Matakuliah
Tahun
: K0414 / Riset Operasi Bisnis dan Industri
: 2008 / 2009
Penerapan Int. Programming (IP)
Pertemuan 14
Learning Outcomes
• Mahasiswa dapat menghitung solusi integer
programming dengan berbagai metode (gomory,branch
& bound) utk menyelesaikan berbagai kasus yg sesuai.
Bina Nusantara University
3
Outline Materi:
• Metode Gomory
• Metode Branch & Bound
• Contoh kasus.
Bina Nusantara University
4
Metode Gomory (cutting point),
•
•
Metoda ini merupakan metoda yang sistematis untuk
memperoleh solusi pure Integer Programming.
Pertama kali dikemukakan oleh R.E Gomory pada
tahun 1958, yang kemudian memperluas prosedur
untuk dapat menyelesaikan masalah mixed integer
programming.
Bina Nusantara University
5
Algoritma Gomory,
1.
2.
3.
Selesaikan solusi awal masalah IP dgn Simpleks atau
dengan metoda grafik.
Periksa solusi optimum, jika semua variabel basis
memiliki nilai integer, solusi optimum integer telah
didapat. Jika satu atau lebih variabel basis memiliki nilai
pecah, teruskan ke langkah 3.
Buatlah suatu kendala Gomory (suatu bidang pemotong
atau cutting point) dan cari solusi optimum melalui
prosedur dual simpleks, kemudian kembali ke langkah
2.
Bina Nusantara University
6
Pembentukan kendala
Berikut proses pembentukan kendala Gomory. Misal
tabel optimum LP berikut merupakan solusi optimum
kontinu
Basis X1 ..… Xm
W 1 …. W n
Solusi
z
0 …… 0
c1 ….. cn
b0
x1
1 …… 0
:
:
:
:
:
:
0 ……. 1
a11 … a1n
b1
:
:
:
bm
:
:
:
Xm
Bina Nusantara University
:
:
:
:
:
:
am1 …..
amm
7
•
•
•
Variabel Xi (i=1,2…m) = variabel basis Variabel
Wj(j=1,2,…n) = var.nonbasis
Xi =bi - aij Wj , di mana b non integer.
Kemudian pisahkan bi dan ai menjadi bagian bulat dan
bagian pecah non negatif seperti berikut :
_
_
bi = bi + fi  fi = bi - -bi, utk 0  fi  1
_
_
aij = aij + fij fij =aij - -aij,utk 0  fij 1
Bina Nusantara University
8
•
Dengan menggunakan rumusan tsb maka tabel baru
setelah penambahan kendala Gomory menjadi :
Basis X1 ..… Xm
W1 …. Wn
Sg
Solusi
z
0 …… 0
c1 ….. cn
0
b0
x1
a11 … a1n
Xm
1 …… 0
:
:
:
:
:
:
0 ……. 1
am1 ….. amm
0
:
:
:
0
b1
:
:
:
bm
Sg
0 ……. 0
-fi1 …… fin
1
-fi
:
:
:
Bina Nusantara University
:
:
:
:
:
:
9
Contoh kasus,
Maks z= 7x1 + 9x2
Kendala : -x1 + 3x2  6
7x1 + x2  35
x1,x2 non negatif integer
Solusi kontinu optimumnya sbb:
Basis X1
X2
S1
S2
Solusi
z
0
0
28/11 15/11
63
X2
X1
0
1
1
0
7/22
-1/22
7/2
9/2
Bina Nusantara University
1/22
3/22
10
•
•
•
•
•
Karena solusi tidak bulat, dan kedua f1=f2=1/2, sehingga
salah satu yg di gunakan, mis X2 menghasilkan
X2 + 7/22 S1 + 1/22 S2 = 7/2 atau
X2 +(0+7/22)S1+(0+1/22)S2=(3+1/2)
Sehingga kendala Gomory adalah
Sg1- 7/22S1 – 1/22 S2 = -1/2 dan diperoleh tabel
berikutnya :
Bina Nusantara University
11
Basis X1
X2
S1
S2
z
0
0
28/11 15/11
X2
X1
0
1
1
0
7/22
-1/22
0
0
-7/22 -1/22
1/22
3/22
Sg1
Solusi
0
63
0
0
7/2
9/2
1
-1/2
Sg1
Dengan metoda dual simpleks dihasilkan
Bina Nusantara University
12
Basis
X1
X2
S1
S2
Sg1
Solusi
z
X2
X1
S1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1/7
1/7
8
1
-1/7
-22/7
59
3
32/7
11/7
Karena solusi masih pecah, kendala gomory baru
ditambahkan pada f1 terbesar (f1=4/7), maka
X1+(0+1/7) S2 + (-1+6/7) Sg1=(4+4/7)
Kendala Gomory kedua:
Sg2 –1/7 S2 – 6/7 Sg1 = -4/7 diperoleh:
Bina Nusantara University
13
Basis
X1
X2
S1
S2
Sg1
z
X2
X1
Sg1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1/7
1/7
8
1
-1/7
-22/7
0
0
0
0
59
3
32/7
11/7
Sg2
0
0
0 -1/7
-6/7
1
-4/7
Bina Nusantara University
Sg2
Solusi
14
Menggunakan metoda dual simpleks diperoleh :
Basis
X1
X2
S1
S2
Sg1
Sg2
Solusi
z
X2
X1
S1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
1
-1
-4
7
0
1
1
55
3
4
1
S2
0
0
0
1
6
-7
4
yang menghasilkan solusi bulat optimum X1=4, X2=3 dan Z=55
Bina Nusantara University
15
Bina Nusantara University
16