Metode Regresi Linear
Taksiran regresi linear dari rataan populasi yi, Y
, adalah Yˆ  ylr  y  b( X  x )
Jika x berada di bawah rataan, maka y berada bX  x 
di bawah rataan.
Taksiran regresi linear digunakan bila relasi antara yi
dab xi merupakan relasi linear tetapi tidak melalui titik
asal.
Taksiran regresi : y  b( X  x )
Bila b = 1  y  ( X  x )  X  y  x 
 rataan populasi dari
taksiran cepat  bias
Bila b=0  ylr  y
y
y
y
ˆR


b


y

y

X

x

X

Y
Bila

2
x
x
x
Jika b0 diketahui  taksiran regrensi
ylr  y  bX  x  ; Taksiran tak bias Dengan varians
V ( ylr ) 
1 f 1
yi  Y   b0 xi  X 

n N  1 i 1
2
N


1 f  2
2
2

Sy

2
b
S

b
S

0 xy
0
x
 n 
Taksiran tak bias dari V  ylr   v ylr 
2
n
1 f 1
yi  y   b 0 x i  x 
V  y r  


n n  1 i 1
1 f 2


Sy  2b 0Sxy  b 02S2x  ; dengan
n
n
1
2


S 2y 
y

y
 i
n  1 i 1
1 n
2


S 
x

x
 i
n  1 i 1
2
x
1 n
x i  x yi  y 
Sxy 

n  1 i 1
3
Nilai b0 yang meminimumkan Vyr 
 x
N
b0  B 
Sxy
S2x

i 1
i
 X y i  Y 
 x
N
i 1
 X
2
i
B = koefisien regresi linier y pada x untuk populasi hingga
Hasil varians minimumnya =
Vmin y r  
 xx
N

i1
i
Vmin y r 
1 f 2
Sy 1   2 dengan
n


 X y i  Y 
N  1SxSy
4
Simpangan b0 dari B
 

1  2
2
S y 1   2  b 0  B S2x
n
2
Karena BSx = PSy,b 0maka
 B S2x 
 v min y r  1  2

2
S
1




y
  b0 2  2
Vy r   Vmin y r 1    1
2
B
1



 
Vy r  








Jika diinginkan varians kurang dari , maka
2

 b0


1
  atau


2
B
 1 

b0
1 
B


 1  2
2

5
Taksiran Ragam Bila b Ditaksir dari Sampel
Taksiran yang efektif
n
b
 x
i 1
i
 x y i  y 
n
2


x

x
 i
i 1
Asumsi yang diperlukan:
1.Regresi populasi y pada x linier
2.Varians residu disekitar garis regresi adalah konstan
3.Populasi tak hingga
Jika n > 30 asumsi tentang hubungan antara y dan x
tidak diperlukan.
6
Taksiran regresi linier dari Y pada sample acak = y r
y r  y  bX  x   y  bx  X 
n
Dengan
b
 x
i 1
 x y i  y 
i
n
 x
i 1
 x
N
i 1
i
dan B 
 x
2
i
 x
N
i
i 1
 x
N
i 1


N


 X yi  Y
 X y i  Y  B x i  X
i
X


2

2
i 1
Peubah ei diperoleh dari hubungan

ei  yi  Y  B x i  X
n
e
i 1
N
0
i
 e x
i 1

i
Koefisien b menjadi
i

N



N


 X   yi  Y x i  X  B x i  X  0
i 1
2
i 1
7
n
n
b   yi xi  x 
 yi xi  x 
i 1
2
i 1
  Y  Bxi  x   ei xi  x 
n
i 1
n
n
b  B   ei xi  x 
2


x

x
 i
i 1
 yi xi  x 
i 1
2
i 1
n
n
b  B   ei xi  x 
 yi xi  x 
i 1
Peubah
n
2
i 1
1 n
2


e
x

x
i i
n  1 i 1
merupakan taksiran tak bias dari
1 n
Jadi
e x  x 

n  1 i 1
i
1 N
2


e
x

x
0

i
i
N  1 i 1
i
berdistribusi di sekitar rataan nol.
8
Jika b merupakan taksiran kuadrat terkecil dari B dengan
y r  y  bX  x  maka sample acak berukuran n > 30,
1 f 2
V  y r  
Sy 1   2
n
dengan
Sxy

korelasi populasi antara x dan y
Sx Sy


N
1
2


S 2y 
y

Y
 i
N  1 i1
N
1
2


S2x 
x

X
 i
N  1 i1
1 N
x i  X yi  Y 
Sxy 

N  1 i1
9