Metode Penaksiran Nisbah dan Regresi
Metode Nisbah
Jika total populasi X dari xi diketahui dan peubah xi
danyi berkorelasi maka taksiran nisbah populasi Y dari
yi :
y
x
= total sampel xi
ŶR  X
x
y
= total sampel yi
y
X
x
ˆ  yX
Y
R
x
ŶR 
Yˆ = taksiran rataan populasi Y
2
Contoh:
y = yi = 6262
x = xi = 5054, X = 22.919
Taksiran nisbah total :
y
6262
ŶR  X 
 22.919
x
5054
ŶR  28.397
Jika n = 49 dan N = 196 diketahui maka taksiran total
Ŷ  Ny 
196 6262  25.048
49
Varians taksiran nisbah:
y
X ; ŶR  taksiran nisbah total populasi Y
x
y
ˆ
Y  X ; Yˆ  taksiran rataan Y
x
y
R̂ 
x
ŶR 
3
Untuk n > 30, varians taksiran nisbah total
N2 1  f   1 N
2
yi  Rxi  
V ŶR 


n
 N  1 i 1

 
 
1 f
ˆ
V YR 
nX 2
 
V R̂ 
 1 N
2
 N  1  yi  Rxi  
i 1


1 f  1
n
2


yi

Rxi
;
f

 N
nX2  N  1

karena
maka
Y  Rx
N2 1  f  N
V ŶR 
yi  Y  R xi  X

nN  1 i 1
 

N2 1  f 

nN  1
 

2
 yi  Y   R  xi  X  2Ryi  Y xi  X
2
2
2
4
E yi  Y xi  X 
E yi  Y 2 E xi  X 2

yi  Y xi  X 

N  1S ySx


= koefisien korelasi antara xi dan yi.
Sx = simpangan baku xi
Sy = simpangan baku yi

N 2 1  f  2
V ŶR 
S y  2RS ySx  R 2S2x atau
n
 
 S2
2
S
S
2


y
yx
Y
x
ˆ
V YR  1  f 
2

n  Y 2
XY X 2 


2
Y
 1 - f 
C yy  2C yx  C xx
n
 

Syx =

 SySx = kovarians (yi,xi)
Cyy = kuadrat koefisien variasi dari yi
Cxx = kuadrat koefisien variasi dari xi
5
2
 Sy 
S2x  Sx  2
C yy 
   ; C xx 
  
Y 2  Y 
X2  X 
S2y
C yx 
S yx
Taksiran
 kovarians relatif antara yi dan xi
2  1  yi  R̂xi 2 mempunyai bias 1
2
2
S
varians S = s
n 1
n
YX


N 2 1  f  n

V ŶR 
yi  Rxi 2

n n  1
i 1
2
N 2 1  f  n
v ŶR 
 yi  R̂xi atau
n n  1
i 1
 
dengan taksiran
 


N 2 1  f  
2 x i2 
2
v ŶR 
  yi  2R̂  x i yi  R̂

n n  1 

N 2 1  f  2
6

S y  2R̂S yx  R̂ 2S2
x
n n  1
 


Dengan S yx  n 1 1  x i  X yi  Y 
Syx = kovarians sampel antara xi dan yi
Ada dua rumus taksiran sampel varians VR̂ 
 


1.
ˆ  NXR̂
V1 R̂  1  f S2y  2R̂Syx  R̂ 2S2x ; Y
R
nX 2
2.
y
1

f
2
2
2
ˆ
V1 R̂ 
S y  2R̂S yx  R̂ Sx ; R 
x
nX 2
 


Pada rumus ini X tidak perlu diketahui sebelumnya.
Selang Kepercayaan:
Selang kepercayaan (1-)100% bagi total Y adalah
ŶR  Z
 
2
V ŶR
7
Selang kepercayaan (1-)100% bagi nisbah R adalah:
R̂  Z
 
2
V ŶR
Sebaran normal berlaku bila N  30
dan
C xy 
S yx
XY
 10%
Untuk sampel acak:
y  Rx
N  n S2  2RS  R 2S2
y
yx
x
nN
~ N0,1
Jika Z2 C yy , Z2 Cxxdan kecil
2
2
Z2 C xy
 2
8
Dibandingkan dengan 1, maka selang kepercayaan (1-)
100% untuk R adalah:
R̂  Z
dengan
C yy  Z C xy  C xx
2
2

Nn
C

nN
 yy



Nn
C xx  nN



Nn
C

 yx
nN


S2
y
y2
S2
x
x2
S yx
yx
9