Matakuliah
Tahun
Versi
: K0272/Fisika Dasar III
: 2007
: 0/2
Materi yang dibahas :
1. Analisa vektor 2.Hukum Coulomb dan Definisi
medan listrik 3. Intensitas medan listrik oleh muatan
terdistribusi 4.Flux listrik , Hukum Gauss dan Divergensi
5.Potensial listrik 6.Konduktor 7.Konduktor , Dielektrikum
dan Kapasitansi 8. Medan magnet 9. Gaya magnetik
10.Magnetisasi dan Induktansi 11.Teori medan
1
Matakuliah
Tahun
Versi
: K0272/Fisika Dasar III
: 2007
: 0/2
Pertemuan 01
Analisa Vektor
2
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan :
• Mahasiswa dapat mengindentifikasikan : analisa
vektor ; macam-macam sistem koordinat , sistem
koordinat Kartesian , sistem koordinat silinder ,
sistem koordinat bola dan transformasi sistem
koordinaat → C1 (TIK - 1)
3
Outline Materi
• Materi 1
Macam-macam sistem koordinat
- Sistem loordinat Kartesian
- Sitem koordinat silinder
- Sistem koordinat Bola
• Materi 2
Transformasi koordinat
- Contoh soal
4
ISI
• Pertemuan ini membahas tentang
penggunaan sistem koordinat Kartesian,
sistem koordinat silinder, sistem koordinat
bola, transformasi koordinat dan contohcontoh soal-soal.
• Aplikasi dari analisa vektor ini terdapat
dalam bidang listrik dan gelombang,
mekanika, mekanika teknik, mekanika zat
alir dan lain-lain. Setelah menyelesaikan
dengan baik marei.
5
1. Macam-macam sistim koordinat
1.1 Sistim koordinat Kartesian
Z
• P(x,y,z) Titik P koordinat
z
Y
nya x , y dan z
X
Elemen volum di titik P : dV = dx dy dz
Z dz
dx
dy
P
Y
X Elemen panjang , dL2 = dx2 + dy2 + dz2
6
1.2 Sistim koordinat Silinder
Z
z • P (r ,φ , z)
x = r cos φ
Y y = r sin φ
φ
X
Z
r
dφ
dz
.
P dr
φ
X
z=z
r
r dφ Elemen volum diferen
sial : dV = r dr dφ dz
Y
Elemen garis diferensial dL adalah diagonal
melalui P : dL2 = dr2 + (r dφ)2 + dz2
7
..
• Vektor satuan ar , aφ dan az = k
Z
az
aφ
r
z
.
ar
y
φ
ar ┴ aφ ┴ aZ
X
• Hubungan koordinat Kartesian dengan
.. … koordinat silinder :
x = r cos φ
y = r sin φ
z=z
r = √( x2 + y2) ; r ≥ 0
φ = atan (y/x)
z=z
8
1.3.Sistim koordinat bola
ar
..
..
…
aφ
θ P•
Θ’ r
Koordinat titik M
aθ
adalah r , φ dan θ’
•
..
M (r, φ, θ’)
φ
Ke tiga vektor satuan saling tegak lurus ,
..
ar ┴ a φ ┴ a θ
x = r sin θ cos φ ; r = √( x2 + y2 + z2 ); r ≥ 0
y = r sin θ sin φ ; θ = cos-1 (z/(√( x2 + y2 + z2))
z = r cos θ
; ( 00 ≤ θ ≤ 1800 )
9
…
φ = tan-1 (y/x)
Elemen garis diferensial , dL
Z
dr
r sin θ dφ
θP
dθ
Y
φ
X
r dθ
dL2 = dr2 + (r dθ)2 + (r sin θ dφ)2
Elemen volum diferensial , dV
dV = r2 sin θ dr dθ dφ
10
2. Transformasi koordinat
…
2.1 Transformasi S.K.Kartesian ke S.K.Silin- ..
der
…
…
Dengan mempergunakan tabel di bawah ..
ini , hasil dari perkalian titik antara dua ..
vektor satuan .
i
j
k
ar
cos φ
sin φ
0
aφ
- sin φ
cos φ
0
aZ
0
0
1
Vektor A dalam koordinat Kartesian
A = AX i + AY j + AZ k
11
Vektor A dalam koordinat silindris
A = Ar ar + Aφ aφ + Az az
Cara mencari komponen vektor silindris
adalah dengan melakukan “dot product “
antara vektor dalam koordinat Kartesian
dengan salah satu vektor satuan dalam
koordinat silindris .
Sebagai contoh mencari komponen Ar :
Ar = (Ar ar + Aφ aφ + AZ aZ ) ● ar
Ar = (AX i + AY j + AZ k ) ● ar
= AX i ● ar + AY j ● ar + AZ k ● ar
Menurut tabel : I ● ar = cos φ
j ● ar = sin φ dan k ● ar = 1
12
sehingga komponen silindris Ar memberikan
Ar = AX cos φ + AY sin φ
Cara yang sama dihasilkan Aφ dan AZ
Aφ = - AX sin φ + AY cos φ
AZ = AZ
Contoh : Transformasikan ke koordinat
tabung vektor B = yi – xj + zk
Jawaban :
Br = B • ar
Br = (yi – xj + zk) • ar = y cos φ - x sin φ = 0
Bφ = (y i – x j + z k) • aφ = (y i – x j) • aφ = - r
→ B = - raφ + z k
13
2.2 Transformasi S,K.Kartesian ke S.K.Bola
…
…..
Tabel “ dot product” vektor satuan dalam
S.K. Karrtesian dengan vektor satuan … …
dalam S.K.Bola
ar
.
.
aφ
aθ
i
sin θ cos φ
cos θ cos φ
- sin φ
j
k
sin θ sin φ
cos θ
cos θ sin φ
- sin θ
cos φ
0
Contoh : Nyatakan medan vektor
W = (x - y) aY dalam koordinat
bola
14
Jawaban :
W = (x - y) ay
W = Wr ar + Wφ aφ + Wθ aθ
Wr = (x - y) aY ● ar = (x - y) sin θ sin φ
Wφ = (x - y) aY ● aφ = (x - y) cos θ sin φ
Wθ = (x - y) aY ● aθ = (x - y) cos φ
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ
x – y = r sin θ (cos φ - sin φ ) →
15
.
W = r sin θ (cos φ - sin φ ) [sin φ (sin θ ar +
cos θ aφ ) + cos φ aθ ]
16
simulasi/animasi
http://www.physicsclassroom.com/mmedia/vectors/a
o.html
17
Rangkuman :
1. Sisrem koordinat Kartesiaan
. - Elemen garis diferensial , ∆L :
.
dL2 = dx2 + dy2 + dz2
. - Elemen diferensial volum , dV :
.
dV = dx dy dz
2. Sistem koordinat silinder (tabung)
Z
x = r cos φ
• P (r, φ, Z )
Y
θ
X
r
y = r sin φ
z=z
18
..
..
...
- Elemen garis diferensial , ∆L
∆L2 = dr 2 + (rdφ)2 + z2
- Elemen diferensial volum ,dV
dV = r dr dφ dz
Transformasi koordinat silinder :
i
j
k
ar
cos φ
sin φ
0
aφ
- sin φ
cos φ
0
aZ
0
0
1
19
3. Sistem koordinat bola
Z
φ
r
θ
X = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ
• P(r,φ,θ)
Y
X
- Elemen garis diferensial ,dL
.
dL2 = dr 2 + (rdθ)2 + (r sinθ dφ)2
- Elemen volum diferensial , dV
dV = r2 sin θ dr dθ dφ
20
4. Transformasi koordinat bola :
ar
aφ
aθ
i
sin θ cos φ
cos θ cos φ
- sin φ
j
k
sin θ sin φ
cos θ
cos θ sin φ
- sin θ
cos φ
0
21
<< CLOSING>>
Setelah mengikuti dengan baik mata kuliah ini ,
mahasiswa diharapkan sudah mampu menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan
analisa vektor ,khususnya yang terkait dengan
bidang sistem komputer.
22