Matakuliah
Tahun
: H0062/Teori Sistem
: 2006
Pendahuluan
Pertemuan 4
1
Sistem Waktu
Waktu dibagi menjadi analog dan digital / diskrit
Analog berarti terus menerus
f (t)
A
t
-A
Pada sinyal kontinu terdapat besaran dan
waktu yang kontinu
2
Diskrit berarti tertentu
f (t)
A
5
6T
4T
T
2 3
T
7T
T T
12T
t
-A
3
Sebelum suatu sinyal analog dapat dikerjakan oleh sistem
digital, sinyal ini melalui beberapa tahapan :
Time
Analog
DTCV
Value
DTDV
Coding
Sampling
Digital
Kuantisasi
Sampling
y
y*
t
Input
0 T 2T3T4T 5T6T
ADC
t
Output
4
Penjabaran matematika menggunakan
transformasi Z
y
y
4  t - 2T 
3  t - T 
3  t - T 
c
18  t - 4T
2  t 
 t 
1 jika t  0
0
 t - T 
 t - 2T 
 t - 3T 
 t - 4T 
t
0
T
2T
3T
4T
t
jika t  0
1 jika t  T
jika t  2T
0
1 jika t  2T
jika t  2T
0
1 jika t  3T
jika t  3T
0
1 jika t  4T
0
jika t  4T
5
Hasil sampling sinyal analog diatas akan diperoleh barisan impulse :
y* = 2 (t) + 3 (t-T) + 4 (t-2T) + 3 (t-3T).....(1)
Laplace dari :
 t   1
 t - T   e - Ts
 t - T   e - 2Ts
Maka persamaan (1) dapat ditulis :
y* = 2 + 3 e-Ts + 4 e-2Ts + 3 e-3Ts +...................(2)
dengan e-Ts = Z-1 dan y* = Y
maka
Y = 2 + 3 Z-1 + 4 Z-2 + 3 Z-3 +.........................(3)
6
Secara matematik, transformasi Z dapat
ditulis:
X z   Z x t   Z x k T   Z x k 
X z  


x k T  Z - k 
k 0


x k  Z - k
k 0
X z   x 0   x T  Z -1  x 2 T  Z - 2  ........  x k T  Z - k
7
Contoh Aplikasi
Transformasi Z untuk ramp function
untuk t  0
t
x t   
0
untuk t  0
x t   t
x k T   k T
X z   Z t  

X z   T z
, k  0,1,2,3,.. .......... .......


x k T  Z -k 
k 0
-1
-1
 2z


k T Z -k
k 0

 3z -1  ...... ......... 1
8
Sederhanakanlah deret ini !
Tahap ini kita menggunakan deret geometri :
z -1  2z -1  3z -1  .......... .........  nz -n
Sn 
z Sn  1  2z -1  3z - 2  4z - 3  .......... .........  n  1 z - n _
1 - z Sn  - 1  z - 2  z - 3  .......... .........

 z -n

 n 1
 1  z 1  z 2  .......... .........  z n
z
Sn 

1 z
1 z
Untuk n  maka suku kedua hilang menjadi :


 1  z 1  z 2  .......... .........  z n
Sn 
.....( 2)
1 z
9
Uraikan dalam deret geometri sehingga :
Misal : a + ar + ar2 + ar3 +............+ arn – 1 + arn
a = suku pertama
r = rasio
jumlah sampai suku ke – n (Sn)
Sn  a  ar  ar 2  ar 3  ........  ar n - 1
r Sn  a  ar  ar 2  ar 3  ........  ar n 1  ar n 
Sn - rSn  a  ar n
1  r Sn  a  ar n

a 1 rn
Sn 
1 r

Kalau
xz   1  z 1  z 2  ...
10
a = 1 dan r = z-1 maka
 
1 n 

11  z

1  z n


Sn

1
1 z
1  z 1


Jika n =  maka
1  1



1


z
Sn 

1
1 z
1  z 1
11
Masukkan dalam persamaan (2)

Sn 

1
1
1
1  z 1  


1
1 z
1  z  1  z 1
1 z 1  z 


1

 z  1  1 1 z
z
 Sn 
1


 z z

1
1

 1 1 z
1


z 1
 1 z 1 z 
1
1
z 1
1  z 
1 2
12
Kembali ke persamaan (1)

xz   T z 1  2z 2  3z 3  ...
Tz 1

2
1 2
z
z
.z
z
xz  

T
T
2
1
2
1 2 z 2
2
1 2
z
1

2
z

z
1 z
z 1 z



TZ
z  2z  1
2





TZ
z  12
13