Matakuliah
Tahun
: K0282 - Matriks dan Transformasi Linear
: 2008
Operasi Matriks
Pertemuan 02
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Am . An = Am+n
(An)m = An.m
1
Contoh: A = 
3
4
 A-1 = ?

8
A.A-1 = I
Bina Nusantara
b
a
1
Misalkan A  


d
c
3
b  4d 
 a  4c
1 0 
3a  bc 3b  8d   0 1  ,




a  4c  1
b  4d  0
1
3a  8c  0
3b  8d  1
a  4c  1 x 2  2a  8c  2
3a  8c  0 x1  3a  8c  0
a
2
a  2
Bina Nusantara
4
1


8
0
0
1

3a  8c  0
8c  3a
 3a
 3( 2)

8
8
6
3
c 

8
4
b  4 d  0 x 2  2b  8d  0
c 
3b  8d  1 x1  3b  8d  1
b
 1
b 1
b  4d  0
4 d  b
d 
Bina Nusantara
b
1
1

 
4
4
4
1
A
a

c
b
2


d
3 / 4
atau
1
A
Bina Nusantara

1
adj ( A)
A

 1 / 4

1
 4
1  8
A   4  3 1 
 4
1 8



3
1
4


1 
2


3
/
4

1
/
4


di mana A  (1x8) - (3x4)  - 4
1
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Matriks Transpose
Matriks transpose diperoleh dengan menukar
elemen-elemen baris menjadi elemen-elemen
kolom atau sebaliknya.
1
Contoh: A  5


3
Bina Nusantara
4
2

6

t
Transpose dari adalah : A
Bina Nusantara
1 5 3 


 4 2 6
Bina Nusantara
Contoh pembuktian sifat-sifat matriks transpose:
2
A
5
maka
Bina Nusantara
4
6
t
A
2

4
dan
5
6
3
B
1
dan
5
4
B
t
3

5
1
4
Pembuktian sifat 1:
A 
t t
2

4
t
5
2

5
6


4
 A

6
Pembuktian sifat 2:
2
A  B  
5
4
3

1
6


5
5

6
4


t
9 
,
10 

9 
6 
5
5
maka ( A  B )
 


9
.
6
10
10




5
1
6 
2
3
5
At  B t  



5

9
.
4
6
4
10






Terbukti bahwa ( A  B ) t  At  B t .
t
Bina Nusantara
Pembuktian sifat 3:
2
3 A  3
5
maka (3 A) t
3A
t
2
 3
4
4
 6

15
6


 6
 
15
12 
,

18
t
12 
 6

12
18


5
15
 6
 

6
12
18



Terbukti bahwa (3 A) t  3 At
Bina Nusantara
15
.

18
Pembuktian sifat 4:
2
A.B  
5
4 3

6
 1
5
64

4

15  6
10
maka ( A.B ) t  
 21
3
B t . At  
5
1  2

4
 4
26
49

t
26
21
10

 26 49.
49



5
15  6 
 64
10


10  16 25  24
 26
6




Terbukti bahwa ( A.B ) t  B t . At
Bina Nusantara
10  16 
10

25  24

 21
21
49

Bina Nusantara
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Bina Nusantara
E = Matriks elementer, maka E.A = matriks baru yang
terjadi bila OBE tersebut dilakukan pada matriks A
A OBE

  E. A


 I OBE

 A
Contoh:
5
A
7
Bina Nusantara
6 b12 7


8
5
8
6

1
 
0
0
1
0
b12


1
I2
1
0



1  5
6
8
0
7
E. A  

 7

5

1
0
8
6





Setiap Matriks Elementer adalah matriks tak singular.
Invers Matriks Elementer juga Matriks Elementer.
I 
 E
OBE
Maka E juga elementer
Cara penyelesaian invers matriks dengan OBE.
( A I ) 
( I A
OBE
Bina Nusantara
1
)
1
Contoh 1: A  
3
4
1
,
maka
A

8
Solusi:
1

3
1

0
8 0
1
4
1 3/ 4
Jadi A
Bina Nusantara
1
0
b 21( 3 )
   
1
0
41
1
4
4 3
1

b12 ( 4 )
   
 1 / 4
0
0
2
 
3 / 4

 1 / 4

1
1
0
b 2 ( 1 / 4 )




1
0 2
1 3/ 4


 1 / 4
1
Contoh 2 :
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Bina Nusantara