Sub Sampling Dengan Ukuran Unit Sama
Pada subsampling terdiri dari dua tahap
1.Memilih n unit populasi dari N unit
2.Dari tiap unit yang terpilih dipilih sejumlah tertentu subunit
Unit populasi = N
2
3
i N
1
…
….



; n unt sampel masingmasing M subunit
1
2
n



m
m
m ; m subunit sampel
dipilih dari M subunit
2
Notasi yang digunakan
yij = nilai peubah pada subunit ke-j dari unit (primer) ke-i
1 m
yi   yij
m j1
= rataan sampel per subunit pada unit ke-i
1 n
y   yi
n i 1
= rataan sampel per subunit


2
1 N
S 
Yi  Y

N  1 i 1
2
1
= varians antara rataan unit primer
1 M
1 N M
Yi   yij , Y 
yij

M j1
NM i 1 j1
S22 
N M
1
2
yij  Yi 

NM  1 i 1 j1
3

N  n S12 M  m S22
1 n
1 n m
VY 

; y   y1 
yij

N n
M mn
n i 1
mn i 1 j1
Taksiran
dimana

s12
s 22
V Y  V̂y   1  f1   1  f 2 
n
mn
n
m
f 1  ; f2 
N
M
n
m
1
1
2
y1  y  , yi   yij
s12 

n  1 i 1
m j1
1 n m
y  Vy y ij
mn i 1 j1
1
2


s 
y

y

ij
i
n m  1 i j
2
2
vy   V̂y 
= merupakan taksiran tak bias untuk varians
4
Taksiran Proporsi
yij =
1, bila subunit jatuh di kelas
pertama
0, bila subunit jatuh di kelas kedua
ai
Ambil p i  m = proporsi unit pertama pada unit ke-i
n
n
1
1
2
pi  p  , p   Pi
s12 

n  1 i 1
n i 1
n
m
s 22 
p i qi

n m  1 i 1
1  fi n
f1 1  f 2  n
2
pi  p   2
v p  
p i qi


n n  1 i 1
n m  2 i 1
5
Sampling Optimal
Biaya pengambilan sampel
C = c1n + c2mn
dimana
c1 = biaya sampling per unit primer
c2 = biaya sampling per subunit
Varians
Minimumkan
1  2 S22  1 2 1 2
V  Vy    S1   
S2  S1
n
M  mn
N
1 2

V

S1 c  Min

N 

 2 S22  S22 
 S1     c1  c 2 m 
M m

Dengan menggunakan pertidaksama-an Cauchy-Scwartz
diperoleh
mopt 
S2
2
S
S12  2
M
c1
S22
2
asalkan S1 
c2
M
6
mopt
S2

Su
c1
c2
Jika m bilangan asli sehingga m<mopt<m+1, maka
i.mopt dibulatkan ke atas bila mopt2 > m(m+1)
ii.mopt dibulatkan ke bawah bila mopt2  m(m+1)
Jika mopt>M atau jika
S22
S 
M
2
1
ambil M= m
Taksiran mopt dari pilot survei = m̂ opt
m̂ opt 

s 22
c
2
s
s12  2
m'
m'
c2
c
c2
m' s 22
1
2
s2
7
Sampling Tiga–Tahap
N unit tahap pertama
M unit tahap kedua
K unit tahap ketiga
Populasi
Sampel
n unit tahap pertama
m unit tahap kedua
k unit tahap ketiga
Rataan Populasi yij  1
K
K
y
u 1
1
yi 
MK
iju
M
K
 y
j 1 u 1
1
Y 
NMK
N
M
iju
K
 y
i 1 j 1 u 1
ijk
8
Varians Populasi
2
N
1
Y  Y
S12 
 i


N  1 i 1 

N M
1
2
S2 
Yij  Yi

NM  1 i j


2
N M K
1
2
yiju  Yij 
S 

NMK  1 i 1 j1 k 1
2
3
jika tiap tahap digunakan sampling acak maka
varians taksiran y  Vy

S12
S22
S32
V y  1  f1   1  f 2 
 1  f3 
n
nm
nmk
1 n m k
y
y ijk

dengan
nmk
n
m
k
f1 
, f2 
, f3 
9 K
N
M
 
Vy vy
Taksiran tak bias untuk

s12
s 22
s32
v y  1  f1   1  f 2 
 1  f 3 
n
nm
nmk
dengan


n
2
1
2
s1 
yi  y

n  1 i 1
n m
1
2
2
yij  yi 
s2 

n m  1 i 1i j1
n m k
1
2


s 
y

y
 ijk ij
nm k  1 i 1 j1 k 1
2
3
10
Subsampling Dengan Ukuran Unit Tidak
Sama
Prosedur subsampling dimana ukuran unit tidak
sama
a. Mengambil n unit dari N unit, unit ke-I berukuran Mi
b. Dari tiap unit yang terpilh diambil mi subunit
Ukuran Populasi (banyaknya subunit):
N
M0   Mi
i 1
Ukuran sampel
N
m
i 1
i
11
Notasi yang digunakan
yij = pengamatan pada subunit ke-j dari unit ke-i Pada
unit ke-i :
Populasi
Sampel
Banyaknya subunit
Mi
mi
Rataan per subunit
Yi
yi
Total
Yi  M i Yi
yi  mi yi
Untuk Seluruh Populasi
Populasi
Banyaknya subunit
Total
Sampel
n
M0   Mi
m
Y   Yi
y
N
N i 1
Y
M0
Rataan per subunit
Y
Rataan per unit
primer
YY
N
i 1
n
i
i
y   yi
m
1
y  y
n
i
i
12
Kasus n = 1:
Satu unit dipilih dari populasi berukuran N unit yang
terpilih adalah unit ke-i berukuran Mi. Dari dipilih mi
subunit secara acak.
m
ˆ
1
Taksiran rataan
Y  Y  y  y 
yj

i
I
i
Penaksir yimerupakan penaksir
sebesar Ya  Y 
mi
j1
i
bias
dengan
bias
dimana
1
Y 
M
1
Ya 
N
N
M
i 1
N
i
YYi ; M   M i
N
Y ; Y
i 1
i
i
Mi
 M iYi  
yij
j
13
Buat


yi  Y  yi  Yi   Yi  Ya  Ya  Y

1 N M i  m i S 221
MSE y I   MSE y i   

N i 1 M i
mi
Mi
1
yi j  Yi 
S221 

M i  1 j1
= varians subunit pada unit ke-i
dengan

1 N
2


Y

Y
 Ya  Y

i
a
N
2
MSEyI  terdiri dari 3 komponen:

2
1.Variasi antar unit
2.Variasi antara rataan unit
3.Bias
Ukuran subsampel mi ditentukan melalui salah satu
dari dua cara
a.mi = Mi
14
b.mi sebanding dengan Mi, mi = kMi, k<1
Taksiran lain dari rataan
y II 
NMi yi
M0
Y
bila peluang sama
Taksiran lain dari rataan
y II 
bila peluang sama
Y
NMi yi
M0
yi
penaksir tak bias bagi Yi
Mi yi penaksir tak bias untuk total Y
dan
tak bias untuk Y
NMi yi penaksir
N N
S22i
N N
2
Vy II   2  Mi Mi  mi   2  Yi  Y 
M0
mi
i
M0
i
Bila unit (primer) dipilih dengan anggapan
peluang unit terpilih sebagai sampel sebanding
dengan ukuran unit maka taksiran rataan Y  y II
y III
1
 yi 
mi
mi
y
j 1
ij

N
S 22i
1 N
V  y III  
  M 1 Yi  Y
 M i  mi 
M0 
mi

2



15
Subsampling dengan n > 1
Taksiran total
Wis’
=
n
N
i 1
i 1
Ŷ   Wis Ŷi   Wis' Ŷi
1, bila I terpilih sebagai sampel
0, bila unit I tidak terpilih
Varians total

2
 n

V Ŷ  V  Wis Ŷi   E i Wisi  22i
 i

 
Dan taksirannya
n
 N
 
 n
2
v  Wis Ŷi     a is Ŷi  2 b js Ŷi Ŷj    w is 22i
i j1


 
Bila ini dipilih secara acak dari Mi, maka
M i M i  mi  2
2
2i  V2 Ŷ1 
S2i
mi
 
16