Matakuliah : METODE NUMERIK I
Tahun
: 2008
ANALISIS GALAT (Error)
Pertemuan 2
Galat atau ralat atau kesalahan (error) adalah selisih
antara nilai sejati (sebenarnya) dengan nilai
hampirannya
Dalam metoda numerik, galat berarti selisih antara
nilai hasil perhitungan analitik (nilai sejati = a) dengan
nilai hasil Perhitungan numerik (nilai hampiran = â)
Galat mutlak
em= |a - â|
Bina Nusantara
Galat relatif
er = (em/ â) x 100 %
Contoh:
Misalkan nilai sejati (a) = 10,45 dan nilai hampiran (â)
= 10,5, maka galat mutlaknya adalah:
em = |a - â| = |10,45 – 10,5|= 0,01
Dengan galat mutlak kita tidak mengetahui seberapa
dekat (teliti) hasil hampiran yang kita peroleh terhadap
nilai sejatinya
Contoh:
Perhitungan -1  em1 = |100,5 – 99,8| = 0,7
Perhitungan -2  em2 = |10,5 – 9,8| = 0,7
Dari dua perhitungan tsb, perhitungan mana yang lebih
teliti?
Bina Nusantara
Jawaban:
er1 = (0,7/99,8) x 100 % = 0, 7014 %  ketelitian 99,2986 %
er2 = (0,7/9,8) x 100 % = 7,14286 %  ketelitian 92,8571 %
Perhitungan -1 lebih teliti.
Bina Nusantara
Sumber Error/Galat numerik
1. Galat pemotongan (trancation error)
2. Galat pembulatan (round-off error)
Galat pemotongan timbul akibat penggunaan rumus
hampiran sebagai pengganti rumus eksak
Misalnya Deret Taylor
f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3!
f(3)(x0) (x-x0)3 + … + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + Rn(x)
Rn(x) = {1/(n+1)!} f(n+1)() x(n+1),  x0 <  < x
Rn(x) adalah galat pemotongan
Bina Nusantara
Contoh
Cos x = 1 – 1/2! x2 + 1/4! x4 + … 1/(2n)! X(2n) + Rn(x)
= 1 – ½! x2 +R1(x)
= 1 – ½! x2 + ¼! x4 + R2(x)
= 1 – ½! x2 + ¼! x4 – 1/6! x6 + R3(x)
= 1 – ½! x2 + ¼! x4 – 1/6! x6 + ¼! x8 + R4(x)
R1(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -1
R2 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -2
R3 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -3
R4 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -4
Bina Nusantara
Galat pembulatan timbul akibat penggunaan alat hitung
(misalnya, kalkulator, komputer) yang kemampuannya
terbatas
Contoh:
1. Kalkulator/komputer dalam menyajikan bilangan 1/3 = 0.3333…
yang tidak pernah tepat 1/3.
Untuk perhitungan tiga desimal, 1/3 = 0.333
Terdapat galat pembulatan = 0.000333…
Untuk perhitungan 6 desimal, 1/3 = 0.333333
Terdapat galat pembulatan = 0.000000333…
2. Dalam sistim bilangan biner,
(0.1)10 = (0.0001100110011001100110011…) 2  (0.1)10
Bina Nusantara
Penyajian bilangan
Dalam komputasi numerik, pada umumnya bilangan riil
disajikan dalam format “floating point” atau disebut “titik
kambang” yang dinormalkan.
Format floating point ternormalisasi:
x =  m . p
 tanda; m mantisa;  bilangan pokok; p eksponen
m = 0.d1d2d3…dk   -1  m <1
Untuk sistim bilangan desimal, maka  = 10
0.1  m <1; 1  d1 < 9; 0  dk < 9
Untuk sistim bilangan biner, maka  = 2
0.5  m <1; d1=1 ; 0  dk  1
Bina Nusantara
Contoh:
1. Sistim bilangan desimal
0.7392.104 sering juga ditulis 0.7392 E+04 (= 7392)
- 0.3246.102 sering juga ditulis - 0.3246 E+02 (= - 32.46)
0.1627.10-3 sering juga ditulis 0.1627 E-03 (= 0.0001627)
Bina Nusantara
2. Sistim bilangan biner
Untuk komputer 32 bit word, 1 bit untuk tanda, 7 bit untuk
eksponen bertanda dan 24 bit untuk mantisa
0 1
0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Pangkat bertanda
Mantisa
Tanda
0=+
1=-
X = 0.100000000000001000110011.2-13
= 0.5000335574.10-7
Bina Nusantara
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
Contoh:
1. a = 3,141592; â = 3,142
3
3,141592  3,142
10
er 
 0,0001299 
3,142
2
â mendekati a teliti sampai tiga desimal
Bina Nusantara
Batas Penghampiran
Bilangan â disebut mendekati a sampai pada d digitdigit yang signifikan bila d adalah bilangan positif
terbesar yang memenuhi:
d
a  aˆ
10
er 

aˆ
2
Bina Nusantara
Error Measures
• True value = Approximate value + Error
~
x  x 
•  = Error = True value - Approximate value
  x~
x
x ~
x
r  ~  ~
x
x

• r = relative error
x ~x 1  d
 r  ~  10
x
2
• d = significant digits
Bina Nusantara
Example
•
•
•
Pi ~ 3.1416
Better approximation x = 3.1415927.
Find the error, relative error and the number of significant digits in the
approximation.
  x  ~x
 3.1415927  3.1416
 0.0000073
 0.0000073
3.1415927
 0.0000023237
r 
Bina Nusantara
ln(2e)
d 
ln(10)
ln(2 * 0.0000023237)

ln(10)
 5.3329
Error Perkiraan
• A is the approximate error between the current
approximate value and our previous approximate value
k 1
k
~
~
A  x  x
A
 r A  ~ k 1
x
Bina Nusantara
k 1 ~ k
~
x x
 ~ k 1
x
Contoh
•
•
Estimate exp(x) for x = 0.5 by adding more and more terms to the sequence
and computing the errors after adding each new term. Add terms until the
estimate is valid to three significant digits.
From a calculators x = 1.648721271
2
3
4
x
x
x
x
e  1 x    
2! 3! 4!
x ~
x 1 2
r 
 10  0.005
x
2
Bina Nusantara
2
3
4
x
x
x
ex  1 x 



2! 3! 4!
Contoh
x
Gunakan hanya termin I dari barisan e 1
Gunakan termin I, II dan seterusnya dari barisan
e x 1x10.51.5
x ~
x
1.6487212711.5


 0.09  9%
x
1.648721271
# Termin
Bina Nusantara

Hasil
1
1
0.393
2
1.5
0.09
3
1.625
0.014
4
1.645833333
0.0017
5
1.648437500
0.00017
6
1.648697917
0.000014
Deret Taylor
Deret Taylor dapat digunakan untuk memperkirakan nilai suatu
fungsi pada satu titik dalam bentuk nilai fungsi dan turunannya
pada titik lainnya.
Setiap fungsi kontinu dapat didekati dengan suatu polinomial.
Teorema:
Suatu fungsi yang mempunyai turunan sampai orde (n+1) dan
kontinu dalam selang [a,b] dan memuat X0, maka f dapat
diperluas (diekspansikan) dalam deret Taylor, yaitu:
f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3! f(3)(x0)
(x-x0)3 + … + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + Rn
Rn =truncated error
Bina Nusantara
Secara geometris, deret Taylor mempunyai arti:
apabila harga suatu fungsi diketahui di x = x0, maka
harga fungsi tersebut dapat dihitung disekitar x0
Contoh:
1 = 1; Tentukan 1,01=?
Jawban:
f(x) = x = (x)1/2, dengan x = 1,01 dan x0 = 1
dan x – x0 = 0,01
f(‘)(x) = ½ x-1/2,
f(‘)(1) = ½
= 0,5
f(“)(x) = -1/4 x-3/2,
f(“)(1) = - ¼
= - 0,25
f(3)(x) = 3/8 x-5/2 ,
f(3)(1) = 3/8
= 0,375
f(4)(x) = -15/16 x-7/2 , f(4)(1) = -15/16 = - 0,9375
Bina Nusantara
Selanjutnya
n
0
f(n)(1)
1
1
0,5
2
3
4
-0,25
0,375
- 0,9375
f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3! f(3)(x0)
(x-x0)3 + … + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + …
= 1 + (0,5)(0,01) + (0,5)(-0,25)(0,01)2 +
(0,16667)(0,375)(0,01)3 + (0,04167)(-0,9375)(0,01)4 + …
= 1,0049875 (perhitungan tujuh desimal)
Bina Nusantara
PerambatanGalat
Misalkan dua buah bilangan a1 dan a2 dengan nilai hampirannya
masing-masing â1 dan â2
Maka:
a1= â1  e1  er1= e1/ â1
a2 = â2  e2  er2 = e2/ â2
Perambatan galat dari a1 dan a2 pada:
1. Penjumlahan
A = a1  a2 = (â1  e1)  (â2  e2)
= (â1  â2)  (e1 + e2)
= (â1  â2)  eA
eA = e1 + e2 , yaitu galat absolut dari penjumlahan ()
Bina Nusantara
2. Perkalian
B = a1 . a2 = (â1  e1).(â2  e2)
= (â1. â2)  (â1 e2 + â2 e1 + e1 e2)
= (â1. â2)  eB
eB = (â1 e2 + â2 e1 + e1 e2)  erB = er1+er2
3. Pembagian
a1 aˆ1  e1 (aˆ1  e1 ) aˆ 2
P 

x
a2 aˆ 2  e2 (aˆ 2  e2 ) aˆ 2
P= (â1/ â2)  eP  eP =
Bina Nusantara
 aˆ1 e1  e2   aˆ1   e1 aˆ1 
   1         2 e2 
 aˆ 2 aˆ 2  aˆ 2   aˆ 2   aˆ 2 aˆ 2 
 e1

ˆ1
a

 2 e2 
a

ˆ
ˆ
a
2
 2

Soal Latihan
1. Diketahui b= 1.648721271,
Bila b dinyatakan dalam 4 desimal, berapakah relatif errornya?
2. π=3,14159265358…, bila π dinyatakan dalam 6 desimal, hitunglah error relatif
jika:
a. dilakukan pemotongan tanpa pembulatan?
b. dilakukan pemotongan dengan pembulatan?
3. Diketahui p=2,25 dan q=100 (nyatakan batas mutlak desimal sebagai error)
a. Tentukan error mutlak dari p.q
Catatan: Misalnya 10,2 adalah bilangan 1
b. Tentukan error relatif dari p+q
desimal maka batas mutlaknya (0,1)/2 =0,05
Bina Nusantara