s
s


1
x
'

x
y
y. x
y
  ylr   s y. x 3  


2
n
n'
N

 xi  x  
Taksiran nisbah terhadap rataan
y
ˆ
Y  Y  yR  x
x
dan

 1 1  2 1 1  2
  yR      s y     s y 2 RS y x  R 2 s x 2
 n' N 
 n n' 





2
sy
1 2
1
2 2
2 2
  y R   s y 2Rs yx  R s x  2Rs yx  R s x 
n
n'
N
7
Sampling Ganda Untuk Stratifikasi Dan
Sampling Ganda Untuk Penaksiran
Sampling Ganda Untuk Stratifikasi
Sampling ganda terdiri dari 2 tahap :
I)Sampel acak berukuran n’ dari populasi dengan L strata,
diguna-kan untuk menaksir bobot strata
Nh
n1h
Wh 
, dengan W h  w h 
,
N
n'
I)Sampel acak stratifikasi, digunakan untuk menaksir
rataan strata

1
Y  yh 
nh
nh
y
i 1
hi
8
xi,yi
Populasi
berukuran N
terdiri dari L
strata ukuran Nh
n'
Alokasi
Uukuran
sampel nh’
n
Alokasi
Ukuran
sampel nh
L
Rataan populasi Y   WhYh
h 1
dengan penaksiran
L
y st   Wh yh
h 1
dengan
1
yh 
nh
nh
y
i 1
hi
;
nh '
Wh 
n
9
nh   h nh ' ;
Varians
,
Dimana
0  h  1
h
ditetapkan sebelumnya.
Bila h= 10 %  nh  0,1 nh '
1  L Wh S h
2 1
  yst   S     
 n' N  h1 n'
2
1

  1
 h 
1
2


y

Y
 hi
N 1
1
2



y

Y
 hi h
Nh 1
S2 
Sh
2
Penyederhanaan.
L
1  g' L
2
2 1


  yst   Wh S h 
   Wh Yh  Y 
i)
h 1
 n' h N  n' h1
asalkan
N  n'
g'
 N 1
n' N '
n' N
L
ii)
Wh PhQh g ' L
2
 Pst   
 Wh Ph  P 
n' h 1
h 1 n' h
10
iii)Jika nh tidak tergantung dari nh’, nh   h nh '
dan
nh
 0 maka
Nh
Alokasi Optimal
 


2
Wh2Sh2 g' L
V y st  
  Wh Y h  Y
nh
n' h
h
1

2
c'
Vh opt  Sh 
2
2 

c
s

W
S
 h
 h h 
C*
n' opt 
c '  c h Vh Wh
L
dimana
c’ = biaya pengelompokkan per unit
ch = biaya pengukuran per unit pada stratum h
dengan biaya sampling
L
C  c ' n'  c hnh
h
11
Alokasi sampel yang paling sederhana, jika ch dan
Sh konstan
 c'
Vh  V  
c

Sw

S 2  S 2w 


1
2
1
2
 c' 1 

dengan

 c 0  1
S2
0  2  efisiensi relatif stratifika si
Sw
proporsional terhadap sampling
acak
12
Taksiran varians sampling ganda untuk stratifikasi
Jika 1 dan 1
diabaikan maka taksiran varians Vy st 
N
n'
   
V y st

 1
1  g' L
 V y st   Wh s 
    Wh yh  yst
n
'
V
N  n' h
h
h

L
2
w h2 s h2
w h s h2 g' L


  w h yh  y st
nh
N
n' h
h

L
2
h

dengan g ' 
N  n'
N 1
Jika
n' N  1
V y st  V y st 
n'1 N
   
dan
1
N
2

tidak dapat diabaikan
 1 1  g ' 2  wh 1 
 w s  n' v  N   n'  sh  n  n' v  
h 
 h




g'

n'
1
n'

2
h h
 w yh  y  
2
h
st
Jika parameter yang ditaksir proporsi P maka
 

 1
1  g'
v y st   wh sh2 
    wh yh  y st
 n' vh N  n'

2
13
Dengan mengganti
dengan
nh p h q h
n h 1
yh
maka
dengan ph dan
s h2
nh w h p h q h
v pst  
nh  1 n h  1
Sampling Ganda
Untuk Taksiran
Peubah xi berkorelasi dengan yi. Peubah xi
digunakan menaksir rataan Y
dengan menggunakan sampling ganda. Pada
sampling pertama berukuran n’ diukur peubah xi.
Pada sampel kedua, suatu subsampel acak
berukuran
n'
n  n' 
k
diukur kedua peubah xi dan yi, k ditetapkan terlebih
14
dahulu.
Dengan penaksiran regresi rataan Y
ditaksir dengan
ylr  y  x ' x 
ylr
dimana
1 n'
x '   xi
n' i 1
1 n
x   xi
n i 1
.
1 n
y   yi
n i 1
n
b
 y
i 1
i
n
 y  x i  x 
 xi
 x

2
s yx
s xx
i 1
15
16