Matakuliah
Tahun
: Kalkulus-1
: 2009
Barisan dan Deret-1
Pertemuan-24
Barisan
Deret
Uji Konvergensi
Barisan
Barisan : u1, u2 , u3 ,....., un ,.....
Deret : u1  u2  u3  .....  un  .....
atau deret:  u1  u2  u3  .....  un  .....
atau deret:  u1  u2  u3  .....  un  .....
atau deret: + u1  u2  u3  .....  un  .....
Bina Nusantara University
3
Barisan un   u1, u2 , u3 ,...., un ,....
Barisan disebut konvergen jika lim un  L ada dan
n 
berhingga. Jika tidak ada, barisan disebut divergen.
1
Contoh: un    , v n   ( 1)n 1
n 
Barisan konvergen pasti terbatas.


 n 2  1
, w n   

n2
Barisan terbatas belum tentu konvergen.
Barisan yang terbatas dan monoton naik/turun pasti
konvergen.
Bina Nusantara University
4
Contoh:
Apakah barisan berikut konvergen/divergen?
 1 n 
a.un     
 2  
 n! 
b.un    n 
2 
 ln n 
c.un   

 n 


d .un   1  ( 1)n 1
 3n 
e.un   

n  2
Bina Nusantara University
5
Deret
•Suatu deret disebut berhingga bila banyak
sukunya berhingga, dan disebut tak berhingga
bila banyak sukunya tak berhingga.
•Selanjutnya hanya akan dibahas: deret tak
berhingga.
•Suatu deret tak berhingga disebut konvergen
bila jumlahnya ada (berhingga)
•Suatu deret tak berhingga disebut divergen
bila jumlahnya tidak ada (tidak berhingga)
Bina Nusantara University
6

1. Barisan aritmetika: [a  ( n  1)b]
n=1
1
1
n[2a  (n  1)b]  n[a  un ]
2
2
Deret aritmetika divergen, kecuali bila b=0, a=0.
Jumlah=Sn 

2. Deret Geometri:
n 1
2
3
n-1
a
.
r

a+ar+ar
+ar
+....+ar
+......

n 1
a(1  r n )
Jumlah=Sn 
1 r
Jika r  1 atau r  1, deret DIVERGEN
Jika  1  r  1, deret KONVERGEN ke:S  
Contoh: Carilah jml: a.1 +
Bina Nusantara University
a
.
1 r
2 4
2 4
p
  ... b.    ... c. 0.5454...=
3 9
3 9
q
7
3. Deret harmonis/selaras

1
1 1
1
 1    ...  ;deret ini divergen

2 3
n
n 1 n
4. Deret hiperharmonis

1
1
1
1

1



...

;deret ini konv bila p  1, div bila p  1

p
p
p
p
2
3
n
n 1 n
SIFAT: Jika deret konvergen, maka lim un  0
n 
Jika lim un  0, belum tentu konvergen
n 
Jika lim un  0, maka deret divergen
n 
1 1 1
   .... lim un  0, deret divergen
n 
1 2 3



2n  1
1
Konv/Div? a. 
b. 
c.  n n d.
n 1 3n  4
n 1 n n
n 1
Contoh:
Bina Nusantara University
3
e.

4
n 1 n

n2

n
n 1 3

8
1. Dgn membandingkan
a. Jika
v
n
positif dan konvergen,
0  un  v n , maka
b. Jika
v
n
u
n
adalah deret yang diselidiki dan

1
2
n=1 2n
 un konvergen. Contoh:
positif dan divergen,
u
n
adalah deret yang diselidiki dan

4
0  v n  un , maka  un divergen. Contoh:
n=1 n
un
c. Jika  v n dan  un dua deret positif, dan lim
= L  0, maka keduanya
n  v
n

konv, atau keduanya akan div. Contoh:
a.

n=1
Bina Nusantara University

1
n  3 
2
b.
1

n=1 n  2
9
2. Test Ratio (d'Alembert)
un 1
Jika  un adalah deret positif, dan lim
= L, maka: L<1, deret konvergen,
n  u
n

3n
L=1, test gagal, L>1, deret divergen. Contoh: a.  3 b.
n=1 n
3. Test Integral
Jika
u
n

1

n=1 2n  3

n3
c.  n
n=1 3

adalah deret positif, dan  u ndn
konvergen, maka
u
1
n
konvergen.
1
Contoh: a. 
b.
2
(2n+3)
Bina Nusantara University
1
 3n+5
10
4. Test Raabe (bila test ratio gagal)
 un 1 
Jika  un adalah deret positif, dan lim n  1 
=L, maka:

n 
un 


L>1 deret konv, L=0 deret div, L<1 deret div. Contoh:
1

2
n
 2n
n=1
5. Test Akar
Jika
u
n
adalah deret positif, dan lim n un =L, maka:
n 
L<1 deret konvergen, L=1 test gagal, L>1 deret divergen.

1

n
2
n=1
Untuk deret negatif, tanda "  " dikeluarkan dari kurung dan dapat
Contoh:
diperlakukan seperti: minus (deret positif)
Bina Nusantara University
11
Deret Ayun (Alternating series)

 (  1)
un  u1  u2  u3  u4  ...
n+1
n=1
Deret alternating konvergen jika memenuhi 2 syarat:
un turun monoton dan lim un  0.
n 
Contoh:
( 1)n 1
a. 
b.
n
n=1

u
Jika  u
Jika
n
n
( 1)n 1
c.

n=2 n.ln n

u
konv &  u
konv &
n
juga konv, maka konv mutlak
n
div, maka konv bersyarat
( 1)n 1
Contoh: a. 
b.
n
n=1

Bina Nusantara University
( 1)n 1(n  2)

n
n=1

( 1)n
c.

n=2 n.ln n

( 1)n 1

n=1 n( n  1)

12