Matakuliah: H0142/Sistem Pengaturan Lanjut
Tahun
: 2005
Versi
: <<versi/revisi>>
Pertemuan 10
Analisis State Space untuk sistem diskret
1
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa
akan mampu :
• dapat Menghubungkan antara model state
space sistem kontinu dan sistem diskret
2
Outline Materi
• Representasi sistem diskrit dalam state
space.
• Penyelesaian persamaan state space
dalam sistem diskrit
• Pulse Transfer Function Matrix
3
Representasi State Space sistem diskret:
x(k  1)  G (k ). x(k )  H (k ). u (k )
y (k )  C (k ) .x(k )  D(k ). u (k )
4
1. Bentuk Controllable
2. Bentuk Observable
3. Bentuk Diagonal
4. Bentuk Jordan
Bentuk kanonik Persamaan Ruang Keadaan sistem Diskret:
Persamaan diferensi :
y
(n )
a y
1
(n  1)
b u
0
(m )
a y
2
b u
1
(n  2)
(m  1)
 ...
 .......  b
..a
y  an y
n 1
 b u
u
m 1
m

* *)
5
Pulse transfer Function:
atau
Bentuk Controllable
Y( z ) b 0 z n  b1z n 1  . . . .  b n

U( z )
z n  a1z n 1  . . .  a n
Y( z ) b0  b1z 1  . . . .  bn z n

U( z )
1  a1z 1  . . .  an z n
 x1 (k  1)   0
 x (k  1)   0
 2
 

  .
.

 
.

 .

  .
.

 
 xn 1 (k  1)  0
 x (k  1)    a
 n
  n
y (k )   b n
 anb 0
1
0
...
0
1
...
.
.
...
.
.
...
.
.
...
0
0
...
 an 1  an  2
bn 1  an 1b 0
...
. . .
0 
0 
. 

. 
. 

1 
 a1 
 x1 (k )   0 
 x (k )   

 0
 .   .0 

  
 .    .  u( k )
 .  .

  
 xn 1 (k )  0 
 x (k )   1 
 n
  
 x1 (k ) 
 x (k ) 


 . 


b1  a1b 0   .   b 0 u(k )
 . 


 xn 1 (k )
 x (k ) 
 n

6
Bentuk Observable
 x1 (k  1)  0
 x (k  1)  1
 2
 

 .
.

 
.

  .

 .
.

 
x
(
k

1
)
 n 1
 0
 x (k  1)  0
 n
 
 an 
0 .. 0 0  an 1 
. ... .
. 

. ..
...
. 
. . . . ...
. 

0 . 1 0  a2 
0
.
1  a1 
0
.. 0
y (k )  0 0 0 . . . 0
0
 x1 (k )   b n  anb 0 
 x ( k )  b  a b 
n 1 0 

  n 1

 .  
.


 

.
.
 u( k )

 

 .  
.


 
b

a
b
x
(
k
)
 n 1   2
2 0 
 x (k )   b  a b 
 n
  1 1 0 
 x1 (k ) 
 x (k ) 


 . 


1   .   b 0 u(k )
 . 


 xn 1 (k )
 x (k ) 
 n

7
Bentuk Diagonal
 x1 (k  1)  p1 0
 x (k  1)   1 p
2
 2
 

 .
.
.

 
.
.

.



.
.
.

 
 xn 1 (k  1)  0 0
 x (k  1)   0 0
 n
 
y (k )  c1 c 2
.. 0
.. 0
...
..
...
. . . . .
0
0
o
0 o 
.
. 

... . 
... . 

.. o 
... p n 
0
 x1 (k )  1
 x (k )   

 1
 .   .

 
 .    .  u( k )
 .   .

 
 xn 1 (k ) 1
 x (k )  1
 n
 
 x1 (k ) 
 x (k ) 


 . 


c n   .   b 0 u( k )
 . 


 xn 1 (k )
 x (k ) 
 n

8
Contoh:
Tuliskan sistem berikut ini dalam bentuk controllable,
observable serta diagonal.
Y( z )
z 1
 2
U( z )
z  1.3z  0.4
Bentuk
controllab le
1   x1 (k )  0
 x1 (k  1)   0
 x (k  1)  
 x ( k )     u( k )

 2
   0.4  1.3  2  1
 x1 (k ) 
y (k )  1 1 

x
(
k
)
 2 
9
Bentuk
Observable
 x1 (k  1)  0  0.4  x1 (k )  1
 x (k  1)  1  1.3   x (k )  1 u(k )
 2   
 2
 
 x1 (k ) 
y (k )  0 1 

 x 2 (k )
10
Bentuk
Y( z )
U( z )
Diagonal
z 1
z 2  1.3z  0.4
5/ 3
 2/3


z  0.5 z  0.8

 x1 (k  1)    0.5
 x (k  1)  
 2
  0
y (k )  5 / 3
0   x1 (k )  1
 x ( k )     u( k )

 0 .8   2
 1
 2 / 3
 x1 (k ) 
 x (k )
 2

11
Bentuk Jordan
 x1 ( k  1)  
 x ( k  1)  
 2
 

 

 

 
 xm ( k  1)  
    
 x ( k  1)  
 m
 

 

 

 

 

 
 xm ( k  1)  
y (k )  c 1
p1
1
0 ...
0
p1
1 ...
.
.
.
...
.
.
.
...
0
0
|
0
0
.
.
0
|
.
.
.
.
.
.
|
.
.
|
.
0 0 ... p1

0 . . . 0
|
!
|
.
.
.
.
0 0 . . 0

pm 1 . . . 0
.
. . .
.
|
.
.
.
. . .
.
|
.
.
.
. . .
.
|
.
.
0 . . . 0
|
0
c2
. . . . .
cn

.
.
.
pn
















  x1 (k )    0 

  
  x2 ( k )    0 

  

  

  
  x (k )   1 
m
 
  
  x (k )   1  u (k )
 m
  

  . 

  . 

  

  . 

  
  xm (k )   1 
 x1 (k ) 
 x (k ) 


 . 


.

  b0 u (k )
 . 


 xn 1 (k )
 x (k ) 
 n

12
Penutup
• Konsep state space didasarkan pada
deskripsi dari persamaan sistem dalam
terminologi N buah persamaan diferensi
orde 1 ataupun persamaan diferensial
yang dikombinasikan dalam sebuah
persamaan diferensi atau persamaan
diferensial vektor matriks.
13