PERTEMUAN-2
Persamaan Diferensial Homogen
Persamaan
diferensial
yang
n
semuanya. F (tx, ty ) = t .F ( x, y )
unsur
x
dan
y
Contoh:
1.
F ( x, y ) = 3 x 2 + 4 xy − 7 y 2
F (tx, ty ) = 3t 2 x 2 + 4t 2 xy − 7t 2 y 2
F (tx, ty ) = t 2 (3x 2 + 4 xy − 7 y 2 )
= t 2 .F ( x, y ) → Homogen derajat 2
2.
F ( x, y ) = x + x 2 + y 2
F (tx, ty ) = tx + t 2 x 2 + t 2 y 2
(
= tx + t x 2 + y 2 = t x + x 2 + y 2
)
= t ⋅ F ( x, y ) → Homogen derajat 1
3.
F ( x, y ) = x 2 + y
F (tx, ty ) = t 2 x 2 + ty = t (tx 2 + y ) → Non Homogen
Ciri Umum Homogen : Tiap suku derajatnya sama.
Bentuk PD Homogen:
M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0
Dikatakan PD Homogen jika:
Fungsi M dan N adalah homogen dengan derajat sama.
Persamaan ini diselesaikan dengan substitusi:
y
=z
x
→
y = zx
dy = zdx + xdz
M ( x, y ) → M ( x, zx) = x m R(v)
N ( x, y ) → N ( x, zx) = x m S (v)
Contoh Soal:
1. (x + y ) dx + x dy = 0
tidak
dapat
dipisah
M ( x, y ) = x + y
M (tx, ty ) = tx + ty = t ( x + y ) = t ⋅ M ( x, y ) → Homogen derajat 1
N(x) = x
N (tx) = tx = t N(x) → homogen derajat 1 → PD. Homogen
z=
y
→ y = xz
x
dy = z dx + x dz
( x + xz ) dx + x (z dx + x dz) = 0
(1 + z)x dx + zx dx + x 2 dz = 0
[(1 + z ) x + (zx)] dx + x 2 dz = 0
x[1 + z + z ] dx + x 2 dz = 0
dz
x dx
1
+
= ∫ 0 → ln x + ln ( 1 + 2z) = ln c
2
2
x
1+ 2z
2 ln x + ln (1 + 2z) = 2 ln c
ln x 2 + ln (1 + 2z) = ln c 2
ln x 2 (1 + 2z) = ln c
x 2 ⋅ (1 + 2 z ) = c
y
x 2 (1 + 2 ⋅ ) = c → x 2 + 2 xy = c
x
⎡
x⎤
⎢Bisa juga pemisalan z = y ⎥
⎣
⎦
2.
dy 4 x 2 + 3 y 2
=
dx
2 xy
Jawab:
2 xy dy = (4x 2 + 3 y 2 ) dx
2 xy dy − (4x 2 + 3 y 2 ) dx = 0 ← (M & N Homogen derajat 2)
M ( x, y ) = 2 xy
M (tx, ty ) = 2tx ⋅ ty = t 2 (2 xy ) = t 2 ⋅ M ( x, y )
2 xy dy − (4 x 2 + 3y 2 ) dx = 0
y
z=
→ y = zx
Misalkan :
x
dy = z dx + x dz
z ⋅ xz ⋅ x (z dx + x dz) − (4x 2 + 3 x 2 z 2 ) dx = 0
2x 2 z 2 dx + 2 x 3 z dx − (4 + 3z 2 ) x 2 dx = 0
(2 x z
2 2
− (4 + 3z 2 ) ⋅ x 2 ) dx + 2x 3 z dz = 0
(2z 2 − 4 − 3z 2 ) x 2 dx + 2x 3 z dz = 0
(− z 2 − 4) x 2 dx + 2 x 3 z dz = 0
x 2 dx 2 z dz
− 2
=0
(z + 4)
x3
dx
dz 2
2
−
∫ x ∫ ( z 2 + 4) = 0 → ln x − ln (z + 4) = ln c
x
ln 2
= ln c
(z + 4)
x
= c bentuk ini diubah menjadi:
z +4
x = c (z 2 + 4 )
2
x
c
2
z + 4 = cx
y2
+ 4 = cx
x2
y 2 + 4 x 2 = cx 3
z2 + 4 =
y 2 = cx 3 − 4 x 2
y = cx 3 − 4x 2
y = x cx − 4
Catatan: Pemilihan bentuk z =
y
x
atau z = tergantung bentuk persamaannya.
y
x
Untuk soal di atas sudah selayaknya memakai z =
dengan dy tidak terlalu banyak.
Contoh penggunaan z =
3.
x
yang tepat:
y
2 xy dx + (x 2 − y 2 ) dy = 0
x
z=
→ x = zy
Misalkan :
y
dx = z dy + y dz
2 xy dx + (x 2 − y 2 ) dy = 0
2 ⋅ ( zy ) ⋅ y (z dy + y dz) + (y 2 z 2 − y 2 ) dy = 0
2 z 2 y 2 dy + 2 z y 3 dz + ( z 2 − 1) y 2 dy = 0
y
, sebab perkalian M ( x, y )
x
(2 z 2 + z 2 − 1) y 2 dy + 2z y 3dz = 0
y 2 dy 2 z dz
+ 2
=0
3z − 1
y3
dy 2 z dz
+
=0
y 3z 2 − 1
(
(
)
dy 1 d 3 z 2 − 1
+
= ∫0
y 3 ∫ 3z 2 − 1
)
1
ln y + ln (3z 2 − 1) = ln c
3
3ln y + ln (3z 2 − 1) = 3 ln c
ln y 3 + ln (3z 2 − 1) = ln c 3
ln y 3 (3z 2 − 1) = ln c
⎛ x2
⎞
y 3 (3 z 2 − 1) = c → y 3 ⎜⎜ 3 2 − 1⎟⎟ = c
⎝ y
⎠
2
3
3x y − y = c
-y
4.
dy x e x + y
=
dx
x
x dy = x e -y/x + y dx
(
)
Cara lain melihat ‘homogen’ adalah dengan melihat pangkat x dan y pada:
M ( x, y ) dx = x e
x dy − (x e
-y
Misalkan :
x
-y
x
+ y → homogen berderajat 1
+ y ) dx = 0
z=
y
x
x (x dz + z dx) − (x e
→
y = xz
dy = x dz + z dx
-xz
x
+ xz ) dx = 0
x dz + zx dx − (e + z ) x dx = 0
2
-z
x 2 dz + (−e − z ) x dx = 0
x dx
dx
− e z dz + 2 = 0 → ∫
− e z dz = ∫ 0
x ∫
x
ln x − e z = ln c
ln x − ln c = e z
x
e z = ln
c
e z = ln cx
ln e z = ln (ln cx )
z = ln(ln cx )
y
= ln (ln cx )
x
y = x ln (ln cx )
5.
x2 + y2 + y
dy
−
=0
dx
x
x dy − ⎛⎜ x 2 + y 2 + y ⎞⎟ dx = 0 (homogen berderajat 1)
⎝
⎠
y
z=
→ y = zx
Misalkan :
x
dy = z dx + x dz
x (z dx + x dz) −
(x
2
)
+ z 2 x 2 + zx dx = 0
)
(
+ z )) x dx + x dz = 0
zx dx + x 2 dz − 1 + z 2 + z x dx = 0
(z − ( 1 + z
2
2
dz
x dx
−
=0
2
x
1+ z2
dz
dx
x dx
dz
− 2 = 0→∫
−∫
= 0
x ∫
x
1+ z2
1+ z2
dz
dz
∫ 1 + z 2 − ln x = ln c → ∫ 1 + z 2 = ln x ⋅ c
Kita hitung
∫
dz
1 + z2
[Bentuk Integral Trigonometri]
z = tg α → dz = sec 2α dα
1 + z 2 = sec α
∫
sec 2 α dα
=∫
= ∫ sec α dα
sec α
1+ z2
dz
= ln sec α + tg α = ln
= ln
1+
1+
1+ z2 + z
y2 y
+
= ln cx
x2 2
y2 y
+ = cx → y + x 2 + y 2 = cx 2
2
x
x
Persamaan Diferensial yang dapat diubah menjadi Persamaan
Diferensial Homogen (Persamaan Diferensial dengan koefisien linear]
Bentuk Umum
(ax + by + c) dx + (px + qy + r) dy = 0
u
v
Konstanta yang mengakibatkan
tidak homogen
Kejadian yang mungkin terjadi:
1.
Bila c = 0 dan r = 0
Persamaan menjadi:
(ax + by) dx + (px + qy) dy = 0
→ menjadi PD. Homogen
2.
Bila (px + qy) = k (ak + by); k = konstanta
Maka:
(ax + by + c) dx + [k (ax + by) + r] dy = 0
Misal:
ax + by = z → dz = a dx + b dy
b dy = dz – a dx
dz − a dx
dy =
b
⎛ dz − a dx ⎞
(z + c ) dx + (k z + r) ⎜
⎟=0
b
⎝
⎠
⎛ k az + r a ⎞
⎛ kz + r ⎞
(z + c ) dx + ⎜
⎟ dx = 0
⎟ dz − ⎜
b
⎝
⎠
⎝ b ⎠
k az + ra ⎞
⎛ kz + r ⎞
⎛
⎟ dz = 0
⎜z + c −
⎟ dx + ⎜
b
⎝ b ⎠
⎝
⎠
→ PD dengan variabel yang dapat dipisahkan.
3.
a b
≠ ; c≠0, r≠0
p q
u = ax + by + c → du = a dx + b dy
v = px + qy + z → dv = p dx + q dy
Bila
kita akan cari dx dan dy
Cara I.
•
Kita cari dx dulu
q du = aq dx + q b dy
b dv = bp dx + b q dy
(di kali q)
−
(dikali b)
q du – b dv = (aq – bp) dx
→ dx =
•
q du − b dv
(aq − bp)
Kita cari dy:
(di kali p)
p du = ap dx + b p dy
a dv = ap dx + a q dy
p du – a dv = (bp – aq) dy
p du − a dv a dv − p du
=
( bp − aq)
(aq − bp)
→ dy =
Cara II.
dx =
du
b
dv
a
q
q du − b dv
=
b
(aq − bp)
q
p
a du
dy =
p dv
a dv − p du
=
a
b
(aq − bp)
p q
Dimasukkan dalam PD:
u dx + v dy = 0
⎡ q du − b dv ⎤
⎡ a dv − p dv ⎤
+v⎢
u⎢
⎥
⎥=0
⎣ aq − bp ⎦
⎣ aq − bp ⎦
u (q du − b dv) + v (a dv − p du) = 0
uq du − ub dv + va dv − vp du = 0
(up − vp) du + (va − ub) dv = 0
→ PD. Homogen u dan v
Contoh Soal:
1.
(x + y + 1) dx + (2x + 2y + 1) dy = 0
Jawab :
Perhatikan 2x + 2y = 2 (x + y)
(bentuk II)
(x + y + 1) dx + (2 (x + y) + 1) dy = 0
−
(dikali a)
Misal: x + y = z → dx + dy = dz
dy = dz – dx
(z + 1) dx + (2z + 1) (dz – dx) = 0
(z + 1) dx + (2z + 1) dz – (2z + 1) dx = 0
{z + 1 – 2z – 1} dx + (2z + 1) dz = 0
-z dx + (2z + 1) = 0
dx +
(2z + 1) dz
=0
−z
dz
= 0
z ∫
x – 2z – ln z = c
∫ dx − ∫ 2 dz − ∫
x – 2 (x + y) – ln (x + y) = c
-x – 2y – ln (x + y) = c
x + 2y + ln (x + y) = c
2.
dy x − y − 4
. Tentukan Solusi umum PD!
=
dx x + y − 2
(x – y – 4) dx – (x + y – 2) dy = 0
u=x–y–4
v=x+y–2
dx =
→ du = dx – dy
→ dv = dx + dy
du + dv
[lebih cepat gunakan rumus]
2
dv − du
2
u dx − v dy = 0
dy =
1
v
(du + dv) − (dv − du) = 0
2
2
u (du + dv) − v (dv − du) = 0
u du + u dv − v dv + v du = 0
(u + v) du + (u − v) dv = 0
u
z=
v
→ v = u ⋅z
u
dv = u dz + z du
(u + uz) du + (u - uz) (u dz + zdu) = 0
u(1 + z) du + u (1 - z) (u dz + z du) = 0
(1 + z) du + (1 - z) (u dz + z du) = 0
(1 + z) du + (1 - z) u dz + (1 - z) z du = 0
(1 + z + z - z 2 ) du + (1 - z) u dz = 0
(1 + 2z - z 2 ) du + (1 - z) u dz = 0
du
(1 − z ) dz
+∫
= 0
u
(1 + 2z − z 2 ) ∫
du
(z1) dz
∫ u + ∫ (z 2 − 2z − 1) = c
1
ln u + ln (z 2 − 2z − 1) = ln c
2
2
2
u (z − 2 z − 1) = c
∫
⎛ v2
v ⎞
u 2 ⎜⎜ 2 − 2 − 1 ⎟⎟ = c
u
⎝u
⎠
v 2 − 2 uv − u 2 = c
(x + y − 2 ) 2 − 2 (x + y − 2 )(x − y − 4 ) − ( x − y − 4 ) 2 = c
x 2 − y 2 − 2 xy − 8 x + 4 y = c
3.
(x + 2y-1) dx + (2x – y - 7) dy = 0
Jawab:
u = x + 2y-1 →
v = 2x – y – 7
du = dx + 2 dy
dv = 2 dx – dy
du 2
dv − 1
− du − 2 du du + 2 dv
dx =
=
=
1
2
5
−1 − 4
2
−1
1
2
dy =
1
2
du
dv
dv − 2 du − 2 du + dv 2 du − dv
=
=
=
2
5
−5
−5
−1
u dx + v dy = 0
⎛ 2 du − dv ⎞
⎛ du + 2 dv ⎞
u⎜
⎟=0
⎟+v⎜
5
5
⎝
⎠
⎝
⎠
u du + 2 u dv + 2v du – v dv = 0
(u + 2v) du + (2u – v) dv = 0 → PD. Homogen dalam u dan v
z=
u
→ u = v ⋅z
v
du = v dz + z dv
(vz + 2v) (v dz + z dv) + (2v.z – v) dv = 0
(z + 2) (v dz + z dv) + (2z – 1) dv = 0
(z + 2) (v dz) + (z + 2) z dv + (2z – 1) dv = 0
(z + 2) v dz + (z2 + 2z + 2z – 1) dv = 0
(z + 2) dz dv
+
=0
z 2 + 4z − 1 v
dv 1 d (z 2 + 4 z − 1)
∫ v + 2 ∫ z 2 + 4z − 1 = ∫ 0
1
ln z 2 + 4z − 1 = ln c
2
ln v +
(
)
v 2 ⋅ z 2 + 4z − 1 = c
⎛u
u ⎞
v 2 ⎜⎜ 2 + 4 − 1⎟⎟ = c → u 2 + 4 uv − v 2 = c
v ⎠
⎝v
2
(x + 2y-1)2 + 4 (x + 2y-1) (2x-y-7) – (2x-y-7)2 = c
Jika terus anda turunkan akan didapat:
x 2 + 4 xy − y 2 − 2 x − 14 y = c
Cara II.
(x + 2y – 1) dx + (2x-y-7) dy = 0
x + 2y – 1 = 0
→
x + 2y – 1 = 0
2x – y – 7 = 0
→
4x – 2y – 14 = 0
5x – 15 = 0
-
5x = 15 → x1 = 3
2x – y – 7 = 0
2x – 7 = y
y1 = -1
Misal: p = x – x1
p=x–3
p+3=x
dp = dx
q = y – y1
q = y – (-1)=y+1
q -1 = y
dq = dy
(x + 2y – 1) dx + (2x – y – 7) dy = 0
(p + 3 + 2 (q-1) – 1) dp + (2 (p + 3) – (q-1)-7) dq = 0
(p + 2q) dp + (2p-q) dq = 0 → Persamaan Homogen
Misal:
z=
q
→ q = pz
p
dq = p dz + z dp
(p + 2pz) dp + (2p – pz) (p dz + z dp) = 0
(p + 2pz) dp + (2p2 – p2z) dz + (2pz - p z2) dp = 0
(p + 2pz+2pz - p z2) dp = - (2p2 – p2z) dz
(p + 4pz - p z2) dp = - p2 (2 – z) dz
p (1 + 4z - z2) dp = p2 (z - 2) dz , kiri-kanan dibagi dengan p
(1 + 4z - z2) dp = p (z - 2) dz
-( z2 -4z-1) dp= p (z - 2) dz , dikalikan dengan -1
( z2 -4z-1) dp= - p (z - 2) dz
dp
( z − 2) dz
=0
+ 2
p ( z − 4 z − 1)
dp
( z − 2) dz
∫ p + ∫ ( z 2 − 4 z − 1) = ∫ 0
1
ln (z 2 − 4 z − 1) = c
2
2 ln p + ln (z 2 − 4 z − 1) = 2c
ln p +
ln p 2 + ln (z 2 − 4 z − 1) = ln c
(
)
ln p 2 ( z 2 − 4 z − 1) = ln c
p 2 ( z 2 − 4 z − 1) = c
⎛ q2
q ⎞
p 2 ⎜⎜ 2 − 4 − 1⎟⎟ = c
p ⎠
⎝p
q 2 − 4 pq − p 2 = c
( y + 1) 2 − 4( x − 3)( y + 1) − ( x − 3) 2 = c
y 2 + 2 y + 1 − 4( xy + x − 3 y − 3) − ( x 2 − 6 x + 9) = c
y 2 + 2 y + 1 − 4 xy − 4 x + 12 y + 12 − x 2 + 6 x − 9 = c
− x 2 + y 2 − 4 xy + 2 x + 14 y = c − 13
x 2 + 4 xy − y 2 − 2 x − 14 y = c