Matakuliah
Tahun
: H0062/Teori Sistem
: 2006
Pendahuluan
Pertemuan 3
1
Contoh untuk Permodelan
• Carilah fungsi osilasi
R
L
k
Analogi
C
u(t)
m
Redaman
ingat
2
d y
y 2
dt
;
c
y(t)
dy
y
dt
2
Bentuk persamaan diferensial (PD) untuk Gerak Harmonik
Sederhana (menggunakan redaman) adalah
m y + c y + k y = u....................................(1)
x2 = y
x  x ...................................(2)
x1 = y
(1)
(2)
(3)
1
2
y + c/m y + k/m y =u/m
x2 + c/m x2 + k/m x1 = u/m................(3)
x1 = x2
x2 = - k/m x1 - c/m x2 + u/m
3
PD diinduksi menjadi turunan lebih rendah 1 kali, contoh :
d3 y 2 d2 y
dy
x
2   y
2
2
dx
dx
dx
dy
d2 p 2 d p
misal : P 
maka
x
 2p  y  0
2
dx
dx
dx
Susun persamaan (2) dan (3) dalam bentuk matriks
1   x1   0 
 x1   0
x    k / m  c / m  x   1/m u
  2 

 2 
4
Persamaan output dari (2)
y 1
 x1 
y  1 0    0 0 u
x 2 
Bentuk matriks ini mempermudah dalam
pengembangan program komputer untuk
analisa dan disain sistem yang besar. Bentuk
ini juga disebut state – space.
5
Bentuk solusi umum (model ruang keadaan)
x (t) = A x (t) + B u (t)..............................(1)
y (t) = C x (t) + D u (t)..............................(2)
Transformasi Laplace dari turunan :
 
L dF  s L F t   F 0 
dt
2

  s2 L F t   s F 0   df 0 
d
L F
2 
dt
 dt 
S adalah skalar
I adalah matriks identitas
G adalah transfer function
6
Bila ditransformasikan :
SX (s) = AX (s) + Bu (s)……………….(3)
Y (s) = CX (s) + Du (s)……………….(4)
(3)
SX – AX = Bu
(SI – A) X = Bu
B
.......... .......... ....(5)
X=
SI - A
7
(4) Y = Cx + Du substitusi ke persamaan
(5) Y  C B u  Du
SI  A
 C SI  A 
1
Bu  Du
Y  C SI  A 1 B  D
u
adj SI  A 
Y
G s    C
BD
u
SI  A
C adj SI  A B
G s  
SI  A
8
Misal
1
0
A

 2  3
SI  A
 1
B 
0
C  1 0
1  S
1 
1 0  0
S





0 1  2  3  2 S  3
9
SI - A 
-1
S  3 1 
1



S (S  3)  2  - 2 S
G (s)  C SI - A  B
-1
S  3 1  1
 - 2 S 0




 1 0 2
S 3S2
S3

(S  1) (S  2)
10
Kelebihan metoda transformasi Laplace
adalah :
• 1. Memungkinkan peramalan kinerja
sistem dengan menggunakan sistem
grafis tanpa menyelesaikan PD.
• 2. Dapat dilihat komponen transien
maupun komponen keadaan steady
dengan menyelesaikan PD – nya.
11