PERTEMUAN-4 dan 5
PD. yang dapat dibuat Eksak
[PD. Menggunakan faktor Integrasi]
M ( x, y ) dx + N( x, y ) dy = 0
Jika:
(1)
∂M ( x, y ) ∂N ( x, y )
≠
→ Tidak Eksak
∂y
∂x
F ( x, y ) = c
dF ( x, y ) = 0 →
∂F
∂F
dx +
⋅ dy = 0
∂x
∂y
(2)
Persamaan (1) tidak eksak dan persamaan (2) adalah eksak, dan keduanya adalah
identik yang mempunyai solusi yang sama. Hal ini berarti koefisien dari dx dan dy
dengan mempunyai perbandingan yang sama.
∂F
∂F
∂x = ∂y = μ ( x, y ) → Faktor Integrasi
M ( x, y ) N ( x, y )
∂F
∂F
= μ ( x, y ) ⋅ N ( x, y )
= μ ( x, y ) ⋅ M ( x , y )
∂y
∂x
Jadi PD. Yang tak eksak, kalau dikalikan dengan faktor integrasinya ( μ ( x, y )) menjadi
eksak. Yang menjadi masalah: menentukan μ ( x, y ) tidak mudah, jika tidak diketahui
fungsi dari μ.
Contoh Soal dengan fungsi dari μ diketahui:
1.
(x + y ) dx + dy = 0
Diketahui: faktor integrasi fungsi dari x
Jawab:
Faktor integrasi = μ (x)
M = x+
N =1
y ⎫ ∂M ( x, y )
=1
⎬
∂y
⎭
∂N ( x, y )
=0
∂x
Cara I:
M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0
μ ( x) M ( x, y )dx + μ ( x) N ( x, y )dy = 0
μ ( x)( x + y ) dx + μ ( x)(dy ) = 0 → PD. eksask
Menentukan μ (x) :
Misal: P ( x, y ) = μ ( x)( x + y )
Q ( x, y ) = μ ( x )
Karena PD. Eksak maka:
∂P( x, y ) ∂Q( x, y )
=
∂y
∂x
∂ (μ ( x) ⋅ ( x + y ) ) ∂ ( μ ( x))
=
∂y
μ( x )
∂μ ( x)
= 0 → PD dengan variabel dapat dipisahkan
∂x
∂μ ( x)
∂μ ( x)
μ ( x) =
= ⇔ dx −
=0
∂x
μ ( x)
∂ ( μ ( x))
∫ dx = ∫ μ ( x)
μ ( x) =
x = ln μ ( x) + c → μ ( x) =
ex
= c ex
c
di sini c adalah sembarang konstanta, kita ambil c = 1
→ μ ( x) = e x
Kembali ke persamaan:
e x ⋅ (x + y ) dx + e x dy = 0
Diperiksa apakah benar-benar eksak:
M ( x, y ) = e x ( x + y )
N ( x, y ) = e x
∂M
∂N
= ex ,
= ex
∂y
∂x
∂M ∂N
maka
(terbukti)
=
∂y
∂x
F(x, y) = ∫ N ( x, y )dy + c( x)
F(x, y) = ∫ e x dy + c( x) = e x y + c( x)
∂F ( x, y )
= e x y + c′ ( x , y ) = M ( x , y )
∂x
e x y + c ' ( x) = e x ( x + y ) = e x x + e x y
c ' ( x) = e x x
c( x) = ∫ c ' ( x)dx = ∫ e x x dx
c( x) = ∫ x e x dx = ∫ x d (e x )
c( x) = xe x − ∫ e x d ( x) =xe x − e x + D
F ( x, y ) = 0
e x y + c( x) = 0
e x y + x e x − e x + D = 0 → [Solusi Umum PD]
Cara II: [mencari langsung rumus]
(x + y ) dx + dy = 0
μ fungsi x → μ = μ ( x)
∂μ dμ ∂μ
∂x
=
dx
;
∂y
=0
M ( x, y ) = x + y →
N ( x, y ) = 1
→
∂M
⎤
= 1⎥
∂y
⎥ tidak sama
∂N
= 0⎥
⎥⎦
∂x
μ M dx + μ N dy = 0 → eksak
Berlaku:
∂ ( μM) ∂ ( μN)
=
∂y
∂x
∂M
∂μ
∂N
∂μ
+M
=μ
+N
μ
∂x
∂y
∂y
∂x
∂M
∂N
∂μ
∂μ
−μ
=N
−M
μ
∂x
∂x
∂y
∂y
⎛ ∂M ∂N ⎞
∂μ
∂μ
⎟⎟ = N
−
−M
∂x ⎠
∂x
∂y
⎝ ∂y
μ ⎜⎜
mencari μ (x)
μ (1 − 0) = N
μ = 1⋅
∂u
dμ
−M
∂y
dx
dμ
−0
dx
dμ
∫ dx = ∫
μ
x = ln μ
ln μ = x
ln μ = ln e x
μ = e x KK (lanjutkan seperti cara I)
2.
(x y 2 + y ) dx − x dy = 0
Faktor integrasi fungsi dari y
Jawab:
∂M
= 2 xy + 1
∂y
∂N
→
= −1
∂x
M = xy 2 + y →
N = −x
μ ⋅ M dx + μ ⋅ N dy = 0 → PD. eksak
Misal:
P = μ⋅M
Q=μ⋅N
∂P ∂Q
=
∂y ∂x
∂ (μ ⋅ M ) ∂ (μ ⋅ N )
=
∂y
∂x
∂M
∂μ
∂N
∂μ
M
+μ
=N
+μ
∂y
∂y
∂x
∂x
⎛ ∂M ∂N ⎞
dμ
⎟⎟ = − M
−
dy
⎝ ∂y ∂x ⎠
μ ⎜⎜
μ (2xy + 1 + 1) = − (xy 2 + y )
(2 xy + 2) dy dμ
+
=0
( xy 2 + y )
μ
2 (xy + 1) dy dμ
+
=0
y (xy + 1)
μ
dμ
dy
2
dμ
dy +
=0
y
μ
dμ
2
= − dy
y
μ
∫
dμ
μ
= −2∫
dy
y
ln μ = -2ln y
ln μ = ln y -2
μ = y -2 =
1
y2
Persamaannya menjadi:
⎛
1⎞
x
⎜⎜ x + ⎟⎟ dx − 2 dy = 0 → PD. eksak
y⎠
y
⎝
Bukti:
∂P ∂Q
=
∂y ∂x
−
1
1
=− 2
2
y
y
Sehingga:
F ( x, y ) = ∫ P( x, y )dx + c( y )
⎛
1⎞
F ( x, y ) = ∫ ⎜⎜ x + ⎟⎟ dx + c(y)
y⎠
⎝
1
x
= x 2 + + c(y)
2
y
∂F
= 0 + x(−1) y − 2 + c ' ( y ) = Q( x, y )
∂y
−
x
x
+ c ' ( y) = − 2
2
y
y
c ' ( y) = 0
c( y ) = ∫ c ' ( y )dy = ∫ 0 dy =D
F ( x. y ) = 0
F ( x. y ) =
1 2 x
x + + c(y)
2
y
1 2 x
x + + D = 0 → [Solusi Umum PD]
2
y
3.
y (xy + 1) dx + x (xy − 1) dy = 0
Tentukan solusi umum PD jika faktor integrasi fungsi dari x.y!
Jawab:
M = y (xy + 1) →
N = x (xy − 1)
→
∂M
= 2 xy + 1
∂y
∂N
= 2 xy − 1
∂x
∂M ∂N
−
= (2 xy + 1) − (2 xy − 1) = 2 xy + 1 − 2 xy + 1 = 2
∂y ∂x
Misalkan : z = xy →
∂z
∂z
= y dan
=x
∂x
∂y
∂u ∂u ∂z ∂u
∂u
=
⋅
=
⋅y= y
∂x ∂z ∂x ∂z
∂z
∂u
∂u ∂u ∂z ∂u
=
⋅ =
⋅x = x
∂y ∂z ∂y ∂z
∂z
μ M dx + μ N dy = 0
∂ (μ ⋅ M ) ∂ (μ ⋅ N )
∂y
=
∂x
∂M
∂μ
∂N
∂μ
+M
=μ
+N
∂y
∂y
∂x
∂x
∂M
∂N
∂μ
∂μ
−μ
=N
−M
μ
∂y
∂x
∂x
∂y
μ
⎛ ∂M ∂N ⎞
∂μ
∂μ
⎟⎟ = N
−
−M
∂x
∂y
⎝ ∂y ∂x ⎠
μ ⎜⎜
μ ⋅ (2) = x( xy − 1) ⋅ y
∂u
∂u
− y ( xy + 1) ⋅ x
∂z
∂z
2μ = ( x 2 y 2 − xy − x 2 y 2 − xy )
2μ = −2 xy
∂μ
∂z
∂μ
∂z
∂μ
∂z
∂μ
μ = −z
∂z
μ = − xy
∂z
∂μ
=−
z
μ
∂μ
∂z
=−
μ
z
∂μ
∂z
μ
z
ln μ = − ln z
∫
= −∫
ln μ = ln z −1
μ = z −1 =
1 1
=
z xy
Persamaan Eksak menjadi:
μ ⋅ y ( xy + 1) dx + μ ⋅ x ( xy − 1) dy = 0
1
1
⋅ y (xy + 1) dx +
⋅ x( xy − 1) dy = 0
xy
xy
⎛
1⎞
1
⎛
⎜ y + ⎟ dx + ⎜⎜ x −
y
x⎠
⎝
⎝
⎞
⎟⎟dy = 0
⎠
Bukti Eksak:
1
P ( x, y ) = y + ,
x
1
Q ( x, y ) = x + ,
y
maka
∂P ∂Q
=
∂y ∂x
∂P
=1
∂y
∂Q
=1
∂x
PD Eksak
F ( x, y ) = ∫ P( x, y )dx + c( y )
1⎞
⎛
= ∫ ⎜ y + ⎟ dx + c(y) = yx + ln x + c( y )
x⎠
⎝
∂F
= x + c′ ( y ) = Q ( x, y )
∂y
1
x + c′ ( y ) = x −
y
c′ ( y ) = −
1
y
→ c(y) = ∫ −
1
dy = −ln y + D
y
F ( x, y ) = yx + ln x − ln y + D = 0
x
xy + ln + D = 0 → [Solusi Umum PD]
y
Pada contoh-contoh di atas masalah μ [Faktor Integrasi] tidak menjadi masalah,
sebab fungsi μ diketahui. Tetapi bagaimana jika fungsi μ tidak diketahui?
Beberapa macam fungsi dari faktor integrasi:
1.
2.
μ (x)
μ ( y)
μ (xy)
4. μ ( x + y )
3.
μ ( x − y)
6. μ ( x 2 + y 2 )
5.
7. dan lain-lain
Cara mencari fungsi dari faktor integrasi:
1.
Jika
2.
Jika
3.
Jika
4.
jika
5.
Jika
6.
Jika
∂M ∂N
−
∂y
∂x
→ menghasilkan fungsi x saja maka μ = μ ( x)
N
∂M ∂N
−
∂y
∂x
→ fungsi y saja maka μ = μ ( y )
−M
∂M ∂N
−
∂y
∂x
→ fungsi xy, maka μ = μ ( xy )
yN − xM
∂M ∂N
−
∂y
∂x
→ fungsi (x + y) sama ka μ = μ ( x + y )
N-M
∂M ∂N
−
∂y
∂x
→ fungsi (x - y) saja maka μ = μ ( x − y )
N+M
∂M ∂N
−
∂x
∂y
→ fungsi ( x 2 + y 2 ) saja maka μ = μ (x 2 + y 2 )
2xN - 2yM
Cara mencari rumus di atas (sekaligus Pembuktian:
1.
∂μ du ∂μ
=
;
=0
∂x dx ∂y
M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0
μ ⋅ M dx + μ ⋅ N dy = 0 → PD. eksak
∂ [μ ⋅ M ] ∂ [μ ⋅ N ]
=
∂y
∂x
∂μ
∂M
∂μ
∂N
+μ
=N
+μ
M
∂y
∂y
∂x
∂x
μ = μ ( x) →
⎛ ∂M ∂N ⎞
∂μ
∂μ
⎟⎟ = N
−
−M
∂x ⎠
∂x
∂y
⎝ ∂y
μ ⎜⎜
⎛ ∂M ∂N ⎞
dμ
⎟⎟ = N
−
− M ⋅0
dx
∂x ⎠
⎝ ∂y
μ ⎜⎜
⎛ ∂M ∂N ⎞
⎜
⎟
−
∂x ⎟⎠
dμ ⎜⎝ ∂y
=
dx → Terbukti
N
μ
↑
fungsi x saja
⎛ ∂M ∂N ⎞
∂μ
∂μ
⎟⎟ = N
−M
−
∂x
∂y
⎝ ∂y ∂x ⎠
μ ⎜⎜
⎛ ∂M ∂N ⎞
dμ
⎟⎟ = N ⋅ 0 − M
−
dy
⎝ ∂y ∂x ⎠
μ ⎜⎜
⎛ ∂M ∂N ⎞
⎟⎟
⎜⎜
−
⎝ ∂y ∂x ⎠ dy = dμ
−M
μ
⎛ ∂M ∂N ⎞
⎟
⎜
−
dμ ⎜⎝ ∂y ∂x ⎟⎠
dy
=
μ
−M
↑
fungsi y saja
Metode lain untuk mencari faktor Integrasi:
a.
∂M ∂N
−
∂y ∂x
= f (x ) ; fungsi x saja
Jika
N
Maka: μ = e ∫
f ( x ) dx
∂M ∂N
−
∂y ∂x
b. Jika
= g ( y ) ; fungsi y saja
−M
g ( y ) dy
maka : μ = e ∫
Contoh Soal:
1.
( x 3 + xy 4 ) dx + 2y3dy = 0
Tentukan solusi umum PD !
Jawab:
M ( x, y ) = x 3 + xy 4 →
N ( x, y ) = 2 y 3 →
∂M
= 4y3 ⋅ x
∂y
∂N
=0
∂x
∂M ∂N
−
∂y ∂x 4 y 3 ⋅ x − 0
=
= 2 x (fungsi x saja)
N
2y3
μ = e∫
2 x dx
= ex
2
e x ( x 3 + xy 4 ) dx + e x 2 y 3dy = 0
2
2
Bukti PD Eksak :
P ( x, y ) = e x ( x 3 + xy 4 ) = e x x 3 + e x xy 4
2
2
2
2
∂P
= 4 y 3 xe x
∂y
Q ( x, y ) = e x 2 y 3
2
2
2
∂Q
= 2 x e x ⋅ 2 y 3 = 4 y 3 xe x
dx
maka
∂P ∂Q
=
, sehingga PD Eksak
∂y dx
F ( x, y ) = ∫ N ( x, y )dy + c( x) = ∫ e x ⋅ 2 y 3 dy + c( x)
2
2
ex 4
=
y + c( x)
2
∂F 2 x e x
=
⋅ y 4 + c′( x) = M ( x, y )
∂x
2
2
2
x ⋅ e x ⋅ y 4 + c′( x) = e x ( x 3 + xy 4 )
2
c′( x) = e x ⋅ x 3 → c( x) = ∫ e x ⋅ x 3dx
2
2
2
2
x3
1
⋅ de x = ∫ x 2 de x
2x
2
2
2
2
2
1
1
= x 2 ⋅ e x − ∫ e x dx = x 2 ⋅ e x − e x + D
2
2
c( x) = ∫
[
] [
]
2
ex 4
F ( x, y ) =
y + c( x)
2
2
e x 4 1 2 x2 1 x2
F ( x, y ) =
y + x ⋅e − ⋅e + D = 0
2
2
2
y 4 + x 2 − 1 = D ⋅ e− x
2.
2
[Solusi Umum PD]
( y 3 − 2 x 2 y ) dx + (2 xy 2 − x 3 ) dy = 0
Tentukan Solusi umum PD !
Jawab:
M ( x, y ) = y 3 − 2 x 2 y
→
N ( x, y ) = 2 xy 2 − x 3
→
∂M
= 3y2 − 2x2
∂y
∂N
= 2 y 2 − 3x 2
dx
∂M ∂N
−
= 3 y 2 − 2 x 2 − (2 y 2 − 3 x 2 )
∂y
∂x
= y2 + x2
Dibagi ‘apa’ supaya menjadi fungsi yang mandiri
y2 + x2
y2 + x2
=
y ⋅ N − xM y (2xy 2 − x 3 ) − x (y 3 − 2 x 2 y )
=
y2 + x2
2 xy 3 − yx 3 − xy 3 + 2 x 3 y
=
y 2 + x2
y 2 + x2
=
2 xy 3 − xy 3 − yx3 + 2 x 3 y xy 3 + x 3 y
=
y2 + x2
1
=
→ f(xy) , jadi μ = μ ( xy )
2
2
xy ( y + x ) xy
⎛ ∂M ∂N ⎞
⎜
⎟
−
∂u ⎜⎝ ∂y ∂x ⎟⎠
=
∂z
yN − xM
μ
∂u 1
∂z
=
∂z =
z
μ xy
∂u
∂z
∫ μ =∫ z
ln μ = ln z
; Misalkan z = xy
μ = z = xy
Persamaan menjadi:
xy ( y 3 − 2 x 2 y ) dx + xy (2 xy 2 − x 3 ) dy = 0
Bukti PD eksak:
∂P
⎤
= 4 xy 3 − 4 x 3 y ⎥
∂y
⎥ sama
∂Q
3
3 ⎥
= 4 xy − 4 x y
∂x
⎦⎥
P( x, y ) = xy 4 − 2 x 3 y 2
Q ( x, y ) = 2 x 2 y 3 − x 4 y
F ( x, y ) = ∫ P( x, y )dx + c( y )
F ( x, y ) = ∫ ( xy 4 − 2 x 3 y 2 ) dx + c( y )
=
∂F
∂y
1 2 4 1 4 2
x y − x y + c( y )
2
2
= 2 x 2 y 3 − x 4 y + c(′ y ) = Q( x , y )
c(′ y ) = 2 x 2 y 3 − x 4 y − 2 x 2 y 3 + x 4 y = 0
c( y ) = ∫ 0 dy = D
1 2 4 1 4 2
x y − x y +D =0
2
2
2 4
4 2
= x y − x y = D [Solusi Umum]
F( x , y ) =
3.
(x + y) dx + dy = 0
[Bandingkan dengan soal 1 dari faktor Integrasi diket.]
Cari Solusi umum PD!
M(x,y) = x + y →
N(x,y) = 1 →
∂M
=1
∂y
∂N
=0
∂x
∂M ∂N
−
∂y
∂x
= 1 → f(x)
N
μ = e f ( x ) dx = e ∫
dx
= ex
Persamaan menjadi:
(x + y ) e x dx + e x dy = 0
Bukti:
P ( x, y ) = e x x + e x y →
Q ( x, y ) = e x
∂P
⎤
= ex ⎥
∂y
⎥ sama
∂Q
x⎥
=e
∂x
⎦⎥
F ( x, y ) = ∫ e x dy + c( x) = e x y + c( x)
∂F
= e x y + c ′( x) = ( x + y ) e x
∂x
c ′( x) = e x ⋅ x
c( x) = ∫ e x .x dx =e x ⋅ x − e x + D
F ( x, y ) = e x y + e x . x − e x + D = 0
y + x − 1 = D ⋅ e − x [Solusi Umum PD]